Probability distribution Questions in Gujarati

(B) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E[X^2]$ ની ગણતરી $E[X^2] = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આપેલ સંભાવના વિતરણ:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.2$	$0.5$	$0.3$

$E[X^2] = (0^2 \times 0.2) + (1^2 \times 0.5) + (2^2 \times 0.3)$
$E[X^2] = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (4 \times 0.3)$
$E[X^2] = 0 + 0.5 + 1.2$
$E[X^2] = 1.7$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{100} P(X=x_i) = 1$.
આપેલ સંભાવના $P(X=x_i) = K i(i+1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$K \sum_{i=1}^{100} (i^2 + i) = 1$.
$n=100$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K \left[ \frac{100(101)(201)}{6} + \frac{100(101)}{2} \right] = 1$.
$K \left[ \frac{100 \times 101}{2} \left( \frac{201}{3} + 1 \right) \right] = 1$.
$K \left[ 5050 \times (67 + 1) \right] = 1$.
$K \times 5050 \times 68 = 1$.
$K = \frac{1}{5050 \times 68} = \frac{1}{343400}$.
તેથી,$200 K = \frac{200}{343400} = \frac{2}{3434} = \frac{1}{1717}$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સંભાવના વિતરણ માટે:
$\sum P(X) = 1$
$K + 2K + K^2 + 2K^2 + 5K^2 + K + K + 2K = 1$
$8K^2 + 7K - 1 = 0$
$(8K - 1)(K + 1) = 0$
$K > 0$ હોવાથી,$K = \frac{1}{8}$ મળે.
ઘટનાઓ $E = \{2, 3, 5, 7\}$ અને $F = \{1, 2, 3\}$ છે.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ થાય.
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) + P(7)$
$P(E \cup F) = K + 2K + K^2 + 5K^2 + K = 6K^2 + 4K$
$K = \frac{1}{8}$ મૂકતા:
$P(E \cup F) = 6(\frac{1}{64}) + 4(\frac{1}{8}) = \frac{6}{64} + \frac{32}{64} = \frac{38}{64}$.

(A) અકસ્માતોની સંખ્યા $\lambda = 3$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
પોઈસન રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ નું સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
આપણે આજે કોઈ અકસ્માત ન થાય તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X = 0)$ ને અનુરૂપ છે.
સૂત્રમાં $\lambda = 3$ અને $x = 0$ મૂકતા:
$P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!}$.
કારણ કે $3^0 = 1$ અને $0! = 1$,આપણને મળે છે:
$P(X = 0) = \frac{1 \times e^{-3}}{1} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$.
આમ,આજે કોઈ અકસ્માત ન થાય તેની સંભાવના $\frac{1}{e^3}$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$.
પદોને જોડતા,આપણને $0.6 + 4k = 1$ મળે છે.
$4k = 0.4$,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.1$.
$X$ નો મધ્યક,જેને $E(X)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\sum x_i P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = (-2 \times 0.1) + (-1 \times 0.1) + (0 \times 0.2) + (1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.1)$.
$E(X) = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3$.
$E(X) = 0.8$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X=x) = 1$.
$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$
$k$ વાળા પદો અને અચળ પદોનો સરવાળો કરતા:
$(0.1 + 0.2 + 0.3) + (k + 2k + k) = 1$
$0.6 + 4k = 1$
$4k = 1 - 0.6$
$4k = 0.4$
$k = \frac{0.4}{4}$
$k = 0.1$

