Linear differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ है।
इस समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(x) dx}$ होता है:
$IF = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\int \frac{x+1-1}{1+x} dx} = e^{-\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx}$।
$IF = e^{-(x - \ln|1+x|)} = e^{-x + \ln|1+x|} = e^{-x} \cdot e^{\ln|1+x|}$।
चूंकि $e^{\ln|1+x|} = 1+x$,इसलिए $IF = (1+x)e^{-x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{y}{x}} = x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\frac{y}{x} = \log x$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = x \log x$।
हालाँकि,प्रश्न में $y(1) = 3$ दिया गया है।
यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1$ है,तो इसका हल $y = x \log x + Cx$ होता है।
शर्त $y(1) = 3$ का उपयोग करने पर:
$3 = 1 \cdot \log(1) + C(1) \implies 3 = 0 + C \implies C = 3$।
इसलिए,विशिष्ट हल $y = x \log x + 3x$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
अतः,समाकलन गुणक $x^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ है।
दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{kx}{1-x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$.
मान लीजिए $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dx - x dy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर (जहाँ $y \neq 0$): $\frac{y dx - x dy}{y^2} = 2 dy$ प्राप्त होता है।
भागफल के अवकलज को पहचानने पर: $d\left(\frac{x}{y}\right) = 2 dy$ होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d\left(\frac{x}{y}\right) = \int 2 dy$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = 2y + C$ है।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = e^{\ln|y|^{-1}} = \frac{1}{y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ है।
हम इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{y}{1+x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left(\frac{1}{1+x^2}\right)y = \frac{x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{x}{1+x^2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ होता है।
$P$ का मान रखने पर:
$IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x}$.
चूँकि $e^{\log x} = x$ होता है,इसलिए समाकलन गुणक $x$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^3$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = 3x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
अवकल समीकरण को समाकलन गुणक $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \frac{dy}{dx} + y = 3x^2$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx}(xy) = 3x^2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int 3x^2 dx$.
$xy = x^3 + C$.
$x$ से भाग देने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है:
$y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$
यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$
अवकल समीकरण को $I$.$F$. $(x^2)$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx$
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$
$x^2$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$
चूंकि $4C$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है:
$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर $(x \neq 0)$:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार दिया जाता है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx}$
$= e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$
अतः,समाकलन गुणक $x^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot \sec x = \int \sec x \cdot \sec x dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \cdot x = \int x^2 \cdot x dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$।
अब,$y(2) = \frac{2^3}{4} + \frac{C}{2} = 2 + \frac{C}{2}$।
और $y(1) = \frac{1^3}{4} + \frac{C}{1} = \frac{1}{4} + C$।
$2y(2) - y(1) = 2(2 + \frac{C}{2}) - (\frac{1}{4} + C) = 4 + C - \frac{1}{4} - C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
$x \log x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = 2$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ है।
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
$x = e$ रखने पर:
$y(e) \log e = 2(e \log e - e) + C$.
$y(e) = 2(e - e) + C = C$.
अतः,$y(e) = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(2x + 3y^2) dy = y dx$ है।
दोनों पक्षों को $y dy$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{2x + 3y^2}{y}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = 3y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = 3y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = e^{\ln|y^{-2}|} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$
पदों को मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} + y(1 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
यहाँ,$P = 1 - \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार दिया जाता है:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx}$
$I.F. = e^{x - \ln|x|} = e^{x} \cdot e^{-\ln|x|} = e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3 - 3$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^3 - 3$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ है।
दोनों पक्षों को $x^{2} dx$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2} \cos x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{2}{x}$ और $Q = x^{2} \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = e^{\ln |x^{-2}|} = \frac{1}{x^{2}}$।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + c$ है।
मान रखने पर:
$y \cdot \frac{1}{x^{2}} = \int (x^{2} \cos x) \cdot \frac{1}{x^{2}} dx + c$।
$\frac{y}{x^{2}} = \int \cos x dx + c$।
$\frac{y}{x^{2}} = \sin x + c$।
$x^{2}$ से गुणा करने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है:
$y = x^{2} \sin x + cx^{2}$।

(A) दिया गया बिंदु $P=(1,2)$ है।
स्पर्शक की ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(2x+3y)) = 2x+3y$ द्वारा दी गई है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 3y = 2x$।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $y e^{-3x} = \int 2x e^{-3x} dx + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-3x} dx = 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।
अतः,$y e^{-3x} = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।
$e^{3x}$ से गुणा करने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + c e^{3x}$।
चूंकि वक्र $(1,2)$ से गुजरता है: $2 = -\frac{2}{3}(1) - \frac{2}{9} + c e^3 \implies 2 = -\frac{8}{9} + c e^3 \implies c e^3 = \frac{26}{9} \implies c = \frac{26}{9} e^{-3}$।
$c$ का मान रखने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{26}{9} e^{-3} e^{3x} \implies 9y = -6x - 2 + 26 e^{3x-3} \implies 6x + 9y + 2 = 26 e^{3x-3}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$.
