Composition of Functions Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $f(x) = e^x$ और $g(x) = x^2$ है।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $f(g(x)) = f(x^2) = e^{x^2}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,संयुक्त फलन $g(f(x)) = g(e^x) = (e^x)^2 = e^{2x}$ ज्ञात करें।
दोनों को बराबर रखने पर,हमें $e^{x^2} = e^{2x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चरघातांकी फलन एकैकी (one-to-one) होता है,इसलिए हम घातों की तुलना कर सकते हैं: $x^2 = 2x$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $x(x - 2) = 0$ हैं।
अतः,हल $x = 0$ और $x = 2$ हैं।
इसलिए,हलों की कुल संख्या $2$ है।

(B) $f(f(x)) = 2$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = t$ है। तब समीकरण $f(t) = 2$ हो जाता है।
ग्राफ से,$f(t) = 2$ का मान $t = -3$,$t = 1/2$,और $t = \alpha$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $2 < \alpha < 3$ है।
अब,प्रत्येक $t$ के मान के लिए $f(x) = t$ में $x$ के लिए हल करते हैं:
$1$. $f(x) = -3$: ग्राफ से,$f(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है। अतः,$f(x) = -3$ का कोई हल नहीं है।
$2$. $f(x) = 1/2$: क्षैतिज रेखा $y = 1/2$ ग्राफ को $2$ बिंदुओं पर काटती है।
$3$. $f(x) = \alpha$ (जहाँ $2 < \alpha < 3$): क्षैतिज रेखा $y = \alpha$ ग्राफ को $2$ बिंदुओं पर काटती है।
हलों की कुल संख्या = $0 + 2 + 2 = 4$.

(C) दिया गया है कि $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$.
हम इस व्यंजक को $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$ है। तब $f(t) = t^2 - 2$,जिसका अर्थ है कि $f(x) = x^2 - 2$ है।
अब,हमें $(f \circ f)(\sqrt{11}) = f(f(\sqrt{11}))$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f(\sqrt{11}) = (\sqrt{11})^2 - 2 = 11 - 2 = 9$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f(9) = 9^2 - 2 = 81 - 2 = 79$ ज्ञात करें।
अतः,$(f \circ f)(\sqrt{11}) = 79$।

(A) दिया गया है $\frac{1}{2} (g \circ f)(x) = 2x^2 - 5x + 2$,इसलिए $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 10x + 4$ होगा।
चूंकि $g(x) = x^2 + x - 2$,इसलिए $g(f(x)) = (f(x))^2 + f(x) - 2$ होगा।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $(f(x))^2 + f(x) - 2 = 4x^2 - 10x + 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(f(x))^2 + f(x) - (4x^2 - 10x + 6) = 0$।
द्विघात सूत्र $f(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1, b=1, c=-(4x^2 - 10x + 6)$:
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-(4x^2 - 10x + 6))}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16x^2 - 40x + 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{16x^2 - 40x + 25}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{(4x - 5)^2}}{2} = \frac{-1 \pm (4x - 5)}{2}$।
धनात्मक मूल लेने पर: $f(x) = \frac{-1 + 4x - 5}{2} = \frac{4x - 6}{2} = 2x - 3$।

(D) दिया गया है $f(x) = 2^{10}x + 1$ और $g(x) = 3^{10}x - 1$।
हमें $(f \circ g)(x) = x$ दिया गया है।
$f(g(x))$ में $g(x)$ का मान रखने पर,$f(g(x)) = 2^{10}(3^{10}x - 1) + 1 = x$।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $2^{10} \cdot 3^{10}x - 2^{10} + 1 = x$।
चूंकि $2^{10} \cdot 3^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 6^{10}$,इसलिए $6^{10}x - x = 2^{10} - 1$।
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(6^{10} - 1) = 2^{10} - 1$।
अतः,$x = \frac{2^{10} - 1}{6^{10} - 1}$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\frac{1 - 2^{-10}}{3^{10} - 2^{-10}} = \frac{(2^{10}-1)/2^{10}}{(3^{10} \cdot 2^{10} - 1)/2^{10}} = \frac{2^{10}-1}{6^{10}-1}$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) $f_1(x) = f_{0+1}(x) = f_0(f_0(x)) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}} = \frac{x - 1}{x}$
$f_2(x) = f_{1+1}(x) = f_0(f_1(x)) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} = x$
$f_3(x) = f_{2+1}(x) = f_0(f_2(x)) = f_0(x) = \frac{1}{1 - x}$
चूंकि $f_3(x) = f_0(x)$,फलन $3$ के आवर्तकाल के साथ पुनरावृत्त होता है।
$f_{100}(3) = f_{3 \times 33 + 1}(3) = f_1(3) = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$f_1\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{2}$
$f_2\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2}$
अतः,$f_{100}(3) + f_1\left( \frac{2}{3} \right) + f_2\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

(B) फलन $u(x) = \frac{1}{x - 1}$,$x = 1$ पर असतत है।
फलन $f(u) = \frac{1}{u^2 + u - 2} = \frac{1}{(u + 2)(u - 1)}$,$u = -2$ और $u = 1$ पर असतत है।
संयुक्त फलन $f(u(x))$ के लिए,हमें उन बिंदुओं पर विचार करना चाहिए जहाँ $u(x)$ अपरिभाषित है और जहाँ $u(x)$ का मान $f(u)$ को अपरिभाषित बनाता है।
$1$. $u(x)$,$x = 1$ पर असतत है।
$2$. जब $u(x) = -2$ है,तो $\frac{1}{x - 1} = -2$,जिसका अर्थ है $x - 1 = -\frac{1}{2}$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$।
$3$. जब $u(x) = 1$ है,तो $\frac{1}{x - 1} = 1$,जिसका अर्थ है $x - 1 = 1$,इसलिए $x = 2$।
अतः,संयुक्त फलन $f(u(x))$,$x = 1, \frac{1}{2}, 2$ पर असतत है।
ऐसे कुल $3$ बिंदु हैं।

