Inverse Function Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x + \tan x$ અને $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$.
અહીં $f'(x) = 1 + \sec^2 x$ હોવાથી,$f'(g(x)) = 1 + \sec^2(g(x))$ થાય.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(g(x)) = 1 + (1 + \tan^2(g(x))) = 2 + \tan^2(g(x))$.
તેથી,$g'(x) = \frac{1}{2 + \tan^2(g(x))}$.
વ્યાખ્યા $f(g(x)) = x$ પરથી:
$g(x) + \tan(g(x)) = x$
$\tan(g(x)) = x - g(x)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\tan^2(g(x)) = (x - g(x))^2 = (g(x) - x)^2$.
આ કિંમત $g'(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g'(x) = \frac{1}{2 + (g(x) - x)^2}$.

(D) વિધેય $f: A \to B$ ત્યારે જ વ્યસ્ત હોય જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
વિકલ્પ $A$: $y = e^x$ એ $R$ થી $R^+$ પરનું ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે બાયજેક્શન છે અને વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વિકલ્પ $B$: $x \in R^+$ માટે $y = \log|x| = \log x$,જે $R^+$ થી $R$ પરનું ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે બાયજેક્શન છે અને વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વિકલ્પ $C$: $y = \sin^3x$ એ $\left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ પર $[-1, 1]$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે બાયજેક્શન છે અને વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વિકલ્પ $D$: $y = e^{[x]}$ જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. કોઈપણ $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $y = e^0 = 1$. આ વિધેય અંતરાલ $[0, 1)$ માં તમામ $x$ માટે સમાન કિંમત આપે છે,તેથી તે એક-એક નથી (અનેક-એક છે). તેથી,તે બાયજેક્શન નથી અને તેનો વ્યસ્ત વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતો નથી.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
ધારો કે $y = f(x)$,તેથી $y = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$a^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.
હવે,$a^{-y} = \frac{1}{a^y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$ ધ્યાનમાં લો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $a^{-y} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x)} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(x^2 + 1) - x^2} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.
આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) \sqrt{x^2 + 1} + x = a^y$
$2) \sqrt{x^2 + 1} - x = a^{-y}$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\sqrt{x^2 + 1} + x) - (\sqrt{x^2 + 1} - x) = a^y - a^{-y}$
$2x = a^y - a^{-y}$
$x = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.
તેથી $f^{-1}(y) = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$ મળે છે.

(C) $f^{-1}(17)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 17$ લઈએ:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$.
આમ,$f^{-1}(17) = \{4, -4\}$ થાય.
$f^{-1}(-3)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = -3$ લઈએ:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
આમ,$f^{-1}(-3) = \phi$ (ખાલી ગણ) થાય.
તેથી,સાચો જવાબ $\{4, -4\}$ અને $\phi$ છે.

(C) આપેલ પ્રદેશ $x \in (4, 6)$ છે.
$x \in (4, 6)$ માટે,$\frac{x}{2} \in (2, 3)$ થાય.
$(2, 3)$ માં કોઈપણ કિંમત માટે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[\frac{x}{2}]$ ની કિંમત $2$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = x + 2$ બને છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = x + 2$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = y - 2$ મળે છે.
આમ,$f^{-1}(x) = x - 2$ થાય.

(D) વિધેય વ્યસ્ત સંપન્ન છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) છે.
$1$. એક-એક: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{x_2 - 2}$
$(x_1 - 1)(x_2 - 2) = (x_2 - 1)(x_1 - 2)$
$x_1x_2 - 2x_1 - x_2 + 2 = x_1x_2 - 2x_2 - x_1 + 2$
$-2x_1 - x_2 = -2x_2 - x_1$
$x_2 = x_1$. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત: ધારો કે $y = \frac{x - 1}{x - 2}$.
$y(x - 2) = x - 1$
$yx - 2y = x - 1$
$yx - x = 2y - 1$
$x(y - 1) = 2y - 1$
$x = \frac{2y - 1}{y - 1}$.
દરેક $y \in R - \{1\}$ માટે,$x \in R - \{2\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તે વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 - x + 5$ જ્યાં $x > \frac{1}{2}$.
$g'(7)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રતિવિધેયના વિકલનનું સૂત્ર વાપરીશું: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,જ્યાં $y = f(x)$.
પ્રથમ,$x$ શોધો જેથી $f(x) = 7$ થાય:
$x^2 - x + 5 = 7 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
$x > \frac{1}{2}$ હોવાથી,$x = 2$ મળે.
હવે,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 5) = 2x - 1$.
$x = 2$ આગળ,$f'(2) = 2(2) - 1 = 3$.
તેથી,$g'(7) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x} = \frac{x(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}$,જ્યાં $x \ne 0$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ ને $x$ માટે ઉકેલીશું:
$y(x + 2) = x - 1$
$xy + 2y = x - 1$
$xy - x = -2y - 1$
$x(y - 1) = -(2y + 1)$
$x = \frac{2y + 1}{1 - y}$
તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $f^{-1}(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{2x + 1}{1 - x} \right)$
$= \frac{(1 - x)(2) - (2x + 1)(-1)}{(1 - x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1 - x)^2}$
$= \frac{3}{(1 - x)^2}$

