Probability distribution Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH\}$
તેથી,$n(S) = 8$.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તો $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $1/8$ | $3/8$ | $3/8$ | $1/8$ |
મધ્યક $\mu$ એ $\Sigma X_i P(X_i)$ દ્વારા મળે છે:
$\mu = 0 \times \left(\frac{1}{8}\right) + 1 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 2 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 3 \times \left(\frac{1}{8}\right)$
$\mu = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$\mu = \frac{12}{8} = 1.5$

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\Sigma P(X) = 1$.
$(k-1) + 3k + k + 3k + 3k^2 + k^2 + (k^2+k) = 1$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$5k^2 + 9k - 1 = 1$
$5k^2 + 9k - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$5k^2 + 10k - k - 2 = 0$
$5k(k+2) - 1(k+2) = 0$
$(5k-1)(k+2) = 0$
આથી $k = \frac{1}{5}$ અથવા $k = -2$ મળે.
સંભાવના $P(X)$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ. $k = -2$ માટે,$P(X=1) = -3$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,$k = \frac{1}{5}$.

(B) સંભાવના વિતરણનો મધ્યક $(\mu) = \sum x_{i} P_{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{5}{18}) + (2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \sum x_{i}^2 P_{i} - \mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\sum x_{i}^2 P_{i} = (0^2 \times \frac{25}{36}) + (1^2 \times \frac{5}{18}) + (2^2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{4}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
હવે,$\sigma^2 = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે પોઈસન ચલ $X$ નો મધ્યક $\lambda = 1$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-1}}{r!}$ છે.
આપણે $\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| P(X=r)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| \frac{e^{-1}}{r!} = e^{-1} [ 1 + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots ] = \frac{2}{e}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એકમ મધ્યક ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,$\bar{x} = 1$. સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-1}}{x!}$ છે.
આપણે $\sum_{x=0}^{\infty} |x-1| \frac{e^{-1}}{x!}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= \frac{1}{e} \left[ |0-1| \frac{1}{0!} + |1-1| \frac{1}{1!} + |2-1| \frac{1}{2!} + |3-1| \frac{1}{3!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + 0 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x-1}{x!} \right] = \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)!} - \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{x!} \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + (e-1) - (e-1-1) \right] = \frac{1}{e} [1 + e - 1 - e + 2] = \frac{2}{e}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$ છે.
સૂત્ર મૂકતા: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા:
$2\lambda = \frac{5 \lambda^5}{120} + \frac{2 \lambda^3}{6}$.
$2\lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$\lambda$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{\lambda^4}{24} + \frac{\lambda^2}{3}$.
$24$ વડે ગુણતા: $48 = \lambda^4 + 8\lambda^2$.
$\lambda^4 + 8\lambda^2 - 48 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$,તો $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
કારણ કે $\lambda^2$ ધન હોવું જોઈએ,$u = 4$,તેથી $\lambda^2 = 4$,જેનો અર્થ છે $\lambda = 2$.
પોઈસન વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\lambda}$ છે.
તેથી,$\sigma = \sqrt{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે યાદચ્છિક ચલની તમામ શક્ય કિંમતો માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum_{k=0}^{5} P(X=k) = 1$
$a \left( \frac{0+1}{2^0} + \frac{1+1}{2^1} + \frac{2+1}{2^2} + \frac{3+1}{2^3} + \frac{4+1}{2^4} + \frac{5+1}{2^5} \right) = 1$
$a \left( 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + \frac{6}{32} \right) = 1$
$a \left( \frac{15}{4} \right) = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{15}$.
$X$ માટે અવિભાજ્ય કિંમતો $\{2, 3, 5\}$ છે.
$P(X \in \{2, 3, 5\}) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$= a \left( \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{6}{32} \right) = a \left( \frac{23}{16} \right)$
$= \frac{4}{15} \times \frac{23}{16} = \frac{23}{60}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x_i) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $P(X=x) \ge 0$,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
હવે,આપણે $P(0 < X < 6) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(0 < X < 6) = k + 2k + 2k + 3k + k^2 = 8k + k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(0 < X < 6) = 8\left(\frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{8}{10} + \frac{1}{100} = \frac{80+1}{100} = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.

