Probability distribution Questions in Gujarati

(B) પ્રતિ પાના ભૂલોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = \frac{60}{600} = 0.1$ છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{e^{-0.1} (0.1)^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં પાના પર વધુમાં વધુ બે ભૂલો હોય,એટલે કે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
$P(X=0) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^0}{0!} = e^{-0.1}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^1}{1!} = 0.1 e^{-0.1}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^2}{2!} = \frac{0.01}{2} e^{-0.1} = 0.005 e^{-0.1}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = e^{-0.1} (1 + 0.1 + 0.005) = e^{-0.1} (1.105) = e^{-0.1} \left(\frac{1105}{1000}\right) = e^{-0.1} \left(\frac{221}{200}\right) = \frac{1}{e^{0.1}} \left(\frac{221}{200}\right)$.

(B) આપેલ છે કે,એક અઠવાડિયામાં સરેરાશ જન્મ $35$ છે.
એક અઠવાડિયામાં $7$ દિવસ હોવાથી,એક દિવસમાં સરેરાશ જન્મ $\lambda = \frac{35}{7} = 5$ થાય.
આપણે પોઈસન વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એક દિવસમાં $3$ થી ઓછા જન્મ થવાની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X = 0) = \frac{5^0 e^{-5}}{0!} = e^{-5}$.
$P(X = 1) = \frac{5^1 e^{-5}}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X = 2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X < 3) = e^{-5} + 5e^{-5} + \frac{25}{2}e^{-5} = e^{-5}(1 + 5 + 12.5) = 18.5e^{-5} = \frac{37}{2e^5}$.

(B) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=r) = r/k$ છે,જ્યાં $r = 1, 2, 3, 4, 5$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum_{r=1}^{5} P(X=r) = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} = 1$
$\frac{1+2+3+4+5}{k} = 1 \Rightarrow \frac{15}{k} = 1 \Rightarrow k = 15$.
આપણે $P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3)$ શોધવાનું છે.
$k=15$ હોવાથી,$k/3 = 15/3 = 5$.
તેથી,$P(X=2 \text{ અથવા } X=5) = P(X=2) + P(X=5) = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $B$: $P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=15/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=3) = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$.
આમ,$P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3) = P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5)$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો તફાવત છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $P(X)$ | $P_i X_i$ |
|---|---|---|
| $0$ | $6/36$ | $0$ |
| $1$ | $10/36$ | $10/36$ |
| $2$ | $8/36$ | $16/36$ |
| $3$ | $6/36$ | $18/36$ |
| $4$ | $4/36$ | $16/36$ |
| $5$ | $2/36$ | $10/36$ |
મધ્યક $\mu$ એ $\sum P_i X_i$ દ્વારા મળે છે:
$\mu = 0 + \frac{10}{36} + \frac{16}{36} + \frac{18}{36} + \frac{16}{36} + \frac{10}{36}$
$\mu = \frac{10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$.

(C) આપેલ છે,$n = 50$. ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના છે. તો પોઈસન વિતરણનો પ્રાચલ $\lambda = np = 50p$ છે.
પોઈસન ચલ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$.
સૂત્ર મૂકતા: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા ($e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી): $2 \lambda = 5 \frac{\lambda^5}{120} + 2 \frac{\lambda^3}{6}$.
$2 \lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$24$ વડે ગુણતા: $48 \lambda = \lambda^5 + 8 \lambda^3$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda$ વડે ભાગતા: $\lambda^4 + 8 \lambda^2 - 48 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$,તો $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
તેથી,$\lambda^2 = 4$ અથવા $\lambda^2 = -12$. $\lambda^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $\lambda^2 = 4$,જે $\lambda = 2$ આપે છે.
અંતે,$p = \frac{\lambda}{n} = \frac{2}{50} = 0.04$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $E(X)$ અને $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \Sigma x P(X=x) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+0+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+0+1+8}{6} = \frac{11}{6}$
હવે,આપણે $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$ શોધીએ.
અંતે,આપણે $6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$