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે આપેલ સંભાવના વિતરણ:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline P(X=x_i) & 0.2 & 0.3 & 0.12 & 0.1 & 0.2 & 0.08 \\\hline \end{array}$
અહીં ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નીચે મુજબ છે:
$A = \{x_i \mid x_i \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5\}$
$B = \{x_i \mid x_i < 4\} = \{1, 2, 3\}$
આ બે ઘટનાઓનો યોગગણ $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $P(A \cup B)$ એ આ વ્યક્તિગત પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(A \cup B) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.3 + 0.12 + 0.2 = 0.82$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=k)=c k^2$ છે,જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે અને $k \in\{0,1,2,3,4\}$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{k=0}^{4} P(X=k) = 1$.
$c(0^2) + c(1^2) + c(2^2) + c(3^2) + c(4^2) = 1$
$c(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$30c = 1 \implies c = \frac{1}{30}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,જ્યાં $\mu = E(X)$ છે.
તેથી,$\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 P(X=k) = \sum_{k=0}^{4} k^2 (c k^2) = c \sum_{k=0}^{4} k^4$.
$E(X^2) = c(0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4) = c(0 + 1 + 16 + 81 + 256) = 354c$.
$c = \frac{1}{30}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sigma^2 + \mu^2 = 354 \times \frac{1}{30} = \frac{354}{30} = 11.8$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ માહિતી મુજબ,કુલ પાનાંની સંખ્યા $250$ છે અને કુલ ભૂલોની સંખ્યા $200$ છે.
પ્રતિ પાનું ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$.
પોઈસન સંભાવના વિતરણનું સૂત્ર $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે.
એક પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય $(x=0)$ તેની સંભાવના:
$P(X=0) = \frac{e^{-0.8} (0.8)^0}{0!} = e^{-0.8} = e^{-4/5}$.
$5$ પાનાંના યાદચ્છિક નમૂના માટે,કોઈ પણ પાનામાં ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના:
$P = (P(X=0))^5 = (e^{-4/5})^5 = e^{-4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$X$ નું સંભાવના વિતરણ $P(X=0)=3C^3$,$P(X=2)=5C-10C^2$,અને $P(X=4)=4C-1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય,તેથી $\Sigma P(X)=1$.
$3C^3 + (5C-10C^2) + (4C-1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(C-1)(3C^2-7C+2) = 0$
$(C-1)(3C-1)(C-2) = 0$
આથી $C = 1, \frac{1}{3}, 2$ મળે.
સંભાવના $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $C=\frac{1}{3}$ લેતા.
$C=\frac{1}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$P(X=0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$
$P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}$
$P(X=4) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3}$
મધ્યક $E(X) = \Sigma X P(X) = (0 \times \frac{1}{9}) + (2 \times \frac{5}{9}) + (4 \times \frac{1}{3}) = \frac{22}{9}$.
વર્ગોનો મધ્યક $E(X^2) = \Sigma X^2 P(X) = (0^2 \times \frac{1}{9}) + (2^2 \times \frac{5}{9}) + (4^2 \times \frac{1}{3}) = \frac{68}{9}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{68}{9} - (\frac{22}{9})^2 = \frac{612-484}{81} = \frac{128}{81}$.

(D) ધારો કે $P(X=-1) = a$,$P(X=0) = b$,અને $P(X=1) = c$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,$a + b + c = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $P(X=0) = b = 0.2$.
સરવાળામાં $b$ ની કિંમત મૂકતા: $a + 0.2 + c = 1 \Rightarrow a + c = 0.8 \Rightarrow a = 0.8 - c$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0.2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$(-1)(a) + (0)(b) + (1)(c) = 0.2$.
$-a + c = 0.2$.
સમીકરણમાં $a = 0.8 - c$ મૂકતા: $-(0.8 - c) + c = 0.2$.
$-0.8 + c + c = 0.2$.
$2c = 1.0$.
$c = 0.5$.
આમ,$P(X=1) = 0.5$.