(C) ધારો કે $y = f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}$.
અંશ અને છેદને $8^{2x}$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{8^{4x} - 1}{8^{4x} + 1}$.
હવે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત મેળવતા:
$y(8^{4x} + 1) = 8^{4x} - 1$
$y \cdot 8^{4x} + y = 8^{4x} - 1$
$1 + y = 8^{4x}(1 - y)$
$8^{4x} = \frac{1 + y}{1 - y}$.
બંને બાજુ $\log_{8}$ લેતા:
$4x = \log_{8} \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
બેઝ બદલવાના નિયમ $\log_{8} A = \frac{\ln A}{\ln 8} = (\log_{8} e) \ln A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4x = (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
$x = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x) = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ મળે છે.

(A) વિધેય $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $g(a) = 1$,$g(b) = 2$ અને $g(c) = 3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,સંયોજિત વિધેય $g \circ f: X \rightarrow X$ ને ધ્યાનમાં લો:
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
દરેક $x \in X$ માટે $(g \circ f)(x) = x$ હોવાથી,$g \circ f = I_X$ થાય છે.
હવે,સંયોજિત વિધેય $f \circ g: Y \rightarrow Y$ ને ધ્યાનમાં લો:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
દરેક $y \in Y$ માટે $(f \circ g)(y) = y$ હોવાથી,$f \circ g = I_Y$ થાય છે.

(D) $f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે એવું વિધેય $g: Y \rightarrow N$ શોધવું પડશે કે જેથી $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ થાય.
કોઈપણ સ્વૈચ્છિક ઘટક $y \in Y$ લો. $Y$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈ $x \in N$ માટે $y = 4x + 3$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{y-3}{4}$ મળે છે.
$g: Y \rightarrow N$ ને $g(y) = \frac{y-3}{4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,સંયોજન $g \circ f(x)$ ની ગણતરી કરો:
$g(f(x)) = g(4x+3) = \frac{(4x+3)-3}{4} = \frac{4x}{4} = x$.
આમ,$g \circ f = I_N$.
આગળ,સંયોજન $f \circ g(y)$ ની ગણતરી કરો:
$f(g(y)) = f\left(\frac{y-3}{4}\right) = 4\left(\frac{y-3}{4}\right) + 3 = (y-3) + 3 = y$.
આમ,$f \circ g = I_Y$.
ચૂંક $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે અને તેનું વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y) = \frac{y-3}{4}$ છે.

(N/A) $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે એવું વિધેય $g: Y \rightarrow N$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $g \circ f = I_{N}$ અને $f \circ g = I_{Y}$ થાય.
$Y$ માંનો કોઈપણ ઘટક $y$ એ કોઈ $n \in N$ માટે $n^{2}$ સ્વરૂપમાં છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $n = \sqrt{y}$.
આપણે $g: Y \rightarrow N$ ને $g(y) = \sqrt{y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
હવે,સંયોજિત વિધેયોની ગણતરી કરીએ:
$(g \circ f)(n) = g(f(n)) = g(n^{2}) = \sqrt{n^{2}} = n = I_{N}(n)$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y}) = (\sqrt{y})^{2} = y = I_{Y}(y)$.
આમ,$g \circ f = I_{N}$ અને $f \circ g = I_{Y}$ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
તેથી,વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ છે,જ્યાં $y \in Y$.

(N/A) ધારો કે $y$ એ વિસ્તાર $S$ નો કોઈ સ્વૈચ્છિક ઘટક છે. તો કોઈ $x \in N$ માટે $y = 4x^{2} + 12x + 15$ થાય.
આને $y = (2x + 3)^{2} + 6$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2x + 3)^{2} = y - 6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2x + 3 = \sqrt{y - 6}$ (કારણ કે $x \in N$,તેથી $2x + 3 > 0$).
આમ,$x = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$.
$g: S \rightarrow N$ ને $g(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,$g(f(x)) = g((2x + 3)^{2} + 6) = \frac{\sqrt{(2x + 3)^{2} + 6 - 6} - 3}{2} = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x$.
તે જ રીતે,$f(g(y)) = f\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) = \left(2\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) + 3\right)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6} - 3 + 3)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y$.
તેથી $g \circ f = I_{N}$ અને $f \circ g = I_{S}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ છે.

