Inverse Function Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $f(x) = x + \tan x$ और $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$।
चूंकि $f'(x) = 1 + \sec^2 x$ है,इसलिए $f'(g(x)) = 1 + \sec^2(g(x))$ होगा।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$f'(g(x)) = 1 + (1 + \tan^2(g(x))) = 2 + \tan^2(g(x))$।
अतः,$g'(x) = \frac{1}{2 + \tan^2(g(x))}$।
परिभाषा $f(g(x)) = x$ से:
$g(x) + \tan(g(x)) = x$
$\tan(g(x)) = x - g(x)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\tan^2(g(x)) = (x - g(x))^2 = (g(x) - x)^2$।
इस मान को $g'(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$g'(x) = \frac{1}{2 + (g(x) - x)^2}$।

(D) एक फलन $f: A \to B$ व्युत्क्रमणीय (invertible) होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी और आच्छादक (bijection) हो।
विकल्प $A$: $y = e^x$,$R$ से $R^+$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।
विकल्प $B$: $x \in R^+$ के लिए $y = \log|x| = \log x$,जो $R^+$ से $R$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।
विकल्प $C$: $y = \sin^3x$,$\left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ पर $[-1, 1]$ में एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।
विकल्प $D$: $y = e^{[x]}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। किसी भी $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $y = e^0 = 1$। चूँकि यह फलन अंतराल $[0, 1)$ में सभी $x$ के लिए समान मान देता है,इसलिए यह एकैकी (one-to-one) नहीं है। अतः,यह एक bijection नहीं है और इसका प्रतिलोम परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
माना $y = f(x)$,अतः $y = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$a^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.
अब,$a^{-y} = \frac{1}{a^y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$ पर विचार करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $a^{-y} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x)} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(x^2 + 1) - x^2} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.
हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) \sqrt{x^2 + 1} + x = a^y$
$2) \sqrt{x^2 + 1} - x = a^{-y}$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\sqrt{x^2 + 1} + x) - (\sqrt{x^2 + 1} - x) = a^y - a^{-y}$
$2x = a^y - a^{-y}$
$x = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.
अतः $f^{-1}(y) = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $f^{-1}(17)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 17$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$.
अतः,$f^{-1}(17) = \{4, -4\}$ है।
$f^{-1}(-3)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = -3$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$f^{-1}(-3) = \phi$ (रिक्त समुच्चय) है।
इसलिए,सही मान $\{4, -4\}$ और $\phi$ हैं।

(C) दिया गया प्रांत $x \in (4, 6)$ है।
$x \in (4, 6)$ के लिए,$\frac{x}{2} \in (2, 3)$ होता है।
$(2, 3)$ में किसी भी मान के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[\frac{x}{2}]$ का मान $2$ होता है।
अतः,फलन $f(x) = x + 2$ हो जाता है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = x + 2$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = y - 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f^{-1}(x) = x - 2$ है।

(D) यह जांचने के लिए कि फलन व्युत्क्रमणीय है या नहीं,हमें यह दिखाना होगा कि यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है।
$1$. एकैकी: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{x_2 - 2}$
$(x_1 - 1)(x_2 - 2) = (x_2 - 1)(x_1 - 2)$
$x_1x_2 - 2x_1 - x_2 + 2 = x_1x_2 - 2x_2 - x_1 + 2$
$-2x_1 - x_2 = -2x_2 - x_1$
$x_2 = x_1$. अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक: मान लीजिए $y = \frac{x - 1}{x - 2}$.
$y(x - 2) = x - 1$
$yx - 2y = x - 1$
$yx - x = 2y - 1$
$x(y - 1) = 2y - 1$
$x = \frac{2y - 1}{y - 1}$.
चूंकि प्रत्येक $y \in R - \{1\}$ के लिए,एक $x \in R - \{2\}$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 - x + 5$ जहाँ $x > \frac{1}{2}$ है।
$g'(7)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिलोम फलन के अवकलन का सूत्र उपयोग करेंगे: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,जहाँ $y = f(x)$ है।
सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करें ताकि $f(x) = 7$ हो:
$x^2 - x + 5 = 7 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
चूँकि $x > \frac{1}{2}$ है,इसलिए $x = 2$ होगा।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 5) = 2x - 1$.
$x = 2$ पर,$f'(2) = 2(2) - 1 = 3$.
अतः,$g'(7) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3}$।

(B) मान लीजिए $y = \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x} = \frac{x(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}$,जहाँ $x \ne 0$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ को $x$ के लिए हल करते हैं:
$y(x + 2) = x - 1$
$xy + 2y = x - 1$
$xy - x = -2y - 1$
$x(y - 1) = -(2y + 1)$
$x = \frac{2y + 1}{1 - y}$
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$ है।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f^{-1}(x)$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{2x + 1}{1 - x} \right)$
$= \frac{(1 - x)(2) - (2x + 1)(-1)}{(1 - x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1 - x)^2}$
$= \frac{3}{(1 - x)^2}$

