Inverse Function Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $y = f(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$.
અંશ અને છેદને $a^x$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1}$.
હવે,$y$ ના સંદર્ભમાં $x$ માટે ઉકેલતા:
$y(a^{2x} + 1) = a^{2x} - 1$
$y \cdot a^{2x} + y = a^{2x} - 1$
$1 + y = a^{2x} - y \cdot a^{2x}$
$1 + y = a^{2x}(1 - y)$
$a^{2x} = \frac{1+y}{1-y}$.
બંને બાજુ આધાર $a$ પર લઘુગણક લેતા:
$2x = \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે $y$ ને $x$ વડે બદલતા:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 7x + 8 = y$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$7x = y - 8$
$x = \frac{y - 8}{7}$
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y - 8}{7}$,જેનો અર્થ છે કે $f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{7}$.
આપેલ છે કે $f^{-1}(12) = \frac{k}{7}$,તેથી $x = 12$ ને વ્યસ્ત વિધેયમાં મૂકતા:
$f^{-1}(12) = \frac{12 - 8}{7} = \frac{4}{7}$.
$\frac{4}{7}$ ની સરખામણી $\frac{k}{7}$ સાથે કરતા,આપણને $k = 4$ મળે છે.

(B) પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y$ લઈએ.
$y = \frac{4x}{5} + 3$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$y - 3 = \frac{4x}{5}$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$5(y - 3) = 4x$
$4$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{5(y - 3)}{4}$
અહીં $x = f^{-1}(y)$ હોવાથી,$f^{-1}(y) = \frac{5(y - 3)}{4}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે:
$f^{-1}(x) = \frac{5(x - 3)}{4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = f(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$.
તેથી $y(5x - 3) = 3x + 2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $5xy - 3y = 3x + 2$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $5xy - 3x = 3y + 2$ મળે છે.
$x$ સામાન્ય લેતા,$x(5y - 3) = 3y + 2$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$ મળે છે.
તેથી $f^{-1}(x) = f(x)$,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $g$ એ $f$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $g(x) = f^{-1}(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(g(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
તેથી,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^{2}}$.
આ કિંમત $g^{\prime}(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+[g(x)]^{2}}} = 1 + [g(x)]^{2}$.

(B) ધારો કે $y = f(x) = x^{3} + 5$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$y - 5 = x^{3}$
$x = (y - 5)^{1/3}$
કારણ કે $f^{-1}(y) = x$,તેથી $f^{-1}(y) = (y - 5)^{1/3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = (x - 5)^{1/3}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^2 - 1$ જ્યાં $x \geqslant -1$.
$x \geqslant -1$ માટે $f(x)$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x) = f^{-1}(x)$ ના ઉકેલો એ $f(x) = x$ ના ઉકેલો સમાન જ હોય છે.
$f(x) = x$ લેતા:
$(x+1)^2 - 1 = x$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
બંને કિંમતો $x \geqslant -1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,માંગેલ ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(B) વિધેય $f: N \rightarrow N$ માટે પ્રતિવિધેય $f^{-1}$ નું અસ્તિત્વ ત્યારે જ હોય જો વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
અહીં $f(x) = x + 3$ આપેલ છે,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ.
$x \in N$ માટે $f(x) = x + 3$ નો વિસ્તાર $\{4, 5, 6, \dots \}$ છે.
સહપ્રદેશ $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}$ છે.
અહીં વિસ્તાર $\{4, 5, 6, \dots \} \neq N$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f^{-1}(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $y(5x-3) = 3x+1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $5xy - 3y = 3x + 1$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા: $5xy - 3x = 3y + 1$.
$x$ સામાન્ય લેતા: $x(5y - 3) = 3y + 1$.
આમ,$x = \frac{3y+1}{5y-3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+1}{5y-3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ મળે છે.