(B) આપેલ છે કે $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર અલગ રેન્ડમ ચલ છે.
દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,વિચરણ $Var(X) = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં,$n = 16$ અને $p = 0.25$ છે,તેથી $q = 1 - 0.25 = 0.75$ થાય.
આમ,$Var(X) = 16 \times 0.25 \times 0.75 = 4 \times 0.75 = 3$.
પોઈસન વિતરણ $Y \sim P(\lambda)$ માટે,વિચરણ $Var(Y) = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda = 2$ છે,તેથી $Var(Y) = 2$.
વિચરણનો સરવાળો $Var(X) + Var(Y) = 3 + 2 = 5$ થાય છે.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક $\lambda$ એ વિચરણ જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે વિચરણ $= 2$,તેથી $\lambda = 2$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
સરવાળો $= e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(C) અકસ્માતોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) ને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = 5$ છે.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક અકસ્માત થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$x = 0$ માટે,$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = \frac{e^{-5} \times 1}{1} = e^{-5}$.
$x = 1$ માટે,$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = \frac{e^{-5} \times 5}{1} = 5e^{-5}$.
તેથી,$P(X \le 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5} = \frac{6}{e^5}$.

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3, X_4$ એ અનુક્રમે $1, 2, 5, 10$ રૂપિયાના સિક્કાઓના મૂલ્યો છે.
ધારો કે $I_k$ એ એક સૂચક યાદચ્છિક ચલ છે,જ્યાં જો $k$-મો સિક્કો છાપ દર્શાવે તો $I_k = 1$ અને જો કાંટો દર્શાવે તો $I_k = 0$.
દરેક સિક્કા માટે છાપ મળવાની સંભાવના $P(I_k = 1) = \frac{1}{2}$ છે.
દરેક સૂચક ચલની અપેક્ષિત કિંમત $E[I_k] = 1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
છાપ દર્શાવતા સિક્કાઓના મૂલ્યોનો કુલ સરવાળો $S = 1 \cdot I_1 + 2 \cdot I_2 + 5 \cdot I_3 + 10 \cdot I_4$ છે.
અપેક્ષાની સુરેખતા (linearity of expectation) મુજબ,$E[S] = 1 \cdot E[I_1] + 2 \cdot E[I_2] + 5 \cdot E[I_3] + 10 \cdot E[I_4]$.
$E[S] = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 5 \times \frac{1}{2} + 10 \times \frac{1}{2}$.
$E[S] = \frac{1+2+5+10}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

(C) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
ધારો કે $X$ એ ઇનામની રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. બે છાપ $(HH)$: $P(X = 2) = 1/4$. ઇનામ = $Rs. 2$.
$2$. એક છાપ ($HT$ અથવા $TH$): $P(X = 1) = 2/4 = 1/2$. ઇનામ = $Rs. 1$.
$3$. એક પણ છાપ નહીં $(TT)$: $P(X = -3) = 1/4$. ઇનામ = $-Rs. 3$ (નુકસાન).
મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E(X) = \sum x_i p_i$
$E(X) = (2 \times 1/4) + (1 \times 1/2) + (-3 \times 1/4)$
$E(X) = 2/4 + 1/2 - 3/4$
$E(X) = 1/2 + 1/2 - 3/4 = 1 - 3/4 = 1/4$.
આમ,ઇનામની રકમનો મધ્યક $1/4$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રતિ દિવસ અકસ્માતોની સરેરાશ સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $50$ દિવસમાં $10$ અકસ્માતો થાય છે,તેથી પ્રતિ દિવસ અકસ્માતોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ છે.
આપણે એક દિવસમાં ત્રણ કે તેથી વધુ અકસ્માતો થવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 3)$ છે.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + \dots$
આને $\lambda = 0.2$ સાથે $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,સાચું પદ $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-0.2} (0.2)^k}{k !}$ છે.

