Type of Functions based on Mapping Questions in Gujarati

(D) વિધેય $f: R \to R$ એ એક-એક (injection) કહેવાય જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ થાય.
$f(x) = x^2$ માટે,$f(1) = 1^2 = 1$ અને $f(-1) = (-1)^2 = 1$ મળે છે.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય $f: R \to R$ એ વ્યાપ્ત (surjection) કહેવાય જો પ્રત્યેક $y \in R$ માટે,કોઈ $x \in R$ એવું મળે કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
$f(x) = x^2$ માટે,તેનો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે.
સહ-પ્રદેશમાં એવી ઋણ કિંમતો છે જેનું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ પ્રદેશમાં મળતું નથી (દા.ત.,$y = -1$),તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,આપેલ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) સુરેખ વિધેય $f(x) = ax + b$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આપણે અંતરાલ $[-1, 1]$ ને $[0, 2]$ પર મેપ કરવા માંગીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $f(-1) = 0$ અને $f(1) = 2$.
$-a + b = 0 \implies a = b$.
$a + b = 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1, b = 1$.
તેથી,$f(x) = x + 1$.
કિસ્સો $2$: $f(-1) = 2$ અને $f(1) = 0$.
$-a + b = 2$.
$a + b = 0 \implies b = -a$.
$-a - a = 2 \implies -2a = 2 \implies a = -1, b = 1$.
તેથી,$f(x) = -x + 1$.
આમ,આવા બે સુરેખ વિધેયો મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + x$ છે.
પગલું $1$: એક-એક કે અનેક-એક ચકાસો.
અહીં $f(0) = 0^2 + 0 = 0$ અને $f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ મળે છે.
$f(0) = f(-1)$ હોવાથી અને $0 \neq -1$ હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
પગલું $2$: વ્યાપ્ત કે અંતઃક્ષેપ ચકાસો.
પૂર્ણવર્ગની રીતે વિધેયને લખતા: $f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ હોવાથી,$f(x) \ge -\frac{1}{4}$ મળે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[-\frac{1}{4}, \infty)$ છે.
વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ જેટલો ન હોવાથી,વિધેય અંતઃક્ષેપ છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય અનેક-એક અને અંતઃક્ષેપ છે.

(A) ધારો કે $x_1, x_2 \in R$. તો $f(x_1) = \cos x_1$ અને $f(x_2) = \cos x_2$ થાય.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ.
પરંતુ,$\cos x_1 = \cos x_2$ નો અર્થ છે કે $x_1 = 2n\pi \pm x_2$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
કારણ કે $x_1$ એ હંમેશા $x_2$ ને સમાન હોતું નથી (દા.ત.,$\cos(0) = \cos(2\pi) = 1$),તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$f(x) = \cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,જે $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે.
કારણ કે વિસ્તાર $\neq$ સહ-પ્રદેશ,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,આ મેપિંગ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપણી પાસે $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ છે.
પ્રથમ,એક-એક વિધેય માટે તપાસીએ:
$f(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 3) = 0$
$f(2) = (2 - 1)(2 - 2)(2 - 3) = 0$
$f(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 3) = 0$
અહીં $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી કારણ કે અલગ અલગ ઘટકોના પ્રતિબિંબ સમાન છે.
હવે,વ્યાપ્ત વિધેય માટે તપાસીએ:
$f(x)$ એ $3$ ઘાતવાળી બહુપદી છે. કોઈપણ એકી ઘાતવાળી બહુપદી વિધેય $f: R \to R$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો જ છે.
તેથી,દરેક $y \in R$ માટે,ઓછામાં ઓછો એક $x \in R$ એવો મળે કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
આમ,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(D) વિધેય $f: R \to R$ માટે $f(x) = |x|$ આપેલ છે.
$1$. એક-એક વિધેય માટે: જો $f(x_1) = f(x_2)$ હોય તો $x_1 = x_2$ થવું જોઈએ. અહીં,$f(-1) = |-1| = 1$ અને $f(1) = |1| = 1$ છે. આમ,$f(-1) = f(1)$ થાય છે પરંતુ $-1 \neq 1$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક વિધેય છે).
$2$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: જો વિધેયનો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ જેટલો હોય તો તે વ્યાપ્ત કહેવાય. અહીં સહ-પ્રદેશ $R$ છે. $f(x) = |x|$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. વિસ્તાર અને સહ-પ્રદેશ સમાન નથી $([0, \infty) \neq R)$,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,ધારો કે $x, y \in N$ માટે $f(x) = f(y)$.
