Probability distribution Questions in Gujarati

(C) આપેલ સંભાવના વિતરણ:
મધ્યક $m = \sum p_i x_i = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6})$
$m = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$
વિચરણ $\sigma^2 = \sum p_i (x_i - m)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(0 - 1)^2 + \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + 0(2 - 1)^2 + \frac{1}{6}(3 - 1)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + \frac{1}{6}(4)$
$\sigma^2 = \frac{1}{3} + 0 + 0 + \frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
આમ,$m = 1$ અને $\sigma^2 = 1$,તેથી $m = \sigma^2 = 1$.

(D) ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=2) = \frac{1}{36}, P(X=3) = \frac{2}{36}, P(X=4) = \frac{3}{36}, P(X=5) = \frac{4}{36}, P(X=6) = \frac{5}{36}, P(X=7) = \frac{6}{36}, P(X=8) = \frac{5}{36}, P(X=9) = \frac{4}{36}, P(X=10) = \frac{3}{36}, P(X=11) = \frac{2}{36}, P(X=12) = \frac{1}{36}$.
મધ્યક $E(X)$ એ $\sum X_i P(X_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7$.

(B) અહીં $n = 2000$ અને $p = 0.001$ છે.
પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,પ્રાચલ $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$.
$X$ વ્યક્તિઓને પ્રતિક્રિયા થાય તેની સંભાવના $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાનું છે.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2}$
તેમનો સરવાળો: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2}$.

(B) ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર સિવાયના ઉપલબ્ધ માળની સંખ્યા $6$ છે.
દરેક $5$ વ્યક્તિઓ $6$ માળમાંથી કોઈપણ એક માળ પસંદ કરી શકે છે.
તેથી,$5$ વ્યક્તિઓ બહાર નીકળવાની કુલ રીતો $6^5$ છે.
$5$ વ્યક્તિઓ $5$ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળે તેની રીતો $^6P_5$ છે.
$^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^5 = 7776$ છે.
સંભાવના $\frac{^6P_5}{6^5} = \frac{720}{7776}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{720}{7776} = \frac{5}{54}$.

(C) પ્રતિ પાના દીઠ ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ છે.
$n = 2$ પાનાના નમૂના માટે,પોઈસન વિતરણ માટેનો પેરામીટર $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ થાય છે.
નમૂનામાં $X$ ભૂલો હોવાની સંભાવના પોઈસન સૂત્ર $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈ ભૂલ ન હોય તે માટે,આપણે $k = 0$ લઈએ છીએ:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1}$.

(C) ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. દરેક $H$ માટે,$+2$ પોઈન્ટ મળે છે અને દરેક $T$ માટે,$-1$ પોઈન્ટ ગુમાવે છે.
જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે છાપ $(n_H)$ અને કાંટા $(n_T)$ ની સંખ્યા માટેના શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. ત્રણ કાંટા $(0H, 3T)$: સ્કોર $X = 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. બે કાંટા અને એક છાપ $(1H, 2T)$: સ્કોર $X = 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. એક કાંટો અને બે છાપ $(2H, 1T)$: સ્કોર $X = 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. ત્રણ છાપ $(3H, 0T)$: સ્કોર $X = 3(2) + 0(-1) = 6$.
આમ,કુલ સ્કોર $X$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $\{-3, 0, 3, 6\}$ છે.
તેથી,$X$ નો વિસ્તાર $\{-3, 0, 3, 6\}$ છે.

(A) દુકાનની મુલાકાત લેતા ગ્રાહકોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) ને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = 4$ છે.
સંભાવના માસ ફંક્શન $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $2$ થી વધુ ગ્રાહકો મુલાકાત લે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X > 2)$.
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4}$.
$P(X=1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - [e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4}] = 1 - 13e^{-4}$.
આને $1 - \frac{13}{e^4} = \frac{e^4 - 13}{e^4}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$.
$x$ ની કિંમતો મૂકતા: $c\left(\frac{2}{3}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots = 1$.
$c$ ને સામાન્ય લેતા: $c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
આમ,$c = \frac{1}{2}$.

