Composition of Functions Questions in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = |2x-1| + |2x+1|$ और $g(x) = x - [x] = \{x\}$.
अंतराल $x \in (-1, 1)$ के लिए,भिन्नात्मक भाग फलन $g(x) = \{x\}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$x \in (-1, 0)$ के लिए $g(x) = x+1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $g(x) = x$.
अतः,संयुक्त फलन $h(x) = f(g(x)) = |2\{x\}-1| + |2\{x\}+1|$.
चूंकि $\{x\} \in [0, 1)$,हमारे पास $2\{x\}+1 \geq 1$ है,इसलिए $|2\{x\}+1| = 2\{x\}+1$.
तब $h(x) = |2\{x\}-1| + 2\{x\} + 1$.
यदि $0 \leq \{x\} \leq 1/2$ है,तो $h(x) = -(2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 2$.
यदि $1/2 < \{x\} < 1$ है,तो $h(x) = (2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 4\{x\}$.
अंतराल $(-1, 1)$ का विश्लेषण करने पर:
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$\{x\} = x+1$. इसलिए यदि $x+1 \leq 1/2$ (अर्थात $x \leq -1/2$) है तो $h(x) = 2$ और यदि $x > -1/2$ है तो $h(x) = 4(x+1)$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$\{x\} = x$. इसलिए यदि $x \leq 1/2$ है तो $h(x) = 2$ और यदि $x > 1/2$ है तो $h(x) = 4x$.
असंततता: फलन $h(x)$ बिंदु $x=0$ पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0^-} h(x) = 4(0+1) = 4$ और $h(0) = 2$. अतः,$c=1$.
अवकलनीयता: फलन $x = -1/2$ (कोना बिंदु),$x = 0$ (असंततता),और $x = 1/2$ (कोना बिंदु) पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$d=3$.
इसलिए,$c+d = 1+3 = 4$.

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{\pi}{2} \sin x$. तब $f(x) = \sin \left(\frac{1}{3} g(g(x))\right)$.
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,$g(x)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
$f(x)$ के लिए,आंतरिक तर्क $\frac{\pi}{6} \sin(\theta)$ है जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. चूंकि $\sin(\theta) \in [-1, 1]$,बाहरी साइन का तर्क $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ में है। अतः,$f$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है। इसलिए $(A)$ सत्य है।
$f(g(x))$ के लिए,$g(x)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $f(g(x))$ का परिसर भी $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है। इसलिए $(B)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi}{2} \sin x))}{\frac{\pi}{2} \sin x} = \frac{\pi}{6}$. इसलिए $(C)$ सत्य है।
$(D)$ के लिए,$(g \circ f)(x) = \frac{\pi}{2} \sin(f(x))$. $f(x)$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है,इसलिए $\sin(f(x))$ का परिसर $[\sin(-1/2), \sin(1/2)]$ है। चूंकि $1$ इस परिसर में है,$(D)$ सत्य है।

(A) $f \circ g$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $x$,$g$ के प्रांत में है और $g(x)$,$f$ के प्रांत में है।
दिया गया है $f(x) = \log_e x$,जिसका प्रांत $(0, \infty)$ है,इसलिए हमें $g(x) > 0$ की आवश्यकता है।
दिया गया है $g(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1}$।
सबसे पहले,हर (denominator) की जाँच करें: $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$,जो सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अब,अंश (numerator) का विश्लेषण करें: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1)^2 + (2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}) + 1$।
चूँकि $x^2(x - 1)^2 \ge 0$,$2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$,और $1 > 0$,इसलिए अंश सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $g(x) > 0$ है।
इसलिए,$f \circ g$ का प्रांत $R$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ और $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$।
हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2-3x}{1-x}\right) = \frac{2\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+3}{5\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+2}$
अंश और हर को $(1-x)$ से गुणा करने पर:
$(f \circ g)(x) = \frac{2(2-3x) + 3(1-x)}{5(2-3x) + 2(1-x)} = \frac{4-6x+3-3x}{10-15x+2-2x} = \frac{7-9x}{12-17x}$.
अब,अंतराल $[2, 4]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$(f \circ g)(2) = \frac{7-9(2)}{12-17(2)} = \frac{7-18}{12-34} = \frac{-11}{-22} = \frac{1}{2}$.
$(f \circ g)(4) = \frac{7-9(4)}{12-17(4)} = \frac{7-36}{12-68} = \frac{-29}{-56} = \frac{29}{56}$.
चूंकि फलन अंतराल $[2, 4]$ में एकदिष्ट (monotonic) है,इसलिए परिसर $[\alpha, \beta] = [\frac{1}{2}, \frac{29}{56}]$ होगा।
यहाँ,$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{29}{56}$.
अतः $\beta - \alpha = \frac{29}{56} - \frac{1}{2} = \frac{29-28}{56} = \frac{1}{56}$.
इसलिए,$\frac{1}{\beta-\alpha} = 56$.

