Type of Functions based on Mapping Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિધેય,$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x + 4$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = 2(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{1}{2}) + 4$
$f(x) = 2(\sin 2x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{6}) + 4$
$f(x) = 2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) + 4$.
વિધેય $f(x) = \sin(\theta)$ ત્યારે એક-એક હોય છે જ્યારે તેનો ખૂણો $\theta$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોય.
તેથી,$f(x)$ એક-એક હોવા માટે:
$-\frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}$
બધા પદોમાં $\frac{\pi}{6}$ ઉમેરતા:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$-\frac{2\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3}$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$.
આમ,વિધેય $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ અંતરાલમાં એક-એક છે.

(D) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $B = \{x \in Z \mid x^{2} - 5x + 6 = 0\}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - 5x + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 2)(x - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$ અથવા $x = 3$.
આમ,$B = \{2, 3\}$.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે અને ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \binom{m}{k} k^{n}$ છે.
અહીં $n = 5$ અને $m = 2$ હોવાથી,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^{n} - 2 = 2^{5} - 2$ થશે.
$2^{5} - 2 = 32 - 2 = 30$.
તેથી,વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $30$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$n(A) = 4$ અને $n(B) = 5$.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય (injective mapping) ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો $A$ નો દરેક ઘટક $B$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ સુધીના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$ છે (જ્યાં $n \ge m$).
અહીં,$n = 5$ અને $m = 4$ છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ જ્યાં $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ બેકી છે} \\ 0, & n \text{ એકી છે} \end{cases}$ છે.
$1$. એક-એક (Injective) ચકાસણી: જો $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ હોય તો વિધેય એક-એક કહેવાય. ધારો કે એકી પૂર્ણાંકો $n_1 = 1$ અને $n_2 = 3$ છે. તો $f(1) = 0$ અને $f(3) = 0$ મળે છે. અહીં $f(1) = f(3)$ છે પરંતુ $1 \neq 3$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક વિધેય છે).
$2$. વ્યાપ્ત (Surjective) ચકાસણી: જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ $n \in Z$ એવું મળે કે જેથી $f(n) = y$ થાય,તો વિધેય વ્યાપ્ત કહેવાય. કોઈપણ પૂર્ણાંક $y$ માટે,જો આપણે $n = 2y$ લઈએ (જે હંમેશા બેકી સંખ્યા છે),તો $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ મળે છે. આમ,સહપ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 2x & : x > 3 \\ x^2 & : 1 < x \leq 3 \\ 3x & : x \leq 1 \end{cases}$ છે.
$f(-1) + f(2) + f(4)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલી શરતોના આધારે દરેક પદની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $f(-1)$ માટે,કારણ કે $-1 \leq 1$,આપણે ત્રીજી શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ માટે,કારણ કે $1 < 2 \leq 3$,આપણે બીજી શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ માટે,કારણ કે $4 > 3$,આપણે પ્રથમ શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) બે ગણ વચ્ચે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય (bijection) ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો બંને ગણના ઘટકોની સંખ્યા સમાન હોય.
અહીં ગણ $x$ માં $7$ ઘટકો છે અને ગણ $y$ માં $8$ ઘટકો છે,તેથી તેમની સંખ્યા સમાન નથી.
તેથી,$x$ થી $y$ પર કોઈ પણ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહીં.
આમ,એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x > 3 \\ x^2, & 1 < x \leq 3 \\ 3x, & x \leq 1 \end{array}\right.$ છે.
$f(-2) + f(3) + f(4)$ શોધવા માટે,દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$1$. $f(-2)$ માટે: $-2 \leq 1$ હોવાથી,$f(x) = 3x$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(-2) = 3(-2) = -6$.
$2$. $f(3)$ માટે: $1 < 3 \leq 3$ હોવાથી,$f(x) = x^2$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(3) = (3)^2 = 9$.
$3$. $f(4)$ માટે: $4 > 3$ હોવાથી,$f(x) = 2x$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $f(-2) + f(3) + f(4) = -6 + 9 + 8 = 11$.

(C) આપેલ વિધેય $f: N \rightarrow N$ એ $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & n \text{ એકી છે} \\ \frac{n}{2} & n \text{ બેકી છે} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: $n=1$ (એકી) અને $n=2$ (બેકી) લો.
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$.
$f(2) = \frac{2}{2} = 1$.