(C) माना $y = f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}$।
अंश और हर को $8^{2x}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{8^{4x} - 1}{8^{4x} + 1}$।
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(8^{4x} + 1) = 8^{4x} - 1$
$y \cdot 8^{4x} + y = 8^{4x} - 1$
$1 + y = 8^{4x}(1 - y)$
$8^{4x} = \frac{1 + y}{1 - y}$।
दोनों पक्षों में $\log_{8}$ लेने पर:
$4x = \log_{8} \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
आधार परिवर्तन नियम $\log_{8} A = \frac{\ln A}{\ln 8} = (\log_{8} e) \ln A$ का उपयोग करने पर:
$4x = (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
$x = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x) = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) एक फलन $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें कि $g(a) = 1$,$g(b) = 2$ और $g(c) = 3$ हो।
अब,संयुक्त फलन $g \circ f: X \rightarrow X$ पर विचार करें:
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
चूंकि सभी $x \in X$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ है,इसलिए $g \circ f = I_X$ है।
अब,संयुक्त फलन $f \circ g: Y \rightarrow Y$ पर विचार करें:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
चूंकि सभी $y \in Y$ के लिए $(f \circ g)(y) = y$ है,इसलिए $f \circ g = I_Y$ है।

(D) यह दर्शाने के लिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है,हमें एक फलन $g: Y \rightarrow N$ खोजना होगा ताकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ हो।
एक स्वेच्छ अवयव $y \in Y$ पर विचार करें। $Y$ की परिभाषा के अनुसार,किसी $x \in N$ के लिए $y = 4x + 3$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{y-3}{4}$ प्राप्त होता है।
$g: Y \rightarrow N$ को $g(y) = \frac{y-3}{4}$ द्वारा परिभाषित करें।
अब,संयोजन $g \circ f(x)$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(4x+3) = \frac{(4x+3)-3}{4} = \frac{4x}{4} = x$.
अतः,$g \circ f = I_N$.
इसके बाद,संयोजन $f \circ g(y)$ की गणना करें:
$f(g(y)) = f\left(\frac{y-3}{4}\right) = 4\left(\frac{y-3}{4}\right) + 3 = (y-3) + 3 = y$.
अतः,$f \circ g = I_Y$.
चूंकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ है,इसलिए फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है और इसका प्रतिलोम $f^{-1}(y) = \frac{y-3}{4}$ है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है,हमें एक फलन $g: Y \rightarrow N$ ज्ञात करना होगा ताकि $g \circ f = I_{N}$ और $f \circ g = I_{Y}$ हो।
$Y$ में कोई भी स्वेच्छ अवयव $y$,किसी $n \in N$ के लिए $n^{2}$ के रूप में है।
इसका तात्पर्य है कि $n = \sqrt{y}$ है।
हम एक फलन $g: Y \rightarrow N$ को $g(y) = \sqrt{y}$ द्वारा परिभाषित करते हैं।
अब,संयोजनों की गणना करते हैं:
$(g \circ f)(n) = g(f(n)) = g(n^{2}) = \sqrt{n^{2}} = n = I_{N}(n)$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y}) = (\sqrt{y})^{2} = y = I_{Y}(y)$.
चूंकि $g \circ f = I_{N}$ और $f \circ g = I_{Y}$ है,इसलिए फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है।
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ है,जहाँ $y \in Y$।

(N/A) मान लीजिए $y$ परिसर $S$ का एक स्वेच्छ अवयव है। तब किसी $x \in N$ के लिए $y = 4x^{2} + 12x + 15$ है।
इसे $y = (2x + 3)^{2} + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $(2x + 3)^{2} = y - 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x + 3 = \sqrt{y - 6}$ (चूंकि $x \in N$,इसलिए $2x + 3 > 0$)।
अतः,$x = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ है।
$g: S \rightarrow N$ को $g(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ द्वारा परिभाषित करें।
अब,$g(f(x)) = g((2x + 3)^{2} + 6) = \frac{\sqrt{(2x + 3)^{2} + 6 - 6} - 3}{2} = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x$ है।
साथ ही,$f(g(y)) = f\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) = \left(2\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) + 3\right)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6} - 3 + 3)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y$ है।
चूंकि $g \circ f = I_{N}$ और $f \circ g = I_{S}$ है,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ है।