(A) $f: N \rightarrow Z$ के लिए,$f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=0, f(5)=3, f(6)=-1, \dots$ है। चूंकि $f(1)=f(2)=1$,इसलिए $f$ एकैकी (one-one) नहीं है। चूंकि $f$ का परिसर $Z$ है,इसलिए $f$ आच्छादक (onto) है। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
$g: Z \rightarrow N$ के लिए,$g(0)=3, g(1)=5, g(-1)=2, g(-2)=4, g(-3)=6$ है। चूंकि $g$ का परिसर ${2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots}$ है,जो $N$ का एक उपसमुच्चय है ($1$ छूट जाता है),इसलिए $g$ अंतःक्षेपी (into) है। अतः,कथन $(C)$ असत्य है।
$g \circ f: N \rightarrow N$ के लिए,$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5$ और $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 5$ है। चूंकि $(g \circ f)(1) = (g \circ f)(2)$,इसलिए $g \circ f$ एकैकी नहीं है। $g \circ f$ का परिसर $N$ को पूरी तरह से कवर नहीं करता है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$f \circ g: Z \rightarrow Z$ के लिए,यदि $n \geq 0$,तो $f(g(n)) = f(3+2n) = (3+2n+1)/2 = n+2$ है। यदि $n < 0$,तो $f(g(n)) = f(-2n) = (4-(-2n))/2 = 2+n$ है। इस प्रकार,सभी $n \in Z$ के लिए $(f \circ g)(n) = n+2$ है। यह एक बाइजेक्शन है,इसलिए $f \circ g$ एकैकी और आच्छादक है। अतः,कथन $(B)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(D)$ सत्य हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
हमें $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करना है।
$f(f(x)) = \frac{2 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) + 3}{3 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) - 2}$
अंश और हर को $(3x-2)$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$
$= \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4}$
$= \frac{13x}{13} = x$
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$,इसलिए यह एक तत्समक फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
हमें $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करना है।
$(f \circ f)(x) = f\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) + 3}{3\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) - 2}$.
अंश और हर को $(3x-2)$ से गुणा करने पर:
$(f \circ f)(x) = \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$.
$(f \circ f)(x) = \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4} = \frac{13x}{13} = x$.
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$ और $g(x) = x$ एक विषम फलन है,इसलिए परिणाम एक विषम फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + 10$ और $g(x) = x^2 - 1$.
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करें।
$(fog)(x) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 10$.
$(fog)(x) = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$.
मान लीजिए $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - 7 = 3x^2$.
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{y - 7}{3}}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(fog)^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 7}{3}} = \left(\frac{x - 7}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) $(f \circ g)(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,पहले हम $g(x)$ का परिसर निर्धारित करते हैं।
$g(x) = \begin{cases} -x, & -2 \leqslant x \leqslant 3 \\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$ के लिए,$g(x)$ का परिसर $[-3, 2]$ है।
अब,हम $f(u)$ का मान ज्ञात करते हैं जहाँ $u \in [-3, 2]$ है।
दिया गया है कि $f(u) = \begin{cases} 3-u, & -1 \leqslant u < 0 \\ 1+\frac{5u}{3}, & -3 \leqslant u \leqslant 2 \end{cases}$ है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[-3, 2]$ है,हम $u \in [-3, 2]$ के लिए $f(u)$ के मानों पर विचार करते हैं।
$u \in [-3, 2]$ के लिए,$f(u) = 1 + \frac{5u}{3}$ है।
न्यूनतम मान $f(-3) = 1 + \frac{5(-3)}{3} = 1 - 5 = -4$ है।
अधिकतम मान $f(2) = 1 + \frac{5(2)}{3} = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$ है।
अतः,$(f \circ g)(x)$ का परिसर $[-4, \frac{13}{3}]$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ और $g(x) = \frac{3x+x^3}{1+3x^2}$.
हमें $(fog)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(fog)(x) = \log \left(\frac{1+g(x)}{1-g(x)}\right) = \log \left(\frac{1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}{1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}\right)$.
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= \log \left(\frac{\frac{1+3x^2+3x+x^3}{1+3x^2}}{\frac{1+3x^2-3x-x^3}{1+3x^2}}\right) = \log \left(\frac{1+3x+3x^2+x^3}{1-3x+3x^2-x^3}\right)$.
द्विपद विस्तार $(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$ और $(1-x)^3 = 1-3x+3x^2-x^3$ का उपयोग करने पर:
$= \log \left(\frac{(1+x)^3}{(1-x)^3}\right) = \log \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\right)$.
गुणधर्म $\log(a^n) = n \log(a)$ का उपयोग करने पर:
$= 3 \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 3f(x)$.
अतः,$(fog)(x) = 3f(x)$।

