બધા $x, y \in [0,1]$ માટે $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ નું પાલન કરતા વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

સાબિત કરો કે $f: N \rightarrow N$,જે $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{જો } x \text{ એકી હોય} \\ x-1, & \text{જો } x \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\mathbb{R}$ માં અરિક્ત ગણો છે અને $f : A \to B$ એક એક-વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય છે.
વિધાન $1$ : $f$ એક વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
વિધાન $2$ : એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય.

સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ જે $f(x) = x^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી.

ધારો કે $x$ એ $3$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી $5$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $B$ પરના એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે અને $y$ એ ગણ $A$ થી ગણ $A \times B$ પરના એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે. તો ...... .

સાબિત કરો કે $f : R \rightarrow R$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ એક-એક (injective) છે.