(A) સરેરાશ આગમન દર,$\lambda$,$240 \text{ વાહનો/કલાક} = \frac{240}{3600} \text{ વાહનો/સેકન્ડ} = \frac{1}{15} \text{ વાહનો/સેકન્ડ}$ છે.
$t = 30 \text{ સેકન્ડ}$ ના સમયગાળા માટે,અપેક્ષિત આગમન સંખ્યા $\mu = \lambda t = \frac{1}{15} \times 30 = 2$ છે.
પોઈસન વિતરણ મુજબ,$n$ આગમનની સંભાવના $P(n) = \frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!}$ છે.
આપણે બે કરતા વધુ વાહનો આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(n > 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
$P(1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
$P(2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(n \leq 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.
તેથી,$P(n > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(A) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ છે,જ્યાં $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) = 1$.
$k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n} = k \left( \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots \right) = 1$.
આ એક અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$d=1$,અને $r=\frac{1}{3}$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-1/3} + \frac{1 \cdot (1/3)}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{2} + \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$k \cdot \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k \cdot \frac{0+1}{3^0} = k \cdot 1 = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k \cdot \frac{1+1}{3^1} = k \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
$P(X < 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$.

(A) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=3) = P(X=5)$,તેથી $\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}$.
બંને બાજુથી $e^{-\lambda}$ અને $\lambda^3$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{6} = \frac{\lambda^2}{120}$ મળે છે.
આમ,$\lambda^2 = \frac{120}{6} = 20$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \sqrt{20}$.
હવે,આપણે $P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$ શોધવાનું છે.
$\lambda = \sqrt{20}$ અને $\lambda^2 = 20$ મૂકતા,આપણને $P(X=4) = \frac{e^{-\sqrt{20}} (20)^2}{24} = \frac{400}{24 e^{\sqrt{20}}} = \frac{50}{3 e^{\sqrt{20}}}$ મળે છે.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{P(X=5)}{P(X=2)} = \frac{1}{7500}$,તેથી $\frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}} = \frac{\lambda^3}{5 \times 4 \times 3} = \frac{\lambda^3}{60} = \frac{1}{7500}$.
આમ,$\lambda^3 = \frac{60}{7500} = \frac{1}{125}$.
ઘનમૂળ લેતા,$\lambda = \frac{1}{5}$ મળે છે.
બીજી શરત ચકાસતા: $\frac{P(X=5)}{P(X=3)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}} = \frac{\lambda^2}{5 \times 4} = \frac{\lambda^2}{20}$.
$\lambda = \frac{1}{5}$ મૂકતા,$\frac{(1/5)^2}{20} = \frac{1/25}{20} = \frac{1}{500}$ મળે છે.
આ શરત સંતોષાય છે. તેથી,વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{5}$ છે.

(C) ભૂલોની સંખ્યા એ $\lambda = n \times p_{error}$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
અહીં $n = 40$ પાના છે અને ભૂલનો દર દર $10$ પાના દીઠ $1$ છે,તેથી ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda = 40 \times \frac{1}{10} = 4$ છે.
$X$ ભૂલો હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને ભૂલો વધુમાં વધુ $2$ હોય તેની સંભાવના જોઈએ છે,જે $p = P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$p = e^{-4} \left( \frac{4^0}{0!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^2}{2!} \right) = e^{-4} (1 + 4 + 8) = 13 e^{-4}$.
આપણને $e^2 p$ શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે.
$e^2 p = e^2 \times 13 e^{-4} = 13 e^{-2}$.

(B) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. કુલ ઈંડાની સંખ્યા $12$ છે અને આપણે બદલ્યા વગર $3$ ઈંડા પસંદ કરીએ છીએ. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P(X=0) = \frac{{}^{10}C_3}{{}^{12}C_3} = \frac{120}{220} = \frac{12}{22}$
$P(X=1) = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{2}C_1}{{}^{12}C_3} = \frac{45 \times 2}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22}$
$P(X=2) = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{2}C_2}{{}^{12}C_3} = \frac{10 \times 1}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$
હવે,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i P_i$ ગણીએ:
$E(X) = (0 \times \frac{12}{22}) + (1 \times \frac{9}{22}) + (2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+2}{22} = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$
આગળ,આપણે $E(X^2) = \sum x_i^2 P_i$ ગણીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{12}{22}) + (1^2 \times \frac{9}{22}) + (2^2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+4}{22} = \frac{13}{22}$
અંતે,વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા મળે છે:
$Var(X) = \frac{13}{22} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{13}{22} - \frac{1}{4} = \frac{26-11}{44} = \frac{15}{44}$