(A) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા લાલ દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. કુલ દડાની સંખ્યા $4 + 5 = 9$ છે. $9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{{}^4C_3}{{}^9C_3} = \frac{4}{84}$
$P(X=1) = \frac{{}^4C_2 \times {}^5C_1}{{}^9C_3} = \frac{6 \times 5}{84} = \frac{30}{84}$
$P(X=2) = \frac{{}^4C_1 \times {}^5C_2}{{}^9C_3} = \frac{4 \times 10}{84} = \frac{40}{84}$
$P(X=3) = \frac{{}^4C_0 \times {}^5C_3}{{}^9C_3} = \frac{1 \times 10}{84} = \frac{10}{84}$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{4}{84} + 1 \times \frac{30}{84} + 2 \times \frac{40}{84} + 3 \times \frac{10}{84}$
$E(X) = \frac{0 + 30 + 80 + 30}{84} = \frac{140}{84} = \frac{5}{3}$.
આમ,મધ્યક $\frac{5}{3}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + 3K + K = 1$
$\frac{4}{8} + 4K = 1$
$\frac{1}{2} + 4K = 1 \Rightarrow 4K = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \frac{1}{8}$.
હવે,આપણે $E(X)$ અને $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
તેથી,$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ ના વિચરણનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
પ્રથમ,આપણે અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum P_i x_i$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 0$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum P_i x_i^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + 0 + 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{4+1+0+1+4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
અંતે,વિચરણ:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{5}{3} - (0)^2 = \frac{5}{3}$

(A) સંભાવના વિતરણ $P(X=j) = (\frac{1}{2})^j$ જ્યાં $j = 1, 2, 3, \ldots$ આપેલ છે.
આ એક ભૂમિતિ વિતરણ (geometric distribution) છે જેમાં $p = \frac{1}{2}$ અને $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$j=1$ થી શરૂ થતા ભૂમિતિ વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2$ થાય છે.
ભૂમિતિ વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = \frac{q}{p^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$Var(X) = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$.
આમ,$X$ નું વિચરણ $2$ છે.

(D) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$\frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$2k + \frac{7}{12} = 1 \implies 2k = \frac{5}{12} \implies k = \frac{5}{24}$
વિચરણની ગણતરી:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & P(X=x_i) & x_i P(x_i) & x_i^2 P(x_i) \\ \hline -2 & 1/6 & -1/3 & 2/3 \\ \hline -1 & 5/24 & -5/24 & 5/24 \\ \hline 0 & 1/4 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 5/24 & 5/24 & 5/24 \\ \hline 2 & 1/6 & 1/3 & 2/3 \\ \hline \text{Total} & 1 & 0 & 21/12 \\ \hline \end{array}$
$\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{21}{12} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(A) મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{2}) + (9 \times \frac{1}{3}) = -0.5 + 3 + 3 = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = ((-3)^2 \times \frac{1}{6}) + (6^2 \times \frac{1}{2}) + (9^2 \times \frac{1}{3}) = 1.5 + 18 + 27 = 46.5 = \frac{93}{2}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{93}{2} - (\frac{11}{2})^2 = \frac{93}{2} - \frac{121}{4} = \frac{65}{4}$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{3^{ck}}{k!}$ જ્યાં $k = 1, 2, 3, \ldots$,તેથી:
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3^c)^k}{k!} = 1$.
ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ યાદ કરો: $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$.
$x = 3^c$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$e^{3^c} - 1 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^{3^c} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$3^c = \log_e 2$.
બંને બાજુ આધાર $3$ વાળો લઘુગણક લેતા:
$c = \log_3(\log_e 2)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) મધ્યક $\lambda = 2$ ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X > \frac{3}{2})$ શોધવાની જરૂર છે. કારણ કે $X$ માત્ર અ-ઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો લે છે,તેથી $X > \frac{3}{2}$ એ $X \geq 2$ ને સમાન છે.
પૂરક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}] = 1 - \frac{3}{e^2} = \frac{e^2 - 3}{e^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) યાદચ્છિક ચલના તમામ શક્ય મૂલ્યો માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આમ,$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = 1$.
$a$ ને અચળ લેતા: $a \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{1}{3}\right)^k = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k$ જ્યાં $x = 1/3$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x$ વડે ગુણતા: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$.
તેથી $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k = \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x + 1 - x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = 1/3$ માટે,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = 9/4$.
તેથી,$a \times (9/4) = 1$,જે આપે છે $a = 4/9$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 600$ બલ્બના જથ્થામાં ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે.
બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{100} = 0.01$ છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં પેરામીટર $\lambda = np = 600 \times 0.01 = 6$ છે.
$k$ ખામીયુક્ત બલ્બ હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-6} 6^k}{k!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે ખામીયુક્ત બલ્બ હોવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ છે.
સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(X = 0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - (e^{-6} + 6e^{-6}) = 1 - 7e^{-6}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = \lambda + 2\lambda + 3\lambda + 4\lambda = 10\lambda = 1$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{10}$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની ગણતરી કરો:
$\alpha = P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = \lambda + 2\lambda = 3\lambda$.
$\beta = P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 3\lambda + 4\lambda = 7\lambda$.
તેથી,ગુણોત્તર $\alpha : \beta = 3\lambda : 7\lambda = 3 : 7$ થાય.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = k + 2k + 3k + 4k = 10k = 1 \implies k = 0.1$.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = (3 \times 0.1) + (5 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (9 \times 0.4) = 0.3 + 1.0 + 2.1 + 3.6 = 7.0$.
હવે,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i) = (3^2 \times 0.1) + (5^2 \times 0.2) + (7^2 \times 0.3) + (9^2 \times 0.4) = (9 \times 0.1) + (25 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (81 \times 0.4) = 0.9 + 5.0 + 14.7 + 32.4 = 53.0$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 53.0 - (7.0)^2 = 53.0 - 49.0 = 4.0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4.0} = 2$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X=x) = 1$.
આપેલ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$0 + K + 2K + 2K + 3K + K^2 + 2K^2 + (7K^2 + K) = 1$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(K + 2K + 2K + 3K + K) + (K^2 + 2K^2 + 7K^2) = 1$
$9K + 10K^2 = 1$
$10K^2 + 9K - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$10K^2 + 10K - K - 1 = 0$
$10K(K + 1) - 1(K + 1) = 0$
$(10K - 1)(K + 1) = 0$
આથી $K = \frac{1}{10}$ અથવા $K = -1$ મળે. સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $K = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(0 < X < 5)$ શોધવાનું છે,જે નીચે મુજબ છે:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= K + 2K + 2K + 3K = 8K$
$K = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(0 < X < 5) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના વિધેય $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 2P(X=2)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
અહીં $e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા:
$\lambda = \lambda^2$
$\lambda^2 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda - 1) = 0$.
પોઈસન વિતરણ માટે $\lambda > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $\lambda = 1$.
હવે,$P(X=3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{e^{-1}}{6}$.