$x^2 + x + 1 = y^2 + y + 1$
$x^2 - y^2 + x - y = 0$
$(x - y)(x + y) + (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y + 1) = 0$
કારણ કે $x, y \in N$,તેથી $x + y + 1 > 0$,તેથી $x - y = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x = y$. આમ,$f$ એક-એક છે.
$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $f$ નો વિસ્તાર જોઈએ. $x = 1$ માટે,$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$. $x = 2$ માટે,$f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 7$. કારણ કે $f(x) = x^2 + x + 1$,$x \in N$ માટે ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે. $1, 2, 4, 5, 6$ જેવી કિંમતો વિસ્તારમાં નથી. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) વિધેય $f: X \to Y$ એક-એક છે જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ થાય,જ્યાં $x_1, x_2 \in X$.
$f(x) = x^2$ માટે,જો $X = R^+$ હોય,તો $x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2$ (કારણ કે $x_1, x_2 > 0$),તેથી $f$ એક-એક છે.
વિધેય વ્યાપ્ત છે જો $f$ નો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $Y$ જેટલો હોય.
અહીં,$f$ નો વિસ્તાર $R^+$ છે. જો $Y = R$ હોય,તો વિસ્તાર $R^+ \subset R$ થાય,તેથી $f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$X = R^+$ અને $Y = R$ માટે,વિધેય એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

(C) ગણ $A$ (જેમાં $n$ ઘટકો છે) થી ગણ $B$ (જેમાં $m$ ઘટકો છે) પરનું એક-એક વિધેય (injective function) ત્યારે જ શક્ય છે જો $n \le m$ હોય.
આવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^mP_n = \frac{m!}{(m-n)!}$ છે.
અહીં,$n = 3$ અને $m = 4$ છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1!} = 24$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કોઈપણ $x, y \in R \setminus \{n\}$ માટે,આપણી પાસે $f(x) = f(y)$ છે.
$\frac{x - m}{x - n} = \frac{y - m}{y - n}$
$(x - m)(y - n) = (y - m)(x - n)$
$xy - nx - my + mn = xy - ny - mx + mn$
$-nx - my = -ny - mx$
$mx - nx = my - ny$
$x(m - n) = y(m - n)$
કારણ કે $m \ne n$,તેથી $x = y$ મળે છે.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
હવે,ધારો કે $f(x) = y$ જ્યાં $y \in R$.
$y = \frac{x - m}{x - n} \Rightarrow y(x - n) = x - m$
$yx - yn = x - m \Rightarrow x(y - 1) = yn - m$
$x = \frac{yn - m}{y - 1}$.
$y = 1$ માટે,એવું કોઈ $x \in R$ નથી કે જેથી $f(x) = 1$ થાય. આમ,$f$ નો વિસ્તાર $R \setminus \{1\} \neq R$ છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી. આમ,$f$ એક-એક અને અંતઃક્ષેપ છે.

(D) વિધેય $f:R \to R$ એ $f(x) = e^x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
તેથી $e^{x_1} = e^{x_2}$,જે સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$.
આમ,વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: $f(x) = e^x$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે.
કારણ કે વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ જેટલો નથી (દા.ત.,ઋણ સંખ્યાઓ અને શૂન્યનું કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી),તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

(A) વિધેય $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ એ બાયજેક્ટિવ (bijective) ત્યારે જ કહેવાય જો તે એક-એક (one-one) અને વ્યાપ્ત (onto) બંને હોય.
$1$. $f(x) = |x|$ માટે,$f(1) = 1$ અને $f(-1) = 1$. અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી તે એક-એક નથી.
$2$. $f(x) = x^2$ માટે,$f(1) = 1$ અને $f(-1) = 1$. અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી તે એક-એક નથી.
$3$. $f(x) = x^2 + 1$ માટે,$f(1) = 2$ અને $f(-1) = 2$. અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી તે એક-એક નથી.
$4$. $f(x) = 2x - 5$ માટે:
- એક-એક: ધારો કે $f(x) = f(y)$. તો $2x - 5 = 2y - 5$,જેનો અર્થ છે કે $2x = 2y$,તેથી $x = y$. આમ,તે એક-એક છે.