(A) અહીં કુલ સંદેશાઓની સંખ્યા $n = 500$ છે અને સંદેશો સાચી રીતે ટ્રાન્સમિટ થવાની સંભાવના $0.98$ છે.
તેથી,સંદેશો ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થવાની સંભાવના $p = 1 - 0.98 = 0.02$ છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં પેરામીટર $\lambda = np = 500 \times 0.02 = 10$ છે.
ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થયેલા સંદેશાઓ $X$ માટેની સંભાવના $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક સંદેશો ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = \frac{10^0 e^{-10}}{0!} = e^{-10}$.
$P(X=1) = \frac{10^1 e^{-10}}{1!} = 10 e^{-10}$.
આમ,$P(X \leq 1) = e^{-10} + 10 e^{-10} = 11 e^{-10} = \frac{11}{e^{10}}$.

(B) ધારો કે $X$ એ દર કલાકે કરવામાં આવતા કોલની સંખ્યા છે. સરેરાશ કોલની સંખ્યા $5$ હોવાથી,$X$ એ $\lambda = 5$ પ્રાચલ સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
$X$ કોલનો ખર્ચ $2X$ છે. આપણે એ સંભાવના શોધવી છે કે ખર્ચ $Rs. 4$ થી વધુ હોય,એટલે કે $P(2X > 4) = P(X > 2)$.
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
પોઈસન સૂત્ર $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = e^{-5} \frac{5^0}{0!} = e^{-5}$.
$P(X=1) = e^{-5} \frac{5^1}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X=2) = e^{-5} \frac{5^2}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}$.
આનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = e^{-5} (1 + 5 + 12.5) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - \frac{37}{2 e^5} = \frac{2 e^5 - 37}{2 e^5}$.

(B) ખરાબ પ્રતિક્રિયા થવાની સંભાવના $p = 0.01$ છે અને લોકોની સંખ્યા $n = 300$ છે.
અહીં $n$ મોટું હોવાથી અને $p$ નાનું હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિતરણના અંદાજ તરીકે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું.
મધ્યક $\mu = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$ મળે છે.
પોઈસન વિતરણનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^x}{x!}$ છે.
$x = 2$ માટે,$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2 e^3}$ થાય છે.

(A) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો હોય છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. ચોખ્ખો નફો $X = 10T - 5H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $H + T = 3$ હોવાથી,$T = 3 - H$ થાય.
તેથી,$X = 10(3 - H) - 5H = 30 - 15H$.
દરેક પરિણામ માટે $X$ ની ગણતરી:
- $HHH (H=3): X = 30 - 15(3) = -15$
- $HHT, HTH, THH (H=2): X = 30 - 15(2) = 0$
- $HTT, THT, TTH (H=1): X = 30 - 15(1) = 15$
- $TTT (H=0): X = 30 - 15(0) = 30$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$-15$	$0$	$15$	$30$
$P(x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

મધ્યક $E(X) = \Sigma x P(x) = (-15 \times \frac{1}{8}) + (0 \times \frac{3}{8}) + (15 \times \frac{3}{8}) + (30 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = \frac{-15 + 0 + 45 + 30}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$.