परिभाषा के अनुसार,$f$ और $g$ एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) फलन हैं,इसलिए वे बाइजेक्टिव (bijective) हैं।
$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $f^{-1}(a)=1, f^{-1}(b)=2, f^{-1}(c)=3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$g^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $g^{-1}(\text{apple})=a, g^{-1}(\text{ball})=b, g^{-1}(\text{cat})=c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f^{-1} \circ f = I_{\{1, 2, 3\}}$ और $f \circ f^{-1} = I_{\{a, b, c\}}$,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है।
चूंकि $g^{-1} \circ g = I_{\{a, b, c\}}$ और $g \circ g^{-1} = I_{\{\text{apple, ball, cat}\}}$,इसलिए $g$ व्युत्क्रमणीय है।
$g \circ f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ को $(g \circ f)(1)=\text{apple}, (g \circ f)(2)=\text{ball}, (g \circ f)(3)=\text{cat}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$(g \circ f)^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $(g \circ f)^{-1}(\text{apple})=1, (g \circ f)^{-1}(\text{ball})=2, (g \circ f)^{-1}(\text{cat})=3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अब,$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{apple}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{apple})) = f^{-1}(a) = 1 = (g \circ f)^{-1}(\text{apple})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{ball}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{ball})) = f^{-1}(b) = 2 = (g \circ f)^{-1}(\text{ball})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{cat}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{cat})) = f^{-1}(c) = 3 = (g \circ f)^{-1}(\text{cat})$.
अतः,$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ सिद्ध होता है।

(B) एक फलन $f: S \rightarrow S$ व्युत्क्रमणीय तभी होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) (अर्थात बाइजेक्शन) हो।
दिए गए $f = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ के लिए,हम देखते हैं कि डोमेन $S$ के प्रत्येक अवयव का को-डोमेन $S$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है और को-डोमेन का प्रत्येक अवयव एक पूर्व-प्रतिबिंब रखता है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।
चूंकि $f$ एक बाइजेक्शन है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}$ क्रमित युग्मों $(x, y)$ के अवयवों को $(y, x)$ में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$f^{-1} = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} = f$।

(B) एक फलन $f: A \to B$ व्युत्क्रमणीय तभी होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों हो।
दिए गए $f = \{(1,2), (2,1), (3,1)\}$ के लिए,हम मान देखते हैं:
$f(1) = 2$
$f(2) = 1$
$f(3) = 1$
चूंकि $f(2) = f(3) = 1$ है लेकिन $2 \neq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
चूंकि फलन एकैकी नहीं है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता।
अतः,सही उत्तर यह है कि $f$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।

(B) एक फलन $f: A \to B$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी और आच्छादक (bijection) हो।
दिया गया है $f = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}: B \to A$ प्राप्त करने के लिए क्रमित युग्मों $(x, y)$ के अवयवों को $(y, x)$ में बदल दिया जाता है।
अतः,$f^{-1} = \{(2,1), (3,2), (1,3)\}$।
युग्मों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f^{-1} = \{(1,3), (2,1), (3,2)\}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(N/A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}, x \neq \frac{2}{3}.$
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right)$
$= \frac{4\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) + 3}{6\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) - 4}$
$= \frac{\frac{16x+12 + 18x-12}{6x-4}}{\frac{24x+18 - 24x+16}{6x-4}}$
$= \frac{34x}{34} = x.$
चूँकि $(f \circ f)(x) = x = I(x),$ फलन $f$ स्वयं का प्रतिलोम है।
अतः,$f$ का प्रतिलोम $f$ स्वयं है,अर्थात $f^{-1}(x) = f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}.$

(D) फलन $f: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{10\}$ को $f = \{(1,10), (2,10), (3,10), (4,10)\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$f$ की दी गई परिभाषा से,हम देख सकते हैं कि $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 10$ है।
चूंकि प्रांत (domain) के कई अवयव सह-प्रांत (codomain) के एक ही अवयव से जुड़े हैं,इसलिए $f$ एक बहु-एक (many-one) फलन है।
अतः,$f$ एक-एक (one-one) फलन नहीं है।
किसी फलन का प्रतिलोम तभी अस्तित्व में होता है जब वह एकैकी आच्छादक (bijective) हो।
चूंकि $f$ एक-एक नहीं है,इसलिए इसका प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं है।

(NO) एक फलन $g$ का प्रतिलोम तभी अस्तित्व में होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) (अर्थात बाइजेक्शन) हो।
दिया गया है $g = \{(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)\}$।
हम देखते हैं कि $g(5) = 4$ और $g(7) = 4$ है।
चूंकि प्रांत (domain) के दो अलग-अलग अवयवों $5$ और $7$ का प्रतिबिंब सह-प्रांत (codomain) में एक ही है,इसलिए फलन $g$ एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।
चूंकि $g$ एकैकी नहीं है,इसलिए यह बाइजेक्शन नहीं है।
अतः,फलन $g$ का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं है।