- વ્યાપ્ત: ધારો કે $y = 2x - 5$. તો $x = \frac{y + 5}{2}$. દરેક $y \in \mathbb{R}$ માટે,$x = \frac{y + 5}{2} \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x) = y$. આમ,તે વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f(x) = 2x - 5$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + \sin x$ જ્યાં $x \in R$ છે.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 2 + \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \cos x \le 1$,તેથી $f'(x) = 2 + \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$.
કારણ કે $f'(x) > 0$ તમામ $x \in R$ માટે છે,વિધેય $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે $f(x)$ નો વિસ્તાર જોઈએ. $f(x)$ એ સતત વિધેય છે અને $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ તથા $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે.
વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(C) આપેલ વિધેય $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ -\frac{n}{2}, & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$
ચાલો પ્રથમ કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પ્રતિબિંબ શોધીએ:
$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$
$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$
$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$
$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$
$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$
$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$
$1$. એક-એક ચકાસણી: દરેક ભિન્ન $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ માટે,આપણને $\mathbb{Z}$ માં ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ છે,જે તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{Z}$ છે. વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{1+x}$,જ્યાં $x \in [0, \infty)$.
એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$,તો $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$.
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1) \implies x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2 \implies x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: $f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેમ $1+x$ એ $1$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેથી $\frac{1}{1+x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $1-1=0$ થી $1-0=1$,એટલે કે $[0, 1)$ મળે છે.
અહીં સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ છે અને વિસ્તાર $[0, 1)$ છે,તેથી વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x_1] = [x_2]$,જેનો અર્થ એ નથી કે $x_1 = x_2$.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $x_1 = 1.4$ અને $x_2 = 1.5$ હોય,તો $[1.4] = 1$ અને $[1.5] = 1$ થાય.
અહીં $f(1.4) = f(1.5)$ છે પરંતુ $1.4 \neq 1.5$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વળી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f(x) = [x]$ નો વિસ્તાર એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે.
વિસ્તાર $\neq$ સહ-પ્રદેશ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \sqrt{x^2} = x + |x|$ છે.
આ વિધેયને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} x + x = 2x, & \text{જો } x \ge 0 \\ x - x = 0, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
$1$. એક-એક (Injectivity) માટે તપાસ:
જ્યારે $x < 0$ હોય,ત્યારે $f(x) = 0$ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(-1) = 0$ અને $f(-2) = 0$. અહીં $f(-1) = f(-2)$ છે પરંતુ $-1 \neq -2$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત (Surjectivity) માટે તપાસ:
$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. સહપ્રદેશ $R$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) છે અને વિસ્તાર સહપ્રદેશ જેટલો નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,તેથી તે બાયજેક્ટિવ (Bijective) નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) વિધેય $f: (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \to \mathbb{R}$ એ $f(x, y) = \frac{x}{y}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે $x = c$ અને $y = 1$ લઈ શકીએ છીએ. તેથી $f(c, 1) = \frac{c}{1} = c$ મળે છે. સહપ્રદેશના દરેક $c$ માટે પ્રદેશમાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી $(x, y)$ એવી મળે છે કે જેથી $f(x, y) = c$ થાય,તેથી આ વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) છે.
જોકે,આ વિધેય એક-એક નથી કારણ કે $f(2, 1) = 2$ અને $f(4, 2) = 2$ થાય છે. અહીં $f(2, 1) = f(4, 2)$ છે પરંતુ $(2, 1) \neq (4, 2)$,તેથી તે એક-એક નથી.
તે એક-એક ન હોવાથી,તે બાયજેક્શન (bijection) હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સાચો જવાબ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \sin (\log (x + \sqrt {x^2 + 1}))$.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે ચકાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ શોધીએ:
$f(-x) = \sin (\log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1})) = \sin (\log (\sqrt {x^2 + 1} - x))$.
લોગેરિધમના પદને $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(-x) = \sin \left( \log \left( (\sqrt {x^2 + 1} - x) \cdot \frac{\sqrt {x^2 + 1} + x}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right) \right)$.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = \sin \left( \log \left( \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right) \right) = \sin \left( \log \left( \frac{1}{x + \sqrt {x^2 + 1}} \right) \right)$.
$\log(1/a) = -\log(a)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = \sin (-\log (x + \sqrt {x^2 + 1}))$.
$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ હોવાથી:
$f(-x) = -\sin (\log (x + \sqrt {x^2 + 1})) = -f(x)$.
તેથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1} )$
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {x^2 + 1} )$
લોગેરિધમના પદને તેની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખતા:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)(\sqrt {x^2 + 1} + x)}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$\log(1/a) = -\log(a)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\log (x + \sqrt {x^2 + 1} )$
$f(-x) = -f(x)$
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\}$.
કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$,તેથી $1 \le g(x) < 2$ થાય.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(x) > 0$ છે.
હવે,$f(g(x))$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(g(x)) = \begin{cases} -1, & g(x) < 0 \\ 0, & g(x) = 0 \\ 1, & g(x) > 0 \end{cases}$.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $g(x) > 0$ છે,તેથી તમામ $x$ માટે $f(g(x)) = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $h(x) = (f - g)(x)$.
જ્યારે $x \in \mathbb{Q}$ હોય,ત્યારે $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.
જ્યારે $x \notin \mathbb{Q}$ હોય,ત્યારે $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.
આમ,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
$h(x)$ એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: ધારો કે $h(x_1) = h(x_2)$. જો $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ હોય,તો $x_1 = x_2$. જો $x_1, x_2 \notin \mathbb{Q}$ હોય,તો $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$. આમ,$h(x)$ એ એક-એક વિધેય છે.
$h(x)$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: કોઈપણ $y \in \mathbb{R}$ માટે,જો $y \in \mathbb{Q}$ હોય,તો $h(y) = y$. જો $y \notin \mathbb{Q}$ હોય,તો $h(-y) = -(-y) = y$. આમ,દરેક $y \in \mathbb{R}$ માટે,એવો $x$ મળે કે જેથી $h(x) = y$. તેથી,તે વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(A) થી $B$ પરના વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $(n(B))^{n(A)}$ છે.
અહીં $n(A) = 5$ અને $n(B) = 8$ આપેલ છે.
તેથી,શક્ય વિધેયોની સંખ્યા $8^5$ થાય.
$8^5 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 32768$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = |x| + |x - 1|$ છે.
અંતરાલ $0 \leq x \leq 1$ માટે,આપણી પાસે $x \geq 0$ અને $x - 1 \leq 0$ છે.
તેથી,$|x| = x$ અને $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ થાય.
આ કિંમતોને વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = x + (1 - x) = 1$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં દરેક $x$ માટે $f(x) = 1$ હોવાથી,આ વિધેય એક અચળ વિધેય છે.

(B) જ્યારે $x \in (1, 2)$ હોય,ત્યારે $x - 1 > 0$ અને $x - 2 < 0$ થાય.
તેથી,વિધેય $f(x) = 2(x - 1) - 3(x - 2)$ બને છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$f(x) = 2x - 2 - 3x + 6 = -x + 4$ મળે.
હવે,વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 4) = -1$ મળે.
અહીં $f'(x) = -1 < 0$ હોવાથી,$(1, 2)$ અંતરાલમાં વિધેય $f(x)$ એકસૂત્રી ઘટતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = 3x^2 + 2x + 3 + \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \cos x \leq 1$.
તેથી,$f'(x) \geq 3x^2 + 2x + 3 - 1 = 3x^2 + 2x + 2$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 2x + 2$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(2) = 4 - 24 = -20 < 0$.
કારણ કે $x^2$ નો સહગુણક ધન $(3 > 0)$ છે અને $D < 0$ છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $3x^2 + 2x + 2 > 0$ થાય.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
$f'(x) > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું વિધેય હંમેશા એક-એક વિધેય હોય છે.
તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ કહે છે કે $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે,જે ખોટું છે કારણ કે $f'(x) > 0$ સૂચવે છે કે તે વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^3 + 5x + 1.$
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 + 5.$
દરેક $x \in R$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ થાય.
દરેક $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું વિધેય હંમેશા એક-એક હોય છે.
આગળ,આપણે ચકાસીએ કે વિધેય વ્યાપ્ત છે કે નહીં. $f(x)$ એ એકી ઘાતવાળી બહુપદી હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
ખાસ કરીને,$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ અને $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.$
$f(x)$ સતત છે અને તેનો વિસ્તાર તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) આપેલ છે $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.
પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.
અહીં $f'(x)$ એ $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી,એટલે કે તે એક-એક નથી.
હવે,વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસો:
ધારો કે $y = \frac{x}{1 + x^2}$. તો $yx^2 - x + y = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.
$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$.
અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો જ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) ધારો કે $A$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે,જ્યાં $n = 10$.