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ એ ત્રણ પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓ દર્શાવતા યાદચ્છિક ચલ છે.
દરેક $X_i$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી સમાન સંભાવના $P(X_i = k) = \frac{1}{6}$ સાથે કિંમતો લઈ શકે છે.
એક પાસાનો મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E[X_i] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X_i = k) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$ છે.
ધારો કે $S$ એ ત્રણ પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,તેથી $S = X_1 + X_2 + X_3$.
અપેક્ષાની સુરેખતાના ગુણધર્મ મુજબ,સરવાળાનો મધ્યક $E[S] = E[X_1 + X_2 + X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$ થાય.
એક પાસાના મધ્યકની કિંમત મૂકતા,આપણને $E[S] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$ મળે છે.
તેથી,સંખ્યાઓના સરવાળાનો મધ્યક $10.5$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી અથવા એકી હોઈ શકે છે.
સરવાળો બેકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે,અને સરવાળો એકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે.
આમ,$P(\text{સરવાળો બેકી}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ અને $P(\text{સરવાળો એકી}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $X$ એ $A$ દ્વારા મેળવેલા પોઈન્ટ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
જો સરવાળો બેકી હોય,તો $X = \frac{1}{2}$ સંભાવના $\frac{1}{2}$ સાથે.
જો સરવાળો એકી હોય,તો $X = 1$ સંભાવના $\frac{1}{2}$ સાથે.
$X$ નો અંકગણિતીય મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E(X) = \sum x_i p_i = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k} + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^k}$.
પ્રથમ ભાગ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $3 \times \frac{1}{1 - 1/3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
બીજો ભાગ એક અંકગણિત-ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\sum_{k=0}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$. $x = 1/3$ માટે,આ $\frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,$S = \frac{9}{2} + 2 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$.
કારણ કે $c \times S = 1$,તેથી $c = 1/6$.
હવે,$P(X=3) = \frac{(2(3)+3)c}{3^3} = \frac{9c}{27} = \frac{c}{3}$.
$c = 1/6$ મૂકતા,આપણને $P(X=3) = \frac{1/6}{3} = \frac{1}{18}$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: $k$ ની કિંમત શોધો. સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$3k + k + k + 2k + k = 1 \implies 8k = 1 \implies k = \frac{1}{8}$.
પગલું $2$: મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = 2(3k) + 3(k) + 5(k) + 7(2k) + 12(k) = 6k + 3k + 5k + 14k + 12k = 40k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{8}$,$E(X) = 40 \times \frac{1}{8} = 5$.
પગલું $3$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = 2^2(3k) + 3^2(k) + 5^2(k) + 7^2(2k) + 12^2(k) = 12k + 9k + 25k + 98k + 144k = 288k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{8}$,$E(X^2) = 288 \times \frac{1}{8} = 36$.
પગલું $4$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$Var(X) = 36 - (5)^2 = 36 - 25 = 11$.
પગલું $5$: પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{11}$.

(A) અસતત યાદચ્છિક ચલ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3k^3 + 2k^2 + (7 - 19k) = 1$.
$3k^3 + 2k^2 - 19k + 6 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $k = \frac{1}{3}$ લઈએ,તો $3(\frac{1}{27}) + 2(\frac{1}{9}) - 19(\frac{1}{3}) + 6 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} - \frac{57}{9} + \frac{54}{9} = 0$.
આમ,$k = \frac{1}{3}$ એ સમીકરણનું બીજ છે.
હવે,$P(X=3) = 7 - 19k = 7 - 19(\frac{1}{3}) = 7 - \frac{19}{3} = \frac{21 - 19}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\Sigma P(X = x_i) = 1$.
$\therefore 2k^2 + k + k + k^2 = 1$
$\Rightarrow 3k^2 + 2k - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3k - 1)(k + 1) = 0$.
આથી $k = \frac{1}{3}$ અથવા $k = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X = x_i)$ હંમેશા અઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{3}$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(X = x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (1 \times 2k^2) + (2 \times k) + (3 \times k) + (5 \times k^2)$
$E(X) = 2k^2 + 2k + 3k + 5k^2 = 7k^2 + 5k$
$k = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$E(X) = 7(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) = 7(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} = \frac{7}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K^2 + K^2 = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
કારણ કે $P(X=x) \geq 0$,તેથી આપણે $K = -1$ ને નકારીએ છીએ. આમ,$K = \frac{1}{4}$.
વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X=x & 2 & 3 & 5 & 9 \\\hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \\\hline\end{array}$
$E(X) = \Sigma x P(x) = (2 \times \frac{1}{4}) + (3 \times \frac{1}{2}) + (5 \times \frac{3}{16}) + (9 \times \frac{1}{16}) = \frac{8}{16} + \frac{24}{16} + \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{56}{16} = \frac{7}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(x) = (4 \times \frac{1}{4}) + (9 \times \frac{1}{2}) + (25 \times \frac{3}{16}) + (81 \times \frac{1}{16}) = 1 + \frac{9}{2} + \frac{75}{16} + \frac{81}{16} = \frac{16 + 72 + 75 + 81}{16} = \frac{244}{16} = \frac{61}{4}$
$\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{61}{4} - \frac{49}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(D) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$3K^2 + K + K^2 + 2K = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
$P(X=x) \geq 0$ હોવાથી,$K$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $K = \frac{1}{4}$.
વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X=x$	$1$	$3$	$5$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{12}{16} + \frac{5}{16} + \frac{16}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(\frac{3}{16}) + 3^2(\frac{1}{4}) + 5^2(\frac{1}{16}) + 2^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{36}{16} + \frac{25}{16} + \frac{32}{16} = \frac{96}{16} = 6$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - (\frac{9}{4})^2 = 6 - \frac{81}{16} = \frac{96 - 81}{16} = \frac{15}{16}$.

