मान लीजिए f(x)=(x+1)^2-1,जहाँ x geq -1 है।कथन | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^2 - 1$ है,जहाँ $x \geq -1$ है।$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $y \geq -1$

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^2 - 1$ है,जहाँ $x \geq -1$ है।$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $y \geq -1$ प्राप्त होता है।$x$ के लिए हल करने पर: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है। चूँकि $f$ अंतराल $[-1, \infty)$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं क्योंकि $f$ एक वर्धमान फलन है।$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.अतः,$x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S = \{0, -1\}$ है। कथन-$1$ सत्य है।वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

मान लीजिए $f(x)=(x+1)^2-1$,जहाँ $x \geq -1$ है।
कथन-$1$: $S=\{x:f(x)=f^{-1}(x)\}=\{0, -1\}$
कथन-$2$: $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है।

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मान लीजिए $f(x)=(x+1)^2-1$,जहाँ $x \geq -1$ है।कथन-$1$: $S=\{x:f(x)=f^{-1}(x)\}=\{0, -1\}$कथन-$2$: $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है।