અહીં $f(1) = f(2)$ છે પરંતુ $1 \neq 2$,તેથી વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે એવું $n \in N$ શોધવું પડે કે જેથી $f(n) = y$.
જો $y$ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો આપણે $n = 2y$ (જે બેકી છે) લઈ શકીએ. ત્યારે $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$.
દરેક $y \in N$ માટે,એવું $n \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(n) = y$,તેથી વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 2^4 = 16$ છે.
વ્યાપ્ત વિધેય એટલે કે $B$ ના દરેક ઘટક માટે $A$ માં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી તે માત્ર અચળ વિધેયો છે: $f(x) = a$ બધા $x \in A$ માટે અને $f(x) = b$ બધા $x \in A$ માટે.
આવા $2$ અચળ વિધેયો છે.
વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $= 16 - 2 = 14$.
વ્યાપ્ત વિધેયની સંભાવના $= \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

(D) આપેલ છે કે,$f: R \rightarrow R$ અને $f(x)=x^{4}$.
$f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_{1}) = f(x_{2})$ પરથી $x_{1} = x_{2}$ મળવું જોઈએ.
અહીં,$x_{1}^{4} = x_{2}^{4} \Rightarrow x_{1} = \pm x_{2}$.
ઉદાહરણ તરીકે,$f(1) = 1^{4} = 1$ અને $f(-1) = (-1)^{4} = 1$.
કારણ કે $f(1) = f(-1)$ પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી $f$ એક-એક નથી.
$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બધા $x \in R$ માટે $x^{4} \geq 0$ હોવાથી,વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે.
વિસ્તાર $[0, \infty) \neq R$ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ છે,$|A| = m$ અને $|B| = n$.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!} = 2520$ છે.
$2520$ ને $n$ થી શરૂ કરીને $(n-m+1)$ સુધીના ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવતા:
$2520 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$.
આ $^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ ને સમાન છે.
$^nP_m$ ની સરખામણી $^7P_5$ સાથે કરતા,આપણને $n = 7$ અને $m = 5$ મળે છે.
આમ,$m = 5$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$. પ્રદેશ $a^2 - x^2 \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,તેથી $x \in [-|a|, |a|]$ ($x=0$ સિવાય).
$x \in (0, |a|]$ માટે,$f(x) = \frac{a}{b} + \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$.
ધારો કે $g(x) = \frac{a^2}{x^2} - 1$. જેમ $x$ એ $0$ થી $|a|$ સુધી વધે છે,તેમ $g(x)$ એ $\infty$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
આમ,$f(x)$ તેના પ્રદેશના અંતરાલો પર ચુસ્તપણે એકવિધ વિધેય છે.
વિધેય તેના પ્રદેશ પર ચુસ્તપણે એકવિધ હોવાથી,તે એક-એક છે.
વિસ્તાર માટે,જેમ $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to |a|$,$f(x) = \frac{a^2}{b|a|} = \frac{|a|}{b}$.
વિધેય તેના સહપ્રદેશમાં તમામ વાસ્તવિક કિંમતો આવરી લેતું હોવાથી,તે વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \log \left( \frac{2x^2 - 3}{x} + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$.
વિધેય અયુગ્મ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \log \left( \frac{2(-x)^2 - 3}{-x} + \sqrt{\frac{4(-x)^4 - 11(-x)^2 + 9}{|-x|}} \right)$
$f(-x) = \log \left( -\left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$
હવે,$f(x) + f(-x) = \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} + \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} - \frac{2x^2 - 3}{x} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)^2 - \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right)^2 \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|^2} - \frac{4x^4 - 12x^2 + 9}{x^2} \right)$
કારણ કે $|x|^2 = x^2$:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9 - (4x^4 - 12x^2 + 9)}{x^2} \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = \log(1) = 0$
આમ,$f(x) + f(-x) = 0$ હોવાથી,આ વિધેય એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$.
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1 - e^x} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x e^x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$.
આપણે $\frac{x e^x}{e^x - 1}$ ને $\frac{x(e^x - 1 + 1)}{e^x - 1} = x + \frac{x}{e^x - 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
અહીં $f(-x) = f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય એક યુગ્મ વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = x - [x] + 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ કિંમત $f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = \{x\} + 3$ મળે છે.
અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ એ $1$ ના મૂળભૂત આવર્તમાન સાથેનું આવર્તી વિધેય છે.