કારણ કે $f^{-1}(x) = f(x)$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + 2$. ધારો કે $y = 3x + 2$,તેથી $x = \frac{y - 2}{3}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}$,અથવા $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}$.
આપણે $(g \circ f^{-1})(10) = g(f^{-1}(10))$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$f^{-1}(10) = \frac{10 - 2}{3} = \frac{8}{3}$ ગણો.
હવે,આ કિંમતને $g(x) = 6x + 5$ માં મૂકો:
$g\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right) + 5 = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
આપેલ છે કે $y = 4x + 3$.
હવે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવો:
$y - 3 = 4x$
$x = \frac{y - 3}{4}$.
આથી $f^{-1}(y) = x$ હોવાથી,$f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{4}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{4}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ શોધો:
$g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$
$g(f(x)) = (\sin^2 2x + \cos^2 2x + 2 \sin 2x \cos 2x) - 1$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$:
$g(f(x)) = (1 + \sin 4x) - 1 = \sin 4x$.
કોઈ વિધેય ત્યારે જ વ્યસ્ત હોય જો તે આપેલ પ્રદેશમાં એક-એક (one-to-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોય.
વિધેય $y = \sin \theta$ એ અંતરાલ $\theta \in \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં વ્યસ્ત છે.
અહીં,$\theta = 4x$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{-\pi}{2} \le 4x \le \frac{\pi}{2}$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{-\pi}{8} \le x \le \frac{\pi}{8}$.
આમ,$g(f(x))$ એ $x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$ પ્રદેશમાં વ્યસ્ત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \tan x$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $f(f^{-1}(y)) = y$.
અહીં,આપણે $f^{-1}(1)$ શોધવાનું છે,તેથી આપણે $f(x) = 1$ લઈએ.
$\tan x = 1$.
$\tan x = \tan \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $x$ ના મૂલ્યોનો ગણ $\{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$ છે.
તેથી,$f^{-1}(1) = \{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + 6$ છે,જ્યાં $f: R \rightarrow R$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી,$y = 2x + 6$.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા:
$2x = y - 6$
$x = \frac{y - 6}{2}$
$x = \frac{y}{2} - 3$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x$,તેથી $f^{-1}(y) = \frac{y}{2} - 3$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x_{1}, x_{2} \in R$.
એક-એક વિધેય માટે,ધારો કે $f(x_{1}) = f(x_{2})$.
$2x_{1} + 3 = 2x_{2} + 3$
$2x_{1} = 2x_{2}$
$x_{1} = x_{2}$.
તેથી,$f$ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે,ધારો કે $y \in \text{સહપ્રદેશ } R$.
ધારો કે $y = f(x) = 2x + 3$.
$y - 3 = 2x$
$x = \frac{y-3}{2}$.
દરેક $y \in R$ માટે,$x = \frac{y-3}{2} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,$f^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ છે.
$f^{-1}(8)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $f(x) = 8$ ને $x$ માટે ઉકેલવું પડશે.
$x^{3} = 8$
$x^{3} - 8 = 0$
$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$
આનાથી આપણને વાસ્તવિક ઉકેલ તરીકે $x = 2$ મળે છે.
કારણ કે $f$ નો પ્રદેશ $R$ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) છે,તેથી આપણે ફક્ત વાસ્તવિક કિંમતને ધ્યાનમાં લઈશું.
તેથી,$f^{-1}(8) = \{2\}$.

(C) આપણી પાસે $f(x) = |x|$ છે.
કોઈપણ વિધેયનું પ્રતિવિધેય મેળવવા માટે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) હોવું જરૂરી છે.
અહીં $f(1) = |1| = 1$ અને $f(-1) = |-1| = 1$ લો.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$ હોવાથી,આ વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય એક-એક ન હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ (bijective) નથી.
તેથી,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ છે કે $x \geq -1$ માટે $f(x)=(x+1)^{2}$.
