मान लीजिए f : R to R,f(x) = ln(x + sqrt{x^2 + | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.मान लीजिए $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.तब $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.साथ ही,$e^{-y} = \frac{1}{x + \

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$2$

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(B) दिया गया है $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.मान लीजिए $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.तब $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.साथ ही,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.दोनों समीकरणों को घटाने पर: $e^y - e^{-y} = 2x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.अतः,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.हमें $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $|sinh(x)| = e^{-|x|}$ है।चूंकि दोनों पक्ष सम फलन हैं,हम $x \ge 0$ के लिए विश्लेषण कर सकते हैं: $\sinh(x) = e^{-x}$.$x = 0$ पर,$\sinh(0) = 0$ और $e^0 = 1$,इसलिए $0 
eq 1$.जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$\sinh(x)$ $0$ से $\infty$ तक सख्ती से बढ़ता है,और $e^{-x}$ $1$ से $0$ तक सख्ती से घटता है।इसलिए,$x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।समरूपता द्वारा,$x अतः,कुल $2$ हल हैं।

मान लीजिए $f : R \to R$,$f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ द्वारा परिभाषित है। तो $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ के हलों की संख्या क्या है?

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