કોઈપણ આવર્તી વિધેયમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી તેના આવર્તમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $f(x) = \{x\} + 3$ પણ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A-III, B-VI, C-II, D-V) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x+4 & \text{માટે } x < -4 \\ 3x+2 & \text{માટે } -4 \leq x < 4 \\ x-4 & \text{માટે } x \geq 4 \end{cases}$
$(A)$ $f(-5) + f(-4) = (-5+4) + (3(-4)+2) = -1 + (-12+2) = -1 - 10 = -11$. તેથી,$(A)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $f(|f(-8)|) = f(|-8+4|) = f(|-4|) = f(4) = 4-4 = 0$. તેથી,$(B)$ એ $(vi)$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $f(f(-7) + f(3)) = f((-7+4) + (3(3)+2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8-4 = 4$. તેથી,$(C)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $f(f(f(f(0)))) + 1 = f(f(f(3(0)+2))) + 1 = f(f(f(2))) + 1 = f(f(3(2)+2)) + 1 = f(f(8)) + 1 = f(8-4) + 1 = f(4) + 1 = (4-4) + 1 = 1$. તેથી,$(D)$ એ $(v)$ સાથે જોડાય છે.

(A) આપણે વિધેય $f(x)$ નું ત્રણ અંતરાલોમાં વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $-3 < x \leq -1$ માટે,$f(x) = [x]$. કારણ કે $x \leq -1$,તેથી $[x] \leq -1$,એટલે કે $f(x) < 0$.
$2$. $-1 < x < 1$ માટે,$f(x) = |x|$. નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in (-1, 1)$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય.
$3$. $1 \leq x < 3$ માટે,$f(x) = |[x]|$. કોઈપણ પૂર્ણાંકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $\geq 0$ હોવાથી,તમામ $x \in [1, 3)$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય.
જ્યાં $f(x) \geq 0$ હોય તેવા અંતરાલોને જોડતા,આપણને $(-1, 1) \cup [1, 3) = (-1, 3)$ મળે છે.
આમ,માંગેલ ગણ $(-1, 3)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - (-1)^x$ જ્યાં $x \in Z$.
કિસ્સો $1$: જો $x$ યુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k$ કોઈ $k \in Z$ માટે.
તો $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k - 1$.
કિસ્સો $2$: જો $x$ અયુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k+1$ કોઈ $k \in Z$ માટે.
તો $f(2k+1) = (2k+1) - (-1)^{2k+1} = 2k+1 - (-1) = 2k+2$.
એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. જો $x_1$ યુગ્મ અને $x_2$ અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 + 2 \implies 2(k_1 - k_2) = 3$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. જો બંને યુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 - 1 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 + 2 = 2k_2 + 2 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે: વિસ્તારમાં તમામ અયુગ્મ સંખ્યાઓ (યુગ્મ ઇનપુટથી) અને તમામ યુગ્મ સંખ્યાઓ (અયુગ્મ ઇનપુટથી) નો સમાવેશ થાય છે. દરેક પૂર્ણાંક $y \in Z$ કાં તો યુગ્મ અથવા અયુગ્મ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) વિધાન-$I$: વિધેય $f: A \rightarrow B$ એક-એક (injective) છે જો $A$ ના ભિન્ન ઘટકોના $B$ માં ભિન્ન પ્રતિબિંબ હોય. આ વ્યાખ્યા $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ ને સમાન છે. આપેલ વિધાન $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ એ $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ નું પ્રતિ-વિધાન છે,જે વિધેયની વ્યાખ્યા છે,એક-એક વિધેયની નહીં. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$: સંબંધ $f: A \rightarrow B$ એ વિધેય છે જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય. શરત $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ એ એક-એક વિધેય સૂચવે છે,વિધેયની સામાન્ય વ્યાખ્યા નથી. વિધેયમાં અલગ-અલગ ઇનપુટના સમાન આઉટપુટ હોઈ શકે છે (અનેક-એક). તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.
આમ,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.
એક-એક ચકાસણી માટે: $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ અને $f(0) = 0^3 - 0 = 0$. અહીં $f(1) = f(0)$ છે પરંતુ $1 \neq 0$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસણી માટે: $f(x)$ એ એકી ઘાત ધરાવતું બહુપદી વિધેય છે. જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $f(x) \rightarrow \infty$ અને જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેય સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો જ છે. તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f:[a, \infty) \rightarrow [b, \infty)$ જ્યાં $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ છે.