(A) ધારો કે $N$ એ પાસા પર આવતી સંખ્યા છે. $N$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
જો $N$ બેકી હોય $(N \in \{2, 4, 6\})$,તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 2$ થાય.
$N = 2$ માટે,$X = 2 + 2 = 4$.
$N = 4$ માટે,$X = 4 + 2 = 6$.
$N = 6$ માટે,$X = 6 + 2 = 8$.
જો $N$ એકી હોય $(N \in \{1, 3, 5\})$,તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 3$ થાય.
$N = 1$ માટે,$X = 1 + 3 = 4$.
$N = 3$ માટે,$X = 3 + 3 = 6$.
$N = 5$ માટે,$X = 5 + 3 = 8$.
આમ,$X$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{4, 6, 8\}$ છે.
તેથી,$X$ નો વિસ્તાર $\{4, 6, 8\}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે સરવાળો $X$ એ $2$ થી $12$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$
$P(X): \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \frac{3}{36}, \frac{4}{36}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36}$
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{2(1)+3(2)+4(3)+5(4)+6(5)+7(6)+8(5)+9(4)+10(3)+11(2)+12(1)}{36} = \frac{252}{36} = 7$.
હવે,સંભાવનાઓની ગણતરી કરીએ:
$P(X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X > 9) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X = 7) = \frac{6}{36}$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\mu + P(X < 5) + P(X > 9) + P(X = 7)$ માં મૂકતા:
$= 7 + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = 7 + \frac{18}{36} = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$,તેથી:
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
કારણ કે $\lambda > 0$,આપણે $\lambda^2$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \Rightarrow \lambda = 3$.
હવે,આપણે $P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 e^{-3}}{120} = \frac{81 e^{-3}}{40} = \frac{81}{40 e^3}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $2 P(X=1) = 3 P(X=2) = P(X=3) = 5 P(X=4) = k$.
તેથી $P(X=1) = \frac{k}{2}, P(X=2) = \frac{k}{3}, P(X=3) = k, P(X=4) = \frac{k}{5}$.
કારણ કે $\sum P(X) = 1$,તેથી $\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + k + \frac{k}{5} = 1$.
$\Rightarrow k(\frac{15+10+30+6}{30}) = 1 \Rightarrow k(\frac{61}{30}) = 1 \Rightarrow k = \frac{30}{61}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$\frac{15}{61}$	$\frac{10}{61}$	$\frac{30}{61}$	$\frac{6}{61}$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x P(x) = 1(\frac{15}{61}) + 2(\frac{10}{61}) + 3(\frac{30}{61}) + 4(\frac{6}{61}) = \frac{15+20+90+24}{61} = \frac{149}{61}$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 1^2(\frac{15}{61}) + 2^2(\frac{10}{61}) + 3^2(\frac{30}{61}) + 4^2(\frac{6}{61}) = \frac{15+40+270+96}{61} = \frac{421}{61}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$.
આપણે $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 + \mu^2 = E(X^2)$ મેળવવાનું છે.
તેથી,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{421}{61}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિતરણનો પ્રાચલ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 3P(X=2)$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 3 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = 3 \times \frac{\lambda^2}{2}$
કારણ કે $\lambda \neq 0$,આપણે $\lambda$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$1 = \frac{3\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{(\frac{2}{3})^3 e^{-\frac{2}{3}}}{6}$
$P(X=3) = \frac{\frac{8}{27} e^{-\frac{2}{3}}}{6} = \frac{8}{27 \times 6} e^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{81} e^{-\frac{2}{3}}$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = a + a + a + b + b + 0.3 = 1$
$3a + 2b + 0.3 = 1$
$3a + 2b = 0.7$ --- $(i)$
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1(a) + 2(a) + 3(a) + 4(b) + 5(b) + 6(0.3) = 4.2$
$a + 2a + 3a + 4b + 5b + 1.8 = 4.2$
$6a + 9b = 4.2 - 1.8$
$6a + 9b = 2.4$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2a + 3b = 0.8$ --- $(ii)$
હવે,સુરેખ સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ની સિસ્ટમને ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9a + 6b = 2.1$ --- $(iii)$
$4a + 6b = 1.6$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$5a = 0.5 \Rightarrow a = 0.1$
$a = 0.1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(0.1) + 2b = 0.7$
$0.3 + 2b = 0.7$
$2b = 0.4 \Rightarrow b = 0.2$
આમ,$a = 0.1$ અને $b = 0.2$ થાય.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum P_i X_i$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.2) + (4 \times 0) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0 = 1.6$.
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum P_i X_i^2$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.1) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.2) + (4^2 \times 0) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 + 0 = 3.4$.
હવે,વિચરણની ગણતરી કરીએ:
$\text{Var}(X) = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K + 2K + K = 9K = 1$
$\therefore K = \frac{1}{9}$
મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times K) + (2 \times 2K) + (3 \times 3K) + (4 \times 2K) + (5 \times K)$
$= K + 4K + 9K + 8K + 5K = 27K = 27 \times \frac{1}{9} = 3$
$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times K) + (2^2 \times 2K) + (3^2 \times 3K) + (4^2 \times 2K) + (5^2 \times K)$
$= K + 8K + 27K + 32K + 25K = 93K = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31 - 27}{3} = \frac{4}{3}$