(D) दिया गया है कि $g(x)=x^2+x-1$ और $(g \circ f)(x)=4 x^2-10 x+5$ है।
परिभाषा के अनुसार,$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ होता है।
अतः,$(f(x))^2 + f(x) - 1 = 4x^2 - 10x + 5$।
$f(2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(2)^2 - 10(2) + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(4) - 20 + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 16 - 20 + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 1$।
$(f(2))^2 + f(2) - 2 = 0$।
माना $y = f(2)$,तब $y^2 + y - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$।
इस प्रकार,$y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$-2$ विकल्प $D$ में दिया गया है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2-x}$ और $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$।
सबसे पहले,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x}{2-x} + 1}{\frac{x}{2-x} + 2} = \frac{\frac{x+2-x}{2-x}}{\frac{x+4-2x}{2-x}} = \frac{2}{4-x}$ ज्ञात करें।
अब,$(g \circ g \circ f)(x) = g((g \circ f)(x)) = g\left(\frac{2}{4-x}\right)$ ज्ञात करें।
$g(x) = \frac{x+1}{x+2}$ में $x = \frac{2}{4-x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ g \circ f)(x) = \frac{\frac{2}{4-x} + 1}{\frac{2}{4-x} + 2} = \frac{\frac{2 + 4 - x}{4-x}}{\frac{2 + 8 - 2x}{4-x}} = \frac{6-x}{10-2x}$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\alpha x}{x+1}$ है।
हमें $f(f(x))$ ज्ञात करना है:
$f(f(x)) = f\left(\frac{\alpha x}{x+1}\right) = \frac{\alpha \left(\frac{\alpha x}{x+1}\right)}{\frac{\alpha x}{x+1} + 1}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x+1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x+1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$
दिया गया है कि $f(f(x)) = x$,इसलिए:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
मान लीजिए $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और अचर पद $1$ होना चाहिए:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$
अचर पद की जाँच करने पर: $(-1)^2 = 1$,जो सत्य है।
अतः,$\alpha = -1$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{3x-2}{5x+3}$.
सबसे पहले,$f(1)$ की गणना करें:
$f(1) = \frac{3(1)-2}{5(1)+3} = \frac{3-2}{5+3} = \frac{1}{8}$.
अब,$f(f(1)) = f\left(\frac{1}{8}\right)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\left(\frac{1}{8}\right)-2}{5\left(\frac{1}{8}\right)+3} = \frac{\frac{3}{8}-2}{\frac{5}{8}+3}$.
अंश और हर को $8$ से गुणा करने पर:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3-16}{5+24} = \frac{-13}{29}$.