(A) एक फलन $h$ का प्रतिलोम तभी अस्तित्व में होता है यदि वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) (अर्थात बाइजेक्शन) हो।
$1$. एकैकी की जाँच: फलन $h$ प्रांत $\{2, 3, 4, 5\}$ के भिन्न अवयवों को सह-प्रांत $\{7, 9, 11, 13\}$ के भिन्न अवयवों से जोड़ता है। विशेष रूप से,$h(2)=7, h(3)=9, h(4)=11, h(5)=13$ है। चूँकि प्रांत के किन्हीं भी दो अवयवों का प्रतिबिंब समान नहीं है,इसलिए $h$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक की जाँच: $h$ का परिसर $\{7, 9, 11, 13\}$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रांत में पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,$h$ आच्छादक है।
चूँकि $h$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन है। अतः,फलन $h$ का प्रतिलोम अस्तित्व में है।

(N/A) एकैकी फलन के लिए,मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\Rightarrow \frac{x_1}{x_1+2} = \frac{x_2}{x_2+2}$
$\Rightarrow x_1(x_2+2) = x_2(x_1+2)$
$\Rightarrow x_1x_2 + 2x_1 = x_1x_2 + 2x_2$
$\Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी फलन है।
प्रतिलोम के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = \frac{x}{x+2}$.
$y(x+2) = x \Rightarrow xy + 2y = x \Rightarrow 2y = x(1-y) \Rightarrow x = \frac{2y}{1-y}$.
चूंकि $f$ अपने परिसर पर आच्छादक (onto) है,इसलिए प्रतिलोम फलन $f^{-1}: \text{Range } f \rightarrow [-1,1]$ को $f^{-1}(y) = \frac{2y}{1-y}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है,हमें यह सिद्ध करना होगा कि $f$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है।
$1$. एकैकी:
माना $f(x_1) = f(x_2)$.
$4x_1 + 3 = 4x_2 + 3$
$4x_1 = 4x_2$
$x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी फलन है।
$2$. आच्छादक:
किसी भी $y \in R$ के लिए,माना $y = 4x + 3$.
तब $4x = y - 3$,जिससे हमें $x = \frac{y-3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y \in R$,इसलिए $x = \frac{y-3}{4} \in R$.
प्रत्येक $y \in R$ के लिए,एक ऐसा $x = \frac{y-3}{4}$ मौजूद है कि $f(x) = 4(\frac{y-3}{4}) + 3 = y - 3 + 3 = y$.
अतः,$f$ आच्छादक फलन है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
$f^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $f(x) = y \implies x = f^{-1}(y)$ का उपयोग करते हैं।
$y = 4x + 3$ से,हमें $x = \frac{y-3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f^{-1}(y) = \frac{y-3}{4}$,या $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{4}$.

(A) $f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ को $f(x) = x^{2} + 4$ के रूप में दिया गया है।
एकैकी (one-one) के लिए:
माना $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{2} + 4 = y^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y^{2}$.
$\Rightarrow x = y$ (चूँकि $x, y \in R_{+}$).
अतः,$f$ एक एकैकी फलन है।
आच्छादक (onto) के लिए:
$y \in [4, \infty)$ के लिए,माना $y = x^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y - 4 \geq 0$ (चूँकि $y \geq 4$).
$\Rightarrow x = \sqrt{y - 4} \geq 0$.
इसलिए,किसी भी $y \in [4, \infty)$ के लिए,$x = \sqrt{y - 4} \in R_{+}$ का अस्तित्व है,जिससे $f(x) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
अतः,$f$ आच्छादक है।
इस प्रकार,$f$ एकैकी और आच्छादक है,इसलिए $f^{-1}$ का अस्तित्व है।
आइए $g: [4, \infty) \rightarrow R_{+}$ को $g(y) = \sqrt{y - 4}$ के रूप में परिभाषित करें।
अब,
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^{2} + 4) = \sqrt{(x^{2} + 4) - 4} = \sqrt{x^{2}} = x$.
और
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
अतः,$g \circ f = I_{R_{+}}$ और $f \circ g = I_{[4, \infty)}$.
इस प्रकार,$f$ व्युत्क्रमणीय है और $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}(y) = g(y) = \sqrt{y - 4}$ द्वारा दिया गया है।