દ્વિઘાત વિધેય અંતરાલ $[a, \infty)$ પર એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijection) હોવા માટે,તે એકવિધ (monotonic) હોવું જોઈએ.
વિકલન કરતા $f'(x) = 4x - 3$ મળે.
$f'(x) = 0$ લેતા $x = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,વિધેય $x \ge \frac{3}{4}$ માટે વધતું વિધેય છે,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવાથી,વિસ્તાર $[b, \infty)$ એ $[a, \infty)$ ના પ્રતિબિંબ જેટલો હોવો જોઈએ.
$b = f(a) = f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 5 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{31}{8}$.
અંતે,$3a + 2b = 3\left(\frac{3}{4}\right) + 2\left(\frac{31}{8}\right) = \frac{9}{4} + \frac{31}{4} = \frac{40}{4} = 10$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ છે,જ્યાં $a > 1$ અને $0 < b < 1$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = a^x$. $a > 1$ હોવાથી,જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to 0$,અને જેમ $x \to 0^-$,તેમ $f(x) \to 1$. તેથી,આ ભાગનો વિસ્તાર $(0, 1)$ છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = b^x$. $0 < b < 1$ હોવાથી,$x = 0$ માટે $f(0) = b^0 = 1$,અને જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to 0$. તેથી,આ ભાગનો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.
આ બંનેને જોડતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ મળે છે.
$1$. એક-એક ચકાસણી: કોઈપણ $y \in (0, 1)$ માટે,$x$ ની બે કિંમતો મળે છે,એક ઋણ અને એક ધન,જેથી $f(x) = y$ થાય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 0.5$ હોય,તો $x_1 < 0$ મળે જેથી $a^{x_1} = 0.5$ અને $x_2 > 0$ મળે જેથી $b^{x_2} = 0.5$. તેથી,$f(x)$ એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: સહપ્રદેશ $[0, 1]$ આપેલ છે. વિસ્તાર $(0, 1]$ હોવાથી,કિંમત $0$ વિસ્તારમાં નથી (કારણ કે તમામ $x$ માટે $a^x > 0$ અને $b^x > 0$). તેથી,$f(x)$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f(x)$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપેલ છે $f(x) = | 2x + 1 | + | x - 2 |$.
આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -(2x+1) - (x-2) = -3x + 1, & x < -\frac{1}{2} \\ (2x+1) - (x-2) = x + 3, & -\frac{1}{2} \leq x < 2 \\ (2x+1) + (x-2) = 3x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
$x = -\frac{1}{2}$ આગળ,$f(-\frac{1}{2}) = 0 + |-\frac{1}{2} - 2| = \frac{5}{2}$.
$x = 2$ આગળ,$f(2) = |4+1| + 0 = 5$.
વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{1}{2}$ આગળ $\frac{5}{2}$ છે.
વિધેય સતત વધતું કે ઘટતું ન હોવાથી,તે એક-એક નથી.
સહપ્રદેશ $[ \frac{5}{2}, \infty )$ છે અને વિધેયનો વિસ્તાર પણ $[ \frac{5}{2}, \infty )$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પરંતુ એક-એક નથી.

(D) ધારો કે $n(A) = 5$ અને $n(B) = 7$.
$A$ થી $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 7^5$ દ્વારા મળે છે.
જો $A$ નો દરેક ઘટક $B$ ના અલગ ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય,તો તે એક-એક વિધેય છે. એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(7, 5) = { }^7 P_5$ છે.
જો વિધેય એક-એક ન હોય,તો તે અનેક-એક વિધેય છે.
તેથી,અનેક-એક વિધેયોની સંખ્યા = (કુલ વિધેયોની સંખ્યા) - (એક-એક વિધેયોની સંખ્યા) = $7^5 - { }^7 P_5$.

(C) વિધેય $f: A \rightarrow B$ એ $f(x)=x^2-3x+2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
બાયજેક્શન બનવા માટે,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવું જોઈએ.
વિકલન $f'(x) = 2x - 3$ છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,શિરોબિંદુ $x = \frac{3}{2}$ મળે છે.
વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9-18+8}{4} = -\frac{1}{4}$ છે.
વિધેય એક-એક બને તે માટે,આપણે પ્રદેશને $A = \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$ અથવા $A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ સુધી મર્યાદિત કરવો પડે.