(A) दिए गए फलन ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$,${f_2}(x) = 1 - x$,और ${f_3}(x) = \frac{1}{1 - x}$ हैं।
दिया गया समीकरण $(f_2 \circ J \circ f_1)(x) = f_3(x)$ है,जिसे ${f_2}(J(f_1(x))) = f_3(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${f_2}$ और ${f_3}$ के मान रखने पर:
$1 - J(f_1(x)) = \frac{1}{1 - x}$.
$J(f_1(x))$ के लिए हल करने पर:
$J(f_1(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$.
चूंकि ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$,मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{t}$.
$J(f_1(x))$ के व्यंजक में $x = \frac{1}{t}$ रखने पर:
$J(t) = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t} - 1} = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1 - t}{t}} = \frac{1}{1 - t}$.
अतः,$J(x) = \frac{1}{1 - x}$,जो ${f_3}(x)$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $f(x) = \log_e(\sin x)$ और $g(x) = \sin^{-1}(e^{-x})$.
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x)) = \log_e(\sin(\sin^{-1}(e^{-x})))$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sin(\sin^{-1}(u)) = u$,इसलिए $(fog)(x) = \log_e(e^{-x}) = -x$ है।
दिया गया है $b = (fog)(\alpha)$,इसलिए $b = -\alpha$ है।
अब,अवकलन $(fog)'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ ज्ञात करें।
दिया गया है $a = (fog)'(\alpha)$,इसलिए $a = -1$ है।
अब,$a = -1$ और $b = -\alpha$ के मानों को विकल्पों में रखें।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $a\alpha^2 - b\alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$ है।
अतः,$a\alpha^2 - b\alpha - a = 1$ सही है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = \sqrt{x}$,$g(x) = \tan x$,और $h(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ हैं।
सबसे पहले,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{\tan x}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\phi(x) = (h \circ (f \circ g))(x) = h(\sqrt{\tan x})$ ज्ञात करें।
$h(x)$ में $\sqrt{\tan x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi(x) = \frac{1 - (\sqrt{\tan x})^2}{1 + (\sqrt{\tan x})^2} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan\left( \frac{\pi}{4} - x \right)$।
अब,$\phi\left( \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{3\pi - 4\pi}{12} \right) = \tan\left( -\frac{\pi}{12} \right) = -\tan\left( \frac{\pi}{12} \right)$ की गणना करें।
चूंकि $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$,इसलिए $-\tan\left( \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \pi - \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \frac{11\pi}{12} \right)$ होता है।

(B) दिया गया है $g(x) = x^{2} + x - 1$ और $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 4x^{2} - 10x + 5$.
माना $f(x) = y$. तब $g(y) = y^{2} + y - 1 = 4x^{2} - 10x + 5$.
$y^{2} + y - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$y$ के लिए हल करने हेतु,हम $y^{2} + y$ को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$(y + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$(y + \frac{1}{2})^{2} = 4x^{2} - 10x + \frac{25}{4} = (2x - \frac{5}{2})^{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$y + \frac{1}{2} = \pm(2x - \frac{5}{2})$.
स्थिति $1$: $f(x) = 2x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2x - 3$.
स्थिति $2$: $f(x) = -2x + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -2x + 2$.
$f(x) = 2x - 3$ के लिए,$f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - 3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$.
$f(x) = -2x + 2$ के लिए,$f(\frac{5}{4}) = -2(\frac{5}{4}) + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$.
अतः,$f(\frac{5}{4}) = -\frac{1}{2}$.

संयोजन $g \circ f$ को $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम प्रांत $\{2, 3, 4, 5\}$ के प्रत्येक तत्व के लिए मानों की गणना करते हैं:
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 7$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 7$
$(g \circ f)(4) = g(f(4)) = g(5) = 11$
$(g \circ f)(5) = g(f(5)) = g(5) = 11$
अतः,$g \circ f = \{(2, 7), (3, 7), (4, 11), (5, 11)\}$.

(N/A) दिया गया है कि $f(x) = \cos x$ और $g(x) = 3x^2$ है।
सबसे पहले,हम $gof(x) = g(f(x)) = g(\cos x) = 3(\cos x)^2 = 3 \cos^2 x$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,हम $fog(x) = f(g(x)) = f(3x^2) = \cos(3x^2)$ ज्ञात करते हैं।
यह दर्शाने के लिए कि $gof \neq fog$ है,हम $x = 0$ का मान लेते हैं।
$gof(0) = 3 \cos^2(0) = 3(1)^2 = 3$ है।
$fog(0) = \cos(3(0)^2) = \cos(0) = 1$ है।
चूंकि $3 \neq 1$ है,अतः यह सिद्ध होता है कि $gof \neq fog$ है।

(A) $g \circ f = I_{B}$ सिद्ध करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) = \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) + 4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) - 3}$
$= \frac{\frac{21x + 28 + 20x - 28}{5x - 7}}{\frac{15x + 20 - 15x + 21}{5x - 7}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$g \circ f(x) = x = I_{B}(x)$ सभी $x \in B$ के लिए।
$f \circ g = I_{A}$ सिद्ध करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) = \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) + 4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) - 7}$
$= \frac{\frac{21x + 12 + 20x - 12}{5x - 3}}{\frac{35x + 20 - 35x + 21}{5x - 3}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$f \circ g(x) = x = I_{A}(x)$ सभी $x \in A$ के लिए।
इसलिए,$f \circ g = I_{A}$ और $g \circ f = I_{B}$ है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि $g \circ f$ एकैकी है,हम मानते हैं कि $A$ के किसी भी $x_1, x_2$ के लिए $g \circ f(x_1) = g \circ f(x_2)$ है।
फलन के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,इसका अर्थ है कि $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$।
चूंकि $g: B \rightarrow C$ एक एकैकी फलन दिया गया है,इसलिए $g(y_1) = g(y_2) \implies y_1 = y_2$। अतः,$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ से $f(x_1) = f(x_2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f: A \rightarrow B$ भी एक एकैकी फलन दिया गया है,इसलिए $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$।
इस प्रकार,$g \circ f(x_1) = g \circ f(x_2) \implies x_1 = x_2$,जो यह सिद्ध करता है कि $g \circ f$ एकैकी फलन है।

