Inverse Function Questions in Hindi

(A) माना $y = f(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$.
अंश और हर को $a^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1}$.
अब,$y$ के पदों में $x$ के लिए हल करने पर:
$y(a^{2x} + 1) = a^{2x} - 1$
$y \cdot a^{2x} + y = a^{2x} - 1$
$1 + y = a^{2x} - y \cdot a^{2x}$
$1 + y = a^{2x}(1 - y)$
$a^{2x} = \frac{1+y}{1-y}$.
दोनों पक्षों का आधार $a$ पर लघुगणक लेने पर:
$2x = \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए $y$ को $x$ से बदलने पर:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

(C) दिया गया है कि $f(x) = 7x + 8 = y$.
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$7x = y - 8$
$x = \frac{y - 8}{7}$
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y - 8}{7}$,जिसका अर्थ है कि $f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{7}$.
दिया गया है कि $f^{-1}(12) = \frac{k}{7}$,इसलिए $x = 12$ को प्रतिलोम फलन में रखने पर:
$f^{-1}(12) = \frac{12 - 8}{7} = \frac{4}{7}$.
$\frac{4}{7}$ की तुलना $\frac{k}{7}$ से करने पर,हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ मानते हैं।
$y = \frac{4x}{5} + 3$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$y - 3 = \frac{4x}{5}$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$5(y - 3) = 4x$
$4$ से भाग देने पर:
$x = \frac{5(y - 3)}{4}$
चूंकि $x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{5(y - 3)}{4}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$f^{-1}(x) = \frac{5(x - 3)}{4}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = f(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$.
तब $y(5x - 3) = 3x + 2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $5xy - 3y = 3x + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $5xy - 3x = 3y + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(5y - 3) = 3y + 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{-1}(x) = f(x)$,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(x) = f^{-1}(x)$.
इसका अर्थ है $f(g(x)) = x$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
इसलिए,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^{2}}$.
इस मान को $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+[g(x)]^{2}}} = 1 + [g(x)]^{2}$.

(B) माना $y = f(x) = x^{3} + 5$ है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$y - 5 = x^{3}$
$x = (y - 5)^{1/3}$
चूंकि $f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = (y - 5)^{1/3}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = (x - 5)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1$ जहाँ $x \geqslant -1$ है।
चूँकि $x \geqslant -1$ के लिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x) = f^{-1}(x)$ के हल वही होंगे जो $f(x) = x$ के हल हैं।
$f(x) = x$ रखने पर:
$(x+1)^2 - 1 = x$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान $x \geqslant -1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(B) किसी फलन $f: N \rightarrow N$ का प्रतिलोम $f^{-1}$ होने के लिए,फलन का एकैकी और आच्छादक (bijection) होना आवश्यक है।
यहाँ $f(x) = x + 3$ दिया गया है,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत के बराबर होना चाहिए।
$x \in N$ के लिए $f(x) = x + 3$ का परिसर $\{4, 5, 6, \dots \}$ है।
सह-प्रांत $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}$ है।
चूँकि परिसर $\{4, 5, 6, \dots \} \neq N$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f^{-1}(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) फलन $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।
अतः,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $y(5x-3) = 3x+1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5xy - 3y = 3x + 1$ मिलता है।
$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $5xy - 3x = 3y + 1$ प्राप्त होता है।
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(5y - 3) = 3y + 1$ मिलता है।
इस प्रकार,$x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{-1}(x) = f(x)$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + 2$. मान लीजिए $y = 3x + 2$,तो $x = \frac{y - 2}{3}$ होगा।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}$,या $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}$ है।
हमें $(g \circ f^{-1})(10) = g(f^{-1}(10))$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f^{-1}(10) = \frac{10 - 2}{3} = \frac{8}{3}$ की गणना करें।
अब,इस मान को $g(x) = 6x + 5$ में प्रतिस्थापित करें:
$g\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right) + 5 = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$.
दिया गया है $y = 4x + 3$.
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - 3 = 4x$
$x = \frac{y - 3}{4}$.
चूंकि $f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ और $g(x) = x^2 - 1$।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$
$g(f(x)) = (\sin^2 2x + \cos^2 2x + 2 \sin 2x \cos 2x) - 1$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$:
$g(f(x)) = (1 + \sin 4x) - 1 = \sin 4x$।
एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि वह दिए गए डोमेन में एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) हो।
फलन $y = \sin \theta$ अंतराल $\theta \in \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में व्युत्क्रमणीय है।
यहाँ,$\theta = 4x$,इसलिए हम रखते हैं:
$\frac{-\pi}{2} \le 4x \le \frac{\pi}{2}$
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-\pi}{8} \le x \le \frac{\pi}{8}$।
अतः,$g(f(x))$ डोमेन $x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$ में व्युत्क्रमणीय है।