વિધેય વ્યાપ્ત બને તે માટે,સહપ્રદેશ $B$ એ વિસ્તાર $\left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ અને $C$ યોગ્ય છે. સામાન્ય રીતે,આવા પ્રશ્નોમાં શિરોબિંદુથી શરૂ થતો અંતરાલ પસંદ કરવામાં આવે છે. તેથી,$A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ અને $B = \left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ એ એક માન્ય બાયજેક્શન છે.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^n$ છે.
જો ગણના દરેક ઘટકનું પ્રતિબિંબ અનન્ય હોય,તો તે વિધેય એક-એક (one-one) કહેવાય છે. $n$ ઘટકો માટે,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $n!$ થાય છે.
તેથી,જે વિધેયો એક-એક નથી તેની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ વિધેયોમાંથી એક-એક વિધેયો બાદ કરવા પડે.
એક-એક ન હોય તેવા વિધેયોની સંખ્યા $= n^n - n!$.

(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય (injection) ત્યારે જ શક્ય છે જો $A$ ના ઘટકોની સંખ્યા $B$ ના ઘટકોની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય,એટલે કે $m \le n$.
જો $n < m$ હોય,તો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડવું અશક્ય છે,તેથી એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $0$ થાય.
જો $n \ge m$ હોય,તો આપણે $B$ માંથી $m$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરવા પડે અને તેમને $A$ ના $m$ ઘટકો સાથે જોડવા માટે ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવવા પડે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\begin{cases} ^nP_m, & n \ge m \\ 0, & n < m \end{cases}$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
કારણ કે વિધેય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત નથી જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય,તેથી $x - 2 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = 2$. આમ,પ્રદેશ $R - \{2\}$ છે,તેથી $l = 2$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,ધારો કે $y = \frac{x+3}{x-2}$.
તેથી $y(x - 2) = x + 3$,જે $xy - 2y = x + 3$ આપે છે.
$x$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x(y - 1) = 2y + 3$ મળે છે,અથવા $x = \frac{2y+3}{y-1}$.
વિધેય $y = 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી વિસ્તાર $R - \{1\}$ છે. આમ,$m = 1$.
આપણે $3l - 2m$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,$3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4$.

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = 5x^4 + 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$5x_1^4 + 2 = 5x_2^4 + 2$
$x_1^4 = x_2^4$
$x_1 = \pm x_2$.
અહીં $f(1) = 5(1)^4 + 2 = 7$ અને $f(-1) = 5(-1)^4 + 2 = 7$ મળે છે,તેથી $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$.
તેથી,$f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે:
દરેક $x \in R$ માટે $x^4 \geq 0$ હોવાથી,$5x^4 \geq 0$ થાય.
આમ,$f(x) = 5x^4 + 2 \geq 2$.
વિધેયનો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
એક-એક માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$x_1^2 - 2x_1 - 3 = x_2^2 - 2x_2 - 3$
$x_1^2 - x_2^2 - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ અથવા $x_1 + x_2 = 2$.
કારણ કે $x_1 + x_2 = 2$ અલગ કિંમતો માટે શક્ય છે (દા.ત.,$f(0) = -3$ અને $f(2) = -3$),તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y = x^2 - 2x - 3$.
$y = (x-1)^2 - 4$
$(x-1)^2 = y + 4$
કારણ કે $(x-1)^2 \geq 0$,તેથી $y + 4 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $y \geq -4$.
$f$ નો વિસ્તાર $[-4, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ છે,$f(x)=x|x|$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$
$1$. એક-એક (one-one) ચકાસણી:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1, x_2 \geq 0$ હોય,તો $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (કારણ કે $x \geq 0$).
જો $x_1, x_2 < 0$ હોય,તો $-x_1^2 = -x_2^2 \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (કારણ કે $x < 0$).
જો એક ધન અને એક ઋણ હોય,તો $f(x)$ ના ચિહ્નો અલગ હશે,તેથી $f(x_1) \neq f(x_2)$.
આમ,$f(x)$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત (onto) ચકાસણી:
કોઈપણ $y \in R$ માટે,આપણે એવું $x$ શોધી શકીએ કે જેથી $f(x) = y$.
જો $y \geq 0$ હોય,તો $x = \sqrt{y}$. જો $y < 0$ હોય,તો $x = -\sqrt{-y}$.