(N/A) माना $z$,$C$ का एक स्वेच्छ अवयव है।
चूंकि $g: B \rightarrow C$ एक आच्छादक फलन है,इसलिए $B$ में एक ऐसा अवयव $y$ विद्यमान है कि $g(y) = z$ है।
चूंकि $f: A \rightarrow B$ भी एक आच्छादक फलन है,इसलिए $B$ के अवयव $y$ के लिए $A$ में एक ऐसा अवयव $x$ विद्यमान है कि $f(x) = y$ है।
अब,संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ पर विचार करें।
$f(x) = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(f(x)) = g(y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(y) = z$ है,इसलिए $(g \circ f)(x) = z$ प्राप्त होता है।
अतः,$C$ के प्रत्येक अवयव $z$ के लिए $A$ में एक ऐसा अवयव $x$ विद्यमान है कि $(g \circ f)(x) = z$ है,इसलिए फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ आच्छादक है।

(NO) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$ और $g$ अनिवार्य रूप से एकैकी हैं,संयुक्त फलन $g \circ f$ के गुणों का विश्लेषण करें।
यदि $g \circ f$ एकैकी है,तो $f$ के प्रांत में किसी भी $x_1, x_2$ के लिए,$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ का अर्थ है $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका आगे अर्थ है $x_1 = x_2$। यह पुष्टि करता है कि $f$ का एकैकी होना आवश्यक है।
हालाँकि,$g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है।
फलन $f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ को $f(x) = x$ के रूप में और $g: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ को $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $g(x) = x$ और $g(5) = g(6) = 5$ के रूप में परिभाषित करें।
यहाँ,$(g \circ f)(x) = x$ सभी $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए एकैकी है।
हालाँकि,$g$ एकैकी नहीं है क्योंकि $g(5) = g(6) = 5$ है जबकि $5 \neq 6$ है।
इसलिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है,लेकिन $g$ का एकैकी होना अनिवार्य नहीं है।

(N/A) हमारे पास है:
$h \circ (g \circ f)(x) = h(g(f(x)))$
$= h(g(2x))$
$= h(3(2x) + 4)$
$= h(6x + 4)$
$= \sin(6x + 4), \forall x \in N$
साथ ही,$((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x))$
$= (h \circ g)(2x)$
$= h(g(2x))$
$= h(3(2x) + 4)$
$= h(6x + 4)$
$= \sin(6x + 4), \forall x \in N$
चूंकि दोनों व्यंजक समान परिणाम देते हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.
यह परिणाम फलनों के संयोजन के लिए सामान्य रूप से सत्य है।

(A) फलन $f: \{1,3,4\} \rightarrow \{1,2,5\}$ और $g: \{1,2,5\} \rightarrow \{1,3\}$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $f = \{(1,2), (3,5), (4,1)\}$ और $g = \{(1,3), (2,3), (5,1)\}$।
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3$ [चूंकि $f(1) = 2$ और $g(2) = 3$]
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1$ [चूंकि $f(3) = 5$ और $g(5) = 1$]
$(g \circ f)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3$ [चूंकि $f(4) = 1$ और $g(1) = 3$]
अतः,$g \circ f = \{(1,3), (3,1), (4,3)\}$।

सिद्ध करने के लिए: $(f+g)oh = foh + goh$
$LHS = [(f+g)oh](x)$
$= (f+g)[h(x)] = f[h(x)] + g[h(x)]$
$= (foh)(x) + (goh)(x)$
$= \{(foh) + (goh)\}(x) = RHS$
$\therefore \{(f+g)oh\}(x) = \{(foh) + (goh)\}(x)$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$(f+g)oh = foh + goh$.
सिद्ध करने के लिए: $(f \cdot g)oh = (foh) \cdot (goh)$
$LHS = [(f \cdot g)oh](x)$
$= (f \cdot g)[h(x)] = f[h(x)] \cdot g[h(x)]$
$= (foh)(x) \cdot (goh)(x)$
$= \{(foh) \cdot (goh)\}(x) = RHS$
$\therefore [(f \cdot g)oh](x) = \{(foh) \cdot (goh)\}(x)$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$(f \cdot g)oh = (foh) \cdot (goh)$.

(A) दिए गए फलन $f(x) = |x|$ और $g(x) = |5x-2|$ हैं।
$g \circ f(x)$ ज्ञात करने के लिए:
$g \circ f(x) = g(f(x)) = g(|x|).$
$g(x)$ में $|x|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(|x|) = |5|x|-2|$ प्राप्त होता है।
$f \circ g(x)$ ज्ञात करने के लिए:
$f \circ g(x) = f(g(x)) = f(|5x-2|).$
$f(x)$ में $|5x-2|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(|5x-2|) = ||5x-2|| = |5x-2|$ प्राप्त होता है।
अतः,$g \circ f(x) = |5|x|-2|$ और $f \circ g(x) = |5x-2|$ है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = 8x^3$ और $g(x) = x^{1/3}$ हैं।
$g \circ f(x)$ ज्ञात करने के लिए:
$g \circ f(x) = g(f(x))$
$= g(8x^3)$
$= (8x^3)^{1/3}$
$= (2^3 \cdot x^3)^{1/3}$
$= 2x$.
$f \circ g(x)$ ज्ञात करने के लिए:
$f \circ g(x) = f(g(x))$
$= f(x^{1/3})$
$= 8(x^{1/3})^3$
$= 8x$.

