यदि फलन f(x) = x^5 + e^{x/5} और g(x) = f^{-1} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 + e^{x/5}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$।हमें $\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})}$ का मान ज्ञात करना है।प्रतिलोम फलन के गुणधर्म के अनुसार,$

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$5 + \frac{e^{1/5}}{5}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 + e^{x/5}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$।हमें $\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})}$ का मान ज्ञात करना है।प्रतिलोम फलन के गुणधर्म के अनुसार,$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ जहाँ $y = f(x)$ है।यहाँ,$y = 1 + e^{1/5}$ है।$f(x) = x^5 + e^{x/5} = 1 + e^{1/5}$ रखने पर,हम देखते हैं कि $x = 1$ समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $1^5 + e^{1/5} = 1 + e^{1/5}$ है।अब,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + e^{x/5}) = 5x^4 + \frac{1}{5}e^{x/5}$।$x = 1$ पर,$f'(1) = 5(1)^4 + \frac{1}{5}e^{1/5} = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$।चूंकि $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,इसलिए $g'(1 + e^{1/5}) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5 + \frac{e^{1/5}}{5}}$।अतः,$\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})} = f'(1) = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$।

यदि फलन $f(x) = x^5 + e^{x/5}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$ है,तो $\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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