વ્યાખ્યા મુજબ,$f$ અને $g$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયો હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.
$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $f^{-1}(a)=1, f^{-1}(b)=2, f^{-1}(c)=3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
$g^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{a, b, c\}$ ને $g^{-1}(\text{apple})=a, g^{-1}(\text{ball})=b, g^{-1}(\text{cat})=c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
$f^{-1} \circ f = I_{\{1, 2, 3\}}$ અને $f \circ f^{-1} = I_{\{a, b, c\}}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે.
$g^{-1} \circ g = I_{\{a, b, c\}}$ અને $g \circ g^{-1} = I_{\{\text{apple, ball, cat}\} }$ હોવાથી,$g$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે.
$g \circ f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ એ $(g \circ f)(1)=\text{apple}, (g \circ f)(2)=\text{ball}, (g \circ f)(3)=\text{cat}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$(g \circ f)^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $(g \circ f)^{-1}(\text{apple})=1, (g \circ f)^{-1}(\text{ball})=2, (g \circ f)^{-1}(\text{cat})=3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
હવે,$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{apple}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{apple})) = f^{-1}(a) = 1 = (g \circ f)^{-1}(\text{apple})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{ball}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{ball})) = f^{-1}(b) = 2 = (g \circ f)^{-1}(\text{ball})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{cat}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{cat})) = f^{-1}(c) = 3 = (g \circ f)^{-1}(\text{cat})$.
આમ,$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ સાબિત થાય છે.

(B) વિધેય $f: S \rightarrow S$ વ્યસ્ત ત્યારે જ હોય જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
આપેલ $f = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રદેશ $S$ ના દરેક ઘટકનું પ્રતિબિંબ સહ-પ્રદેશ $S$ માં અનન્ય છે અને સહ-પ્રદેશનો દરેક ઘટક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ ધરાવે છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
$f$ બાયજેક્શન હોવાથી,તે વ્યસ્ત છે.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}$ મેળવવા માટે ક્રમયુક્ત જોડી $(x, y)$ ના ઘટકોને $(y, x)$ માં બદલવામાં આવે છે.
તેથી,$f^{-1} = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} = f$.

(B) વિધેય $f: A \to B$ વ્યસ્ત સંપન્ન ત્યારે જ હોય જો તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
આપેલ $f = \{(1,2), (2,1), (3,1)\}$ માટે,આપણે કિંમતો જોઈએ:
$f(1) = 2$
$f(2) = 1$
$f(3) = 1$
અહીં $f(2) = f(3) = 1$ છે પરંતુ $2 \neq 3$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય એક-એક ન હોવાથી,તે વ્યસ્ત સંપન્ન હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સાચો જવાબ એ છે કે $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન નથી.

(B) વિધેય $f: A \to B$ વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
આપેલ છે કે $f = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$.
પ્રતિવિધેય $f^{-1}: B \to A$ મેળવવા માટે ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ ના ઘટકોને $(y, x)$ માં બદલવામાં આવે છે.
આમ,$f^{-1} = \{(2,1), (3,2), (1,3)\}$.
જોડને ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $f^{-1} = \{(1,3), (2,1), (3,2)\}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}, x \neq \frac{2}{3}.$
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right)$
$= \frac{4\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) + 3}{6\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) - 4}$
$= \frac{\frac{16x+12 + 18x-12}{6x-4}}{\frac{24x+18 - 24x+16}{6x-4}}$
$= \frac{34x}{34} = x.$
કારણ કે $(f \circ f)(x) = x = I(x),$ વિધેય $f$ એ તેનું પોતાનું પ્રતિવિધેય છે.
તેથી,$f$ નું પ્રતિવિધેય $f$ પોતે જ છે,એટલે કે $f^{-1}(x) = f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}.$