(C) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $3 P(X=2) = P(X=4)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$.
બંને બાજુથી $e^{-\lambda}$ દૂર કરતા અને ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3 \lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24}$.
બંને બાજુ $24$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $36 \lambda^2 = \lambda^4$.
કારણ કે $\lambda > 0$,તેથી $\lambda^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 6$.
હવે,આપણે $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 6^6}{6!}$ શોધવાનું છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 46656}{720} = \frac{46656}{720 e^6} = \frac{324}{5 e^6}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
ઘટના $E$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માં રહેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
ઘટના $F$ માં $4$ થી નાની કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,તેથી $F = \{1, 2, 3\}$.
તેથી $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
સંભાવના $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_{i}) = 0.1 + k + 0.2 + 2k + 3k + k = 1$
$7k + 0.3 = 1 \Rightarrow 7k = 0.7 \Rightarrow k = 0.1$.
હવે,આપણે મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_{i} P(x_{i})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\mu = (-2)(0.1) + (-1)(0.1) + (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.3) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3 = 0.8$.
આગળ,આપણે $E(X^2) = \sum x_{i}^2 P(x_{i})$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.1) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.2) + (2)^2(0.3) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 4(0.1) + 1(0.1) + 0 + 1(0.2) + 4(0.3) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.1 + 0 + 0.2 + 1.2 + 0.9 = 2.8$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 2.8 - (0.8)^2 = 2.8 - 0.64 = 2.16$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $5 + 3 = 8$ છે. બે દડા યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. $2$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા સફેદ દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$P(X = 0) = \frac{{}^5C_2}{{}^8C_2} = \frac{10}{28}$.
$P(X = 1) = \frac{{}^5C_1 \times {}^3C_1}{{}^8C_2} = \frac{5 \times 3}{28} = \frac{15}{28}$.
$P(X = 2) = \frac{{}^3C_2}{{}^8C_2} = \frac{3}{28}$.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = 0 \times \frac{10}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$,તેથી $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}\right)^r = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ જ્યાં $x = \frac{1}{3}$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
આમ,$S = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = \frac{1}{3}$ માટે,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$k \times \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
હવે,$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} \right]$.
$= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} \right] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right] = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 5k^2 + 2k^2 + 3k = 1$
$7k^2 + 6k - 1 = 0$
$7k^2 + 7k - k - 1 = 0$
$7k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(k + 1)(7k - 1) = 0$
સંભાવના માટે $k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{7}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ દ્વારા મળે છે:
$E(X) = (0 \times 0) + (2 \times k) + (4 \times 2k) + (6 \times 5k^2) + (8 \times 2k^2) + (10 \times 3k)$
$E(X) = 0 + 2k + 8k + 30k^2 + 16k^2 + 30k$
$E(X) = 46k^2 + 40k$
$k = \frac{1}{7}$ મૂકતા:
$E(X) = 46(\frac{1}{7})^2 + 40(\frac{1}{7})$
$E(X) = \frac{46}{49} + \frac{40}{7} = \frac{46 + 280}{49} = \frac{326}{49}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$,તેથી:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3$.
હવે,આપણને આપેલ છે કે $\frac{5}{3} k = P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2}$.
તેથી,$\frac{5}{3} k = \frac{9 e^{-3}}{2} \implies e^{-3} = \frac{10}{27} k$.
આપણે $P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} = \frac{e^{-3} \times 243}{120} = \frac{81}{40} e^{-3}$ શોધવાનું છે.
$e^{-3} = \frac{10}{27} k$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(X=5) = \frac{81}{40} \times \frac{10}{27} k = \frac{3}{4} k$.