(B) दिया गया है $f(x) = \tan x$.
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $f(f^{-1}(y)) = y$ हो।
यहाँ,हमें $f^{-1}(1)$ ज्ञात करना है,इसलिए हम $f(x) = 1$ रखते हैं।
$\tan x = 1$.
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $x$ के मानों का समुच्चय $\{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$ है।
अतः,$f^{-1}(1) = \{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + 6$ है,जहाँ $f: R \rightarrow R$ है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।
अतः,$y = 2x + 6$ है।
$x$ को $y$ के पदों में हल करने पर:
$2x = y - 6$
$x = \frac{y - 6}{2}$
$x = \frac{y}{2} - 3$ प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y}{2} - 3$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x_{1}, x_{2} \in R$ है।
एकैकी (injective) होने के लिए,माना $f(x_{1}) = f(x_{2})$ है।
$2x_{1} + 3 = 2x_{2} + 3$
$2x_{1} = 2x_{2}$
$x_{1} = x_{2}$ है।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) होने के लिए,माना $y \in \text{सह-प्रांत } R$ है।
माना $y = f(x) = 2x + 3$ है।
$y - 3 = 2x$
$x = \frac{y-3}{2}$ है।
चूंकि प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$x = \frac{y-3}{2} \in R$ मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए $f^{-1}$ का अस्तित्व है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{3}$ है।
$f^{-1}(8)$ ज्ञात करने के लिए,हमें समीकरण $f(x) = 8$ को $x$ के लिए हल करना होगा।
$x^{3} = 8$
$x^{3} - 8 = 0$
$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$
इससे हमें वास्तविक हल के रूप में $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $R$ (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) है,इसलिए हम केवल वास्तविक मान पर विचार करेंगे।
अतः,$f^{-1}(8) = \{2\}$.

(C) हमारे पास $f(x) = |x|$ है।
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय (invertible) होने के लिए,उसका एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना आवश्यक है।
मान लीजिए $f(1) = |1| = 1$ और $f(-1) = |-1| = 1$ है।
चूंकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
क्योंकि फलन एकैकी नहीं है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) नहीं है।
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) दिया गया है कि $x \geq -1$ के लिए $f(x)=(x+1)^{2}$ है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ के ग्राफ का रेखा $y=x$ में प्रतिबिंब है,इसलिए $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) है,जिसे $f^{-1}(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = (x+1)^{2}$ है।
चूंकि $x \geq -1$,इसलिए $x+1 \geq 0$ है,अतः दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर $\sqrt{y} = x+1$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sqrt{y} - 1$ प्राप्त होता है।
$x$ और $y$ को आपस में बदलने पर,हमें $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x) = \sqrt{x} - 1$।

(B) $f^{-1}(x)$ के अस्तित्व के लिए,फलन $f(x)$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$।
$\sin^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x) = 2 - \sin^{-1} x$,जो एक ह्रासमान फलन है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$f(x) = 2 + \sin^{-1} x$,जो एक वर्धमान फलन है।
चूंकि फलन $[-1, 0]$ पर घटता है और $[0, 1]$ पर बढ़ता है,इसलिए यह $[-1, 1]$ अंतराल पर एकैकी नहीं है।
अतः,$f(x)$ अपने पूरे प्रांत $[-1, 1]$ पर व्युत्क्रमणीय नहीं है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है।
$g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
$= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$.
$= 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$.
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे दिए गए प्रांत में एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना चाहिए।
फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में एकैकी है जहाँ उसका कोण $2x$,$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के बीच स्थित हो।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में व्युत्क्रमणीय है।