(D) આપેલ છે: $n = 300$,$p = 0.01$.
ધારો કે $m$ એ ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સરેરાશ સંખ્યા છે.
$m = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં પેરામીટર $m = 3$ છે.
$X$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-m} m^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા વધુમાં વધુ એક હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1)$.
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$P(X = 0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = \frac{e^{-3} \times 1}{1} = \frac{1}{e^3}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = \frac{3}{e^3}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \frac{1}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{4}{e^3}$.

(C) આપેલ છે કે $P(X=x)=k\left(\frac{3}{8}\right)^X$ જ્યાં $x=1, 2, 3, \ldots$ એ સંભાવના વિતરણ વિધેય છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $k \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{3}{8}\right)^x = 1$.
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{8}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{8}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$k \left( \frac{3/8}{1-3/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3/8}{5/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3}{5} \right) = 1$.
આમ,$k = \frac{5}{3}$.

(B) અસતત યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(x) = 1$.
આપેલ છે કે $P(x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$ જ્યાં $x = 1, 2, 3, \ldots$.
તેથી,$\sum_{x=1}^{\infty} c\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$.
$c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
$c = \frac{1}{2}$.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ કિંમતો ધારણ કરે છે,જ્યાં દરેક માટે સંભાવના $P(X=x_i) = \frac{1}{6}$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
$Var(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
આમ,મધ્યક $\frac{7}{2}$ અને વિચરણ $\frac{35}{12}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = 6$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X \geq 3)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - [e^{-6} + 6e^{-6} + 18e^{-6}] = 1 - 25e^{-6} = 1 - \frac{25}{e^6}$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,વિચરણ $\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$\lambda = 3$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(x=n) = \frac{\lambda^n \cdot e^{-\lambda}}{n!}$ છે.
આપણે $P(1 < x < 4) = P(x=2) + P(x=3)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(x=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$.
$P(x=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27 \cdot e^{-3}}{6} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$.
તેથી,$P(1 < x < 4) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} + \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} = 9 \cdot e^{-3}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
ધારો કે $n = 2x+1$. જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ એકી કિંમતો $1, 3, 5, \ldots$ લે છે.
તેથી,$k \sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = 1$.
$\sinh(z)$ માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = \sinh(z)$ છે.
અહીં,$z = 2$ છે,તેથી $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sinh(2)$.
આમ,$k \sinh(2) = 1$.
$k = \frac{1}{\sinh(2)} = \text{cosech } 2$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\alpha + \alpha + \alpha + \beta + \beta + 0.3 = 1 \implies 3\alpha + 2\beta = 0.7$ (સમીકરણ $1$).
મધ્યક $\mu = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ આપેલ છે:
$1(\alpha) + 2(\alpha) + 3(\alpha) + 4(\beta) + 5(\beta) + 6(0.3) = 4.2$
$6\alpha + 9\beta + 1.8 = 4.2 \implies 6\alpha + 9\beta = 2.4 \implies 2\alpha + 3\beta = 0.8$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 4\beta = 1.4$.
સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 9\beta = 2.4$.
બાદબાકી કરતા: $5\beta = 1.0 \implies \beta = 0.2$.
$\beta = 0.2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $3\alpha + 2(0.2) = 0.7 \implies 3\alpha = 0.3 \implies \alpha = 0.1$.
આપણે $\sigma^2 + \mu^2$ શોધવાનું છે. કારણ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(0.1) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.2) + 5^2(0.2) + 6^2(0.3)$
$E(X^2) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 3.2 + 5.0 + 10.8 = 20.4$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = 3K + 5K + 3k^2 + (4k^2 + k) + 3k^2 = 1$
$10k^2 + 9K - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $P(X = x_i) \geq 0$,તેથી $k > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $k = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X \leq 2) = 3K + 5K + 3k^2 = 8K + 3k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(X \leq 2) = 8(\frac{1}{10}) + 3(\frac{1}{10})^2 = \frac{8}{10} + \frac{3}{100} = \frac{80 + 3}{100} = \frac{83}{100}$.