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $\lambda$ પ્રાચલ ધરાવતો પોઈસન ચલ છે,તેથી સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = P(X=1) = P(X=2)$:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \Rightarrow \lambda = 2$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
હવે,$\alpha$ ની કિંમત શોધીએ:
$\alpha = P(X=1) = \frac{e^{-2} \times 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} \times 2^4}{24} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3} e^{-2}$.
કારણ કે $\alpha = 2e^{-2}$,તેથી $e^{-2} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
આ કિંમત $P(X=4)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(X=4) = \frac{2}{3} \times \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{3}$.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ પોઈસન ચલ $X$ નો મધ્યક છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,તેથી:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
$\lambda > 0$ હોવાથી,$\lambda$ વડે ભાગતા $1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે,એટલે કે $\lambda = 2$.
હવે,$P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{2^5 e^{-2}}{5!} = \frac{32 e^{-2}}{120}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{32}{120}$ ને $8$ વડે ભાગતા $\frac{4}{15}$ મળે છે.
આમ,$P(X=5) = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પ્રાચલ (મધ્યક અને વિચરણ) છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.8$.
સૂત્રમાં $x=0$ મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m} = 0.8$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-m = \ln(0.8) = \ln(\frac{8}{10}) = \ln(\frac{4}{5})$.
તેથી,$m = -\ln(\frac{4}{5}) = \ln((\frac{4}{5})^{-1}) = \ln(\frac{5}{4}) = \ln(1.25)$.
પોઈસન વિતરણનું વિચરણ તેના પ્રાચલ $m$ જેટલું હોવાથી,વિચરણ $\ln(1.25)$ અથવા $\log _e 1.25$ થાય.

(D) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.4$.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$ હોવાથી,$0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$ મળે.
$P(X=1) + P(X=2) = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,ધારો કે $P(X=1) = P(X=2) = p$.
તેથી $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$.
આમ,$P(X=1) = 0.3$ અને $P(X=2) = 0.3$.
મધ્યક $E(X)$ એ $\sum x_i P(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$.
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$.

(C) આપેલ છે કે પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{2}$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ શોધવાનો છે.
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$ અને $P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}}$
$= \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(C) જ્યારે પાસાને $12$ વખત ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^{12}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $6$ બાજુઓમાંથી દરેક બરાબર $2$ વાર આવે.
આ મલ્ટિનોમિયલ વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $12$ પરિણામોને $6$ જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ,જેમાં દરેક જૂથનું કદ $2$ છે.
દરેક બાજુ બે વાર આવે તે રીતે $12$ પરિણામોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{12!}{2! 2! 2! 2! 2! 2!} = \frac{12!}{(2!)^6} = \frac{12!}{2^6}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના:
$P = \frac{12!}{2^6 \times 6^{12}}$.

