यदि फलन f(x) = frac{1}{2} - tan left( frac{pi | vedclass

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Question

(B) $(g \circ f)(x)$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जो $f$ के प्रांत में हैं और $f(x)$,$g$ के प्रांत में है। सबसे पहले,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$

Vedclass · Answer

(B) $(g \circ f)(x)$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जो $f$ के प्रांत में हैं और $f(x)$,$g$ के प्रांत में है। सबसे पहले,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ का प्रांत ज्ञात करें। $g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 \le 0$। गुणनखंड करने पर: $(2x - 3)(2x + 1) \le 0$। यह असमिका $x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ight]$ के लिए सत्य है। अब,हमें $f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ight]$ की आवश्यकता है,इसलिए $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - 	an \left( \frac{\pi x}{2} ight) \le \frac{3}{2}$। सभी पदों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $-1 \le -	an \left( \frac{\pi x}{2} ight) \le 1$। $-1$ से गुणा करने पर (असमिका बदल जाएगी): $-1 \le 	an \left( \frac{\pi x}{2} ight) \le 1$। प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) लेने पर: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi}{4}$। $\frac{\pi}{2}$ से भाग देने पर: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$। चूंकि यह अंतराल $f$ के दिए गए प्रांत $(-1 < x < 1)$ के भीतर है,इसलिए $(g \circ f)$ का प्रांत $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ight]$ है।

यदि फलन $f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ जहाँ $-1 < x < 1$ और $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ है,तो संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

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