(B) સંભાવનાઓનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+c}}$,તેથી $\frac{1}{2^c} \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) x^k$ જ્યાં $x = \frac{1}{2}$.
$S = 3 \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 3 \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $S = 3 \frac{1/2}{(1/2)^2} + \frac{1}{1/2} = 3(2) + 2 = 8$.
આમ,$\frac{1}{2^c} (8) = 1 \implies 2^3 = 2^c \implies c = 3$.
આપણે $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$ શોધવાનું છે.
$P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+3}}$.
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{4}{16} = \frac{2}{8}, P(X=2) = \frac{7}{32}, P(X=3) = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
સરવાળો $= \frac{4}{32} + \frac{8}{32} + \frac{7}{32} + \frac{5}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
$c=3$ હોવાથી,વિકલ્પ $\frac{c}{4} = \frac{3}{4}$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) પગલું $1$: $E(X) = \Sigma x P(X=x)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+1+8}{6} = \frac{11}{6}$.
પગલું $3$: $\operatorname{var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$\operatorname{var}(X) = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$.
પગલું $4$: $6 \Sigma(x^2) P(X=x) - \operatorname{var}(X)$ ની ગણતરી કરો.
$6 E(X^2) - \operatorname{var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$k^3 + (2k^3 + k) + (4k - 10k^2) + (4k - 1) = 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $k = \frac{1}{3}$ એ ઉકેલ છે: $3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$.
સંભાવનાઓ છે: $P(-1) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$,$P(0) = 2(\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} = \frac{11}{27}$,$P(1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{12-10}{9} = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$,$P(2) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3} = \frac{9}{27}$.
સરવાળો ચકાસતા: $\frac{1+11+6+9}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-1)(\frac{1}{27}) + (0)(\frac{11}{27}) + (1)(\frac{6}{27}) + (2)(\frac{9}{27}) = \frac{-1 + 0 + 6 + 18}{27} = \frac{23}{27}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_{i}) = 1$
$\frac{k^2}{3} + k^2 + \frac{2k^2}{3} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$
$\frac{k^2 + 3k^2 + 2k^2}{3} + k = 1$
$\frac{6k^2}{3} + k = 1$
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવનાઓ ધન હોવી જોઈએ તેથી $k = 1/2$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_{i} P(X = x_{i})$
$E(X) = (-2) \cdot \frac{k^2}{3} + (-1) \cdot k^2 + (0) \cdot \frac{2k^2}{3} + (1) \cdot \frac{k}{2} + (2) \cdot \frac{k}{2}$
$E(X) = -\frac{5k^2}{3} + \frac{3k}{2}$
$k = 1/2$ મૂકતા:
$E(X) = -\frac{5(1/4)}{3} + \frac{3(1/2)}{2} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} = 1/3$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ પર અસતત સમાન વિતરણને અનુસરે છે.
મધ્યક $E[X]$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત નીચે મુજબ છે:
$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
વિચરણ $Var(X)$ નીચે મુજબ છે:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
$\frac{n+1}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$Var(X) = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{6} = \frac{n^2-1}{12}$.

(D) $5$ ના મધ્યક $\lambda = 5$ સાથેના પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાની જરૂર છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$
$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$
$P(X = 2) = \frac{e^{-5} 5^2}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X < 3) = e^{-5} \left( 1 + 5 + \frac{25}{2} \right) = e^{-5} \left( 6 + 12.5 \right) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.

