Linear differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\tan x$ और $Q=2x+x^2 \tan x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \sec x = \int (2x+x^2 \tan x) \sec x dx + C$.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx + C$.
दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx + C$.
$y \sec x = x^2 \sec x + C$,जो सरल होकर $y = x^2 + C \cos x$ हो जाता है।
$Y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \implies C=1$.
अतः,$Y(x) = x^2 + \cos x$.
तब $Y'(x) = 2x - \sin x$.
$Y'(\frac{\pi}{4}) - Y'(-\frac{\pi}{4}) = (2(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (2(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^y \frac{dy}{dx} + e^x e^y = e^{2x}$
मान लीजिए $z = e^y$,तब $\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dz}{dx} + e^x z = e^{2x}$.
यह $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x$ और $Q(x) = e^{2x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x dx} = e^{e^x}$.
हल $z \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$z \cdot e^{e^x} = \int e^{2x} \cdot e^{e^x} dx + c$.
मान लीजिए $u = e^x$,तब $du = e^x dx$.
$z \cdot e^{e^x} = \int u \cdot e^u du + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$.
$z = e^y$ और $u = e^x$ वापस रखने पर: $e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$.

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x$.
इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के साथ तुलना करने पर,$P = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$.
अतः,समाकलन गुणक $x^3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g'(x)$ और $Q(x) = g(x)g'(x)$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int g'(x) dx} = e^{g(x)}$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y e^{g(x)} = \int g(x)g'(x) e^{g(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = t$,तो $g'(x) dx = dt$ होगा।
अतः,$y e^{g(x)} = \int t e^t dt + C$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y e^{g(x)} - e^{g(x)}(g(x) - 1) = C$।
$e^{g(x)}(y - g(x) + 1) = C$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log(e^{g(x)}) + \log|y - g(x) + 1| = \log(C)$।
$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = C'$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण है:
$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$
इसे रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से तुलना करने पर:
$P = \csc^2 x$
$Q = \csc^2 x \cdot \cot x$
अब,समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P \ dx} = e^{\int \csc^2 x \ dx} = e^{- \cot x}$
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot IF = \int Q \cdot IF \ dx + C$
$y \cdot e^{- \cot x} = \int \csc^2 x \cdot \cot x \cdot e^{- \cot x} \ dx + C$
माना $t = \cot x$,तब $dt = - \csc^2 x \ dx$,जिसका अर्थ है $\csc^2 x \ dx = - dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$y \cdot e^{- \cot x} = \int t \cdot e^{- t} (- dt) = - \int t e^{- t} \ dt$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $\int u \ dv = uv - \int v \ du$,जहाँ $u = t$ और $dv = e^{- t} \ dt$:
$- \int t e^{- t} \ dt = - [t (- e^{- t}) - \int (- e^{- t}) \ dt] = - [- t e^{- t} - e^{- t}] + C = t e^{- t} + e^{- t} + C$
$t = \cot x$ वापस रखने पर:
$y \cdot e^{- \cot x} = e^{- \cot x} (\cot x + 1) + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln \sec^2 x} = \sec^2 x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x dx + c$.
$y \sec^2 x = \sec x + c$.
दिया है कि $x = \frac{\pi}{3}$ पर $y = 0$,इसलिए:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + c$.
$0 = 2 + c \implies c = -2$.
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ से भाग देने पर,$y = \frac{\sec x}{\sec^2 x} - \frac{2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$y = \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = \cos x - 2 + 2 \sin^2 x$.
इसलिए,$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$.

(D) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
दिया गया है कि $y = A(x) e^{\int P(x) dx}$,इसलिए $A(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A'(x) = \frac{d}{dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx]$.
चूंकि अवकलन और समाकलन एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं:
$A'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin y \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ है।
दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} - x$
$\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \sec y - x$
माना $\sec y = t$. तब $\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dt}{dx} = t - x \implies \frac{dt}{dx} - t = -x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
हल $t(IF) = \int (-x)(IF) dx + c$ है।
$t e^{-x} = \int -x e^{-x} dx + c$.
$\int -x e^{-x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int -x e^{-x} dx = x e^{-x} - \int e^{-x} dx = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
अतः,$t e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $t = x + 1 + c e^x$ प्राप्त होता है।
$t = \sec y$ वापस रखने पर,हमें $\sec y = x + 1 + c e^x$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = 2x + x^2 \tan x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$
$y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx + c$
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \tan x \sec x dx + c$
दूसरे समाकलन $\int x^2 (\tan x \sec x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
माना $u = x^2$ और $dv = \sec x \tan x dx$. तब $du = 2x dx$ और $v = \sec x$.
$\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + (x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx) + c$
$y \sec x = x^2 \sec x + c$
दोनों पक्षों को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$y = x^2 + c \cos x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{1}{x}$,तो $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -1$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{t}{y} = -\log |y| + c$.
$t = \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$।

