मान लीजिए f(x) = (x - 1)^2 + 1,जहाँ x ge 1 है | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,जहाँ $x \ge 1$ है।$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x - 1)^2 + 1$ लें।अतः $y - 1 = (x - 1)^2$। चूँकि $x \ge 1

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,जहाँ $x \ge 1$ है।$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x - 1)^2 + 1$ लें।अतः $y - 1 = (x - 1)^2$। चूँकि $x \ge 1$,हमारे पास $x - 1 = \sqrt{y - 1}$ है,इसलिए $x = 1 + \sqrt{y - 1}$।इस प्रकार,$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,जहाँ $x \ge 1$ है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं।$(x - 1)^2 + 1 = x \implies x^2 - 2x + 1 + 1 = x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$।$(x - 1)(x - 2) = 0$,इसलिए $x = 1$ या $x = 2$।चूँकि दोनों मान $x \ge 1$ को संतुष्ट करते हैं,$S = \{1, 2\}$ है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

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फलन $f(x) = e^x + x$,जो अवकलनीय और एकैकी है,का एक अवकलनीय प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ है। बिंदु $f(\ln 2)$ पर $(f^{-1})'(f(\ln 2))$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। दर्शाइए कि $f^{-1}$ का व्युत्क्रम $f$ है,अर्थात $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।

$f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ को $f(x) = x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके प्रतिलोम (inverse) का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।

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