(B) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પત્તા = $52$. રાજાઓની સંખ્યા = $4$. રાજા ન હોય તેવા પત્તા = $48$.
આપણે $2$ પત્તા ખેંચીએ છીએ. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$P(X=0) = \frac{{}^{48}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{{}^{4}C_1 \times {}^{48}C_1}{{}^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{{}^{4}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$.
$E(X) = 0 + \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = \frac{1}{10} + (K + \frac{2}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{4}{10}) + (K + \frac{2}{10}) = 1$
$\Rightarrow 5K + \frac{15}{10} = 1$
$\Rightarrow 5K + 1.5 = 1$
$\Rightarrow 5K = -0.5$
$\Rightarrow K = -0.1 = -\frac{1}{10}$
હવે,કોષ્ટકમાં $K = -\frac{1}{10}$ મૂકતા:
$x = -2$ માટે,$P = \frac{1}{10}$
$x = -1$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
$x = 0$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 1$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 2$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$
$x = 3$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
મધ્યક $\mu = \sum x P(x) = (-2)(\frac{1}{10}) + (-1)(\frac{1}{10}) + (0)(\frac{2}{10}) + (1)(\frac{2}{10}) + (2)(\frac{3}{10}) + (3)(\frac{1}{10})$
$\mu = \frac{-2 - 1 + 0 + 2 + 6 + 3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા લાલ દડાઓની સંખ્યા છે. કુલ દડાઓની સંખ્યા $3 + 5 = 8$ છે. આપણે $8$ માંથી $3$ દડા કાઢીએ છીએ,તેથી કુલ રીતો ${}^8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{{}^5 C_0 \times {}^3 C_3}{56} = \frac{1 \times 1}{56} = \frac{1}{56}$
$P(X=1) = \frac{{}^5 C_1 \times {}^3 C_2}{56} = \frac{5 \times 3}{56} = \frac{15}{56}$
$P(X=2) = \frac{{}^5 C_2 \times {}^3 C_1}{56} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56}$
$P(X=3) = \frac{{}^5 C_3 \times {}^3 C_0}{56} = \frac{10 \times 1}{56} = \frac{10}{56}$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{56} + 1 \times \frac{15}{56} + 2 \times \frac{30}{56} + 3 \times \frac{10}{56} = \frac{0 + 15 + 60 + 30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $P(X=k) = k^2 P$ જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum_{k=1}^6 P(X=k) = 1$
$P(1^2) + P(2^2) + P(3^2) + P(4^2) + P(5^2) + P(6^2) = 1$
$P(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91P = 1 \Rightarrow P = \frac{1}{91}$.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot (k^2 P) = P \sum_{k=1}^6 k^3$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3)$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216) = \frac{441}{91}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 1$
$0.05 + 0.1 + 2K + 0 + 0.3 + K + 0.1 = 1$
$0.55 + 3K = 1 \Rightarrow 3K = 0.45 \Rightarrow K = 0.15$.
હવે,વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$0.05$	$0.1$	$0.3$	$0$	$0.3$	$0.15$	$0.1$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3)(0.05) + (-2)(0.1) + (-1)(0.3) + (0)(0) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.15 - 0.2 - 0.3 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.25$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - (0.25)^2$.
$E(X^2) = (-3)^2(0.05) + (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 9(0.05) + 4(0.1) + 1(0.3) + 0 + 1(0.3) + 4(0.15) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.45 + 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.9 = 2.95$.
વિચરણ $= 2.95 - (0.25)^2 = 2.95 - 0.0625 = 2.8875$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\Sigma P(X=x) = 1$
$2k + 4k + 3k + k = 1$
$10k = 1$
$k = \frac{1}{10}$