(D) વિધેય $f: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{10\}$ એ $f = \{(1,10), (2,10), (3,10), (4,10)\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f$ ની આપેલી વ્યાખ્યા પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 10$ છે.
અહીં પ્રદેશના અલગ-અલગ ઘટકો સહ-પ્રદેશના એક જ ઘટક સાથે જોડાયેલા હોવાથી,$f$ એ અનેક-એક (many-one) વિધેય છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક (one-one) વિધેય નથી.
કોઈપણ વિધેયનું પ્રતિવિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તે બાયજેક્ટિવ (એક-એક અને વ્યાપ્ત) હોય.
આમ,$f$ એક-એક ન હોવાથી તેનું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(NO) વિધેય $g$ નો વ્યસ્ત વિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
આપેલ છે કે $g = \{(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)\}$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g(5) = 4$ અને $g(7) = 4$ છે.
પ્રદેશના બે ભિન્ન ઘટકો $5$ અને $7$ માટે સહ-પ્રદેશમાં એક જ પ્રતિબિંબ $4$ મળે છે,તેથી વિધેય $g$ એક-એક નથી (તે અનેક-એક વિધેય છે).
વિધેય $g$ એક-એક ન હોવાથી,તે બાયજેક્શન નથી.
તેથી,વિધેય $g$ નો વ્યસ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) વિધેય $h$ નું પ્રતિવિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
$1$. એક-એક ચકાસણી: વિધેય $h$ પ્રદેશ $\{2, 3, 4, 5\}$ ના ભિન્ન ઘટકોને સહપ્રદેશ $\{7, 9, 11, 13\}$ ના ભિન્ન ઘટકો સાથે જોડે છે. ખાસ કરીને,$h(2)=7, h(3)=9, h(4)=11, h(5)=13$. પ્રદેશના કોઈપણ બે ઘટકો સમાન પ્રતિબિંબ ધરાવતા નથી,તેથી $h$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: $h$ નો વિસ્તાર $\{7, 9, 11, 13\}$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે. આમ,સહપ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$h$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$h$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તે બાયજેક્શન છે. તેથી,વિધેય $h$ નું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(N/A) એક-એક વિધેય માટે,ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\Rightarrow \frac{x_1}{x_1+2} = \frac{x_2}{x_2+2}$
$\Rightarrow x_1(x_2+2) = x_2(x_1+2)$
$\Rightarrow x_1x_2 + 2x_1 = x_1x_2 + 2x_2$
$\Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
પ્રતિવિધેય માટે,ધારો કે $y = f(x) = \frac{x}{x+2}$.
$y(x+2) = x \Rightarrow xy + 2y = x \Rightarrow 2y = x(1-y) \Rightarrow x = \frac{2y}{1-y}$.
કારણ કે $f$ તેના વિસ્તાર પર વ્યાપ્ત (onto) છે,તેથી પ્રતિવિધેય $f^{-1}: \text{Range } f \rightarrow [-1,1]$ એ $f^{-1}(y) = \frac{2y}{1-y}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

(N/A) $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
$1$. એક-એક:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$4x_1 + 3 = 4x_2 + 3$
$4x_1 = 4x_2$
$x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત:
કોઈપણ $y \in R$ માટે,ધારો કે $y = 4x + 3$.
તેથી $4x = y - 3$,જે આપણને $x = \frac{y-3}{4}$ આપે છે.
કારણ કે $y \in R$,તેથી $x = \frac{y-3}{4} \in R$.
દરેક $y \in R$ માટે,એવો $x = \frac{y-3}{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = 4(\frac{y-3}{4}) + 3 = y - 3 + 3 = y$.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
$f^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y \implies x = f^{-1}(y)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$y = 4x + 3$ પરથી,આપણને $x = \frac{y-3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$f^{-1}(y) = \frac{y-3}{4}$,અથવા $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{4}$.

(A) $f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ એ $f(x) = x^{2} + 4$ તરીકે આપેલ છે.
એક-એક (one-one) માટે:
ધારો કે $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{2} + 4 = y^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y^{2}$.
$\Rightarrow x = y$ (કારણ કે $x, y \in R_{+}$).
તેથી,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત (onto) માટે:
$y \in [4, \infty)$ માટે,ધારો કે $y = x^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y - 4 \geq 0$ (કારણ કે $y \geq 4$).
$\Rightarrow x = \sqrt{y - 4} \geq 0$.
તેથી,કોઈપણ $y \in [4, \infty)$ માટે,$x = \sqrt{y - 4} \in R_{+}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેથી $f(x) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,તેથી $f^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ચાલો $g: [4, \infty) \rightarrow R_{+}$ ને $g(y) = \sqrt{y - 4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.
હવે,
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^{2} + 4) = \sqrt{(x^{2} + 4) - 4} = \sqrt{x^{2}} = x$.
અને
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
તેથી,$g \circ f = I_{R_{+}}$ અને $f \circ g = I_{[4, \infty)}$.
આમ,$f$ વ્યસ્ત છે અને $f$ નો વ્યસ્ત $f^{-1}(y) = g(y) = \sqrt{y - 4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) $f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ એ $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ તરીકે આપેલ છે.
ધારો કે $y$ એ $[-5, \infty)$ નો કોઈ સ્વૈચ્છિક ઘટક છે.
$y = 9x^{2} + 6x - 5$ લો.
$y = (3x + 1)^{2} - 1 - 5 = (3x + 1)^{2} - 6$.
$y + 6 = (3x + 1)^{2}$.
$x \in R_{+}$ હોવાથી,$x > 0$,તેથી $3x + 1 > 1$. આમ,$3x + 1 = \sqrt{y+6}$.
$x = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$.
$g: [-5, \infty) \rightarrow R_{+}$ ને $g(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((3x+1)^{2}-6) = \frac{\sqrt{(3x+1)^{2}-6+6}-1}{3} = \frac{3x+1-1}{3} = x$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = 9\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)^{2} + 6\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right) - 5 = (\sqrt{y+6}-1)^{2} + 2(\sqrt{y+6}-1) - 5 = (y+6 - 2\sqrt{y+6} + 1) + 2\sqrt{y+6} - 2 - 5 = y + 7 - 7 = y$.
$g \circ f = I_{R_{+}}$ અને $f \circ g = I_{[-5, \infty)}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ છે.