(B) ધારો કે $q = 1-p$ એ કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના છે. પ્રથમ છાપ બેકી સંખ્યાના ઉછાળ પર મળે તેનો અર્થ એ છે કે પરિણામોનો ક્રમ $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H), \dots$ છે.
આ ઘટનાની સંભાવના $P = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$0 < q < 1$ થાય,તેથી $|q^2| < 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $P = \frac{a}{1-r} = \frac{qp}{1-q^2}$ છે.
આપેલ છે કે $P = \frac{2}{5}$,તેથી $\frac{qp}{1-q^2} = \frac{2}{5}$.
$q = 1-p$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} = \frac{2}{5}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 = p(2-p)$.
તેથી,$\frac{p(1-p)}{p(2-p)} = \frac{2}{5}$.
$p$ ને દૂર કરતા ($p \neq 0$ હોવાથી),આપણને મળે $\frac{1-p}{2-p} = \frac{2}{5}$.
ક્રોસ ગુણાકાર કરતા: $5(1-p) = 2(2-p) \Rightarrow 5 - 5p = 4 - 2p$.
$1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{263}{15}$.
સરવાળો ગણતા: $E(X) = (4k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{30}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{32}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{34}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (\frac{36}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{38}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{40}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (6k \cdot \frac{1}{15})$.
$E(X) = \frac{k}{105} [ 56 + 30 + 64 + 102 + 36 + 76 + 120 + 42 ] = \frac{526k}{105} = \frac{263}{15}$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{263}{15} \cdot \frac{105}{526} = \frac{7}{2}$.
$k = \frac{7}{2}$ ને $X$ ની કિંમતોમાં મૂકતા: $X$ ની કિંમતો ${14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}$ મળે છે.
આપણે $P(X < 20) = P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + P(X=19)$ શોધવાનું છે.
$P(X < 20) = \frac{2}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} = \frac{11}{15}$.

(C) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\frac{2a + 1}{30} + \frac{8a - 1}{30} + \frac{4a + 1}{30} + b = 1$
$\frac{14a + 1}{30} + b = 1 \Rightarrow 14a + 30b = 29 \dots (1)$
આપણને $\sigma^{2} + \mu^{2} = 2$ આપેલ છે. $\sigma^{2} = E[X^{2}] - \mu^{2}$ હોવાથી,$E[X^{2}] = 2$ મળે.
$E[X^{2}] = \sum x_{i}^{2} p(x_{i}) = 0^{2} \cdot \frac{2a+1}{30} + 1^{2} \cdot \frac{8a-1}{30} + 2^{2} \cdot \frac{4a+1}{30} + 3^{2} \cdot b = 2$
$\frac{8a - 1 + 16a + 4}{30} + 9b = 2$
$\frac{24a + 3}{30} + 9b = 2$ $\Rightarrow 24a + 3 + 270b = 60$ $\Rightarrow 24a + 270b = 57$
$3$ વડે ભાગતા: $8a + 90b = 19 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$30b = 29 - 14a$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$8a + 3(29 - 14a) = 19$
$8a + 87 - 42a = 19$
$-34a = -68 \Rightarrow a = 2$
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $14(2) + 30b = 29$ $\Rightarrow 28 + 30b = 29$ $\Rightarrow 30b = 1$ $\Rightarrow b = \frac{1}{30}$
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{2}{1/30} = 60$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(x_i) = 0 + 2k + k + 3k + 2k^2 + 2k + (k^2 + k) + 7k^2 = 1$
પદોને ભેગા કરતા: $10k^2 + 9k = 1$
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $10k^2 + 9k - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $(10k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10} = 0.1$.
આપણે $P(3 < x \leq 6) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)$ શોધવાનું છે.
$P(3 < x \leq 6) = 2k^2 + 2k + (k^2 + k) = 3k^2 + 3k$.
$k = 0.1$ મૂકતા:
$P(3 < x \leq 6) = 3(0.1)^2 + 3(0.1) = 3(0.01) + 0.3 = 0.03 + 0.3 = 0.33$.