સહપ્રદેશ $R$ ના દરેક $y$ માટે,પ્રદેશ $R$ માં $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{x+1, 1-x, 2\}$.
આપણે વિધેયને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને સમજી શકીએ છીએ:
$x < -1$ માટે,$x+1 < 0$ અને $1-x > 2$,તેથી $f(x) = 1-x$.
$-1 \leq x \leq 1$ માટે,$x+1 \geq 0$,$1-x \geq 0$,અને આ કિંમતો તથા $2$ માંથી મહત્તમ કિંમત $2$ છે (કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $x+1 \leq 2$ અને $1-x \leq 2$ થાય છે).
$x > 1$ માટે,$x+1 > 2$ અને $1-x < 0$,તેથી $f(x) = x+1$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < -1 \\ 2, & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$.
કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $f(x) = 2$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી (ઘણા-એક છે).
કારણ કે $f(x)$ નો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) $3 \times 3$ ક્રમનો અદિશ શ્રેણિક $M$ એ $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m \in R$.
$M$ નો નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(M) = m^3$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વિધેય $f: A \rightarrow R$ એ $f(M) = m^3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(m) = m^3$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી,કોઈપણ $m_1, m_2 \in R$ માટે,$f(m_1) = f(m_2) \implies m_1^3 = m_2^3 \implies m_1 = m_2$. તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y \in R$ માટે,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $m = \sqrt[3]{y}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(m) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$. આમ,$f$ નો વિસ્તાર $R$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે. તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) છે.
$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.

(D) વિધેય $f: N \times N \rightarrow N$ એ $f(m, n) = 2^{m-1}(2n-1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(m_1, n_1) = f(m_2, n_2)$.
તેથી $2^{m_1-1}(2n_1-1) = 2^{m_2-1}(2n_2-1)$.
કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ ને અનન્ય રીતે $2^{m-1}(2n-1)$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $2n-1$ એ $k$ નો એકી ભાગ છે અને $2^{m-1}$ એ $k$ ને ભાગતી $2$ ની મહત્તમ ઘાત છે,તેથી $m_1-1 = m_2-1$ અને $2n_1-1 = 2n_2-1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $m_1 = m_2$ અને $n_1 = n_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: કોઈપણ $k \in N$ માટે,જો $k$ એકી હોય,તો $k = 2^{1-1}(2n-1)$ જ્યાં $m=1$. જો $k$ બેકી હોય,તો $k = 2^p \cdot q$ જ્યાં $q$ એકી છે,તેથી $m-1 = p$ અને $2n-1 = q$.
દરેક $k \in N$ માટે આ સ્વરૂપમાં અનન્ય રજૂઆત હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
જ્યારે $x \ge 0$,ત્યારે $|x| = x$,તેથી $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \tanh(x) + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
જ્યારે $x < 0$,ત્યારે $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = 0 + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
$f(x)$ એ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત નથી $(f(x) \neq f(-x))$,તેથી તે યુગ્મ વિધેય નથી.
$f(x)$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિત નથી $(f(-x) \neq -f(x))$,તેથી તે અયુગ્મ વિધેય નથી.
જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to 1 + 0 = 1$. જેમ $x \to -\infty$,$f(x) = \cos^3(x/2)$,જે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે.
વિધેય એકવિધ નથી અને તેનો વિસ્તાર $R$ નથી,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તે વ્યાપ્ત ન હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ હોઈ શકે નહીં. આમ,વિધેય બાયજેક્ટિવ નથી.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $B$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 2$ અને $n = n$ છે. વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^n - \binom{2}{1}(2-1)^n = 2^n - 2$ થાય.
આપેલ છે કે $2^n - 2 = 62$,તેથી $2^n = 64$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
$A$ ના બરાબર ત્રણ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $\binom{n}{3} = \binom{6}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આની ગણતરી કરતા,$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2 \cos ^3 \frac{x}{2}$ એ $R-\{0\}$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય યુગ્મ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x}-1} + \frac{-x}{2} + 2 \cos ^3 \left(-\frac{x}{2}\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(- \theta) = \cos(\theta)$,તેથી $\cos^3(-\frac{x}{2}) = \cos^3(\frac{x}{2})$.