કારણ કે $g(x)$ એ $f(x)$ ના આલેખનું રેખા $y=x$ પરનું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $g(x)$ એ $f(x)$ નું વ્યસ્ત વિધેય છે,જેને $f^{-1}(x)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = (x+1)^{2}$.
$x \geq -1$ હોવાથી,$x+1 \geq 0$ થાય,તેથી બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા $\sqrt{y} = x+1$ મળે.
$x$ ને કર્તા બનાવતા,$x = \sqrt{y} - 1$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરતા,આપણને $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$ મળે છે.
આમ,$g(x) = \sqrt{x} - 1$.

(B) $f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,વિધેય $f(x)$ એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$.
$\sin^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$f(x) = 2 - \sin^{-1} x$,જે ઘટતું વિધેય છે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 2 + \sin^{-1} x$,જે વધતું વિધેય છે.
વિધેય $[-1, 0]$ પર ઘટે છે અને $[0, 1]$ પર વધે છે,તેથી તે $[-1, 1]$ અંતરાલ પર એક-એક નથી.
આમ,$f(x)$ તેના સંપૂર્ણ પ્રદેશ $[-1, 1]$ પર વ્યસ્ત વિધેય ધરાવતું નથી.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos x$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
$g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
$= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$.
$= 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$.
કોઈપણ વિધેય વ્યસ્ત હોવા માટે તે આપેલ પ્રદેશમાં એક-એક (one-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોવું જોઈએ.
વિધેય $h(x) = \sin 2x$ એ અંતરાલમાં એક-એક છે જ્યાં તેનો ખૂણો $2x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોય.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આમ,વિધેય અંતરાલ $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માં વ્યસ્ત છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^2 - 1$ જ્યાં $x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો.
તેથી $y+1 = (x+1)^2$. $x \geq -1$ હોવાથી,$x+1 = \sqrt{y+1}$,એટલે કે $x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
સમીકરણ $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન છે કારણ કે $x \geq -1$ માટે $f$ એ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$(x+1)^2 - 1 = x$.
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$.
$x^2 + x = 0$.
$x(x+1) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
બંને કિંમતો $x \geq -1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,માંગેલ ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x)$ એ વિધેય $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
આથી $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \frac{1}{h(x)}$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{h(g(x))}$.
આ કિંમત $g^{\prime}(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{1 / h(g(x))} = h(g(x))$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = (x + 2)^2 - 2$ માટે $x \geq -2$ હોય ત્યારે તેનું પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,આપણે $y = f(x)$ લઈએ.
$y = (x + 2)^2 - 2$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા:
$y + 2 = (x + 2)^2$
$x \geq -2$ હોવાથી,$x + 2 \geq 0$ થાય. બંને બાજુ ધન વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{y + 2} = x + 2$
$x$ ને કર્તા બનાવવા માટે બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$x = \sqrt{y + 2} - 2$
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = \sqrt{y + 2} - 2$. $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 2} - 2$

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ છે.
અંશ અને છેદને $10^x$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$
હવે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત શોધતા:
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$
$1 + y = 10^{2x} - y \cdot 10^{2x}$
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$
$10^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}$
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ મેળવવા માટે $y$ ને $x$ વડે બદલતા:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$

(C) આપેલ વિધેય $f:(5,10) \rightarrow (7,12)$ એ $f(x) = x + 2\left[\frac{x}{5}\right]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$x \in (5, 10)$ માટે,$\frac{x}{5}$ ની કિંમત $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\left[\frac{x}{5}\right] = 1$ થાય,તમામ $x \in (5, 10)$ માટે.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x + 2(1) = x + 2$ મળે છે.
કારણ કે $f(x) = x + 2$ એ સુરેખ વિધેય છે,તે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે અને તેથી તે એક-એક (injective) છે.