વિધેય $f: A \to A$ માટે,પ્રદેશ $A$ ના દરેક $10$ ઘટકને સહ-પ્રદેશ $A$ ના કોઈપણ $10$ ઘટક સાથે જોડી શકાય છે.
દરેક ઘટક માટે $10$ વિકલ્પો હોવાથી,કુલ ભિન્ન વિધેયોની સંખ્યા $n^n = 10^{10}$ થાય.

(A) ગણ $E$ (જેમાં $n$ ઘટકો છે) થી ગણ $F$ (જેમાં $m$ ઘટકો છે) પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $m^n$ છે.
અહીં,$n = |E| = 4$ અને $m = |F| = 2$ છે.
તેથી,કુલ વિધેયોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય.
વ્યાપ્ત વિધેય (onto function) એટલે કે સહપ્રદેશ $F$ ના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશ $E$ માં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી,તેવા વિધેયોમાં $E$ ના તમામ ઘટકો કાં તો ${1}$ પર અથવા ${2}$ પર જાય છે.
આવા કુલ $2$ અચળ વિધેયો છે: $f(x) = 1$ બધા $x \in E$ માટે અને $f(x) = 2$ બધા $x \in E$ માટે.
તેથી,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $16 - 2 = 14$ થાય.

(B) આપેલ છે $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 3x^2 - 16x + 20$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$3x^2 - 16x + 20 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6} = \frac{16 \pm 4}{6}$.
તેથી,$x_1 = 2$ અને $x_2 = \frac{10}{3}$.
કારણ કે $x < 2$ અને $x > 10/3$ માટે $f'(x) > 0$ છે,અને $2 < x < 10/3$ માટે $f'(x) < 0$ છે,વિધેય એકવિધ નથી,તેથી તે અનેક-એક છે.
ત્રિઘાત બહુપદીનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
હવે,$f(2) = 8 - 32 + 40 - 13 = 3$ ગણો.
$f(10/3) = (1000/27) - 8(100/9) + 20(10/3) - 13 = \frac{1000 - 2400 + 1800 - 351}{27} = \frac{49}{27}$ ગણો.
$f(2) \cdot f(10/3) = 3 \cdot \frac{49}{27} = \frac{49}{9} > 0$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
$f(2) > 0$ અને $f(10/3) > 0$ હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર એક જ વાર છેદે છે. આમ,તેને માત્ર $1$ વાસ્તવિક બીજ છે.
તેથી,વિધેય અનેક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(D) વિધેય $f: R \to R$ વ્યાપ્ત હોય જો તેનો વિસ્તાર $R$ હોય. બેકી ઘાતવાળી બહુપદી કે જેનો અગ્ર સહગુણક ધન હોય તેનો વિસ્તાર $[c, \infty)$ હોય છે,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
$f(x) = x^3 + x + 1$ માટે,$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$,તેથી તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જે તેને એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્ટિવ) બનાવે છે.
$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$ માટે,વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
$f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ માટે,ઘાત એકી છે,તેથી તેનો વિસ્તાર $R$ છે (વ્યાપ્ત).
જોકે,$f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$. વિવેચક $D = 16 - 4(3)(-1) = 28 > 0$,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે વિધેય એકવિધ નથી અને તેથી તે એક-એક નથી.
તેથી,$f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ વ્યાપ્ત છે પરંતુ એક-એક નથી.

(D) જે વિધેય બીજગણિતીય (algebraic) ન હોય તેને ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય કહેવામાં આવે છે.
બીજગણિતીય વિધેયો તે છે જેમને બહુપદી સહગુણકો સાથેના બહુપદી સમીકરણના મૂળ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ત્રિકોણમિતીય,ઘાતાંકીય અથવા લઘુગણકીય પદો ધરાવતા વિધેયો સામાન્ય રીતે ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$f(x) = 5 \sin \sqrt{x}$ માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો સમાવેશ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ માં,$f(x) = \frac{2 \sin 3x}{x^2 + 2x - 1}$ માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો સમાવેશ થાય છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$f(x) = (x^2 + 3) \cdot 2^x$ માં ઘાતાંકીય વિધેયનો સમાવેશ થાય છે.
આ તમામ વિધેયો બિન-બીજગણિતીય હોવાથી,તે બધા ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેયો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $f(x)$ નો પ્રદેશ $x-2 \ge 0$ અને $4-x \ge 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $x \in [2,4]$ આપે છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,ધારો કે $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = (x-2) + (4-x) + 2\sqrt{(x-2)(4-x)} = 2 + 2\sqrt{-x^2+6x-8}$.