(A) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1$ जहाँ $x \geq -1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ रखें।
तब $y+1 = (x+1)^2$। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $x+1 = \sqrt{y+1}$,जिससे $x = \sqrt{y+1} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है।
समीकरण $f(x) = f^{-1}(x)$ का मान $f(x) = x$ के बराबर है क्योंकि $x \geq -1$ के लिए $f$ एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$(x+1)^2 - 1 = x$।
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$।
$x^2 + x = 0$।
$x(x+1) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान $x \geq -1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(A) दिया गया है कि $g(x)$ फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ मिलता है।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{h(x)}$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{h(g(x))}$।
इस मान को $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{1 / h(g(x))} = h(g(x))$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) फलन $f(x) = (x + 2)^2 - 2$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,जहाँ $x \geq -2$ है,हम $y = f(x)$ रखते हैं।
$y = (x + 2)^2 - 2$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$y + 2 = (x + 2)^2$
चूँकि $x \geq -2$ है,इसलिए $x + 2 \geq 0$ होगा। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{y + 2} = x + 2$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$x = \sqrt{y + 2} - 2$
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = \sqrt{y + 2} - 2$ है। $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 2} - 2$

(A) दिया गया फलन $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ है।
अंश और हर को $10^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$
$1 + y = 10^{2x} - y \cdot 10^{2x}$
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$
$10^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}$
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ प्राप्त करने के लिए $y$ को $x$ से बदलने पर:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$

(C) दिया गया फलन $f:(5,10) \rightarrow (7,12)$ है,जो $f(x) = x + 2\left[\frac{x}{5}\right]$ द्वारा परिभाषित है।
$x \in (5, 10)$ के लिए,$\frac{x}{5}$ का मान $(1, 2)$ अंतराल में स्थित है।
इसलिए,महत्तम पूर्णांक फलन $\left[\frac{x}{5}\right] = 1$ होगा,सभी $x \in (5, 10)$ के लिए।
फलन की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x + 2(1) = x + 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = x + 2$ एक रैखिक फलन है,यह निरंतर वर्धमान है और इसलिए एकैकी (injective) है।
यह आच्छादक (surjective) है या नहीं,यह जांचने के लिए हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे-जैसे $x$,$5$ से $10$ तक बदलता है,$f(x)$,$5+2=7$ से $10+2=12$ तक बदलता है। अतः,परिसर $(7, 12)$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है।
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक (bijective) है,इसलिए $f^{-1}(x)$ का अस्तित्व है।
मान लीजिए $y = x + 2$,तो $x = y - 2$ होगा।
अतः,$f^{-1}(x) = x - 2$।

(B) दिया गया है,$f(x) = 5x - 3$ और $g(x) = x^2 + 3$।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = 5x - 3$।
तब $y + 3 = 5x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{y + 3}{5}$।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{5}$,इसलिए $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}$।
अब,हमें $g \circ f^{-1}(3) = g(f^{-1}(3))$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$f^{-1}(3) = \frac{3 + 3}{5} = \frac{6}{5}$ ज्ञात करें।
फिर,$g(\frac{6}{5}) = (\frac{6}{5})^2 + 3 = \frac{36}{25} + 3$।
योग करने पर: $\frac{36 + 75}{25} = \frac{111}{25}$।

(C) दिए गए फलन $f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = 3x + 2$ हैं।
$f^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = y$ है।
$3x - 4 = y \implies 3x = y + 4 \implies x = \frac{y + 4}{3}$।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$।
अब,$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$।
$g^{-1}(z)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $g(x) = z$ है।
$3x + 2 = z \implies 3x = z - 2 \implies x = \frac{z - 2}{3}$।
अतः,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$।
अंततः,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$।

(B) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$।
दिया गया है $g(x) = x + \tan x$,इसलिए $g^{\prime}(x) = 1 + \sec^2 x$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1 + \sec^2 x}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y)$ होगा।
$x = f(y)$ का मान समीकरण में रखने पर,$f^{\prime}(y) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(y))}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(x))}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $(f \circ g)(x) = x$,अतः $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है।
मान लीजिए $g(1 + (2n - 1) \pi) = x_n$ है। तो $f(x_n) = 1 + (2n - 1) \pi$ होगा।
$f(x) = 2x + \cos x + \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x_n + \cos x_n + \sin^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n + 1 - \cos^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n - \cos^2 x_n = (2n - 1) \pi$.
यदि $x_n = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ हो,तो $\cos x_n = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2((2n - 1) \frac{\pi}{2}) + 0 - 0 = (2n - 1) \pi$,जो सत्य है।
अतः,$g(1 + (2n - 1) \pi) = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$\sum_{n=1}^{99} g(1 + (2n - 1) \pi) = \sum_{n=1}^{99} (2n - 1) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{99} (2n - 1)$.
प्रथम $99$ विषम संख्याओं का योग $99^2$ होता है।
इसलिए,योग $(99)^2 \frac{\pi}{2}$ होगा।