(C) दिया गया है,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$
$\cos^{2} x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \left(\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}\right) y = \cos^{2} x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}$ और $Q = \cos^{2} x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ है।
$\int P dx = -\int \frac{\tan 2x}{\cos^{2} x} dx = -\int \frac{2 \tan x}{(1 - \tan^{2} x) \cos^{2} x} dx$.
मान लीजिए $\tan x = t$,तो $\sec^{2} x dx = dt$.
$\int P dx = -\int \frac{2t}{1 - t^{2}} dt = \ln |1 - t^{2}| = \ln |1 - \tan^{2} x|$.
अतः,$I.F. = e^{\ln |1 - \tan^{2} x|} = 1 - \tan^{2} x$.
व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x (1 - \tan^{2} x)) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int \cos 2x dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \frac{\sin 2x}{2} + C$.
$y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + 2C}{1 - \tan^{2} x} \right]$.
$2C$ को $c$ के रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - \tan^{2} x} \right]$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ है।
$(x+1)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ और $Q = \frac{1}{x+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।
$y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$.
$e^{-x}$ से भाग देने पर,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.
अतः,$y(x+1) = 2e^x - 1$,जिससे $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ जहाँ $y>0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$।
चूंकि $y>0$,हम लिख सकते हैं: $\frac{dx}{dy} = \frac{x-4y^3}{y} = \frac{x}{y} - 4y^2$।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = -4y^2$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln y^{-1}} = \frac{1}{y}$।
व्यापक हल है: $x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + C$।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (-4y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$।
$\frac{x}{y} = \int -4y dy + C$।
$\frac{x}{y} = -4 \cdot \frac{y^2}{2} + C = -2y^2 + C$।
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = -2y^3 + Cy$,जिसे $x+2y^3=Cy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$.
यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y^2$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = y$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int y dy$.
$\frac{x}{y} = \frac{y^2}{2} + C$.
$x = \frac{y^3}{2} + Cy \implies 2x = y^3 + 2Cy$.
चूंकि $y^3 = ax + b$,हम इसे $y^3 = 2x - 2Cy$ के रूप में लिखते हैं।
$y^3 = ax + b$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = -2Cy$ प्राप्त होता है।
$y(4) = 2$ का उपयोग करने पर: $2^3 = 2(4) + b \implies 8 = 8 + b \implies b = 0$.
अतः $y^3 = 2x + 0$,जिससे $a = 2$ और $b = 0$ मिलता है।
$4a + 12b^2 = 4(2) + 12(0)^2 = 8 + 0 = 8$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
सामान्य हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
मान रखने पर: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{2 \tan^{-1} y}}{1+y^2} dy + C$.
माना $u = \tan^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int e^{2u} du + C = \frac{1}{2} e^{2u} + C = \frac{1}{2} e^{2 \tan^{-1} y} + C$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 x e^{\tan^{-1} y} = e^{2 \tan^{-1} y} + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.
माना $e^{-y} = v$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,या $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$ है।
हल $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ द्वारा दिया जाता है।
$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.
$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.
$2x^2$ से गुणा करने पर,$2 x v = 1 + 2 C x^2$ प्राप्त होता है। माना $2C = C'$,तो $2 x v = 1 + C' x^2$ होगा।
$v = e^{-y}$ रखने पर,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$ प्राप्त होता है।
$e^y$ से गुणा करने पर,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + by + c}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = ax + by + c$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{dx}{dy} - ax = by + c$.
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -a$ और $Q = by + c$ है।
चूँकि यह समीकरण $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण है: $(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$।
$dx(x+x^3)$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$।
इसे सरल करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -2 \tan 2x$ और $Q = e^x \sec 2x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx} = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x \cdot \cos 2x) dx + C$.
चूंकि $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,इसलिए:
$y \cos 2x = \int e^x dx + C$.
$y \cos 2x = e^x + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = e^x \sec x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cos x = \int (e^x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
चूंकि $\sec x \cdot \cos x = 1$,इसलिए:
$y \cos x = \int e^x dx + c$.
$y \cos x = e^x + c$.

(B) दिया गया है,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,जो $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P = -1$ और $Q = y+1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$.
$\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
$e^y$ से गुणा करने पर,हमें $x = -(y+2) + ce^y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x y^3} = -\frac{\cos x}{x^3}$
माना $t = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$. तब,$\frac{dt}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \frac{dt}{dx}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$-\frac{1}{3} \frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{\cos x}{x^3}$
$-3$ से गुणा करने पर:
$\frac{dt}{dx} + \frac{3}{x} t = \frac{3 \cos x}{x^3}$
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।
हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$t x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$t x^3 = 3 \sin x + c$
चूँकि $t = y^{-3}$,इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) $I$. दिया गया है $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.
$dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2x$ और $Q=2e^{-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ है।
$ye^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x+c$.
अतः,कथन $I$ सही है।
$II$. दिया गया है $ye^{x^2}-2x=c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(ye^{x^2}) - \frac{d}{dx}(2x) = 0$.
$y(2x e^{x^2}) + e^{x^2} \frac{dy}{dx} - 2 = 0$.
$e^{x^2} \frac{dy}{dx} = 2 - 2xye^{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 2e^{-x^2} - 2xy$.
इसलिए,$dx = \frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$.
अतः,कथन $II$ भी सही है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ है।
समीकरण को $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$y^2 \frac{d x}{d y} = x + 2y^3$
$\frac{d x}{d y} - \frac{1}{y^2} x = 2y$.
यहाँ,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{1/y}$.
अतः,समाकलन गुणक $e^{(1/y)}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर:
$e^{x/3} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{3} e^{x/3} y = e^{x/3}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx} (y \cdot e^{x/3}) = e^{x/3}$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$y \cdot e^{x/3} = \int e^{x/3} dx + c$
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$
$e^{x/3}$ से भाग देने पर:
$y = 3 + ce^{-x/3}$