તે વ્યાપ્ત (surjective) છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે વિસ્તાર શોધીએ: જેમ $x$ એ $5$ થી $10$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(x)$ એ $5+2=7$ થી $10+2=12$ સુધી બદલાય છે. આમ,વિસ્તાર $(7, 12)$ છે,જે સહપ્રદેશ સાથે મેળ ખાય છે.
$f$ એ બાયજેક્ટિવ (bijective) હોવાથી,$f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ધારો કે $y = x + 2$,તો $x = y - 2$.
આમ,$f^{-1}(x) = x - 2$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = 5x - 3$ અને $g(x) = x^2 + 3$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = 5x - 3$.
તેથી $y + 3 = 5x$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y + 3}{5}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{5}$,તેથી $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}$.
હવે,આપણે $g \circ f^{-1}(3) = g(f^{-1}(3))$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$f^{-1}(3) = \frac{3 + 3}{5} = \frac{6}{5}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$g(\frac{6}{5}) = (\frac{6}{5})^2 + 3 = \frac{36}{25} + 3$.
સરવાળો કરતા: $\frac{36 + 75}{25} = \frac{111}{25}$.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 3x - 4$ અને $g(x) = 3x + 2$ છે.
$f^{-1}(y)$ શોધવા માટે,ધારો કે $f(x) = y$.
$3x - 4 = y \implies 3x = y + 4 \implies x = \frac{y + 4}{3}$.
તેથી,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$.
હવે,$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$g^{-1}(z)$ શોધવા માટે,ધારો કે $g(x) = z$.
$3x + 2 = z \implies 3x = z - 2 \implies x = \frac{z - 2}{3}$.
તેથી,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$.
અંતે,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ મળે.
તેથી,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$.
આપેલ છે કે $g(x) = x + \tan x$,તેથી $g^{\prime}(x) = 1 + \sec^2 x$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1 + \sec^2 x}$ મળે.
ધારો કે $y = g(x)$,તો $x = f(y)$ થાય.
$x = f(y)$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$f^{\prime}(y) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(y))}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(x))}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $(f \circ g)(x) = x$,તેથી $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે.
ધારો કે $g(1 + (2n - 1) \pi) = x_n$. તો $f(x_n) = 1 + (2n - 1) \pi$.
$f(x) = 2x + \cos x + \sin^2 x$ મુકતા:
$2x_n + \cos x_n + \sin^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n + 1 - \cos^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n - \cos^2 x_n = (2n - 1) \pi$.
જો $x_n = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ લઈએ,તો $\cos x_n = 0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મુકતા: $2((2n - 1) \frac{\pi}{2}) + 0 - 0 = (2n - 1) \pi$,જે સાચું છે.
તેથી,$g(1 + (2n - 1) \pi) = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{99} g(1 + (2n - 1) \pi) = \sum_{n=1}^{99} (2n - 1) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{99} (2n - 1)$.
પ્રથમ $99$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $99^2$ થાય છે.
તેથી,સરવાળો $(99)^2 \frac{\pi}{2}$ થશે.

(D) આપેલ વિધેય $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ છે.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $y - 1 = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$.
ધારો કે $u = 10^x$. તો $10^{-x} = \frac{1}{u}$.
તેથી,$y - 1 = \frac{u - 1/u}{u + 1/u} = \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}$.
ધારો કે $Y = y - 1$. તો $Y(u^2 + 1) = u^2 - 1$.
$Yu^2 + Y = u^2 - 1 \implies Y + 1 = u^2(1 - Y)$.
$u^2 = \frac{1 + Y}{1 - Y} = \frac{1 + (y - 1)}{1 - (y - 1)} = \frac{y}{2 - y}$.
કારણ કે $u = 10^x$,આપણી પાસે $10^{2x} = \frac{y}{2 - y}$ છે.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $2x = \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$.
તેથી,$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$.

(D) બે વિધેયો $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow A$ એકબીજાના પ્રતિવિધેય હોય તે માટે,તેમણે તમામ $x \in A$ માટે $g(f(x)) = x$ અને તમામ $x \in B$ માટે $f(g(x)) = x$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = x^{1/2}$.