(D) दिया गया है कि $f(x) = (3 - x^{3})^{\frac{1}{3}}$.
$fof(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$fof(x) = f(f(x)) = f((3 - x^{3})^{\frac{1}{3}})$
फलन की परिभाषा में $f(x)$ का मान रखने पर:
$fof(x) = [3 - ((3 - x^{3})^{\frac{1}{3}})^{3}]^{\frac{1}{3}}$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$fof(x) = [3 - (3 - x^{3})]^{\frac{1}{3}}$
$fof(x) = [3 - 3 + x^{3}]^{\frac{1}{3}}$
$fof(x) = (x^{3})^{\frac{1}{3}}$
अतः,$fof(x) = x$.
सही उत्तर $D$ है।

(B) सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $g(x) < 0$ जब $x < 0$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $x^3 < 0$),और $g(x) \geq 0$ जब $x \geq 0$ (क्योंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $x^3 \geq 0$ और $x \geq 1$ के लिए $3x-2 \geq 1$)।
अतः,$(f \circ g)(x) = \begin{cases} x^3+2, & x < 0 \\ x^6, & 0 \leq x < 1 \\ (3x-2)^2, & x \geq 1 \end{cases}$।
अब,संक्रमण बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} (x^3+2) = 2$ और $\lim_{x \to 0^+} (x^6) = 0$। चूँकि $2 \neq 0$,फलन $x=0$ पर असंतत है,इसलिए $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} (x^6) = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} (3x-2)^2 = 1$। फलन $x=1$ पर संतत है।
$x=1$ पर अवकलज की जाँच करते हैं: $LHD = \frac{d}{dx}(x^6)|_{x=1} = 6(1)^5 = 6$। $RHD = \frac{d}{dx}(3x-2)^2|_{x=1} = 2(3x-2) \cdot 3|_{x=1} = 6(3-2) = 6$।
चूँकि $LHD = RHD$,फलन $x=1$ पर अवकलनीय है।
अतः,एकमात्र बिंदु जहाँ $(f \circ g)(x)$ अवकलनीय नहीं है,वह $x=0$ है। ऐसे बिंदुओं की संख्या $1$ है।

दिया गया है कि $f(x) = x^{2} - 3x + 2$ है।
$f(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(f(x)) = f(x^{2} - 3x + 2)$
$= (x^{2} - 3x + 2)^{2} - 3(x^{2} - 3x + 2) + 2$
$= (x^{4} + 9x^{2} + 4 - 6x^{3} + 4x^{2} - 12x) - 3x^{2} + 9x - 6 + 2$
$= x^{4} - 6x^{3} + (9x^{2} + 4x^{2} - 3x^{2}) + (-12x + 9x) + (4 - 6 + 2)$
$= x^{4} - 6x^{3} + 10x^{2} - 3x$

(N/A) $f: N \rightarrow Z$ को $f(x) = x$ और $g: Z \rightarrow Z$ को $g(x) = |x|$ के रूप में परिभाषित करें।
सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $g$ एकैकी नहीं है।
हम देखते हैं कि $g(-1) = |-1| = 1$ और $g(1) = |1| = 1$ है।
चूंकि $g(-1) = g(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$ है,इसलिए $g$ एकैकी नहीं है।
अब,$g \circ f: N \rightarrow Z$ को $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x) = |x|$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $(g \circ f)(x) = (g \circ f)(y)$ है।
इसका अर्थ है $|x| = |y|$।
चूंकि $x, y \in N$ हैं,इसलिए $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं।
अतः,$|x| = |y| \Rightarrow x = y$ है।
इसलिए,$g \circ f$ एकैकी है।

(N/A) माना $f: N \rightarrow N$ को $f(x) = x + 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
माना $g: N \rightarrow N$ को $g(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{यदि } x > 1 \\ 1, & \text{यदि } x = 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $f$ आच्छादक नहीं है। $f$ का परिसर $\{2, 3, 4, \dots\}$ है,जो सह-प्रांत $N$ का एक उचित उपसमुच्चय है। विशेष रूप से,सह-प्रांत के अवयव $1$ के लिए प्रांत $N$ में ऐसा कोई अवयव $x$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 1$ हो। अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
अब,संयुक्त फलन $g \circ f: N \rightarrow N$ पर विचार करें,जो $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $f(x) = x + 1$,इसलिए $(g \circ f)(x) = g(x + 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in N$,इसलिए $x \geq 1$,जिससे $x + 1 \geq 2$,अर्थात $x + 1 > 1$ है।
$g$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$g(x + 1) = (x + 1) - 1 = x$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक $x \in N$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ है।
चूंकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,$x = y \in N$ का अस्तित्व है जिसके लिए $(g \circ f)(x) = y$ है,इसलिए $g \circ f$ एक आच्छादक फलन है।

(N/A) यह दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ साइनम फलन है और $g: R \rightarrow R$ महत्तम पूर्णांक फलन $g(x) = [x]$ है।
किसी भी $x \in (0, 1]$ के लिए,हम संयोजनों $fog(x)$ और $gof(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
सबसे पहले,$fog(x) = f(g(x)) = f([x])$ पर विचार करें।
यदि $x = 1$ है,तो $g(1) = [1] = 1$,इसलिए $f(g(1)) = f(1) = 1$ है।
यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $g(x) = [x] = 0$,इसलिए $f(g(x)) = f(0) = 0$ है।
अतः,$fog(x) = \begin{cases} 1, & x = 1 \\ 0, & x \in (0, 1) \end{cases}$ है।
अगला,$gof(x) = g(f(x))$ पर विचार करें।
चूंकि $x \in (0, 1]$,इसलिए $x > 0$,अतः सभी $x \in (0, 1]$ के लिए $f(x) = 1$ है।
अतः,सभी $x \in (0, 1]$ के लिए $gof(x) = g(1) = [1] = 1$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$x \in (0, 1)$ के लिए,$fog(x) = 0$ जबकि $gof(x) = 1$ है।
इसलिए,$fog$ और $gof$ अंतराल $(0, 1]$ में संपाती नहीं हैं।