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$3C^3 + (4C - 10C^2) + (5C - 1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $(C - 1)$ એક અવયવ છે. બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $(C - 1)(3C^2 - 7C + 2) = 0$ મળે છે.
વધુ અવયવ પાડતા: $(C - 1)(3C - 1)(C - 2) = 0$.
આમ,$C$ ની શક્ય કિંમતો $1, \frac{1}{3}, 2$ છે.
આપણે તપાસવું પડશે કે શું આ કિંમતો $0$ અને $1$ ની વચ્ચે સંભાવના આપે છે:
જો $C = 2$ હોય,તો $P(X=2) = 5(2) - 1 = 9$,જે $1$ કરતા વધારે છે. તેથી $C \neq 2$.
જો $C = 1$ હોય,તો $P(X=1) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,જે $0$ કરતા ઓછી છે. તેથી $C \neq 1$.
જો $C = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(X=0) = 3(\frac{1}{27}) = \frac{1}{9}$,$P(X=1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{2}{9}$,અને $P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
બધી સંભાવનાઓ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે અને તેમનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી સાચી કિંમત $C = \frac{1}{3}$ છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) સૂત્ર $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંભાવના વિતરણ:
$P(X=-2) = \frac{1}{6}$
$P(X=-1) = \frac{1}{6}$
$P(X=0) = \frac{1}{3}$
$P(X=1) = \frac{1}{6}$
$P(X=2) = \frac{1}{6}$
મધ્યકની ગણતરી:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$
$E(X) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2}{6} = \frac{0}{6} = 0$
આમ,$X$ નો મધ્યક $0$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{(k+1)c}{2^k}$,તેથી $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \ldots$.
તો $\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
આમ,$\frac{1}{2}S = 2$,જેનો અર્થ છે કે $S = 4$.
કારણ કે $c \cdot S = 1$,આપણને $4c = 1$ મળે છે,તેથી $c = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
$P(X=0) = \frac{(0+1)c}{2^0} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=1) = \frac{(1+1)c}{2^1} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{(2+1)c}{2^2} = \frac{3c}{4} = \frac{3}{16}$.
$P(X \geq 3) = 1 - [\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}] = 1 - [\frac{4+4+3}{16}] = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક અને વિચરણ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $= l$ અને વિચરણ $= m$,તેથી $l = m$.
$l + m = 8$ આપેલ હોવાથી,$l = m$ મૂકતા $2l = 8$ મળે,તેથી $l = 4$ અને $m = 4$.
આપણે $e^4[1 - P(X > 2)]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $1 - P(X > 2) = P(X \leq 2)$,તેથી:
$e^4[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]$.
પોઈસન સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\lambda = 4$:
$P(X = 0) = \frac{e^{-4} \times 4^0}{0!} = e^{-4}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-4} \times 4^1}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 2) = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 13e^{-4}$.
અંતે,$e^4 \times 13e^{-4} = 13$.

(C) કુલ પાનાની સંખ્યા $600$ છે અને કુલ ભૂલોની સંખ્યા $40$ છે.
પ્રતિ પાના ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા,જેને $\lambda$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\lambda = \frac{40}{600} = \frac{1}{15}$ છે.
પ્રતિ પાના ભૂલોની સંખ્યા $\lambda = \frac{1}{15}$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
એક પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના $P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} = e^{-1/15}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે યાદચ્છિક રીતે $10$ પાના પસંદ કરી રહ્યા હોવાથી,તમામ $10$ પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના $(P(X=0))^{10} = (e^{-1/15})^{10} = e^{-10/15} = e^{-2/3}$ થાય.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 3$ આપેલ છે,આપણે $P(|X-3| < 2)$ શોધવાનું છે.
અસમતા $|X-3| < 2$ નો અર્થ છે $-2 < X-3 < 2$,જેનું સાદું રૂપ $1 < X < 5$ થાય છે.
કારણ કે $X$ એ અઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતો અસતત રેન્ડમ વેરિએબલ છે,તેથી $X$ ની શક્ય કિંમતો $2, 3, 4$ છે.
આમ,$P(|X-3| < 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(X=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=4) = \frac{3^4 \cdot e^{-3}}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = \frac{27}{8} e^{-3}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(|X-3| < 2) = e^{-3} \left( \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( 9 + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( \frac{72+27}{8} \right) = \frac{99}{8 e^3}$.

(C) અસતત યાદચ્છિક ચલ $X$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ સૂત્ર $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
અહીં $X$ ની કિંમતો $10, 20, 30, 40$ છે અને તેની સંબંધિત સંભાવનાઓ $0.3, 0.3, 0.2, 0.2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E(X) = (10 \times 0.3) + (20 \times 0.3) + (30 \times 0.2) + (40 \times 0.2)$
$E(X) = 3 + 6 + 6 + 8$
$E(X) = 23$
તેથી,$X$ ની અપેક્ષિત કિંમત $23$ છે.