(A) दिए गए फलन $f(x)=2x-3$ और $g(x)=x^3+5$ हैं।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
$(f \circ g)(x) = 2(g(x)) - 3 = 2(x^3+5) - 3 = 2x^3 + 10 - 3 = 2x^3 + 7$.
माना $y = (f \circ g)(x) = 2x^3 + 7$.
प्रतिलोम फलन $(f \circ g)^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में हल करते हैं:
$y - 7 = 2x^3$
$x^3 = \frac{y-7}{2}$
$x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
अतः,$(f \circ g)^{-1}(y) = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
अब,$y = -9$ रखने पर:
$(f \circ g)^{-1}(-9) = \left(\frac{-9-7}{2}\right)^{1/3} = \left(\frac{-16}{2}\right)^{1/3} = (-8)^{1/3} = -2$.

(B) दिया गया है $f(x)=\log (\sin x), 0 < x < \pi$ और $g(x)=\sin ^{-1}(e^{-x}), x \geq 0$.
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
$(f \circ g)(x) = \log(\sin(\sin^{-1}(e^{-x}))) = \log(e^{-x}) = -x$.
अब,हम अवकलज $(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $a = (f \circ g)^{\prime}(\alpha) = -1$ और $b = (f \circ g)(\alpha) = -\alpha$.
इन मानों को विकल्पों में प्रतिस्थापित करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए: $a \alpha^2 - b \alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$.
अतः,$a \alpha^2 - b \alpha - a = 1$ सही है।

(C) $f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)$
$= \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)+4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)-7}$
$= \frac{21x+12+20x-12}{35x+20-35x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
इसी प्रकार,$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)$
$= \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)+4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)-3}$
$= \frac{21x+28+20x-28}{15x+20-15x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
अतः,$f(g(x)) = g(f(x)) = x$. विकल्प $C$ में $g(f(x))$ दिया गया है,जो सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $g(x)=1+\sqrt{x}$ और $f(g(x))=3+2 \sqrt{x}+x$ है।
हम $f(g(x))$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(g(x)) = (1 + 2\sqrt{x} + x) + 2$
$f(g(x)) = (1 + \sqrt{x})^2 + 2$
चूंकि $g(x) = 1 + \sqrt{x}$,हम समीकरण में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(g(x)) = [g(x)]^2 + 2$
अतः,फलन $f(x)$ को $f(x) = x^2 + 2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अब,हमें $f(f(x))$ ज्ञात करना है:
$f(f(x)) = f(x^2 + 2)$
$f(f(x)) = (x^2 + 2)^2 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 6$.

(C) दिए गए फलन $f(x)=x^2+1$ और $g(x)=\frac{1}{x}$ हैं।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $f(g(g(f(x))))$ ज्ञात करते हैं:
$f(x) = x^2+1$
$g(f(x)) = g(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1}$
$g(g(f(x))) = g\left(\frac{1}{x^2+1}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x^2+1}} = x^2+1$
$f(g(g(f(x)))) = f(x^2+1) = (x^2+1)^2+1$
अब,व्यंजक में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(g(g(f(1)))) = (1^2+1)^2+1$
$= (1+1)^2+1$
$= 2^2+1$
$= 4+1 = 5$

(A) दिए गए फलन $f(x) = e^{|x|}$ और $g(x) = \log x$ हैं।
संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को $g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(g \circ f)(x) = g(e^{|x|}) = \log(e^{|x|})$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करते हुए और यह जानते हुए कि $\log e = 1$,हमें मिलता है:
$(g \circ f)(x) = |x| \log e = |x| \times 1 = |x|$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
हमें दिया गया है कि $(f \circ f)(x) = x$.
$f(f(x)) = f\left(\frac{a-x}{a+x}\right) = \frac{a - \left(\frac{a-x}{a+x}\right)}{a + \left(\frac{a-x}{a+x}\right)} = x$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - a(a-1) = 0$
$(a-1)(x^2 + (a+1)x - a) = 0$
$(a-1)(x+a)(x-1) = 0$
चूंकि यह सभी $x \neq -a$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $a-1 = 0$ होना चाहिए,अर्थात $a = 1$.
अतः,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
अब,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(B) हमें $f(x) = \frac{x}{2x+1}$ और $g(x) = \frac{x}{x+1}$ दिया गया है।
$(f \circ g)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(g(x))$ की गणना करते हैं:
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{x}{x+1}\right)$
$f(x)$ फलन में $\frac{x}{x+1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(f \circ g)(x) = \frac{\left(\frac{x}{x+1}\right)}{2\left(\frac{x}{x+1}\right) + 1}$
सरल बनाने के लिए अंश और हर को $(x+1)$ से गुणा करने पर:
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{2x + 1(x+1)}$
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{2x + x + 1}$
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{3x + 1}$