(D) दिया गया फलन $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $y - 1 = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$।
माना $u = 10^x$ है। तब $10^{-x} = \frac{1}{u}$।
अतः,$y - 1 = \frac{u - 1/u}{u + 1/u} = \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}$।
माना $Y = y - 1$ है। तब $Y(u^2 + 1) = u^2 - 1$।
$Yu^2 + Y = u^2 - 1 \implies Y + 1 = u^2(1 - Y)$।
$u^2 = \frac{1 + Y}{1 - Y} = \frac{1 + (y - 1)}{1 - (y - 1)} = \frac{y}{2 - y}$।
चूंकि $u = 10^x$,हमारे पास $10^{2x} = \frac{y}{2 - y}$ है।
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर: $2x = \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$।
इसलिए,$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$।

(D) दो फलनों $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow A$ के एक-दूसरे के प्रतिलोम होने के लिए,उन्हें सभी $x \in A$ के लिए $g(f(x)) = x$ और सभी $x \in B$ के लिए $f(g(x)) = x$ को संतुष्ट करना होगा।
दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = x^{1/2}$।
$g(x) = \sqrt{x}$ को परिभाषित होने के लिए,सभी $x \in B$ के लिए $x \geq 0$ होना चाहिए। अतः,$B = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$।
$f(g(x)) = (x^{1/2})^2 = x$ के लिए,यह सभी $x \in B$ के लिए सत्य है।
$g(f(x)) = (x^2)^{1/2} = |x|$ के लिए,हमें $|x| = x$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x \geq 0$। अतः,$A = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$।
इसलिए,$f(x)$ और $g(x)$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन तब होते हैं जब $A = B = R \setminus R^{-}$ हो।

(B) दिया गया है,$f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots \infty$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
चूंकि प्रांत $(-1, 1)$ है,$|x| < 1$,इसलिए योग $f(x) = \frac{x}{1-x}$ है।
परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x}{1-x}$ लें।
$y(1-x) = x \Rightarrow y - xy = x \Rightarrow y = x(1+y) \Rightarrow x = \frac{y}{1+y}$.
चूंकि $-1 < x < 1$,इसलिए $-1 < \frac{y}{1+y} < 1$.
स्थिति $1$: $\frac{y}{1+y} > -1 \Rightarrow \frac{2y+1}{1+y} > 0$.
अंतराल की जाँच करने पर,$y \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
स्थिति $2$: $\frac{y}{1+y} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{1+y} < 0 \Rightarrow y > -1$.
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$y \in (-1/2, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = (-1/2, \infty)$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 3x - 3$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$.
प्रतिलोम के अस्तित्व के लिए,फलन को एकदिष्ट होना चाहिए। परवलय का शीर्ष $x = -\frac{3}{2}$ पर है,इसलिए फलन $[-\frac{3}{2}, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है। अतः,$\alpha = -\frac{3}{2}$.
माना $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$. तब $x + \frac{3}{2} = \sqrt{y + \frac{21}{4}}$,जिससे $g(x) = f^{-1}(x) = \sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}$.
हमें $x = \alpha + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$ पर $g'(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{x + \frac{21}{4}}}$.
$x = 1$ पर,$g'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{21}{4}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{25}{4}}} = \frac{1}{2 \times \frac{5}{2}} = \frac{1}{5}$.