(A) મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$.
તેથી,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$.

(D) આપેલ છે: $p = 0.001$,$n = 2000$.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ ખૂબ નાનું હોવાથી,આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં $\lambda = np$.
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ છે.
આપણે બરાબર $x = 3$ વ્યક્તિઓ માટે સંભાવના શોધવાની છે:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3 e^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X = x) = 1$.
$\frac{1}{10} + k + \frac{1}{5} + 2k + \frac{3}{10} + k = 1$
અચળ પદો અને $k$ વાળા પદોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10}) + (k + 2k + k) = 1$
$\frac{6}{10} + 4k = 1$
$4k = 1 - \frac{6}{10}$
$4k = \frac{10 - 6}{10}$
$4k = \frac{4}{10}$
$k = \frac{1}{10}$

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,તેથી:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
બંને બાજુને $e^{-\lambda} \lambda$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\lambda \neq 0$):
$1 = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 2$
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} (2)^4}{24}$
$P(X=4) = \frac{16}{24 e^2} = \frac{2}{3 e^2}$

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
હવે,વિચરણની ગણતરી કરીએ:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$
આમ,$X$ નું વિચરણ $1.76$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા:
$a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1 \quad \dots (i)$
ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty$.
તો $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \ldots \infty$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a \times S = 1 \implies a \times \frac{9}{4} = 1$.
તેથી,$a = \frac{4}{9}$.