પદ $-x^2+6x-8$ ની મહત્તમ કિંમત $x=3$ આગળ $1$ મળે છે. તેથી,$y^2 \in [2, 4]$,એટલે કે $y \in [\sqrt{2}, 2]$.
$f(x)$ એક-એક હોવા માટે,વિધેય એકવિધ (monotonic) હોવું જોઈએ. વિધેય $f(x)$ એ $[2,3]$ પર વધતું અને $[3,4]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $[2,3]$ અથવા $[3,4]$ પર એક-એક છે.
બંને અંતરાલ $[2,3]$ અને $[3,4]$ પર,વિધેયનો વિસ્તાર $[\sqrt{2}, 2]$ છે.
આમ,$f(x)$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોય તે માટે,$X$ એ $[2,3]$ અથવા $[3,4]$ હોઈ શકે છે,અને $Y$ એ $[\sqrt{2}, 2]$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + \operatorname{sgn}(e^{-x}) + 2$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$\operatorname{sgn}(e^{-x}) = 1$ થાય.
તેથી,$f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + 1 + 2 = 3^{-|x|} - 3^x + 3$.
કિસ્સો $1$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $f(x) = 3^x - 3^x + 3 = 3$.
બધા $x < 0$ માટે $f(x) = 3$ હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે,તેથી તે એક-એક નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $f(x) = 3^{-x} - 3^x + 3$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to -\infty$,અને $x = 0$ આગળ,$f(0) = 3^0 - 3^0 + 3 = 3$.
$x \ge 0$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 3]$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$f$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 3]$ મળે છે.
વિસ્તાર $(-\infty, 3] \neq R$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x)$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
ચાલો $f(x)$ નો વિસ્તાર શોધીએ:
$f(x)^2 = (|\sin x| + |\cos x|)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2|\sin x \cos x| = 1 + |\sin 2x|$.
કારણ કે $0 \le |\sin 2x| \le 1$,તેથી $1 \le f(x)^2 \le 2$,જેનો અર્થ છે કે $1 \le f(x) \le \sqrt{2}$.
હવે,$h(x) = g(f(x)) = [f(x)]$.
કારણ કે $1 \le f(x) \le \sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી $[f(x)]$ ની કિંમત તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા $1$ રહે છે.
આમ,$h(x) = 1$,જે એક અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય આવર્તી હોય છે,પરંતુ તેનું મૂળભૂત આવર્તમાન વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે તે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $T > 0$ માટે પુનરાવર્તિત થાય છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = 5x - 3\cos x - 4\sin x$.
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 5 + 3\sin x - 4\cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a\sin x + b\cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$3\sin x - 4\cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + (-4)^2}, \sqrt{3^2 + (-4)^2}] = [-5, 5]$ છે.
તેથી,$f'(x) = 5 + (3\sin x - 4\cos x) \geq 5 - 5 = 0$.
કારણ કે $f'(x) \geq 0$ તમામ $x \in R$ માટે છે અને $f'(x)$ કોઈ પણ અંતરાલ પર શૂન્ય નથી,તેથી $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જેમ $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ અને જેમ $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$.
વિધેય સતત અને ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્ટિવ) છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.
આ વિધેયને $f(x) = \frac{e^x + 1 - 2}{e^x + 1} = 1 - \frac{2}{e^x + 1}$ તરીકે લખી શકાય.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલિત શોધીએ: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(e^x + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(e^x + 1)^{-2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$.
બધા $x \in R$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિસ્તાર જોઈએ. જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $f(x) \rightarrow 1$. જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $f(x) \rightarrow -1$. વિધેય સતત અને ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે.
તેથી,આ વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(B) આપણને શરત $|f(\alpha) - \alpha| \leqslant 1$ દરેક $\alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે આપેલી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(\alpha) \in \{\alpha - 1, \alpha, \alpha + 1\} \cap \{1, 2, 3, 4\}$.
$\alpha = 1$ માટે: $f(1) \in \{1-1, 1, 1+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{0, 1, 2\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2\}$. ($2$ વિકલ્પો)
$\alpha = 2$ માટે: $f(2) \in \{2-1, 2, 2+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3\}$. ($3$ વિકલ્પો)
$\alpha = 3$ માટે: $f(3) \in \{3-1, 3, 3+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{2, 3, 4\}$. ($3$ વિકલ્પો)
$\alpha = 4$ માટે: $f(4) \in \{4-1, 4, 4+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{3, 4\}$. ($2$ વિકલ્પો)
દરેક $\alpha$ માટેની પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$ થાય.