(A) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = 10k + 9k + 8k + 8k + 6k + 5k + 4k + 3k + k = 54k = 1$.
તેથી,$k = \frac{1}{54}$.
ઘટના $A$ માં $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જે $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(A) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 9k + 8k + 6k + 4k = 27k$.
ઘટના $B$ માં $x_i > 5$ હોય તેવી કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,જે $\{6, 7, 8, 9\}$ છે.
$P(B) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) = 5k + 4k + 3k + k = 13k$.
છેદ $A \cap B$ માં એવી કિંમતો છે જે અવિભાજ્ય પણ છે અને $5$ કરતા મોટી પણ છે,જે $\{7\}$ છે.
$P(A \cap B) = P(7) = 4k$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 27k + 13k - 4k = 36k$.
$k = \frac{1}{54}$ મુકતા,આપણને $P(A \cup B) = 36 \times \frac{1}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(A) આ પ્રશ્ન પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે કારણ કે પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 2000$ મોટી છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.001$ ખૂબ નાની છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,પ્રાચલ $\lambda$ એ $\lambda = n \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}$ છે.
આપણે બરાબર $x = 3$ વ્યક્તિઓ માટે સંભાવના શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 2^{3}}{3!}$.
$P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} = \frac{4}{3 e^{2}}$.

(C) મધ્યક '$m$' ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(x = k) = \frac{m^k \cdot e^{-m}}{k!}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, \dots$.
આપણે $P(x > 0)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(x > 0) = 1 - P(x = 0)$.
સૂત્રમાં $k = 0$ મૂકતા,આપણને $P(x = 0) = \frac{m^0 \cdot e^{-m}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-m}}{1} = e^{-m}$ મળે છે.
તેથી,$P(x > 0) = 1 - e^{-m} = 1 - \frac{1}{e^m}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P(x > 0) = \frac{e^m - 1}{e^m}$ મળે છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ માટે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1$
$3c^3 + (4c - 10c^2) + (5c - 1) = 1$
$3c^3 - 10c^2 + 9c - 2 = 0$
ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(c - 1)(c - 2)(3c - 1) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $0 \le P(X) \le 1$,આપણે કિંમતો ચકાસીએ. જો $c = 1$ હોય,તો $P(X = 2) = 5(1) - 1 = 4$,જે અશક્ય છે. જો $c = 2$ હોય,તો $P(X = 2) = 5(2) - 1 = 9$,જે અશક્ય છે. તેથી,$c = \frac{1}{3}$.
હવે,$P(X = 0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$,$P(X = 1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{9} = \frac{2}{9}$,અને $P(X = 2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(0 < X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાનું છે.
$P(0 < X \le 2) = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) અસતત સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum_{x=1}^{\infty} P(X = x) = 1$
$\sum_{x=1}^{\infty} 5r^x = 1$
$5(r + r^2 + r^3 + \dots) = 1$
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = r$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $|r| < 1$ માટે $\frac{a}{1-r}$ થાય છે.
$5 \left( \frac{r}{1 - r} \right) = 1$
$5r = 1 - r$
$6r = 1$
$r = \frac{1}{6}$

(D) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum_{x=0}^{7} P(x) = 1$
$\Rightarrow 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 + K + 0.04 = 1$
$\Rightarrow 0.98 + K = 1$
$\Rightarrow K = 1 - 0.98 = 0.02$
હવે,આપણે $P(X \geq 3) - P(X < 6)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 0.33 + 0.18 + 0.06 + 0.02 + 0.04 = 0.63$
$P(X < 6) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 = 0.94$
તેથી,$P(X \geq 3) - P(X < 6) = 0.63 - 0.94 = -0.31$.

(A) માસ્ક ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{500} = 0.002$ છે.
$n = 100$ માસ્કના પેકેટમાં,ખામીયુક્ત માસ્કની અપેક્ષિત સંખ્યા $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ છે.
પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,પેકેટમાં $r$ ખામીયુક્ત માસ્ક હોવાની સંભાવના $P(X = r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ છે.
પેકેટમાં કોઈ ખામીયુક્ત માસ્ક ન હોય તે માટે,આપણે $r = 0$ લઈએ છીએ:
$P(X = 0) = \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} = e^{-0.2}$.
$10,000$ પેકેટની કન્સાઇનમેન્ટમાં,ખામીયુક્ત માસ્ક વગરના પેકેટની સંખ્યા $10,000 \times P(X = 0) = 10,000 \times e^{-0.2} = \frac{10,000}{e^{0.2}}$ છે.