(A) $f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ को $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ के रूप में दिया गया है।
मान लीजिए $y$,$[-5, \infty)$ का एक स्वेच्छ अवयव है।
$y = 9x^{2} + 6x - 5$ रखें।
$y = (3x + 1)^{2} - 1 - 5 = (3x + 1)^{2} - 6$.
$y + 6 = (3x + 1)^{2}$.
चूंकि $x \in R_{+}$,$x > 0$,इसलिए $3x + 1 > 1$। अतः,$3x + 1 = \sqrt{y+6}$।
$x = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$.
$g: [-5, \infty) \rightarrow R_{+}$ को $g(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ के रूप में परिभाषित करें।
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((3x+1)^{2}-6) = \frac{\sqrt{(3x+1)^{2}-6+6}-1}{3} = \frac{3x+1-1}{3} = x$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = 9\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)^{2} + 6\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right) - 5 = (\sqrt{y+6}-1)^{2} + 2(\sqrt{y+6}-1) - 5 = (y+6 - 2\sqrt{y+6} + 1) + 2\sqrt{y+6} - 2 - 5 = y + 7 - 7 = y$.
चूंकि $g \circ f = I_{R_{+}}$ और $f \circ g = I_{[-5, \infty)}$,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ है।

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
मान लीजिए कि $f$ के दो प्रतिलोम $g_{1}$ और $g_{2}$ हैं,जहाँ $g_{1}: Y \rightarrow X$ और $g_{2}: Y \rightarrow X$ हैं।
प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक $y \in Y$ के लिए:
$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = y$
$f \circ g_{2}(y) = I_{Y}(y) = y$
अतः,सभी $y \in Y$ के लिए $f(g_{1}(y)) = f(g_{2}(y))$ है।
चूंकि $f$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है,इसलिए यह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है।
चूंकि $f$ एकैकी है,इसलिए $f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ होता है।
इसे $f(g_{1}(y)) = f(g_{2}(y))$ पर लागू करने पर,हमें सभी $y \in Y$ के लिए $g_{1}(y) = g_{2}(y)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$g_{1} = g_{2}$ है।
अतः,व्युत्क्रमणीय फलन $f$ का प्रतिलोम अद्वितीय है।

(N/A) फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$f^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम एक फलन $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3$ के रूप में परिभाषित करते हैं।
हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
अतः,$f \circ g = I_Y$,जहाँ $Y = \{a, b, c\}$ है।
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
अतः,$g \circ f = I_X$,जहाँ $X = \{1, 2, 3\}$ है।
चूँकि $f \circ g = I_Y$ और $g \circ f = I_X$,इसलिए $f$ का प्रतिलोम (inverse) मौजूद है और $f^{-1} = g$ है।
अतः,$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $f^{-1}(a) = 1, f^{-1}(b) = 2, f^{-1}(c) = 3$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
अब,$(f^{-1})^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $g$ का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। मान लीजिए $h: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$(g \circ h)(1) = g(h(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ h)(3) = g(h(3)) = g(c) = 3$
अतः,$g \circ h = I_X$ है।
$(h \circ g)(a) = h(g(a)) = h(1) = a$
$(h \circ g)(b) = h(g(b)) = h(2) = b$
$(h \circ g)(c) = h(g(c)) = h(3) = c$
अतः,$h \circ g = I_Y$ है।
चूँकि $g \circ h = I_X$ और $h \circ g = I_Y$,इसलिए $g$ का प्रतिलोम मौजूद है और $g^{-1} = h$ है। चूँकि $g = f^{-1}$,इसलिए $(f^{-1})^{-1} = h$ है। चूँकि $h = f$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $(f^{-1})^{-1} = f$ है।

(A) मान लीजिए कि $f : X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है यदि एक ऐसा फलन $g : Y \rightarrow X$ मौजूद हो कि $g \circ f = I_X$ और $f \circ g = I_Y$ हो,जहाँ $I_X$ और $I_Y$ क्रमशः $X$ और $Y$ पर तत्समक फलन हैं।
इस स्थिति में,$g = f^{-1}$ है।
शर्तों में $g = f^{-1}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{-1} \circ f = I_X$ और $f \circ f^{-1} = I_Y$.
अब,फलन $f^{-1} : Y \rightarrow X$ पर विचार करें। $f^{-1}$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,एक ऐसा फलन $h : X \rightarrow Y$ मौजूद होना चाहिए कि $h \circ f^{-1} = I_Y$ और $f^{-1} \circ h = I_X$ हो।
शर्तों $f \circ f^{-1} = I_Y$ और $f^{-1} \circ f = I_X$ से,हम देख सकते हैं कि $f$ फलन $h$ के रूप में कार्य करता है।
अतः,$f$ ही $f^{-1}$ का व्युत्क्रम है,जिसका अर्थ है कि $\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x}{3x+4}$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y = f(x) = \frac{4x}{3x+4}$ रखें।
$y(3x+4) = 4x$
$3xy + 4y = 4x$
$4y = 4x - 3xy$
$4y = x(4-3y)$
$x = \frac{4y}{4-3y}$.
अतः,प्रतिलोम फलन $g(y) = \frac{4y}{4-3y}$ है।