$f(-x) = \frac{-x}{\frac{1}{e^x}-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1-e^x} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x e^x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x(e^x-1+1)}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2} = f(x)$
અહીં $f(-x) = f(x)$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એક યુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વિધેય $f: R \rightarrow R$ માટે જે $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક સુરેખ વિધેય છે. સુરેખ વિધેયો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને) હોય છે. તેથી,$A \rightarrow II$.
$(B)$ વિધેય $f: R \rightarrow R^{+} \cup \{0\}$ માટે જે $f(x)=x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,આપણે જોઈએ છીએ કે $f(-1)=f(1)=1$,તેથી તે એક-એક નથી. જોકે,દરેક $y \in R^{+} \cup \{0\}$ માટે,$x = \sqrt{y} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x)=y$,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. તેથી,$B \rightarrow IV$.
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ માટે જે $f(n)=n^2+2n+3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક છે કારણ કે $f(n_1)=f(n_2) \implies n_1^2+2n_1+3 = n_2^2+2n_2+3 \implies (n_1-n_2)(n_1+n_2+2)=0$,જેનો અર્થ છે $n_1=n_2$ માટે $n \in N$. તે વ્યાપ્ત નથી કારણ કે $f(n)=3$ માટે,$n^2+2n+3=3 \implies n(n+2)=0$,જે $n=0$ અથવા $n=-2$ આપે છે,જેમાંથી કોઈ પણ $N$ માં નથી. તેથી,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ માટે જે $f(x)=2(\cos^2 5x + \sin^2 5x) = 2(1) = 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. આ એક અચળ વિધેય છે. અચળ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. તેથી,$D \rightarrow I$.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-II, (B)-IV, (C)-III, (D)-I$ છે.

(B) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $x_1, x_2 \in [0, \infty)$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$ છે.
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{x}{1+x}$.
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$.
$x \in [0, \infty)$ માટે,આપણને $y \in [0, 1)$ મળે છે.
સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ હોવાથી,$y = 2$ જેવી કિંમતો માટે પ્રદેશમાં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{4x_1-3}{x_1-1} = \frac{4x_2-3}{x_2-1}$
$(4x_1-3)(x_2-1) = (4x_2-3)(x_1-1)$
$4x_1x_2 - 4x_1 - 3x_2 + 3 = 4x_1x_2 - 4x_2 - 3x_1 + 3$
$-4x_1 - 3x_2 = -4x_2 - 3x_1$
$x_1 = x_2$.
આમ,વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{4x-3}{x-1}$.
$y(x-1) = 4x-3$
$yx - y = 4x - 3$
$yx - 4x = y - 3$
$x(y-4) = y-3$
$x = \frac{y-3}{y-4}$.
દરેક $y \in R-\{4\}$ માટે,$x = \frac{y-3}{y-4} \in R-\{1\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આમ,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(D) આપેલ વિધેય $\sigma: N \rightarrow Z$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \\ -\frac{n-1}{2} & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \end{cases}$
કિસ્સો-$I$: જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$ લો જ્યાં $k \in N$. તેથી $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$. જેમ $k$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ લેવામાં આવે છે,તેમ $\sigma(n)$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ (બધી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) મળે છે.
કિસ્સો-$II$: જો $n$ એકી હોય,તો $n = 2k-1$ લો જ્યાં $k \in N$. તેથી $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$. જેમ $k$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ લેવામાં આવે છે,તેમ $\sigma(n)$ ની કિંમતો $0, -1, -2, \dots$ (બધી અ-ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$\sigma$ નો વિસ્તાર ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ છે.
દરેક અલગ $n \in N$ માટે $Z$ માં અલગ પૂર્ણાંક મળે છે,તેથી વિધેય એક-એક છે.
$\sigma$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $Z$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$\sigma$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(C) આપણી પાસે $f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ છે.
અંતરાલ $2 < x < 3$ માટે:
$|x-1| = x-1$ (કારણ કે $x > 1$)
$|x-2| = x-2$ (કારણ કે $x > 2$)
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ (કારણ કે $x < 3$)
તેથી,$f(x) = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$.
અંતરાલ $(2, 3)$ માં,વિધેય $f(x) = x$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(x) = x$ હોવાથી,દરેક $x \in (2, 3)$ માટે,વિસ્તાર $(2, 3)$ મળે છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક બાયજેક્શન છે.

(A) આપેલ છે,$f: Z \rightarrow Z$ જ્યાં $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{જો } x \text{ બેકી હોય} \\ 0, & \text{જો } x \text{ એકી હોય} \end{cases}$.
એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $x_1 = 1$ અને $x_2 = 3$. બંને એકી સંખ્યાઓ છે,તેથી $f(1) = 0$ અને $f(3) = 0$. અહીં $f(1) = f(3)$ છે પરંતુ $1 \neq 3$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f$ નો વિસ્તાર તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z$ છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક $y \in Z$ માટે,આપણને એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$. જો $y = 0$ હોય,તો $f(1) = 0$. જો $y \neq 0$ હોય,તો $x = 2y$ લો,જે બેકી સંખ્યા છે,તેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$. વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $(Z)$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(A) વિધેય $f(x) = x^2$ છે.
$f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$. આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ માત્ર ત્યારે જ જો $x_1, x_2$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.
$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $B$ જેટલો હોવો જોઈએ. $x \in A$ માટે $f(x) = x^2$ નો વિસ્તાર ${x^2 : x \in A}$ છે.
વિશ્લેષણ:
$(A)$ $A = B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર મેપ કરે છે. તે એક-એક છે (કારણ કે $x_1^2 = x_2^2$ અને $x_1, x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$) અને વ્યાપ્ત છે (કારણ કે કોઈપણ $y \in R^{+}$ માટે,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે). તેથી,$A \rightarrow 4$.
$(B)$ $A = R^{+}, B = R$: $f(x) = x^2$ એક-એક છે (કારણ કે $x > 0$),પરંતુ વ્યાપ્ત નથી કારણ કે $B$ માં રહેલી ઋણ કિંમતો વિસ્તાર $(R^{+})$ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી નથી. તેથી,$B \rightarrow 1$.
$(C)$ $A = R, B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ એક-એક નથી (કારણ કે $f(1) = f(-1) = 1$) પરંતુ વ્યાપ્ત છે (કારણ કે દરેક $y \in R^{+}$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $x = \pm \sqrt{y} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે). તેથી,$C \rightarrow 3$.
$(D)$ $A = B = R$: $f(x) = x^2$ એક-એક નથી (કારણ કે $f(1) = f(-1)$) અને વ્યાપ્ત પણ નથી (કારણ કે $B$ માં રહેલી ઋણ કિંમતો આવરી લેવાતી નથી). તેથી,$D \rightarrow 2$.
સાચી જોડ $A-4, B-1, C-3, D-2$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ છે.
વિધેય $f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ. પરંતુ,$f(x + \pi) = e^{2i(x+\pi)} = e^{2ix} \cdot e^{2i\pi} = e^{2ix} \cdot 1 = f(x)$. દરેક $x \in R$ માટે $f(x) = f(x+\pi)$ હોવાથી,આ વિધેય અનેક-એક છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ. $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ નો વિસ્તાર એ $1$ માનાંક ધરાવતી તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે ${z \in C : |z| = 1}$. આ ગણ $C$ નો ઉપગણ છે અને $C$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) વિધેય બાયજેક્શન ત્યારે જ કહેવાય જો તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
પ્રદેશ અને સહપ્રદેશ $A = [-1, 1]$ માટે:
$A) f(x) = x|x|$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
$B) f(x) = x^3$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
$C) f(x) = x^2$ એ બાયજેક્શન નથી. તે એક-એક નથી કારણ કે $f(1) = f(-1) = 1$. તે વ્યાપ્ત પણ નથી કારણ કે તેનો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે,જે સહપ્રદેશ $[-1, 1]$ જેટલો નથી.
$D) f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ છે.
વિધેય અચળ હોવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષ તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,અથવા અંશ એ છેદનો અચળ ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $f(x) = k$ (એક અચળાંક).
તો $\frac{ax + b}{cx + d} = k$.
$ax + b = k(cx + d) = (kc)x + kd$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = kc$ અને $b = kd$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{a}{c} = k$ અને $\frac{b}{d} = k$ (ધારો કે $c, d \neq 0$).
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,જે $ad = bc$ આપે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે વિકલ્પ $(c)$ લઈએ,એટલે કે $ad = bc$,તો $ad - bc = 0$.
જો $ad = bc$ હોય,તો $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ (જ્યાં $c, d \neq 0$).
વિધેયમાં $a = kc$ અને $b = kd$ મૂકતા:
$f(x) = \frac{(kc)x + kd}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$.
આમ,$f(x) = k$ હોવાથી,વિધેય અચળ છે.