मान लीजिए f(x)=sqrt{2-x-x^2} और g(x)=cos x है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{2-x-x^2}$ और $g(x) = \cos x$।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$2-x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+x-2 \leq 0 \Rightarrow (x+2)

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केवल $I$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{2-x-x^2}$ और $g(x) = \cos x$।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$2-x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+x-2 \leq 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 1]$।$f(g(x))$ के लिए,हमें $g(x) \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।$f((g(x))^2)$ के लिए,हमें $(g(x))^2 \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $0 \leq \cos^2 x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।इसलिए,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $f(g(x))$ का प्रांत,अतः कथन $I$ सत्य है।$g(f(x))$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$।चूँकि $f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$ और $g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$,कथन $II$ और $III$ असत्य हैं।$g((f(x))^3)$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g((f(x))^3)$ का प्रांत = $[-2, 1]$। यह $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है,इसलिए कथन $IV$ असत्य है।अतः,केवल कथन $I$ सत्य है।

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