ધારો કે $f: X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે.
ધારો કે $f$ ના બે વ્યસ્ત વિધેયો $g_{1}$ અને $g_{2}$ છે,જ્યાં $g_{1}: Y \rightarrow X$ અને $g_{2}: Y \rightarrow X$ છે.
વ્યસ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક $y \in Y$ માટે:
$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = y$
$f \circ g_{2}(y) = I_{Y}(y) = y$
તેથી,દરેક $y \in Y$ માટે $f(g_{1}(y)) = f(g_{2}(y))$ થાય.
$f$ વ્યસ્ત સંપન્ન હોવાથી,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$f$ એક-એક હોવાથી,$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ થાય.
આથી $f(g_{1}(y)) = f(g_{2}(y))$ પરથી આપણને $g_{1}(y) = g_{2}(y)$ મળે છે,જે દરેક $y \in Y$ માટે સાચું છે.
આમ,$g_{1} = g_{2}$.
તેથી,વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય $f$ નો વ્યસ્ત અનન્ય છે.

(N/A) વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ એ $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
આપણે સંયોજનો તપાસીએ:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
આમ,$f \circ g = I_Y$,જ્યાં $Y = \{a, b, c\}$.
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
આમ,$g \circ f = I_X$,જ્યાં $X = \{1, 2, 3\}$.
કારણ કે $f \circ g = I_Y$ અને $g \circ f = I_X$,તેથી $f$ નું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $f^{-1} = g$.
તેથી,$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ એ $f^{-1}(a) = 1, f^{-1}(b) = 2, f^{-1}(c) = 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
હવે,$(f^{-1})^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $g$ નું વ્યસ્ત શોધીએ છીએ. ધારો કે $h: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ એ $h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે સંયોજનો તપાસીએ:
$(g \circ h)(1) = g(h(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ h)(3) = g(h(3)) = g(c) = 3$
આમ,$g \circ h = I_X$.
$(h \circ g)(a) = h(g(a)) = h(1) = a$
$(h \circ g)(b) = h(g(b)) = h(2) = b$
$(h \circ g)(c) = h(g(c)) = h(3) = c$
આમ,$h \circ g = I_Y$.
કારણ કે $g \circ h = I_X$ અને $h \circ g = I_Y$,તેથી $g$ નું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $g^{-1} = h$. કારણ કે $g = f^{-1}$,તેથી $(f^{-1})^{-1} = h$. કારણ કે $h = f$,તેથી સાબિત થાય છે કે $(f^{-1})^{-1} = f$.

(A) ધારો કે $f : X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે જો કોઈ એવું વિધેય $g : Y \rightarrow X$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય કે જેથી $g \circ f = I_X$ અને $f \circ g = I_Y$ થાય,જ્યાં $I_X$ અને $I_Y$ એ અનુક્રમે $X$ અને $Y$ પરના તદેવ વિધેયો છે.
આ કિસ્સામાં,$g = f^{-1}$ છે.
શરતોમાં $g = f^{-1}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f^{-1} \circ f = I_X$ અને $f \circ f^{-1} = I_Y$.
હવે,વિધેય $f^{-1} : Y \rightarrow X$ નો વિચાર કરો. $f^{-1}$ વ્યસ્ત સંપન્ન હોવા માટે,કોઈ એવું વિધેય $h : X \rightarrow Y$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ કે જેથી $h \circ f^{-1} = I_Y$ અને $f^{-1} \circ h = I_X$ થાય.
શરતો $f \circ f^{-1} = I_Y$ અને $f^{-1} \circ f = I_X$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f$ એ $h$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$f$ એ $f^{-1}$ નો વ્યસ્ત છે,જેનો અર્થ છે કે $\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4x}{3x+4}$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,$y = f(x) = \frac{4x}{3x+4}$ લો.
$y(3x+4) = 4x$
$3xy + 4y = 4x$
$4y = 4x - 3xy$
$4y = x(4-3y)$
$x = \frac{4y}{4-3y}$.
આમ,પ્રતિવિધેય $g(y) = \frac{4y}{4-3y}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $y = 5^{\log x}$ છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરતા:
$x = 5^{\log y}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $a^{\log b} = b^{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$x = y^{\log 5}$.
આમ,વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y) = y^{\log 5}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 10x + 7$. વિધેય $f$ વ્યસ્ત હોવા માટે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવું જોઈએ.
$1$. એક-એક: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $10x_1 + 7 = 10x_2 + 7$,જે સૂચવે છે કે $10x_1 = 10x_2$,તેથી $x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત: ધારો કે $y = 10x + 7$. $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{y-7}{10}$ મળે છે. દરેક $y \in R$ માટે,$x = \frac{y-7}{10} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
$f$ બાયજેક્ટિવ હોવાથી,તે વ્યસ્ત છે. ધારો કે $g(y) = f^{-1}(y)$.
$g(y) = \frac{y-7}{10}$.
ચકાસણી:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(10x + 7) = \frac{(10x+7)-7}{10} = \frac{10x}{10} = x = I_R(x)$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y - 7 + 7 = y = I_R(y)$.
આમ,$g(x) = \frac{x-7}{10}$.

