(0, pi) पर परिभाषित फलन f(x) = (sin x)^{sin x | vedclass

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Question

(D) माना $y = f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \sin x \ln(\sin x)$ प्राप्त होता है

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$[e^{-1/e}, 1]$

Vedclass · Answer

(D) माना $y = f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \sin x \ln(\sin x)$ प्राप्त होता है।माना $u = \sin x$ है। चूँकि $x \in (0, \pi)$,$u$ का परिसर $(0, 1]$ है।हम $g(u) = u^u$ को $u \in (0, 1]$ के लिए परिभाषित करते हैं।परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(u)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$g'(u) = u^u (1 + \ln u)$।$g'(u) = 0$ रखने पर,$1 + \ln u = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln u = -1$,अतः $u = e^{-1} = \frac{1}{e}$।$u = \frac{1}{e}$ पर,$g(\frac{1}{e}) = (e^{-1})^{e^{-1}} = e^{-1/e}$ प्राप्त होता है।जब $u 	o 0^+$,तब $g(u) = u^u 	o 1$ (सीमा $\lim_{u 	o 0^+} u^u = 1$ का उपयोग करते हुए)।$u = 1$ पर,$g(1) = 1^1 = 1$ प्राप्त होता है।अतः,न्यूनतम मान $e^{-1/e}$ और अधिकतम मान $1$ है।इसलिए,परिसर $[e^{-1/e}, 1]$ है।

$(0, \pi)$ पर परिभाषित फलन $f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ का परिसर (range) है

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