$\cos ^2 x$ से भाग देने पर: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = \tan x \sec ^2 x$.
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \sec ^2 x$ और $Q(x) = \tan x \sec ^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec ^2 x e^{\tan x} dx + C$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec ^2 x dx$.
समाकलन $\int u e^u du$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u = e^u(u-1)$.
मान वापस रखने पर: $y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ है।
$y dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = y^2 \cos y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
अतः,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$.
$x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$.
वक्र $(0, \pi)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$.
$0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$.
इस प्रकार,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$.
अतः,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$.
समाकलन गुणक $(IF)$: $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल है: $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$.
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
$x = y^3 + cy$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.
$y^2$ से भाग देने पर: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.
माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अर्थात $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,अर्थात $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.
अतः,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.
चूंकि $v = 1/y$,इसलिए $y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.
$x = 1$ पर $y = 2$ दिया गया है: $2 = \frac{1}{1 + C}$,जिससे $2 + 2C = 1$,अर्थात $2C = -1$ या $C = -1/2$.
$C$ का मान रखने पर: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{e^x}{x}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot x = \int \frac{e^x}{x} \cdot x dx + c$
$xy = \int e^x dx + c$
$xy = e^x + c$
$y = \frac{e^x + c}{x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$.
पदों को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4x + 8$.
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4(x + 2)$.
यहाँ,$P(x) = x + 2$ और $Q(x) = 4(x + 2)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (x + 2) dx} = e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = \int 4(x + 2) e^{\frac{x^2}{2} + 2x} dx + c$.
माना $u = \frac{x^2}{2} + 2x$,तब $du = (x + 2) dx$ होगा।
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = 4 \int e^u du + c = 4e^u + c = 4e^{\frac{x^2}{2} + 2x} + c$.
दोनों पक्षों को $e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ से विभाजित करने पर:
$y = 4 + ce^{-(\frac{x^2}{2} + 2x)}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cos x(\frac{dy}{dx})+y=\cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\cos x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx}+y\sec x=\cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\sec x$ और $Q=\cos x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x+\tan x|} = \sec x+\tan x$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(\sec x+\tan x) = \int \cos x(\sec x+\tan x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = \int (1+\sin x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = x-\cos x+c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sec x}{\cos x + \sin x}$ और $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \tan x}$ है।
सबसे पहले,$P(x)$ को सरल करें:
$P(x) = \frac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$.
अब,समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx}$ ज्ञात करें:
$IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} dx} = e^{\ln|1 + \tan x|} = 1 + \tan x$.
अवकल समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर:
$(1 + \tan x) \frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \cos x$.
अतः,$\frac{d}{dx} [y(1 + \tan x)] = \cos x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(1 + \tan x) = \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।
$x \log x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ है।
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
दिया गया है कि $y(e) = 0$,इसलिए $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,जिसका अर्थ है $0 = 1 + C$,अर्थात $C = -1$।
अतः,$y \log x = (\log x)^2 - 1$।
$x = e^2$ के लिए,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$।
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$।
$2y = 3$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$.
दोनों पक्षों को $dx$ और $x \log x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x - y}{x \log x} = 1 - \frac{y}{x \log x}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 1$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 1$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \, dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| = \log |\log x|$.
इसलिए,$IF = e^{\log |\log x|} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) \, dx + c$ है।
$y \log x = \int 1 \cdot \log x \, dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \log x \, dx = x \log x - x$.
अतः,$y \log x = x \log x - x + c$.