$g(x) = \sqrt{x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,તમામ $x \in B$ માટે $x \geq 0$ હોવું જોઈએ. તેથી,$B = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$.
$f(g(x)) = (x^{1/2})^2 = x$ માટે,આ તમામ $x \in B$ માટે સાચું છે.
$g(f(x)) = (x^2)^{1/2} = |x|$ માટે,આપણને $|x| = x$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 0$. તેથી,$A = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$.
આમ,$f(x)$ અને $g(x)$ એકબીજાના પ્રતિવિધેય ત્યારે બને જ્યારે $A = B = R \setminus R^{-}$ હોય.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots \infty$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
પ્રદેશ $(-1, 1)$ હોવાથી,$|x| < 1$,તેથી સરવાળો $f(x) = \frac{x}{1-x}$ થાય.
વિસ્તાર $B$ શોધવા માટે,$y = \frac{x}{1-x}$ લો.
$y(1-x) = x \Rightarrow y - xy = x \Rightarrow y = x(1+y) \Rightarrow x = \frac{y}{1+y}$.
$-1 < x < 1$ હોવાથી,$-1 < \frac{y}{1+y} < 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{y}{1+y} > -1 \Rightarrow \frac{2y+1}{1+y} > 0$.
અંતરાલ ચકાસતા,$y \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
કિસ્સો $2$: $\frac{y}{1+y} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{1+y} < 0 \Rightarrow y > -1$.
બંને કિસ્સાઓનો છેદ લેતા,$y \in (-1/2, \infty)$ મળે.
આમ,$B = (-1/2, \infty)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 3x - 3$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે $f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$.
વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,વિધેય એકવિધ હોવું જોઈએ. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{3}{2}$ પર છે,તેથી વિધેય $[-\frac{3}{2}, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. આમ,$\alpha = -\frac{3}{2}$.
ધારો કે $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$. તેથી $x + \frac{3}{2} = \sqrt{y + \frac{21}{4}}$,એટલે કે $g(x) = f^{-1}(x) = \sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}$.
આપણે $x = \alpha + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$ આગળ $g'(x)$ શોધવાનું છે.
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{x + \frac{21}{4}}}$.
$x = 1$ આગળ,$g'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{21}{4}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{25}{4}}} = \frac{1}{2 \times \frac{5}{2}} = \frac{1}{5}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = (x+1)^2 - 1, x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો.
તેથી $y+1 = (x+1)^2$,એટલે કે $x+1 = \sqrt{y+1}$ (કારણ કે $x \geq -1$),જે આપે છે $x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
આપણે $f(x) = f^{-1}(x)$ ઉકેલીએ,જે સૂચવે છે $(x+1)^2 - 1 = \sqrt{x+1} - 1$.
આનું સાદું રૂપ $(x+1)^2 = \sqrt{x+1}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1)^4 = x+1$,અથવા $(x+1)((x+1)^3 - 1) = 0$.
આનાથી $x+1 = 0$ અથવા $(x+1)^3 = 1$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
કિસ્સો $3$: $x+1 = \omega$ અથવા $x+1 = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$x = \omega - 1 = \frac{-3+i\sqrt{3}}{2}$ અને $x = \omega^2 - 1 = \frac{-3-i\sqrt{3}}{2}$.
પ્રદેશ $x \geq -1$ હોવાથી,આપણે ફક્ત વાસ્તવિક કિંમતો $x = -1$ અને $x = 0$ ધ્યાનમાં લઈશું.
આમ,ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - \frac{1}{x}$. ધારો કે $y = f(x)$,તેથી $y = x - \frac{1}{x}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના સંદર્ભમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$y = \frac{x^2 - 1}{x} \Rightarrow x^2 - yx - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$f$ નો પ્રદેશ $[1, \infty)$ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂળ લઈએ છીએ:
$x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2}$.