(B) संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$g(f(x)) = \begin{cases} f(x)+1, & f(x) < 0 \\ (f(x)-1)^2+b, & f(x) \geq 0 \end{cases}$
$f(x)$ को परिभाषा में प्रतिस्थापित करने पर:
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x+a$. अतः,$g(f(x)) = \begin{cases} x+a+1, & x+a < 0 \\ (x+a-1)^2+b, & x+a \geq 0 \end{cases}$
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = |x-1|$. अतः,$g(f(x)) = \begin{cases} |x-1|+1, & |x-1| < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & |x-1| \geq 0 \end{cases}$
चूँकि सभी $x$ के लिए $|x-1| \geq 0$ है,इसलिए $|x-1| < 0$ संभव नहीं है। फलन इस प्रकार सरल हो जाता है:
$(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+a+1, & x < -a \\ (x+a-1)^2+b, & -a \leq x < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = -a$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to -a^-} (x+a+1) = \lim_{x \to -a^+} ((x+a-1)^2+b) \implies 1 = (-1)^2 + b \implies b = 0$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 0^-} ((x+a-1)^2+b) = \lim_{x \to 0^+} ((|x-1|-1)^2+b) \implies (a-1)^2 + b = (|0-1|-1)^2 + b \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.
अतः,$a+b = 1+0 = 1$.

(C) दिया गया है $f(x) = 2x - 1$ और $g(x) = \frac{x - 1/2}{x - 1} = \frac{2x - 1}{2(x - 1)}$.
संयुक्त फलन $f(g(x))$ की गणना करने पर:
$f(g(x)) = 2(g(x)) - 1 = 2 \left( \frac{2x - 1}{2(x - 1)} \right) - 1$
$= \frac{2x - 1}{x - 1} - 1 = \frac{2x - 1 - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$.
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
माना $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$.
$1 + \frac{1}{x_1 - 1} = 1 + \frac{1}{x_2 - 1} \implies x_1 - 1 = x_2 - 1 \implies x_1 = x_2$.
अतः,$f(g(x))$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
$f(g(x)) = 1 + \frac{1}{x - 1}$ का परिसर $R - \{1\}$ है।
चूँकि सह-प्रांत $R$ है,इसलिए परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है।
अतः,$f(g(x))$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f(g(x))$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) $(f \circ g)(x) = \sin^{-1}(g(x))$ का प्रांत $|g(x)| \leq 1$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $g(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x+1)(x-2)}{(2x+3)(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{3}{7}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,हम $x \neq 2$ के लिए $|\frac{x+1}{2x+3}| \leq 1$ को हल करते हैं।
इसका अर्थ है $-1 \leq \frac{x+1}{2x+3} \leq 1$.
स्थिति $1$: $\frac{x+1}{2x+3} \leq 1 \Rightarrow \frac{x+1 - (2x+3)}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow \frac{-x-2}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow \frac{x+2}{2x+3} \geq 0$.
हल $x \in (-\infty, -2] \cup (-\frac{3}{2}, \infty)$ है।
स्थिति $2$: $\frac{x+1}{2x+3} \geq -1 \Rightarrow \frac{x+1 + 2x+3}{2x+3} \geq 0 \Rightarrow \frac{3x+4}{2x+3} \geq 0$.
हल $x \in (-\infty, -\frac{4}{3}] \cup (-\frac{3}{2}, \infty)$ है।
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर और $x=2$ को बाहर करने पर,हमें $x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{4}{3}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।
$1$. $g \circ f$ को एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f$ एकैकी नहीं है,तो $A$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद होंगे कि $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका अर्थ है $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जो $g \circ f$ के एकैकी गुण का खंडन करता है।
$2$. $g \circ f$ को आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। यदि $g$ आच्छादक नहीं है,तो $C$ में ऐसा कोई $z$ मौजूद होगा जिसके लिए $B$ में कोई $y$ न हो ताकि $g(y) = z$,जिसका अर्थ है कि $A$ में कोई $x$ नहीं होगा ताकि $g(f(x)) = z$,जो $g \circ f$ के आच्छादक गुण का खंडन करता है।
अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