(D) આપેલ સંભાવના વિતરણ કોષ્ટક:

$X = x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$K$	$K + \frac{1}{7}$	$2K$	$\frac{2}{5}$

બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$K + (K + \frac{1}{7}) + 2K + \frac{2}{5} = 1$
$4K + \frac{5 + 14}{35} = 1$
$4K + \frac{19}{35} = 1$
$4K = 1 - \frac{19}{35} = \frac{16}{35}$
$K = \frac{4}{35}$
હવે,$K$ ની કિંમત કોષ્ટકમાં મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{4}{35}$
$P(X=1) = \frac{4}{35} + \frac{5}{35} = \frac{9}{35}$
$P(X=2) = 2 \times \frac{4}{35} = \frac{8}{35}$
$P(X=3) = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i)$:
$\mu = 0 \times \frac{4}{35} + 1 \times \frac{9}{35} + 2 \times \frac{8}{35} + 3 \times \frac{14}{35}$
$\mu = 0 + \frac{9}{35} + \frac{16}{35} + \frac{42}{35}$
$\mu = \frac{67}{35}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $P(X=x) = \frac{c^x}{x!}$ જ્યાં $x = 1, 2, 3, \ldots$ છે.
તેથી,$\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા: $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેયનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $e^c = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1 + \frac{c}{1!} + \frac{c^2}{2!} + \frac{c^3}{3!} + \ldots$ છે.
આમ,$\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = e^c - 1$.
આને $1$ ની બરાબર લેતા: $e^c - 1 = 1$.
$e^c = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $c = \ln(2)$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $\lambda$ પ્રાચલ ધરાવતું પોઈસન વિતરણ છે. સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ સમીકરણ: $3 P(X=4) = \frac{1}{2} P(X=2) + P(X=0)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $3 \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{1}{2} \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} + \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા: $\frac{3 \lambda^4}{24} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{\lambda^4}{8} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
$8$ વડે ગુણતા: $\lambda^4 = 2 \lambda^2 + 8$,એટલે કે $\lambda^4 - 2 \lambda^2 - 8 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$. તો $u^2 - 2u - 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(u - 4)(u + 2) = 0$.
આથી $u = 4$ અથવા $u = -2$.
અહીં $\lambda^2 = u$ અને $\lambda^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $\lambda^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda$ છે,તેથી મધ્યક $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{3}$ છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k=1$ માટે,$P(X=1) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^1}{1!} = \frac{1}{3} e^{-1/3}$.
$k=2$ માટે,$P(X=2) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^2}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} e^{-1/3} = \frac{1}{18} e^{-1/3}$.
હવે,ગુણોત્તર $P(X=1) : P(X=2) = \frac{\frac{1}{3} e^{-1/3}}{\frac{1}{18} e^{-1/3}} = \frac{1/3}{1/18} = \frac{18}{3} = 6$.
આમ,ગુણોત્તર $6 : 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.
સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા:
$\sum_{x=0}^{\infty} K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$
$K \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = (1-r)^{-2}$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
તેથી,$K(1 - \frac{1}{5})^{-2} = 1$.
$K(\frac{4}{5})^{-2} = 1 \Rightarrow K(\frac{5}{4})^2 = 1$.
$K(\frac{25}{16}) = 1 \Rightarrow K = \frac{16}{25}$.
હવે,$P(X=0) = K(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = K(1)(1) = K$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $X$ એ પોઈસન ચલ છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$.
સૂત્ર $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^3}{3!}$
$\Rightarrow \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{6}{2} = 3$.
હવે,$P(X=4)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!}$.
અંતે,$e^3 P(X=4)$ શોધીએ:
$e^3 P(X=4) = e^3 \cdot \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{3^4}{4!} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$.

(C) આપેલ સંભાવના વિતરણ વિધેય $P(X=x)=K\left(\frac{2}{5}\right)^x$ છે,જ્યાં $x=1, 2, 3, \ldots$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ વિધેય મૂકતા,આપણને મળે છે $K \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{5}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{5}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$K \left( \frac{2/5}{1 - 2/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2/5}{3/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2}{3} \right) = 1$.
આમ,$K = \frac{3}{2}$.

(A) ત્રણ સિક્કાઓ ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
$X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આપણે $P(X = 2)$ શોધવાનું છે,જે બરાબર બે છાપ મળવાની સંભાવના છે.
બરાબર બે છાપ ધરાવતા પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(X = 2) = 3$ છે.
તેથી,$P(X = 2) = \frac{n(X = 2)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.