$f^{-1}(3)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y$ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x = f^{-1}(y)$.
$\frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2} = y$
$\sqrt{1+4 \log_2 x} = 2y - 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + 4 \log_2 x = (2y - 1)^2$
$1 + 4 \log_2 x = 4y^2 - 4y + 1$
$4 \log_2 x = 4y^2 - 4y$
$\log_2 x = y^2 - y$
$x = 2^{y^2 - y}$
આમ,$f^{-1}(y) = 2^{y^2 - y}$.
હવે,$y = 3$ મૂકતા:
$f^{-1}(3) = 2^{3^2 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^{9 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^6 = 64$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots$ છે,જ્યાં $|x| < \frac{1}{2}$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{1-2x}$.
ધારો કે $y = f(x) = \frac{1}{1-2x}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધીશું:
$y(1-2x) = 1$
$y - 2xy = 1$
$2xy = y - 1$
$x = \frac{y-1}{2y}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2x}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$. ધારો કે $y = 3x + \frac{2}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - yx + 2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 24}}{6}$.
પ્રદેશ $x \in [1, \infty)$ હોવાથી,આપણે તે ઉકેલ પસંદ કરવો જોઈએ જે આ શરતનું પાલન કરે.
$y \geq 5$ માટે,$y^2 \geq 25$,તેથી $\sqrt{y^2 - 24} \geq 1$.
જો આપણે $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ લઈએ,તો $y=5$ માટે,$x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3} < 1$,જે પ્રદેશની બહાર છે.
જો આપણે $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ લઈએ,તો $y=5$ માટે,$x = \frac{5 + 1}{6} = 1$,જે પ્રદેશમાં છે.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 24}}{6}$.

(A) અહીં વિધેય $f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ એ $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર દરેક રેખા આ વક્રને વધુમાં વધુ એક બિંદુમાં છેદે છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક (one-one) છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $f$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,જે તેના સહપ્રદેશ જેટલો જ છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તેનું વ્યસ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}$ એ $f$ ના સહપ્રદેશને $f$ ના પ્રદેશ પર મેપ કરે છે.
તેથી,$f^{-1}: [0, \infty) \rightarrow (-\infty, 0]$.
આમ,$f^{-1}$ નો પ્રદેશ $[0, \infty)$ છે અને $f^{-1}$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 0]$ છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = f^{-1}(x)$.
વ્યસ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ મળે.
તેથી,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$.
આપણને $g(5) = 6$ અને $g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
$x = 5$ મુકતા,$f^{\prime}(g(5)) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ મળે.
$g(5) = 6$ હોવાથી,$f^{\prime}(6) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ થાય.
$g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ ની કિંમત મુકતા,$f^{\prime}(6) = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a \neq 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લેતા,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.
હવે,$a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ ધ્યાનમાં લો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$.
આમ,$x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$.
કારણ કે $a^{y} = e^{y \ln a}$,તેથી $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$.
વ્યાખ્યા $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \sinh(y \ln a)$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ $h$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $h(f(x)) = x$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$
તેથી,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{h^{\prime}(f(x))}$ મળે.
આપેલ છે કે $h^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \log x}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $f(x)$ મૂકતા $h^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1 + \log(f(x))}$ મળે.
આ કિંમત $f^{\prime}(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + \log(f(x))}} = 1 + \log(f(x))$.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ $g$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(x) = g^{-1}(x)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવિધેયનું વિકલન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f^{\prime}(x) = \frac{1}{g^{\prime}(f(x))}$.
આપેલ છે કે $g^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^n}$,તેથી $g^{\prime}(x)$ ના પદમાં $x$ ની જગ્યાએ $f(x)$ મૂકતા:
$g^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1+\{f(x)\}^n}$.
હવે,આ કિંમત $f^{\prime}(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+\{f(x)\}^n}} = 1+\{f(x)\}^n$.