(B) दिया गया फलन $y = 5^{\log x}$ है।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ का परस्पर विनिमय करते हैं:
$x = 5^{\log y}$.
लघुगणक के गुणधर्म $a^{\log b} = b^{\log a}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = y^{\log 5}$.
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = y^{\log 5}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 10x + 7$. $f$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसे एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना चाहिए।
$1$. एकैकी: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तब $10x_1 + 7 = 10x_2 + 7$,जिसका अर्थ है $10x_1 = 10x_2$,अतः $x_1 = x_2$। इसलिए,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक: मान लीजिए $y = 10x + 7$। $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{y-7}{10}$ प्राप्त होता है। प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$x = \frac{y-7}{10} \in R$ का अस्तित्व है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,यह व्युत्क्रमणीय है। मान लीजिए $g(y) = f^{-1}(y)$।
$g(y) = \frac{y-7}{10}$।
सत्यापन:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(10x + 7) = \frac{(10x+7)-7}{10} = \frac{10x}{10} = x = I_R(x)$।
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y - 7 + 7 = y = I_R(y)$।
अतः,$g(x) = \frac{x-7}{10}$।

(A) यह दिया गया है कि $f: W \rightarrow W$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} n-1 & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ n+1 & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $f(n) = f(m)$।
यदि $n$ विषम और $m$ सम है,तो $n-1 = m+1 \Rightarrow n-m = 2$। यह असंभव है क्योंकि एक विषम और एक सम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है। इसी प्रकार,$n$ का सम और $m$ का विषम होना भी असंभव है।
इसलिए,$n$ और $m$ की समता (parity) समान होनी चाहिए।
यदि दोनों विषम हैं,तो $n-1 = m-1 \Rightarrow n = m$।
यदि दोनों सम हैं,तो $n+1 = m+1 \Rightarrow n = m$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
सह-प्रांत में कोई भी विषम संख्या $2r+1$ प्रांत में किसी संख्या का प्रतिबिंब है। प्रत्येक $m \in W$ के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,$f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
मान लीजिए $g: W \rightarrow W$ को $g(m) = \begin{cases} m+1 & \text{यदि } m \text{ सम है} \\ m-1 & \text{यदि } m \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम देखते हैं कि सभी $n \in W$ के लिए $f(f(n)) = n$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $f(n) = n-1$ (सम),इसलिए $f(f(n)) = f(n-1) = (n-1)+1 = n$।
यदि $n$ सम है,तो $f(n) = n+1$ (विषम),इसलिए $f(f(n)) = f(n+1) = (n+1)-1 = n$।
अतः,$f \circ f = I_W$,जिसका अर्थ है कि $f^{-1} = f$।

(A) दिए गए समुच्चय $S = \{a, b, c\}$ और $T = \{1, 2, 3\}$ हैं।
फलन $F : S \rightarrow T$ को $F = \{(a, 3), (b, 2), (c, 1)\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसका अर्थ है कि $F(a) = 3$,$F(b) = 2$,और $F(c) = 1$ है।
चूंकि $F$ एक एकैकी और आच्छादक (bijective) फलन है,इसलिए इसका प्रतिलोम फलन $F^{-1} : T \rightarrow S$ का अस्तित्व है।
प्रतिलोम फलन $F$ के क्रमित युग्मों को उलट कर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$F^{-1} = \{(3, a), (2, b), (1, c)\}$।

(D) दिया गया है कि $S = \{a, b, c\}$ और $T = \{1, 2, 3\}$ है।
फलन $F : S \rightarrow T$ को $F = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) तभी होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों हो।
यहाँ,$F(b) = 1$ और $F(c) = 1$ है। चूँकि $F(b) = F(c)$ है लेकिन $b \neq c$ है,इसलिए फलन $F$ एकैकी नहीं है।
चूँकि $F$ एकैकी नहीं है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (bijection) नहीं है।
अतः,$F$ व्युत्क्रमणीय नहीं है,जिसका अर्थ है कि $F^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. मान लीजिए $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
दिया गया है $g(x) = 2x-3$. मान लीजिए $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
अतः,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
हमें दिया गया है $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ से गुणा करने पर: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं। $x$ के मानों का योग $2 + 3 = 5$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
$(f \circ f)(x) = x$ के लिए,फलन $f$ को अपना स्वयं का व्युत्क्रम (inverse) होना चाहिए,अर्थात $f(x) = f^{-1}(x)$.
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
तब $y(6x - \alpha) = 5x + 3$.
$6xy - \alpha y = 5x + 3$.
$6xy - 5x = \alpha y + 3$.
$x(6y - 5) = \alpha y + 3$.
$x = \frac{\alpha y + 3}{6y - 5}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
चूंकि $f(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $\frac{5x + 3}{6x - \alpha} = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $(g \circ f)(x) = x$। श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$।
हमें $g'(2)$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $f(x) = 2$।
$x^5 + 2e^{x/4} = 2$। निरीक्षण द्वारा,$x = 0$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है $(0^5 + 2e^0 = 2)$।
अतः,$g'(f(0)) \cdot f'(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g'(2) = \frac{1}{f'(0)}$।
अब,$f'(x) = 5x^4 + 2 \cdot \frac{1}{4} e^{x/4} = 5x^4 + \frac{1}{2} e^{x/4}$।
$x = 0$ पर,$f'(0) = 5(0)^4 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$g'(2) = \frac{1}{1/2} = 2$।
अतः,$8g'(2) = 8 \times 2 = 16$।