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x+7}{7x-4}$.
सबसे पहले,$f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{4(2)+7}{7(2)-4} = \frac{8+7}{14-4} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
इसके बाद,$f[f(2)] = f(\frac{3}{2})$ की गणना करें:
$f(\frac{3}{2}) = \frac{4(\frac{3}{2})+7}{7(\frac{3}{2})-4} = \frac{6+7}{\frac{21}{2}-4} = \frac{13}{\frac{21-8}{2}} = \frac{13 \times 2}{13} = 2$.
अंत में,$f\{f[f(2)]\} = f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{3}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,ध्यान दें कि $f(f(x)) = x$,जिसका अर्थ है कि $f(f(f(x))) = f(x)$.
अतः,$f(f(f(2))) = f(2) = \frac{3}{2}$.

(B) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= 4x^{2} + 4x + 1 - 6x - 3 + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
दिया गया है $f(x) = (f \circ g)(x)$
$\therefore x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
$\therefore x = -1, \frac{2}{3}$

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ और $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$।
हमें $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$g(f(x)) = \frac{7(f(x)) + 4}{5(f(x)) - 3}$
$f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g(f(x)) = \frac{7(\frac{3x+4}{5x-7}) + 4}{5(\frac{3x+4}{5x-7}) - 3}$
अंश और हर को $(5x-7)$ से गुणा करने पर:
$g(f(x)) = \frac{7(3x+4) + 4(5x-7)}{5(3x+4) - 3(5x-7)}$
$g(f(x)) = \frac{21x + 28 + 20x - 28}{15x + 20 - 15x + 21}$
$g(f(x)) = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$(g \circ f)(3) = 3$।

(D) दिया गया है $f(x) = 2x^{2} + bx + c$.
चूंकि $f(0) = 3$,हमारे पास $2(0)^{2} + b(0) + c = 3$ है,जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x) = 2x^{2} + bx + 3$.
दिया गया है $f(2) = 1$,इसलिए $2(2)^{2} + b(2) + 3 = 1$.
$8 + 2b + 3 = 1 \Rightarrow 2b + 11 = 1 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5$.
अतः,$f(x) = 2x^{2} - 5x + 3$.
सबसे पहले,$f(1) = 2(1)^{2} - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$ की गणना करें।
अब,$(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(0)$.
चूंकि $f(0) = 3$,इसलिए $(f \circ f)(1) = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए फलन $f(x)=3x+6$ और $g(x)=4x+k$ हैं।
चूंकि $f \circ g(x) = g \circ f(x)$,इसलिए हमारे पास है:
$f(g(x)) = g(f(x))$
$f(4x+k) = g(3x+6)$
फलनों में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4x+k)+6 = 4(3x+6)+k$
$12x + 3k + 6 = 12x + 24 + k$
दोनों पक्षों से $12x$ घटाने पर:
$3k + 6 = 24 + k$
$k$ के लिए हल करने पर:
$3k - k = 24 - 6$
$2k = 18$
$k = 9$