व्यवस्थित करने पर $(y-x) \log x + x = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ है।
$(1+\sin^2 x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} = \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$ और $Q = \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx}$ है।
मान लीजिए $u = 1+\sin^2 x$,तो $du = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln u} = u = 1+\sin^2 x$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(1+\sin^2 x) = \int \cos x (1+\sin^2 x) dx + c$ है।
मान लीजिए $t = \sin x$,तो $dt = \cos x dx$ है।
$y(1+\sin^2 x) = \int (1+t^2) dt + c = t + \frac{t^3}{3} + c$ है।
$t = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(\sin y \cos^2 y - x \sec^2 y) dy = \tan y dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan y \frac{dx}{dy} + x \sec^2 y = \sin y \cos^2 y$
$\tan y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + x \frac{\sec^2 y}{\tan y} = \cos^3 y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{\sec^2 y}{\tan y}$ और $Q(y) = \cos^3 y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy} = e^{\ln(\tan y)} = \tan y$।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \tan y = \int \cos^3 y \cdot \tan y dy = \int \cos^2 y \sin y dy$।
माना $u = \cos y$,तब $du = -\sin y dy$।
$x \tan y = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 y}{3} + C$।
$3$ से गुणा करने पर: $3x \tan y = -\cos^3 y + 3C$।
अतः,$3x \tan y + \cos^3 y = C$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ है।
$x dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$।
माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अतः $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ हो जाता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ है।
$v = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{xy} = \log x + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = 1$ पर $y = 1$ है,तो $\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,जिससे $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$।
$x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}{y+1} = \frac{y^2+1}{y+1} + \frac{x}{y+1}$।
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y+1} x = \frac{y^2+1}{y+1}$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y+1}$ और $Q(y) = \frac{y^2+1}{y+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} = e^{-\log(y+1)} = \frac{1}{y+1}$।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y+1} = \int \frac{y^2+1}{(y+1)^2} dy + c$।
$y^2+1 = (y+1)^2 - 2(y+1) + 2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{y+1} = \int \left( 1 - \frac{2}{y+1} + \frac{2}{(y+1)^2} \right) dy + c$।
$\frac{x}{y+1} = y - 2 \log |y+1| - \frac{2}{y+1} + c$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x+2}{y+1} + 2 \log |y+1| = y + c$,अर्थात $\frac{x+2}{y+1} + \log (y+1)^2 = y + c$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$.
पूरे समीकरण को $\sin x$ से विभाजित करने पर,यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} - y \cot x = \operatorname{cosec} x$.
यहाँ,$P = -\cot x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
$IF = e^{\int -\cot x dx} = e^{-\ln|\sin x|} = e^{\ln|\sin x|^{-1}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$।
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$।
$\frac{x}{y} = y^2 + c$।
अतः,$x = y(y^2 + c)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+\tan y)dx = (1+\tan y - 2x)dy$ प्राप्त होता है।
$(1+\tan y)dy$ से भाग देने पर,$\frac{dx}{dy} = 1 - \frac{2x}{1+\tan y}$ मिलता है,जिसे $\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{1+\tan y}\right)x = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{2}{1+\tan y} = \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y)dy} = e^{\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy}$ है।
चूंकि $\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy = \int \frac{(\cos y - \sin y) + (\cos y + \sin y)}{\sin y + \cos y} dy = \int \left(\frac{\cos y - \sin y}{\sin y + \cos y} + 1\right) dy = \ln|\sin y + \cos y| + y$ है।
अतः,$I.F. = e^{\ln(\sin y + \cos y) + y} = e^y(\sin y + \cos y)$।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$x e^y(\sin y + \cos y) = \int e^y(\sin y + \cos y) dy + c$।
सूत्र $\int e^y(f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(y) = \sin y$ और $f'(y) = \cos y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$x e^y(\sin y + \cos y) = e^y \sin y + c$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^y(x \sin y + x \cos y - \sin y) = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)y = \frac{x}{1+\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ और $Q(x) = \frac{x}{1+\sin x}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx} = e^{\ln(1+\sin x)} = 1+\sin x$ है।
सामान्य हल $y(I.F.) = \int Q(x)(I.F.) dx + C$ है।
$y(1+\sin x) = \int \frac{x}{1+\sin x} (1+\sin x) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\pi^2}{8}(1+\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{(\pi/2)^2}{2} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{8}(2) = \frac{\pi^2}{8} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8} = C \Rightarrow C = \frac{\pi^2}{8}$.