(A) આપેલ છે કે $f: W \rightarrow W$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} n-1 & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ n+1 & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$
એક-એક (one-one) માટે:
ધારો કે $f(n) = f(m)$.
જો $n$ એકી અને $m$ બેકી હોય,તો $n-1 = m+1 \Rightarrow n-m = 2$. આ અશક્ય છે કારણ કે એકી અને બેકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે. તેવી જ રીતે,$n$ બેકી અને $m$ એકી હોવું પણ અશક્ય છે.
તેથી,$n$ અને $m$ બંનેની સમાનતા (parity) સમાન હોવી જોઈએ.
જો બંને એકી હોય,તો $n-1 = m-1 \Rightarrow n = m$.
જો બંને બેકી હોય,તો $n+1 = m+1 \Rightarrow n = m$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત (onto) માટે:
સહ-પ્રદેશમાં કોઈપણ એકી સંખ્યા $2r+1$ એ પ્રદેશમાં કોઈક સંખ્યાનું પ્રતિબિંબ છે. દરેક $m \in W$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે વ્યસ્ત છે.
ધારો કે $g: W \rightarrow W$ એ $g(m) = \begin{cases} m+1 & \text{જો } m \text{ બેકી હોય} \\ m-1 & \text{જો } m \text{ એકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે તમામ $n \in W$ માટે $f(f(n)) = n$ થાય છે.
જો $n$ એકી હોય,તો $f(n) = n-1$ (બેકી),તેથી $f(f(n)) = f(n-1) = (n-1)+1 = n$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $f(n) = n+1$ (એકી),તેથી $f(f(n)) = f(n+1) = (n+1)-1 = n$.
આમ,$f \circ f = I_W$,જે સૂચવે છે કે $f^{-1} = f$.

(A) આપેલ ગણ $S = \{a, b, c\}$ અને $T = \{1, 2, 3\}$ છે.
વિધેય $F : S \rightarrow T$ એ $F = \{(a, 3), (b, 2), (c, 1)\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આનો અર્થ એ છે કે $F(a) = 3$,$F(b) = 2$,અને $F(c) = 1$.
કારણ કે $F$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્ટિવ) વિધેય છે,તેથી તેનો વ્યસ્ત વિધેય $F^{-1} : T \rightarrow S$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત વિધેય $F$ ની ક્રમયુક્ત જોડોને ઉલટાવીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$F^{-1} = \{(3, a), (2, b), (1, c)\}$.

(D) આપેલ છે કે $S = \{a, b, c\}$ અને $T = \{1, 2, 3\}$.
વિધેય $F : S \rightarrow T$ ને $F = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
કોઈપણ વિધેય ત્યારે જ વ્યસ્ત (invertible) હોય જો તે એક-એક (one-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોય.
અહીં,$F(b) = 1$ અને $F(c) = 1$ છે. કારણ કે $F(b) = F(c)$ છે પરંતુ $b \neq c$ છે,તેથી વિધેય $F$ એક-એક નથી.
કારણ કે $F$ એક-એક નથી,તેથી તે બાયજેક્શન (bijection) નથી.
તેથી,$F$ વ્યસ્ત નથી,જેનો અર્થ છે કે $F^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. ધારો કે $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
આપેલ છે $g(x) = 2x-3$. ધારો કે $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
તેથી,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
આપણને આપેલ છે $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ વડે ગુણતા: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
બીજ $x = 2$ અને $x = 3$ છે. $x$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
$(f \circ f)(x) = x$ માટે,વિધેય $f$ એ તેનું પોતાનું વ્યસ્ત વિધેય હોવું જોઈએ,એટલે કે $f(x) = f^{-1}(x)$.
ધારો કે $y = f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
તેથી $y(6x - \alpha) = 5x + 3$.
$6xy - \alpha y = 5x + 3$.
$6xy - 5x = \alpha y + 3$.
$x(6y - 5) = \alpha y + 3$.
$x = \frac{\alpha y + 3}{6y - 5}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
કારણ કે $f(x) = f^{-1}(x)$,તેથી $\frac{5x + 3}{6x - \alpha} = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $(g \circ f)(x) = x$. સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$.
આપણે $g'(2)$ શોધવાનું છે. ધારો કે $f(x) = 2$.
$x^5 + 2e^{x/4} = 2$. નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 0$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(0^5 + 2e^0 = 2)$.
તેથી,$g'(f(0)) \cdot f'(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g'(2) = \frac{1}{f'(0)}$.
હવે,$f'(x) = 5x^4 + 2 \cdot \frac{1}{4} e^{x/4} = 5x^4 + \frac{1}{2} e^{x/4}$.
$x = 0$ આગળ,$f'(0) = 5(0)^4 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g'(2) = \frac{1}{1/2} = 2$.
આમ,$8g'(2) = 8 \times 2 = 16$.