(A) दिया गया है: $f(x) = 3x - 2$ और $g(x) = x^2$।
संयुक्त फलन की परिभाषा के अनुसार,$f \circ g(x) = f(g(x))$।
फलन $f(x)$ में $g(x) = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(g(x)) = f(x^2)$।
चूंकि $f(x) = 3x - 2$,इसलिए $x$ को $x^2$ से बदलने पर:
$f(x^2) = 3(x^2) - 2 = 3x^2 - 2$।
अतः,$f \circ g(x) = 3x^2 - 2$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$।
हमें दिया गया है कि $f \circ f(x) = x$ है।
इसका अर्थ है $f(f(x)) = x$।
$f(x)$ का मान फलन में रखने पर:
$f\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) = x$
$\frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + d} = x$
अंश और हर को $(cx + d)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{c(ax + b) + d(cx + d)} = x$
$\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + cdx + d^2} = x$
$\frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + cd)x + (bc + d^2)} = x$
$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x((ac + cd)x + (bc + d^2))$
$(a^2 + bc)x + b(a + d) = (ac + cd)x^2 + (bc + d^2)x$
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,गुणांक समान होने चाहिए। अचर पद की तुलना करने पर,हमें $b(a + d) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $b \neq 0$ है,तो $a + d = 0$,जिसका अर्थ है $d = -a$। यदि $d = -a$ है,तो व्यंजक $\frac{ax + b}{cx - a}$ बन जाता है,और $f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx-a}) + b}{c(\frac{ax+b}{cx-a}) - a} = \frac{a^2x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$। अतः,$d = -a$ आवश्यक शर्त है।

(B) दिया गया है $f(x)=2x-3$ और $g(x)=x^{3}+5$।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x)$ ज्ञात करें:
$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}+5) = 2(x^{3}+5)-3 = 2x^{3}+10-3 = 2x^{3}+7$।
मान लीजिए $y = (fog)(x) = 2x^{3}+7$।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y-7 = 2x^{3} \Rightarrow x^{3} = \frac{y-7}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(fog)^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$।
चूंकि $(f \circ f)(x)=x$,इसलिए:
$f(f(x)) = \frac{a-f(x)}{a+f(x)} = x$
$f(x) = \frac{a-x}{a+x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a-\frac{a-x}{a+x}}{a+\frac{a-x}{a+x}} = x$
$\frac{a(a+x)-(a-x)}{a(a+x)+(a-x)} = x$
$\frac{a^2+ax-a+x}{a^2+ax+a-x} = x$
$a^2+ax-a+x = x(a^2+ax+a-x)$
$a^2+ax-a+x = a^2x+ax^2+ax-x^2$
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - (a^2-a) = 0$
$(a-1)x^2 + (a-1)(a+1)x - a(a-1) = 0$
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,$a-1=0$ होना चाहिए,अतः $a=1$।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$।
अब,$f\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1-(-1/5)}{1+(-1/5)} = \frac{1+1/5}{1-1/5} = \frac{6/5}{4/5} = \frac{6}{4} = 1.5$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$.
हमें $f(x) \cdot f(y) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$= \frac{1+y+x+xy}{1-y-x+xy} = \frac{1+xy + (x+y)}{1+xy - (x+y)}$.
अंश और हर को $(1+xy)$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 + \frac{x+y}{1+xy}}{1 - \frac{x+y}{1+xy}}$.
इसे $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ के रूप से तुलना करने पर,हमें $z = \frac{x+y}{1+xy}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) \cdot f(y) = f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$.

(C) संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को $g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $f(x) = 2x^2 - 5$ और $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(2x^2 - 5) = \frac{2x^2 - 5}{(2x^2 - 5)^2 + 1}$.
अब,हर (denominator) का विस्तार करने पर:
$(2x^2 - 5)^2 + 1 = (4x^4 - 20x^2 + 25) + 1 = 4x^4 - 20x^2 + 26$.
अतः,$(g \circ f)(x) = \frac{2x^2 - 5}{4x^4 - 20x^2 + 26}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (3 - x^5)^{\frac{1}{5}}$ है।
$(f \circ f)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(f(x))$ की गणना करेंगे।
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})$.
फलन की परिभाषा में $f(x)$ का मान रखने पर:
$(f \circ f)(x) = (3 - ((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5)^{\frac{1}{5}}$.
आंतरिक पद को सरल करने पर: $((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5 = 3 - x^5$.
अतः,$(f \circ f)(x) = (3 - (3 - x^5))^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (3 - 3 + x^5)^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (x^5)^{\frac{1}{5}} = x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.
सबसे पहले,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})$ ज्ञात करें।
$f(x)$ को फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(f(x)) = (3 - ((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})^3)^{\frac{1}{3}}$.
सरल करने पर: $f(f(x)) = (3 - (3 - x^3))^{\frac{1}{3}} = (3 - 3 + x^3)^{\frac{1}{3}} = (x^3)^{\frac{1}{3}} = x$.
अब,$f \circ (f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = f(x)$ ज्ञात करें।
अतः,$f \circ (f \circ f)(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.