(D) दिया गया है $f(x)=x^3+3x+2$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g$ फलन $f$ का प्रतिलोम है।
$g(f(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ प्राप्त होता है।
$g'(2)$ के लिए,हम $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ रखते हैं,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।
अतः $g'(2) \cdot f'(0)=1$. चूँकि $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(0)=3$.
अतः $g'(2) = \frac{1}{3}$. विकल्प $A$ गलत है।
दिया गया है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g(g(f(f(x))))=x$,जो दर्शाता है कि $g(g(x))=f(f(x))$।
अतः $h(f(f(x)))=x$. इसका अर्थ है कि $h$ फलन $f(f(x))$ का प्रतिलोम है।
हालाँकि,प्रश्न कहता है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$,हमारे पास $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ है।
मान लीजिए $f^{-1}(x)=y$,तो $f(y)=x$. समीकरण $h(f^{-1}(y))=f(y)$ बन जाता है।
मान लीजिए $f^{-1}(y)=z$,तो $y=f(z)$. अतः $h(z)=f(f(z))$.
इस प्रकार $h(x)=f(f(x))$.
अब,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. चूँकि $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ और $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(1)=6$ और $f'(6)=3(6^2)+3=111$.
$h'(1)=111 \times 6=666$. विकल्प $B$ सही है।
$h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. विकल्प $C$ सही है।
$h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. विकल्प $D$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{x/2}$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है जहाँ $g = f^{-1}$ है।
सबसे पहले,$x$ ज्ञात करें ताकि $f(x) = 1$ हो।
$x^3 + e^{x/2} = 1$.
निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ होता है।
अतः,$f(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g(1) = 0$ है।
प्रतिलोम फलन के अवकलज के सूत्र का उपयोग करते हुए: $g^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)}$ जहाँ $y = f(x)$ है।
यहाँ $y = 1$ है,इसलिए $x = 0$ है।
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + e^{x/2}) = 3x^2 + \frac{1}{2}e^{x/2}$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$।

(B) दिया गया है $e^{-x} f(x) = 2 + \int_0^x \sqrt{t^4 + 1} \, dt \dots (i)$
$x = 0$ पर,$e^0 f(0) = 2 + \int_0^0 \sqrt{t^4 + 1} \, dt \implies f(0) = 2$.
चूंकि $f(0) = 2$,इसलिए $f^{-1}(2) = 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$।
$y = 2$ के लिए,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(0)}$।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-e^{-x} f(x) + e^{-x} f'(x) = \sqrt{x^4 + 1}$।
$x = 0$ रखने पर:
$-e^0 f(0) + e^0 f'(0) = \sqrt{0^4 + 1}$
$-1(2) + 1(f'(0)) = 1$
$-2 + f'(0) = 1 \implies f'(0) = 3$।
अतः,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
$y(1-bx) = b-x \Rightarrow y - bxy = b - x \Rightarrow x(1-by) = b-y \Rightarrow x = \frac{b-y}{1-by}$.
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{b-y}{1-by}$,जिसका अर्थ है $f(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $f = f^{-1}$.
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{(1-bx)(-1) - (b-x)(-b)}{(1-bx)^2} = \frac{-1+bx+b^2-bx}{(1-bx)^2} = \frac{b^2-1}{(1-bx)^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{b^2-1}{(1-0)^2} = b^2-1$.
$f^{\prime}(b) = \frac{b^2-1}{(1-b^2)^2} = \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} = \frac{1}{b^2-1}$.
इसलिए,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}(0)}$.