(B) આપેલ શરત $|f(x) - f(y)| \geqslant |e^x - e^y|$ છે,જ્યાં $x, y \in R$.
ધારો કે કોઈ $x \neq y$ માટે $f(x) = f(y)$ છે.
તો $|f(x) - f(y)| = 0$ થાય.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને $0 \geqslant |e^x - e^y|$ મળે.
માનાંક હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $|e^x - e^y| = 0$,જેનો અર્થ છે $e^x = e^y$.
ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ એક-એક હોવાથી,$e^x = e^y$ નો અર્થ $x = y$ થાય છે.
આ આપણી ધારણા $x \neq y$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,$f(x)$ એ એક-એક (one-one) વિધેય છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $f: A \to B$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે જ્યાં $|A| = 7$ અને $|B| = 3$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ના બરાબર ત્રણ ઘટકો $y_2 \in B$ પર જાય છે.
આ $3$ ઘટકોને $7$ માંથી પસંદ કરવાની રીતો $^7C_3$ છે.
હવે,$A$ ના બાકીના $4$ ઘટકો $B$ ના બાકીના $2$ ઘટકો (એટલે કે ${y_1, y_3}$) પર એવી રીતે મેપ થવા જોઈએ કે જેથી વિધેય વ્યાપ્ત બને.
વિધેય વ્યાપ્ત બને તે માટે,$y_1$ અને $y_3$ બંને બાકીના $4$ ઘટકોમાંથી ઓછામાં ઓછા એક ઘટક દ્વારા મેપ થવા જોઈએ.
$4$ ઘટકોના ગણથી $2$ ઘટકોના ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી (એટલે કે માત્ર એક જ ઘટક પર મેપ થાય છે) તેની સંખ્યા $^2C_1 = 2$ છે.
આમ,બાકીના $4$ ઘટકોથી ${y_1, y_3}$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ છે.
તેથી,આવા વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $^7C_3 \times 14 = 14(^7C_3)$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{ax^2 + ax + b}{ax + b}$.
$f$ એ તમામ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,છેદ $ax + b$ એ કોઈ પણ $x \in R$ માટે શૂન્ય ન હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $a = 0$ અને $b \neq 0$.
વિધેયમાં $a = 0$ મૂકતા,આપણને $f(x) = \frac{0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + b}{0 \cdot x + b} = \frac{b}{b} = 1$ મળે છે.
તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$ હોવાથી,આ વિધેય એક અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય પ્રદેશના દરેક ઘટકને સહ-પ્રદેશના એક જ ઘટક સાથે જોડે છે,તેથી તે અનેક-એક વિધેય છે.
આમ,$f$ એ અનેક-એક વિધેય છે.

(A) દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$. જો $A$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો શાંત ગણ હોય,તો વિધેય $f: A \to A$ એક-એક હોય તો અને તો જ તે વ્યાપ્ત હોય છે (પીજનહોલ સિદ્ધાંત મુજબ). તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.
$B$. મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,જો સતત વિધેય $x_1$ અને $x_2$ વચ્ચે નિશાની બદલે,તો ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક બીજ હોય છે. જોકે,તે એકી સંખ્યામાં બીજ હોવાની ખાતરી આપતું નથી; જો વિધેય અક્ષને ઘણી વખત છેદે તો બેકી સંખ્યામાં પણ બીજ હોઈ શકે.
$C$. જો $A$ અનંત ગણ હોય (દા.ત.,$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ જ્યાં $f(x) = x + 1$),તો વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી. તેથી,આ ખોટું છે.
$D$. સ્થાનિક મહત્તમ અને વૈશ્વિક ન્યૂનતમ એક જ બિંદુ પર હોઈ શકે નહીં સિવાય કે વિધેય અચળ હોય,જે સ્થાનિક મહત્તમ/ન્યૂનતમની વ્યાખ્યા સાથે વિરોધાભાસી છે. તેથી,આ ખોટું છે.
તેથી,સાચું વિધાન $A$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = x|x| + x^3|x|$.
આપણે તેને $f(x) = |x|(x + x^3)$ તરીકે લખી શકીએ.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$. તેથી,$f(x) = x(x + x^3) = x^2 + x^4$.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$. તેથી,$f(x) = -x(x + x^3) = -x^2 - x^4$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} x^4 + x^2, & x \geq 0 \\ -(x^4 + x^2), & x < 0 \end{cases}$.