(A) दिया गया है कि $f(x) = 8x^3$ और $g(x) = x^{1/3}$ है।
संयुक्त फलन की परिभाषा के अनुसार,$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ होता है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान रखने पर:
$(f \circ g)(x) = f(x^{1/3}) = 8(x^{1/3})^3$.
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(x^{1/3})^3 = x^{(1/3) \times 3} = x^1 = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f \circ g)(x) = 8x$।

(D) दिया गया है कि $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin x$ और $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ यदि $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = x$ है,तो $f(g(x)) = \sin^2 x$ और $g(f(x)) = \sin^2 x$ प्राप्त होता है। यह दी गई शर्तों से मेल नहीं खाता है।
$(b)$ यदि $f(x) = \sin \sqrt{x}$ और $g(x) = \sqrt{x}$ है,तो $f(g(x)) = \sin \sqrt{\sqrt{x}} = \sin x^{1/4}$ और $g(f(x)) = \sqrt{\sin \sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
$(c)$ यदि $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$ है,तो $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin^2 \sqrt{x} = (\sin \sqrt{x})^2$ और $g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ प्राप्त होता है।
$(d)$ यदि $f(x) = \sin \sqrt{x}$ और $g(x) = x^2$ है,तो $f(g(x)) = f(x^2) = \sin \sqrt{x^2} = \sin |x|$ और $g(f(x)) = g(\sin \sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से कोई भी सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए शर्तों का पूर्णतः पालन नहीं करता है,लेकिन विकल्प $(d)$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$।
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ के लिए,डोमेन $g(x)$ के डोमेन द्वारा सीमित है,जो $[0, \infty)$ है।
अतः,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ जहाँ $x \ge 0$ है।
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$ है।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है क्योंकि $-4$,$g(x) = [0, \infty)$ के डोमेन में नहीं है।
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$ है।
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$ है।
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$ है।
चूंकि $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है,इसलिए विकल्प $A$ सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है कि $f(x)=3 x^2-5$ और $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ है।
हमें संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(3 x^2-5) = \frac{3 x^2-5}{(3 x^2-5)^2+1}$।
हर का विस्तार करने पर:
$(3 x^2-5)^2+1 = (9 x^4 - 30 x^2 + 25) + 1 = 9 x^4 - 30 x^2 + 26$।
अतः,$(g \circ f)(x) = \frac{3 x^2-5}{9 x^4-30 x^2+26}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x+2}$ है।
संयुक्त फलन $y = f(f(x))$ के लिए,हम जानते हैं कि $f(x)$,$x = -2$ पर परिभाषित नहीं है।
अब,$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x+2} + 2}$ की गणना करते हैं।
हर का सरलीकरण करने पर: $\frac{1}{x+2} + 2 = \frac{1 + 2(x+2)}{x+2} = \frac{1 + 2x + 4}{x+2} = \frac{2x + 5}{x+2}$.
अतः,$f(f(x)) = \frac{x+2}{2x+5}$.
यह संयुक्त फलन तब अपरिभाषित होता है जब हर $2x+5 = 0$ हो,जिससे हमें $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,मूल फलन $f(x)$ परिभाषित होना चाहिए,इसलिए $x \neq -2$.
अतः,असांतत्य के बिंदु $x = -2$ और $x = -\frac{5}{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही असांतत्य बिंदु $-\frac{5}{2}$ है।