(D) આપેલ છે $f(x)=x^3+3x+2$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે.
$g(f(x))=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ મળે છે.
$g'(2)$ માટે,આપણે $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ લઈએ,તેથી $x=0$.
આમ $g'(2) \cdot f'(0)=1$. $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(0)=3$.
તેથી $g'(2) = \frac{1}{3}$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
આપેલ છે $h(g(g(x)))=x$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g(g(f(f(x))))=x$,જે સૂચવે છે કે $g(g(x))=f(f(x))$.
તેથી $h(f(f(x)))=x$. આનો અર્થ એ છે કે $h$ એ $f(f(x))$ નું પ્રતિવિધેય છે.
પરંતુ,પ્રશ્ન કહે છે કે $h(g(g(x)))=x$. $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$ હોવાથી,આપણી પાસે $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ છે.
ધારો કે $f^{-1}(x)=y$,તો $f(y)=x$. સમીકરણ $h(f^{-1}(y))=f(y)$ બને છે.
ધારો કે $f^{-1}(y)=z$,તો $y=f(z)$. તેથી $h(z)=f(f(z))$.
આમ $h(x)=f(f(x))$.
હવે,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ અને $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(1)=6$ અને $f'(6)=3(6^2)+3=111$.
$h'(1)=111 \times 6=666$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + e^{x/2}$.
આપણે $g^{\prime}(1)$ શોધવાનું છે જ્યાં $g = f^{-1}$ છે.
પ્રથમ,$x$ શોધો જેથી $f(x) = 1$ થાય.
$x^3 + e^{x/2} = 1$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 0$ લઈએ,તો $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ મળે છે.
આમ,$f(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = 0$.
વ્યસ્ત વિધેયના વિકલન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $g^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)}$ જ્યાં $y = f(x)$ છે.
અહીં $y = 1$ છે,તેથી $x = 0$ મળે.
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + e^{x/2}) = 3x^2 + \frac{1}{2}e^{x/2}$.
$x = 0$ આગળ,$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $e^{-x} f(x) = 2 + \int_0^x \sqrt{t^4 + 1} \, dt \dots (i)$
$x = 0$ લેતા,$e^0 f(0) = 2 + \int_0^0 \sqrt{t^4 + 1} \, dt \implies f(0) = 2$.
તેથી,$f^{-1}(2) = 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.
$y = 2$ માટે,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(0)}$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-e^{-x} f(x) + e^{-x} f'(x) = \sqrt{x^4 + 1}$.
$x = 0$ મુકતા:
$-e^0 f(0) + e^0 f'(0) = \sqrt{0^4 + 1}$
$-1(2) + 1(f'(0)) = 1$
$-2 + f'(0) = 1 \implies f'(0) = 3$.
તેથી,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
$y(1-bx) = b-x \Rightarrow y - bxy = b - x \Rightarrow x(1-by) = b-y \Rightarrow x = \frac{b-y}{1-by}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{b-y}{1-by}$,જે સૂચવે છે કે $f(x) = f^{-1}(x)$,તેથી $f = f^{-1}$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{(1-bx)(-1) - (b-x)(-b)}{(1-bx)^2} = \frac{-1+bx+b^2-bx}{(1-bx)^2} = \frac{b^2-1}{(1-bx)^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{b^2-1}{(1-0)^2} = b^2-1$.
$f^{\prime}(b) = \frac{b^2-1}{(1-b^2)^2} = \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} = \frac{1}{b^2-1}$.
તેથી,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}(0)}$.