अतः,$y(1+\sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।
$x = \pi$ के लिए,$y(1+\sin \pi) = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।
चूंकि $\sin \pi = 0$,इसलिए $y(1) = \frac{4\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{8}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 4x + 3y$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ में व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - 4x = 3y$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P(y) = -4$ है।
अतः,समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -4 dy} = e^{-4y}$ होगा।

(D) रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ या $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ होता है,जहाँ $P$ और $Q$ केवल स्वतंत्र चर के फलन हैं।
विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करते हैं:
$x^2 d y + x y d x - 1 = 0$
$d x$ से भाग देने पर:
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y - 1 = 0$
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y = 1$
$x^2$ से भाग देने पर:
$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
अतः,विकल्प $(D)$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के लिए समाकलन गुणक $(IF)$,$IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $IF = \log y$,इसलिए:
$e^{\int P(y) dy} = \log y$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\int P(y) dy = \log(\log y)$
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy} \left( \int P(y) dy \right) = \frac{d}{dy} (\log(\log y))$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{d}{dy}(\log y)$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y}$
$P(y) = \frac{1}{y \log y}$

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ है।
$\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$।
माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$।
अतः,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,तो $1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$।
इसलिए,$y = \sqrt{1-x^2}$।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (2xy - 1) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2xy - 1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2x}{y} - \frac{1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{y}\right)x = \frac{1}{y^2}$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2}{y}$ और $Q = \frac{1}{y^2}$ केवल $y$ के फलन हैं।
अतः,दिया गया अवकल समीकरण $x$ में रैखिक है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$.
$\cos^2 x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$.
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है।
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec^2 x e^{\tan x} dx + C$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
$y e^{\tan x} = \int u e^u du + C = e^u(u - 1) + C$.
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.
$e^{\tan x}$ से भाग देने पर,हमें $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = \tan(\frac{\pi}{4}) - 1 + Ce^{-\tan(\frac{\pi}{4})}$.
$1 = 1 - 1 + Ce^{-1}$.
$1 = Ce^{-1} \Rightarrow C = e$.

(A) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ को $IF = e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना $u = e^{\int P(x) dx}$ है।
तब,$\frac{du}{dx} = e^{\int P(x) dx} \cdot \frac{d}{dx}(\int P(x) dx) = u \cdot P(x)$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{du}{dx} - P(x)u = 0$ है।
चूंकि समाकलन गुणक $u$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए सही विकल्प $\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$ है।

(C) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है।
दोनों पक्षों में समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y P(x) e^{\int P dx} = Q(x) e^{\int P dx}$.
हम जानते हैं कि $y$ और समाकलन गुणक के गुणनफल का अवकलन होता है:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(e^{\int P dx})$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} P(x)$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y e^{\int P dx} P(x)$.
इसे दिए गए रूप $\frac{d}{dx}(y f(x))$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f(x) = e^{\int P dx}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+1} y = \frac{x^3}{x^2+1}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{x}{x^2+1}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{x}{x^2+1} dx}$.
माना $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} du$.
$IF = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^{\ln((x^2+1)^{1/2})} = \sqrt{x^2+1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx + C$.
माना $t = \tan^{-1} x$,तब $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ है।
$y e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2t} dt + C = \frac{e^{2t}}{2} + C = \frac{e^{2 \tan^{-1} x}}{2} + C$ है।
दिया है $y=1$ जब $x=0$: $1 \cdot e^0 = \frac{e^0}{2} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$y e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2 \tan^{-1} x} + 1}{2}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$
मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $(x^2+1)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{1}{(x^2+1)^2}$
यहाँ,$P(x) = \frac{4x}{x^2+1}$ और $Q(x) = \frac{1}{(x^2+1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है:
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2 \ln(x^2+1)} = e^{\ln(x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है:
$y(x^2+1)^2 = \int \left( \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)^2 \right) dx + c$
$y(x^2+1)^2 = \int 1 dx + c$
$y(x^2+1)^2 = x + c$.