(D) दिया गया है $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
हमें $f \circ g(x) = x^3-\frac{1}{x^3}$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$ जानते हैं,जिसका अर्थ है $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
$a=x$ और $b=\frac{1}{x}$ रखने पर,हमें $x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
अतः,$f \circ g(x) = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$।
चूंकि $g(x) = x-\frac{1}{x}$,हम लिख सकते हैं $f(g(x)) = (g(x))^3 + 3(g(x))$।
$g(x)$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x^3 + 3x$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए फलन $f(x) = |x| + x$ और $g(x) = |x| - x$ हैं।
$x < 0$ के लिए,हमारे पास $|x| = -x$ है।
अतः,$g(x) = -x - x = -2x$।
अब,हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$g(x) = -2x$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(-2x) = |-2x| + (-2x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$,जिसका अर्थ है $|-2x| = -2x$।
अतः,$f(-2x) = -2x - 2x = -4x$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}$ है।
सबसे पहले,$x = 2$ को फलन में प्रतिस्थापित करके $f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{2}{2^{2}+1} = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$.
अब,$f(2) = \frac{2}{5}$ को वापस फलन में प्रतिस्थापित करके $f(f(2))$ की गणना करें:
$f(f(2)) = f\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{\frac{2}{5}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+1}$.
हर का सरलीकरण करने पर:
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 1 = \frac{4}{25} + 1 = \frac{4+25}{25} = \frac{29}{25}$.
अतः,$f(f(2)) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{29}{25}} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{29} = \frac{2 \times 5}{29} = \frac{10}{29}$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - x$ और $g(x) = \sin^2 x$।
सबसे पहले,$g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ की गणना करें:
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
अब,इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$f\left(g\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{1}{4} = \frac{1}{64} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 16}{64} = -\frac{15}{64}$।

(C) दिया गया है: $f(x) = x^3 - x$ और $g(x) = \sin(2x)$.
हमें $f(g(x)) > 0$ को हल करना है।
$f(g(x)) = (\sin 2x)^3 - \sin 2x > 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $\sin 2x (\sin^2 2x - 1) > 0$.
चूंकि $\sin^2 2x - 1 = -\cos^2 2x$,इसलिए: $-\sin 2x \cos^2 2x > 0$.
इसका अर्थ है $\sin 2x \cos^2 2x < 0$.
इसके लिए,$\sin 2x < 0$ और $\cos 2x \neq 0$ होना चाहिए।
अंतराल $x \in (0, 2\pi)$ में,$2x \in (0, 4\pi)$.
$\sin 2x < 0$ तब होता है जब $2x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$,जिसका अर्थ है $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
साथ ही,$\cos 2x \neq 0$ का अर्थ है $2x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,इसलिए $x \neq \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
इन बिंदुओं को अंतराल से बाहर करने पर,हमें $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ हल समुच्चय का एक हिस्सा है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = 2x - 3$ और $g(x) = 5x^2 - 2$ हैं।
हमें संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(2x - 3) = 5(2x - 3)^2 - 2$.
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(2x - 3)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(2x - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $2x - 3 = 0$,अर्थात $x = 3/2$ हो।
अतः,$(g \circ f)(x)$ का न्यूनतम मान $5(0) - 2 = -2$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \sqrt{x} - 1$ और $g\{f(x)\} = x + 2\sqrt{x} + 1$.
हम $g\{f(x)\}$ के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$g\{f(x)\} = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2$.
माना $f(x) = t$. तब $t = \sqrt{x} - 1$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} = t + 1$.
अब $\sqrt{x} = t + 1$ को $g\{f(x)\}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(t) = (t + 1 + 1)^2 = (t + 2)^2$.
अतः,$t$ को $x$ से बदलने पर,हमें $g(x) = (x + 2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x)=3+2x$.
$g_1(x)=f(x)=3+2x$.
$g_2(x)=f(f(x))=3+2(3+2x)=9+4x$.
$g_3(x)=f(g_2(x))=3+2(9+4x)=21+8x$.
पैटर्न का अवलोकन करने पर,$g_n(x)=3(2^n-1)+2^n x$.
चूंकि सभी रेखाएँ $y=g_n(x)$ एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरती हैं,इसलिए सभी $n \in N$ के लिए $\beta = 3(2^n-1) + 2^n \alpha$ होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\beta = 3 \cdot 2^n - 3 + 2^n \alpha = 2^n(3+\alpha) - 3$.
इसके $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$2^n$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$3+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-3$.
$\alpha=-3$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\beta = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $(-3, -3)$ है।
अंत में,$\alpha+\beta = -3 + (-3) = -6$.