(C) दिया गया है $f(x) = \left[2\left(1 - \frac{x^{25}}{2}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}}$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \left[\left(2 - x^{25}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}} = \left(4 - x^{50}\right)^{\frac{1}{50}}$.
अब,$f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$f(f(x)) = \left(4 - (f(x))^{50}\right)^{\frac{1}{50}} = \left(4 - (4 - x^{50})\right)^{\frac{1}{50}} = (x^{50})^{\frac{1}{50}} = x$.
चूंकि $f(f(x)) = x$,इसलिए $f(f(f(x))) = f(x)$ होगा।
दिया गया है $g(x) = f(f(f(x))) + f(f(x))$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x) = f(x) + x$.
$x = 1$ के लिए:
$g(1) = f(1) + 1 = (4 - 1^{50})^{\frac{1}{50}} + 1 = 3^{\frac{1}{50}} + 1$.
चूंकि $1 < 3^{\frac{1}{50}} < 2$ (क्योंकि $1^{50} < 3 < 2^{50}$),इसलिए $1 < 3^{\frac{1}{50}} + 1 < 2$ है।
अतः,$g(1)$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 3^{\frac{1}{50}} + 1 \rfloor = 2$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x - 1$ और $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$.
$f(g(x)) = g(x) - 1 = \frac{x^2}{x^2 - 1} - 1 = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$.
मान लीजिए $h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
चूंकि $h(x) = h(-x)$,यह फलन एक सम फलन है,जिसका अर्थ है कि यह बहु-एक (many-one) फलन है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{1}{x^2 - 1}$ लें।
तब $x^2 - 1 = \frac{1}{y} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{y} + 1 = \frac{1 + y}{y}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{1 + y}{y} \geq 0$.
यह असमिका $y \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि परिसर सह-प्रांत $(R)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी (into) है।
अतः,$f \circ g$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
$f^2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x+1} - 1}{\frac{x-1}{x+1} + 1} = \frac{x-1-x-1}{x-1+x+1} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x}$.
$f^3(x) = f(f^2(x)) = f(-\frac{1}{x}) = \frac{-\frac{1}{x} - 1}{-\frac{1}{x} + 1} = \frac{-1-x}{-1+x} = \frac{x+1}{1-x}$.
$f^4(x) = f(f^3(x)) = f(\frac{x+1}{1-x}) = \frac{\frac{x+1}{1-x} - 1}{\frac{x+1}{1-x} + 1} = \frac{x+1-1+x}{x+1+1-x} = \frac{2x}{2} = x$.
चूंकि $f^4(x) = x$,फलन $4$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है।
$f^6(6) = f^2(6) = -\frac{1}{6}$.
$f^7(7) = f^3(7) = \frac{7+1}{1-7} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
अतः,$f^6(6) + f^7(7) = -\frac{1}{6} - \frac{4}{3} = \frac{-1-8}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$.

(D) दिया गया है $f(n) = \begin{cases} 2n, & n \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ 2n - 11, & n \in \{6, 7, 8, 9, 10\} \end{cases}$।
$f(x) = n$ को हल करके हम $f^{-1}(n)$ ज्ञात करते हैं:
यदि $n \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$,तो $2x = n \implies x = n/2$।
यदि $n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$,तो $2x - 11 = n \implies x = (n + 11)/2$।
अतः,$f^{-1}(n) = \begin{cases} n/2, & n \in \{2, 4, 6, 8, 10\} \\ (n + 11)/2, & n \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \end{cases}$।
दिया गया है $f(g(n)) = \begin{cases} n + 1, & n \text{ विषम है} \\ n - 1, & n \text{ सम है} \end{cases}$,इसलिए $g(n) = f^{-1}(f(g(n)))$।
जब $n$ विषम है,$g(n) = f^{-1}(n + 1)$। चूंकि $n+1$ सम है,$g(n) = (n + 1)/2$।
जब $n$ सम है,$g(n) = f^{-1}(n - 1)$। चूंकि $n-1$ विषम है,$g(n) = (n - 1 + 11)/2 = (n + 10)/2$।
मानों की गणना:
$g(1) = 1$,$g(2) = 6$,$g(3) = 2$,$g(4) = 7$,$g(5) = 3$,$g(10) = 10$।
अतः,$g(10) \cdot (g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5)) = 10 \cdot (1 + 6 + 2 + 7 + 3) = 10 \cdot 19 = 190$।

(A) दिया गया है कि $g(x)$ एक $1$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है।
तब $f(g(x)) = f(ax + b) = 8x^2 - 2x$ है। चूंकि $f$ का घात $2$ है,मान लीजिए $f(x) = px^2 + qx + r$ है।
$g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(ax+b)^2 + q(ax+b) + r = 8x^2 - 2x$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$pa^2 = 8$ प्राप्त होता है। चूंकि $g(f(x)) = 4x^2 + 6x + 1$ है,$g(f(x))$ का मुख्य गुणांक $a \cdot p = 4$ है।
$pa^2 = 8$ को $ap = 4$ से विभाजित करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है। तब $p(2)^2 = 8 \implies 4p = 8 \implies p = 2$ है।
अब,$f(g(x)) = 2(2x+b)^2 + q(2x+b) + r = 2(4x^2 + 4bx + b^2) + 2qx + qb + r = 8x^2 + (8b + 2q)x + (2b^2 + qb + r) = 8x^2 - 2x$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $8b + 2q = -2$ और $2b^2 + qb + r = 0$ है।
$g(f(x)) = a(px^2 + qx + r) + b = 2(2x^2 + qx + r) + b = 4x^2 + 2qx + 2r + b = 4x^2 + 6x + 1$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $2q = 6 \implies q = 3$ है। तब $8b + 2(3) = -2 \implies 8b = -8 \implies b = -1$ है।
अतः,$g(x) = 2x - 1$ और $f(x) = 2x^2 + 3x + r$ है। $2b^2 + qb + r = 0$ का उपयोग करने पर,$2(-1)^2 + 3(-1) + r = 0 \implies 2 - 3 + r = 0 \implies r = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ है।
अब,$f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$ और $g(2) = 2(2) - 1 = 3$ है।
इसलिए,$f(2) + g(2) = 15 + 3 = 18$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$।
सबसे पहले,$f^2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x+1}{x-1} + 1}{\frac{x+1}{x-1} - 1} = \frac{x+1+x-1}{x+1-(x-1)} = \frac{2x}{2} = x$ की गणना करें।
चूंकि $f^2(x) = x$,इसलिए $f^3(x) = f(f^2(x)) = f(x)$ और $f^4(x) = f^2(f^2(x)) = x$ होगा।
अब,पदों की गणना करें:
$f^1(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3$।
$f^2(3) = 3$ (क्योंकि $f^2(x) = x$)।
$f^3(4) = f(4) = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}$।
$f^4(5) = 5$ (क्योंकि $f^4(x) = x$)।
अतः,$P = 3 \cdot 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot 5 = 75$।
$75$ के गुणज $75, 150, 225, 300, 375, \dots$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$375$ संख्या $75$ का एक गुणज है।