$x \geq 0$ માટે,$f'(x) = 4x^3 + 2x > 0$ જ્યારે $x > 0$. $f(0) = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x \geq 0$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = -(4x^3 + 2x) > 0$ જ્યારે $x < 0$. $f(0) = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x < 0$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
વિધેય તેના સમગ્ર પ્રદેશ $R$ પર ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તે એક-એક વિધેય છે.
જેમ $x \to \infty, f(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty, f(x) \to -\infty$. $f(x)$ સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે.
વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(A) વિધેય $f: A \to B$ એક-એક (injective) કહેવાય જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ થાય. તે વ્યાપ્ત (surjective) કહેવાય જો તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ જેટલો હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $f: N \to N$,$f(x) = 2x + 3$.
એક-એક: $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$. તેથી,તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: $y \in N$ માટે,$2x + 3 = y \implies x = \frac{y-3}{2}$. જો $y=4$ લઈએ,તો $x = 0.5 \notin N$. તેથી,તે વ્યાપ્ત નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: $f: R \to R$,$f(x) = \frac{4x+3}{5}$. આ એક સુરેખ વિધેય છે,જે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) બંને છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $f(x) = x^3 - x$. $f(0) = 0$,$f(1) = 0$,$f(-1) = 0$. અહીં $f(0) = f(1)$ હોવાથી,તે એક-એક નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $f(x) = \ln(|x| + 1)$. $f(1) = \ln(2)$,$f(-1) = \ln(2)$. અહીં $f(1) = f(-1)$ હોવાથી,તે એક-એક નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{x^2} + \cos x$ છે.
કારણ કે $f(-x) = e^{(-x)^2} + \cos(-x) = e^{x^2} + \cos x = f(x)$,તેથી આ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે.
$R$ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ યુગ્મ વિધેય માટે,$f(x) = f(-x)$ દરેક $x \neq 0$ માટે થાય છે,જે સૂચવે છે કે વિધેય અનેક-એક છે.
હવે,આપણે વિધેયનો વિસ્તાર તપાસીએ.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$.
કારણ કે $e^{x^2} \ge 1$ અને $\cos x \ge -1$,તેથી $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x=0$ આગળ $2$ છે.
વિધેયનો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ હોવાથી,વિધેય અંતઃક્ષેપ છે.
તેથી,$f$ એ અનેક-એક અને અંતઃક્ષેપ વિધેય છે.

(C) જો $f(-x) = f(x)$ હોય તો વિધેય $f(x)$ ને યુગ્મ વિધેય કહેવાય છે.
ચાલો વિકલ્પ $C$ તપાસીએ:
$f(x) = \frac{x}{2^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x}{2^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x}{\frac{1}{2^x} - 1} - \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x \cdot 2^x}{1 - 2^x} - \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{x \cdot 2^x}{2^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$
અહીં $\frac{x \cdot 2^x}{2^x - 1} = \frac{x(2^x - 1 + 1)}{2^x - 1} = x + \frac{x}{2^x - 1}$ હોવાથી,
$f(-x) = x + \frac{x}{2^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{2^x - 1} + \frac{x}{2} + 1 = f(x)$.
આમ,$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
આપણે વિધેય $h(x) = (f - g)(x) = f(x) - g(x)$ શોધવાનું છે.
કોઈપણ $x \in \mathbb{Q}$ માટે,$h(x) = f(x) - g(x) = x - x = 0$.
કોઈપણ $x \notin \mathbb{Q}$ માટે,$h(x) = f(x) - g(x) = 0 - 0 = 0$.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $h(x) = 0$ થાય છે.
આ એક અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય એ એક-એક નથી (કારણ કે $h(1) = h(2) = 0$) અને વ્યાપ્ત પણ નથી (કારણ કે તેનો વિસ્તાર ${0}$ છે,જે સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ જેટલો નથી).
તેથી,વિધેય $(f - g)$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + \cos x$.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 2 - \sin x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \sin x \le 1$,તેથી $1 \le 2 - \sin x \le 3$.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
વિકલન હંમેશા ધન હોવાથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે લક્ષ તપાસીએ: $\lim_{x \to \infty} (2x + \cos x) = \infty$ અને $\lim_{x \to -\infty} (2x + \cos x) = -\infty$.
$f(x)$ એ સતત વિધેય હોવાથી અને તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.