(B) मान लीजिए $h(x) = f(g^{-1}(x))$ है। हमें $h'(2) = f'(g^{-1}(2)) \cdot (g^{-1})'(2)$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$g^{-1}(2)$ ज्ञात करें। चूँकि $g(0) = \frac{4}{1 + e^0} = \frac{4}{2} = 2$,इसलिए $g^{-1}(2) = 0$ है।
इसके बाद,$f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 4}$ ज्ञात करें। अतः,$f'(0) = \frac{2}{4} = 0.5$ है।
अब,$(g^{-1})'(2)$ ज्ञात करें। हम जानते हैं कि $(g^{-1})'(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$ होता है।
$g'(x) = \frac{4 \cdot (-1) \cdot e^{-2x} \cdot (-2)}{(1 + e^{-2x})^2} = \frac{8e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}$ है।
$x = 0$ पर,$g'(0) = \frac{8(1)}{(1 + 1)^2} = \frac{8}{4} = 2$ है।
इसलिए,$(g^{-1})'(2) = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
अंत में,$h'(2) = f'(0) \cdot (g^{-1})'(2) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-x}{x^2+2x}$। $x \neq 0$ के लिए,हम इसे $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
माना $y = \frac{x-1}{x+2}$।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y(x+2) = x-1$
$yx + 2y = x - 1$
$yx - x = -1 - 2y$
$x(y-1) = -(1+2y)$
$x = \frac{2y+1}{1-y}$।
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{1-x}$।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f^{-1}(x)$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-x}\right) = \frac{(1-x)(2) - (2x+1)(-1)}{(1-x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1-x)^2} = \frac{3}{(1-x)^2}$।
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))|_{x=2} = \frac{3}{(1-2)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$।

(B) दिया गया है कि $g(x)$,फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(x) = f^{-1}(x)$ है।
इसका अर्थ है कि $f(g(x)) = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$
अतः,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ ... $(i)$
दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^3}$,इसलिए $x$ को $g(x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+(g(x))^3}$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+(g(x))^3}} = 1+(g(x))^3$.

(A) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
हमें $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^4}$ दिया गया है।
$f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{1+[g(x)]^4} \cdot g^{\prime}(x) = 1$।
अतः,$g^{\prime}(x) = 1+[g(x)]^4$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.
सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।
$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.
निरीक्षण करने पर,यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g(1) = 0$.
हम जानते हैं कि $g(f(x)) = x$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$.
$g^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$g^{\prime}(f(0)) \cdot f^{\prime}(0) = 1 \Rightarrow g^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(0) = 1$.
अब,$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.
$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(A) चरण $1$: $f^{-1}(x)$ ज्ञात करें। मान लीजिए $y = \frac{x-3}{x-2}$ है। तब $y(x-2) = x-3$,अर्थात $xy - 2y = x - 3$ है। अतः $x(y-1) = 2y-3$,जिससे $x = \frac{2y-3}{y-1}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{x-1}$ है।
चरण $2$: $g^{-1}(x)$ ज्ञात करें। मान लीजिए $y = 3x-2$ है। तब $3x = y+2$,अर्थात $x = \frac{y+2}{3}$ है। अतः,$g^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$ है।
चरण $3$: समीकरण $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{19}{6}$ को हल करें।
$\frac{2x-3}{x-1} + \frac{x+2}{3} = \frac{19}{6}$.
हर को हटाने के लिए $6(x-1)$ से गुणा करें: $6(2x-3) + 2(x-1)(x+2) = 19(x-1)$.
$12x - 18 + 2(x^2 + x - 2) = 19x - 19$.
$12x - 18 + 2x^2 + 2x - 4 = 19x - 19$.
$2x^2 + 14x - 22 = 19x - 19$.
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
चरण $4$: द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x - 3 = 0$ को हल करें।
$(2x+1)(x-3) = 0$.
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 3$ हैं।
चरण $5$: $x$ के मानों का योगफल $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
माना $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,हमें $xy = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - xy + 1 = 0$.
$x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
चूंकि प्रांत $x \in [1, \infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ लेते हैं,तो $y=2$ के लिए $x=1$ प्राप्त होता है,लेकिन $y > 2$ के लिए यह मान $1$ से कम हो जाएगा।
इसलिए,हम धनात्मक मूल चुनते हैं: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$.

(A) माना $f(x) = y$,जिसका अर्थ है $x = f^{-1}(y)$.
दिया गया है $y = \frac{2x - 3}{3x - 4}$.
दोनों पक्षों को $(3x - 4)$ से गुणा करने पर:
$y(3x - 4) = 2x - 3$
$3xy - 4y = 2x - 3$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3xy - 2x = 4y - 3$
$x(3y - 2) = 4y - 3$
$x = \frac{4y - 3}{3y - 2}$
चूंकि $x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{4y - 3}{3y - 2}$.
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{3x - 2}$ प्राप्त होता है।