(B) ધારો કે $h(x) = f(g^{-1}(x))$. આપણે $h'(2) = f'(g^{-1}(2)) \cdot (g^{-1})'(2)$ શોધવાની જરૂર છે.
પ્રથમ,$g^{-1}(2)$ શોધો. કારણ કે $g(0) = \frac{4}{1 + e^0} = \frac{4}{2} = 2$,તેથી $g^{-1}(2) = 0$ મળે.
આગળ,$f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 4}$ શોધો. તેથી,$f'(0) = \frac{2}{4} = 0.5$.
હવે,$(g^{-1})'(2)$ શોધો. આપણે જાણીએ છીએ કે $(g^{-1})'(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$.
$g'(x) = \frac{4 \cdot (-1) \cdot e^{-2x} \cdot (-2)}{(1 + e^{-2x})^2} = \frac{8e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}$.
$x = 0$ આગળ,$g'(0) = \frac{8(1)}{(1 + 1)^2} = \frac{8}{4} = 2$.
તેથી,$(g^{-1})'(2) = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{2} = 0.5$.
અંતે,$h'(2) = f'(0) \cdot (g^{-1})'(2) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^2-x}{x^2+2x}$. $x \neq 0$ માટે,આપણે તેને $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
ધારો કે $y = \frac{x-1}{x+2}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$y(x+2) = x-1$
$yx + 2y = x - 1$
$yx - x = -1 - 2y$
$x(y-1) = -(1+2y)$
$x = \frac{2y+1}{1-y}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{1-x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $f^{-1}(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-x}\right) = \frac{(1-x)(2) - (2x+1)(-1)}{(1-x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1-x)^2} = \frac{3}{(1-x)^2}$.
$x = 2$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))|_{x=2} = \frac{3}{(1-2)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$.

(B) આપેલ છે કે $g(x)$ એ વિધેય $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $g(x) = f^{-1}(x)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(g(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$
તેથી,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ ... $(i)$
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^3}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+(g(x))^3}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+(g(x))^3}} = 1+(g(x))^3$.

(A) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ મળે.
આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^4}$ આપેલ છે.
$f^{\prime}(x)$ ના પદમાં $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^4}$ મળે.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{1+[g(x)]^4} \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
તેથી,$g^{\prime}(x) = 1+[g(x)]^4$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.
પ્રથમ,$x$ ની એવી કિંમત શોધો કે જેથી $f(x) = 1$ થાય.
$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.
નિરીક્ષણ કરતા,જો $x = 0$ લઈએ,તો $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ મળે છે.
આમ,$f(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g(f(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$.
$g^{\prime}(1)$ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$g^{\prime}(f(0)) \cdot f^{\prime}(0) = 1 \Rightarrow g^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(0) = 1$.
હવે,$f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.
$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(A) પગલું $1$: $f^{-1}(x)$ શોધો. ધારો કે $y = \frac{x-3}{x-2}$. તેથી $y(x-2) = x-3$,એટલે કે $xy - 2y = x - 3$. આમ $x(y-1) = 2y-3$,જે આપે છે $x = \frac{2y-3}{y-1}$. તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{x-1}$.
પગલું $2$: $g^{-1}(x)$ શોધો. ધારો કે $y = 3x-2$. તેથી $3x = y+2$,એટલે કે $x = \frac{y+2}{3}$. આમ,$g^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$.
પગલું $3$: સમીકરણ $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{19}{6}$ ઉકેલો.
$\frac{2x-3}{x-1} + \frac{x+2}{3} = \frac{19}{6}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $6(x-1)$ વડે ગુણતા: $6(2x-3) + 2(x-1)(x+2) = 19(x-1)$.
$12x - 18 + 2(x^2 + x - 2) = 19x - 19$.
$12x - 18 + 2x^2 + 2x - 4 = 19x - 19$.
$2x^2 + 14x - 22 = 19x - 19$.
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
પગલું $4$: દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ઉકેલો.
$(2x+1)(x-3) = 0$.
બીજ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = 3$ છે.
પગલું $5$: $x$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
ધારો કે $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $xy = x^2 + 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 - xy + 1 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલવા દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
પ્રદેશ $x \in [1, \infty)$ હોવાથી,$x \ge 1$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ લઈએ,તો $y=2$ માટે $x=1$ મળે,પરંતુ $y > 2$ માટે આ કિંમત $1$ કરતા ઓછી થઈ જશે.
તેથી,આપણે ધન મૂળ પસંદ કરીએ છીએ: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = y$,જેનો અર્થ છે કે $x = f^{-1}(y)$.
આપેલ છે કે $y = \frac{2x - 3}{3x - 4}$.
બંને બાજુ $(3x - 4)$ વડે ગુણતા:
$y(3x - 4) = 2x - 3$
$3xy - 4y = 2x - 3$
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$3xy - 2x = 4y - 3$
$x(3y - 2) = 4y - 3$
$x = \frac{4y - 3}{3y - 2}$
કારણ કે $x = f^{-1}(y)$,તેથી $f^{-1}(y) = \frac{4y - 3}{3y - 2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{3x - 2}$ મળે છે.