(C) $m$ પ્રાચલ (parameter) ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.8$.
સૂત્રમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m}$ મળે છે.
તેથી,$e^{-m} = 0.8$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,$-m = \log_e(0.8) = \log_e(8/10) = \log_e(4/5)$.
તેથી,$m = -\log_e(4/5) = \log_e(5/4)$.
પોઈસન વિતરણમાં,વિચરણ એ પ્રાચલ $m$ જેટલું હોય છે.
આમ,વિચરણ $\log_e(5/4)$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિતરણનો મધ્યક છે.
આપેલ શરત $P(X=2) = 3 P(X=3)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
બંને બાજુ $e^{-\lambda} \lambda^2$ વડે ભાગતા ($\lambda \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{3 \lambda}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 1$.
આમ,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $1.3$ છે.
મધ્યકનું સૂત્ર $\Sigma x_i P(X=x_i) = 1.3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) = 1.3$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = 0.3$ અને $P(X=3) = 2 P(X=1)$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 + P(X=1) + 2(0.3) + 3(2 P(X=1)) = 1.3$.
$P(X=1) + 0.6 + 6 P(X=1) = 1.3$.
$7 P(X=1) = 0.7$,જે આપણને $P(X=1) = 0.1$ આપે છે.
હવે,$P(X=3) = 2 P(X=1) = 2(0.1) = 0.2$.
કારણ કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
$P(X=0) + 0.1 + 0.3 + 0.2 = 1$.
$P(X=0) + 0.6 = 1$.
તેથી,$P(X=0) = 0.4$.

(B) ધારો કે $X$ એ એક દિવસમાં થતા અકસ્માતોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.
આપેલ છે કે $50$ દિવસમાં $10$ અકસ્માતો થયા છે,તેથી પ્રતિ દિવસ સરેરાશ દર $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ છે.
એક દિવસમાં $X$ અકસ્માતો થવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X \geq 3) = 1 - \left[ \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^1}{1!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^2}{2!} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} \left[ 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} [1 + 0.2 + 0.02] = 1 - 1.22 e^{-0.2}$.

(C) પોઈસન વિતરણ $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = 6$.
આપણે $P(1 \leq X \leq 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાનું છે.
$P(1 \leq X \leq 5) = e^{-6} \left[ \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} \right]$
$= e^{-6} \left[ 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 \right]$
$= e^{-6} [178.8]$
$= 6 \times e^{-6} (29.8)$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક અને વિચરણ બંને $\lambda$ જેટલા હોય છે. આપેલ વિચરણ $\lambda = 2$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\}$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X < 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2-5}{e^2}$.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ કિંમતો ધારણ કરે છે,જેમાં દરેકની સંભાવના $P_i = \frac{1}{6}$ છે.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P_i = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$\frac{\text{Variance of } X}{\text{Mean of } X} = \frac{35/12}{7/2} = \frac{35}{12} \times \frac{2}{7} = \frac{5}{6}$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. અહીં,આપેલ કિંમતો $P(X=x) = \frac{2}{20}, \frac{4}{20}, \frac{6}{20}, \frac{8}{20}$ છે.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1(\frac{2}{20}) + 2(\frac{4}{20}) + 3(\frac{6}{20}) + 4(\frac{8}{20}) = \frac{2+8+18+32}{20} = \frac{60}{20} = 3$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x) = 1^2(\frac{2}{20}) + 2^2(\frac{4}{20}) + 3^2(\frac{6}{20}) + 4^2(\frac{8}{20}) = \frac{2 + 16 + 54 + 128}{20} = \frac{200}{20} = 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{1} = 1$.

(B) $X$ નો મધ્યક $\bar{X} = E(X) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$ છે.
$X$ નું વિચરણ $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$E(X^2) = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$ ગણો.
હવે,$\text{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left( \frac{m+1}{2} \right)^2 = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \frac{(m+1)^2}{4}$.
$\frac{m+1}{2}$ સામાન્ય લેતા: $\text{Var}(X) = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{2m+1}{3} - \frac{m+1}{2} \right] = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{4m+2 - 3m - 3}{6} \right] = \frac{m+1}{2} \cdot \frac{m-1}{6} = \frac{m^2-1}{12}$.