(D) दिया गया है $f^1(x) = \frac{3x + 2}{2x + 3}$।
$f^2(x) = f^1(f^1(x)) = \frac{3(\frac{3x+2}{2x+3}) + 2}{2(\frac{3x+2}{2x+3}) + 3} = \frac{13x + 12}{12x + 13}$ ज्ञात करें।
$f^3(x) = f^1(f^2(x)) = \frac{63x + 62}{62x + 63}$ ज्ञात करें।
यहाँ पैटर्न का अवलोकन करें: $f^n(x) = \frac{A_n x + B_n}{B_n x + A_n}$ के रूप में है।
पुनरावृत्ति संबंध $A_n = 3A_{n-1} + 2B_{n-1}$ और $B_n = 2A_{n-1} + 3B_{n-1}$ है।
दोनों को जोड़ने पर: $A_n + B_n = 5(A_{n-1} + B_{n-1})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A_1 + B_1 = 3 + 2 = 5$ है,इसलिए $A_n + B_n = 5^n$ होगा।
अतः,$n=5$ के लिए,$A_5 + B_5 = 5^5 = 3125$।

(B) माना $f(x) = \frac{Ax + B}{Cx - A}$,जहाँ $A = \tan 1^{\circ}$,$B = \log_{e}(123)$,और $C = \log_{e}(1234)$ है।
सबसे पहले,हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$f(f(x)) = \frac{A(\frac{Ax + B}{Cx - A}) + B}{C(\frac{Ax + B}{Cx - A}) - A} = \frac{A(Ax + B) + B(Cx - A)}{C(Ax + B) - A(Cx - A)} = \frac{A^2x + AB + BCx - AB}{ACx + BC - ACx + A^2} = \frac{x(A^2 + BC)}{A^2 + BC} = x$.
चूँकि $f(f(x)) = x$ डोमेन के सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f(f(x)) = x$ और $f(f(4/x)) = 4/x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(f(x)) + f(f(4/x)) = x + \frac{4}{x}$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करते हुए,$x > 0$ के लिए:
$x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \sqrt{4} = 4$.
न्यूनतम मान $4$ है।

(B) सबसे पहले, हम $f(x)$ को $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 1-x, & 0 \leq x < 1 \\ x-1, & x \geq 1 \end{cases}$ के रूप में सरल करते हैं।
अब, हम $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
यदि $f(x) < 0$ है, तो $x+1 < 0 \implies x < -1$। इस स्थिति में, $g(f(x)) = f(x) + 1 = (x+1) + 1 = x+2$।
यदि $f(x) \geq 0$ है, तो $x \geq -1$। इस स्थिति में, $g(f(x)) = 1$।
अतः, $(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+2, & x < -1 \\ 1, & x \geq -1 \end{cases}$।
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to -1^-} (x+2) = 1$ और $\lim_{x \to -1^+} (1) = 1$। चूँकि सीमाएँ $g(f(-1)) = 1$ के बराबर हैं, फलन हर जगह सतत है।
$x = -1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: बाएँ पक्ष का अवकलज $\frac{d}{dx}(x+2) = 1$ है, और दाएँ पक्ष का अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है। चूँकि $1 \neq 0$, इसलिए यह $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x + 3 - \sqrt{x}$ दिया गया है।
मान लीजिए $u = g(x) = \sqrt{x} + 1$.
तब $\sqrt{x} = u - 1$.
इस मान को $(f \circ g)(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(u) = (u - 1)^2 + 3 - (u - 1)$.
$f(u) = (u^2 - 2u + 1) + 3 - u + 1$.
$f(u) = u^2 - 3u + 5$.
अतः,$f(x) = x^2 - 3x + 5$.
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = (0)^2 - 3(0) + 5 = 5$.

(A) $f \circ g$ का प्रांत उन सभी $x$ से बना है जो $g$ के प्रांत में हैं ताकि $g(x)$,$f$ के प्रांत में हो।
$1$. $g$ का प्रांत $R - \{-\frac{5}{2}\}$ है।
$2$. $f(g(x))$ को परिभाषित होने के लिए,$g(x)$ का मान $-\frac{1}{2}$ (जो $f$ के प्रांत से बाहर है) के बराबर नहीं होना चाहिए।
$3$. $g(x) = -\frac{1}{2}$ रखें:
$\frac{|x|+1}{2x+5} = -\frac{1}{2}$
$2(|x|+1) = -(2x+5)$
$2|x| + 2 = -2x - 5$
$2|x| = -2x - 7$
स्थिति $I$: यदि $x \ge 0$,तो $2x = -2x - 7 \Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}$। चूंकि $x \ge 0$,यह हल संभव नहीं है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$,तो $2(-x) = -2x - 7 \Rightarrow -2x = -2x - 7 \Rightarrow 0 = -7$,जो असंभव है।
अतः,$g(x)$ कभी भी $-\frac{1}{2}$ के बराबर नहीं होता है।
इसलिए,$f \circ g$ के प्रांत पर केवल एक ही प्रतिबंध है $x \neq -\frac{5}{2}$।
अतः प्रांत $R - \{-\frac{5}{2}\}$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} 2+2x, & -1 \leq x < 0 \\ 1-\frac{x}{3}, & 0 \leq x \leq 3 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} -x, & -3 \leq x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ है।
हमें $f(g(x))$ का परिसर ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: $-3 \leq x \leq 0$,तब $g(x) = -x$। चूँकि $-3 \leq x \leq 0$,इसलिए $0 \leq g(x) \leq 3$ प्राप्त होता है।
$0 \leq g(x) \leq 3$ के लिए,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{-x}{3} = 1 + \frac{x}{3}$।
जैसे-जैसे $x$,$-3$ से $0$ तक बदलता है,$f(g(x))$,$1 + \frac{-3}{3} = 0$ से $1 + \frac{0}{3} = 1$ तक बदलता है।
अतः,इस भाग के लिए परिसर $[0, 1]$ है।
स्थिति $2$: $0 < x \leq 1$,तब $g(x) = x$। चूँकि $0 < x \leq 1$,इसलिए $0 < g(x) \leq 1$ प्राप्त होता है।
$0 < g(x) \leq 3$ के लिए,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{x}{3}$।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $1$ तक बदलता है,$f(g(x))$,$1 - \frac{0}{3} = 1$ से $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ तक बदलता है।
अतः,इस भाग के लिए परिसर $[\frac{2}{3}, 1)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f(g(x))$ का परिसर $[0, 1]$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}$.
सबसे पहले,हम $g(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
$g(x) = f\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) = \frac{4\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) + 3}{6\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) - 4}$.
अंश और हर को $(6x-4)$ से गुणा करने पर:
$g(x) = \frac{4(4x+3) + 3(6x-4)}{6(4x+3) - 4(6x-4)} = \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$.
चूँकि $g(x) = x$ है,इसलिए $g$ एक तत्समक फलन (identity function) है।
अतः,$(g \circ g \circ g)(4) = g(g(g(4))) = g(g(4)) = g(4) = 4$.