(C) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1, x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें।
अतः $y+1 = (x+1)^2$,जिसका अर्थ है $x+1 = \sqrt{y+1}$ (क्योंकि $x \geq -1$),जिससे $x = \sqrt{y+1} - 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
हम $f(x) = f^{-1}(x)$ को हल करते हैं,जिसका अर्थ है $(x+1)^2 - 1 = \sqrt{x+1} - 1$.
यह सरल होकर $(x+1)^2 = \sqrt{x+1}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1)^4 = x+1$,या $(x+1)((x+1)^3 - 1) = 0$.
इससे $x+1 = 0$ या $(x+1)^3 = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
स्थिति $2$: $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
स्थिति $3$: $x+1 = \omega$ या $x+1 = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$x = \omega - 1 = \frac{-3+i\sqrt{3}}{2}$ और $x = \omega^2 - 1 = \frac{-3-i\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि डोमेन $x \geq -1$ है,हम केवल वास्तविक मान $x = -1$ और $x = 0$ पर विचार करेंगे।
अतः,समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x - \frac{1}{x}$. मान लीजिए $y = f(x)$,अतः $y = x - \frac{1}{x}$.
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y = \frac{x^2 - 1}{x} \Rightarrow x^2 - yx - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, \infty)$ है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,अतः हम धनात्मक मूल लेते हैं:
$x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2}$.
$f^{-1}(3)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ मानते हैं,जिसका अर्थ है $x = f^{-1}(y)$.
$\frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2} = y$
$\sqrt{1+4 \log_2 x} = 2y - 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + 4 \log_2 x = (2y - 1)^2$
$1 + 4 \log_2 x = 4y^2 - 4y + 1$
$4 \log_2 x = 4y^2 - 4y$
$\log_2 x = y^2 - y$
$x = 2^{y^2 - y}$
अतः,$f^{-1}(y) = 2^{y^2 - y}$.
अब,$y = 3$ रखने पर:
$f^{-1}(3) = 2^{3^2 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^{9 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^6 = 64$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{2}$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 2x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{1-2x}$ है।
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{1}{1-2x}$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y(1-2x) = 1$
$y - 2xy = 1$
$2xy = y - 1$
$x = \frac{y-1}{2y}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$. मान लीजिए $y = 3x + \frac{2}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - yx + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 24}}{6}$.
चूंकि प्रांत $x \in [1, \infty)$ है,हमें वह मूल चुनना होगा जो इस शर्त को पूरा करता हो।
$y \geq 5$ के लिए,$y^2 \geq 25$,इसलिए $\sqrt{y^2 - 24} \geq 1$.
यदि हम $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ लेते हैं,तो $y=5$ के लिए,$x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3} < 1$,जो प्रांत के बाहर है।
यदि हम $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ लेते हैं,तो $y=5$ के लिए,$x = \frac{5 + 1}{6} = 1$,जो प्रांत के अंदर है।
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 24}}{6}$.

(A) हमारे पास एक फलन $f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ है जो $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $x$-अक्ष के समानांतर प्रत्येक रेखा वक्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटती है,इसलिए फलन $f$ एकैकी (one-one) है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $f$ का परिसर $[0, \infty)$ है,जो इसके सह-प्रांत के बराबर है।
इसलिए,$f$ आच्छादक (onto) फलन है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}$,$f$ के सह-प्रांत को $f$ के प्रांत पर प्रतिचित्रित करता है।
अतः,$f^{-1}: [0, \infty) \rightarrow (-\infty, 0]$.
इस प्रकार,$f^{-1}$ का प्रांत $[0, \infty)$ है और $f^{-1}$ का परिसर $(-\infty, 0]$ है।

(D) दिया गया है कि $g(x) = f^{-1}(x)$.
प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार,$f(g(x)) = x$ होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हमें $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$.
हमें $g(5) = 6$ और $g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ दिया गया है।
$x = 5$ रखने पर,$f^{\prime}(g(5)) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(5) = 6$,इसलिए $f^{\prime}(6) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ होगा।
$g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ का मान रखने पर,$f^{\prime}(6) = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a \neq 1$.
दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.
अब,$a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें।
हर का परिमेयकरण करने पर,$a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$.
अतः,$x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$.
चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$,इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$.
परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

(A) दिया गया है कि $f$,$h$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $h(f(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{h^{\prime}(f(x))}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $h^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \log x}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $f(x)$ रखने पर $h^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1 + \log(f(x))}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + \log(f(x))}} = 1 + \log(f(x))$.

(A) दिया गया है कि $f$,$g$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(x) = g^{-1}(x)$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिलोम फलन का अवकलज (derivative) इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $f^{\prime}(x) = \frac{1}{g^{\prime}(f(x))}$।
दिया गया है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^n}$,इसलिए $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x$ के स्थान पर $f(x)$ रखने पर:
$g^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1+\{f(x)\}^n}$।
अब,इस मान को $f^{\prime}(x)$ के सूत्र में रखने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+\{f(x)\}^n}} = 1+\{f(x)\}^n$।