(D) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=r) = K r^2$ છે,જ્યાં $r \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum P(X=r) = 1$
$K((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2) = 1$
$K(4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) = 1$
$19K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{19}$
આપણે વિચરણ $\sigma^2$ અને મધ્યકના વર્ગ $\mu^2$ નો સરવાળો શોધવાનો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum r^2 P(X=r) = \sum r^2 (K r^2) = K \sum r^4$
$E(X^2) = K((-2)^4 + (-1)^4 + 0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4)$
$E(X^2) = K(16 + 1 + 0 + 1 + 16 + 81) = K(115)$
$K = \frac{1}{19}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E(X^2) = \frac{115}{19}$
આમ,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{115}{19}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X = 2) = 2 \cdot P(X = 1)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = 2 \cdot \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda} \cdot \lambda$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\lambda \neq 0$):
$\frac{\lambda}{2} = 2 \cdot 1$.
$\lambda = 4$.
પોઈસન વિતરણમાં,વિચરણ એ પ્રાચલ $\lambda$ જેટલું હોય છે,તેથી $\sigma^2 = \lambda = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{4} = 2$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + 7k^2 + k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવના હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(0 < X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ શોધવાનું છે.
$P(0 < X < 4) = k + 2k + 2k = 5k$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા,$P(0 < X < 4) = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$.

(B) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $p(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
$x$ ની જે કિંમત માટે $p(x)$ મહત્તમ હોય તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{p(x)}{p(x-1)}$ તપાસીએ.
$\frac{p(x)}{p(x-1)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x / x!}{e^{-\lambda} \lambda^{x-1} / (x-1)!} = \frac{\lambda}{x}$.
$p(x)$ મહત્તમ થવા માટે,આપણે $\frac{p(x)}{p(x-1)} \geq 1$ અને $\frac{p(x+1)}{p(x)} \leq 1$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\lambda}{x} \geq 1 \implies x \leq \lambda$ અને $\frac{\lambda}{x+1} \leq 1 \implies x+1 \geq \lambda$.
આમ,મોડ $x$ એ $\lambda - 1 \leq x \leq \lambda$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 3.725$,તેથી $3.725 - 1 \leq x \leq 3.725$,જેનો અર્થ છે કે $2.725 \leq x \leq 3.725$.
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત જે $p(x)$ ને મહત્તમ કરે છે તે $3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum P(X=x_i) = 1$.
$0.1 + 0.15 + 0.3 + 0.25 + k + k = 1$
$0.8 + 2k = 1 \implies 2k = 0.2 \implies k = 0.1$.
હવે,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ અને $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ:

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$1$	$0.1$	$0.1$	$0.1$
$2$	$0.15$	$0.3$	$0.6$
$3$	$0.3$	$0.9$	$2.7$
$4$	$0.25$	$1.0$	$4.0$
$5$	$0.1$	$0.5$	$2.5$
$6$	$0.1$	$0.6$	$3.6$
કુલ	$1.0$	$3.4$	$13.5$

વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 13.5 - (3.4)^2 = 13.5 - 11.56 = 1.94$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,વિચરણ એ પ્રાચલ $\lambda$ જેટલું હોય છે. આપેલ છે કે વિચરણ $3$ છે,તેથી $\lambda = 3$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,જો $\lambda$ પૂર્ણાંક ન હોય તો $P(X=r)$ એ $r = \lfloor \lambda \rfloor$ પર મહત્તમ હોય છે,અને જો $\lambda$ પૂર્ણાંક હોય તો તે $r = \lambda$ અને $r = \lambda - 1$ પર બે મહત્તમ મૂલ્યો લે છે.
અહીં,$\lambda = 3$ છે,જે એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$P(X=r)$ એ $r = 3$ અને $r = 3 - 1 = 2$ પર મહત્તમ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$r=2$ અને $r=3$ બંને માન્ય છે,પરંતુ વિકલ્પોમાં $r=2$ આપેલ હોવાથી તે સાચું મૂલ્ય છે.