(B) हमें $f(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \\ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ e^x & x < 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$(gof)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ के मामलों का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: $x \leq 0$. तो $f(x) = e^{-x}$. सभी $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $g(f(x)) = f(x) = e^{-x}$.
स्थिति $2$: $x > 0$. तो $f(x) = \ln x$.
उप-स्थिति 2a: $0 < x < 1$. तो $f(x) = \ln x < 0$. अतः $g(f(x)) = e^{f(x)} = e^{\ln x} = x$.
उप-स्थिति 2b: $x \geq 1$. तो $f(x) = \ln x \geq 0$. अतः $g(f(x)) = f(x) = \ln x$.
इन सबको मिलाने पर,$(gof)(x) = \begin{cases} e^{-x} & x \leq 0 \\ x & 0 < x < 1 \\ \ln x & x \geq 1 \end{cases}$।
एकैकी की जाँच: $x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) = e^{-x} \in [1, \infty)$। $0 < x < 1$ के लिए,$g(f(x)) = x \in (0, 1)$। $x \geq 1$ के लिए,$g(f(x)) = \ln x \in [0, \infty)$।
चूंकि $g(f(x))$ का परिसर $[0, \infty)$ है,यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि सह-प्रांत $R$ है)।
साथ ही,$x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) \geq 1$,और $x \geq 1$ के लिए,$g(f(x)) \geq 0$। परिसर में ऐसे मान मौजूद हैं जो एक से अधिक $x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,और फलन एकैकी नहीं है। अतः,यह न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) मान लीजिए $f_n(x)$,$f(x)$ का $n$-वां संयोजन है।
$f_1(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{4x^2}{1+9x^2}}} = \frac{4x}{\sqrt{1+9x^2+36x^2}} = \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{2^4x^2}{1+9x^2(1+2^2)}}} = \frac{2^3x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4)}}$
गणितीय आगमन द्वारा,$f_n(x) = \frac{2^nx}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4+\ldots+2^{2n-2})}}$.
$n=10$ के लिए,हर में $9\alpha x^2$ है,जहाँ $\alpha = 1+2^2+2^4+\ldots+2^{18}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=4$,और $n=10$ पद हैं।
$\alpha = \frac{1(4^{10}-1)}{4-1} = \frac{2^{20}-1}{3}$.
अतः,$3\alpha + 1 = 3(\frac{2^{20}-1}{3}) + 1 = 2^{20} - 1 + 1 = 2^{20}$.
इसलिए,$\sqrt{3\alpha+1} = \sqrt{2^{20}} = 2^{10} = 1024$.

(A) हमें $f(x) = |x-1|$ और $g(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \\ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$f(g(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(g(x)) = |g(x) - 1| = \begin{cases} |e^x - 1|, & x \geq 0 \\ |(x+1) - 1|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ |x|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ -x, & x \leq 0 \end{cases}$.
अब,मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$h(x) = e^x - 1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।
$x \leq 0$ के लिए,$h(x) = -x$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $-\infty$ तक घटता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।
चूंकि $h(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों $x$ के लिए समान धनात्मक मान लेता है (उदाहरण के लिए,$h(1) = e-1$ और $h(-(e-1)) = e-1$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
चूंकि $h(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) दिया है,$f(x) = x^2$ और $g(x) = \sin x$ सभी $x \in R$ के लिए।
सबसे पहले,$(f \circ g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें:
$(f \circ g \circ g \circ f)(x) = f(g(g(f(x)))) = f(g(g(x^2))) = f(g(\sin x^2)) = f(\sin(\sin x^2)) = (\sin(\sin x^2))^2$.
इसके बाद,$(g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें:
$(g \circ g \circ f)(x) = g(g(f(x))) = g(g(x^2)) = g(\sin x^2) = \sin(\sin x^2)$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(\sin(\sin x^2))^2 = \sin(\sin x^2)$.
मान लीजिए $u = \sin(\sin x^2)$. तब $u^2 = u$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$.
इससे $u = 0$ या $u = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin(\sin x^2) = 0$.
इसका अर्थ है $\sin x^2 = n \pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए। चूँकि $\sin x^2$ का परिसर $[-1, 1]$ है,$n \pi$ के लिए केवल $0$ ही संभव मान है (जब $n = 0$ हो)।
इसलिए,$\sin x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = n \pi$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।
अतः,$x = \pm \sqrt{n \pi}$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।
स्थिति $2$: $\sin(\sin x^2) = 1$.
इसका अर्थ है $\sin x^2 = \frac{\pi}{2}$. चूँकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$,इसके लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
इसलिए,$x$ का समुच्चय $\pm \sqrt{n \pi}$ है जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।