(A) हमारे पास $\frac{dy}{dx} - y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + c$।
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$।
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,$y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$.
इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cos x = \int 6x \, dx = 3x^2 + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ का उपयोग करने पर:
$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{-\pi^2}{3}$.
अतः,सामान्य हल $y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है।
अब,$y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$y(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = \frac{-3\pi^2}{12} = \frac{-\pi^2}{4}$.
इसलिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{\tan^{-1} y - x}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है,जो $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तो $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
समाकलन $\int t e^t dt + c$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \tan^{-1} y$ वापस रखने पर,$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + y$ द्वारा दी गई है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx} (y e^{-x}) = x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y e^{-x} = \int x e^{-x} dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + c$।
अतः,$y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + c$।
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -x - 1 + ce^x$ प्राप्त होता है,जो $y = ce^x - x - 1$ है।

(A) प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - xy = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$.
मान लीजिए $t = -\frac{x^2}{2}$,तो $dt = -x dx$,इसलिए $x dx = -dt$.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$.
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
अतः,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$.
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर,हमें $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ या $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+2) dy + 2xy dx = e^x(x^2+2) dx$
$(x^2+2) dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+2} y = e^x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{x^2+2}$ और $Q(x) = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2+2} dx} = e^{\ln(x^2+2)} = x^2+2$।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(x^2+2) = \int e^x(x^2+2) dx + C$।
$\int e^x(x^2+2) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - \int 2x e^x dx + C$।
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2[x e^x - \int e^x dx] + C$।
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2x e^x + 2e^x + C$।
$y(x^2+2) = e^x(x^2+2 - 2x + 2) + C$।
$y(x^2+2) = e^x(x^2-2x+4) + C$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac{y(2 y^2+1) - 4 x y}{2 y^2+1} = y - \frac{4 x y}{2 y^2+1}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{d x}{d y} + \left(\frac{4 y}{2 y^2+1}\right) x = y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d x}{d y} + P(y) x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{4 y}{2 y^2+1}$ और $Q(y) = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) d y} = e^{\int \frac{4 y}{2 y^2+1} d y} = e^{\ln(2 y^2+1)} = 2 y^2+1$ है।
व्यापक हल $x(IF) = \int Q(y)(IF) d y + C$ है।
$x(2 y^2+1) = \int y(2 y^2+1) d y + C = \int (2 y^3+y) d y + C$ प्राप्त होता है।
$x(2 y^2+1) = \frac{2 y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{y^4}{2} + \frac{y^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 x(2 y^2+1) = y^4+y^2+2C$,जो सरल होकर $4 x y^2+2 x = y^4+y^2+C$ हो जाता है।

(A) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{x^2}{x^3+1}y = \frac{3x^2}{x^3+1}$.
$IF = e^{\int \frac{x^2}{x^3+1} dx} = e^{\frac{1}{3}\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^{1/3}$. अतः,$P-5$.
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = x^4$.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3\ln x} = x^3$. अतः,$Q-1$.
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{x^3+1}y = \frac{x^2}{(x^3+1)^2}$.
$IF = e^{\int \frac{6x^2}{x^3+1} dx} = e^{2\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^2$. अतः,$R-2$.
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{\ln x}{x^2+1}$.
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2\ln(x^2+1)} = (x^2+1)^2$. अतः,$S-3$.
अतः,सही मिलान $P-5, Q-1, R-2, S-3$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर: $y \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^2}{x} - x$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x} - \frac{2 y^2}{x} = -x$ $\ldots$ $(i)$।
माना $v = y^2$ है। तब $\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d y}{d x}$,जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = -x$।
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x} - \frac{4 v}{x} = -2 x$।
यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{4}{x}$ और $Q(x) = -2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{4}{x} d x} = e^{-4 \ln |x|} = x^{-4}$ है।
हल $v \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + c$ है।
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = \int -2 x^{-3} d x + c$।
$\frac{v}{x^4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = \frac{1}{x^2} + c$।
$v = x^2 + c x^4$।
चूंकि $v = y^2$ है,इसलिए वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$.
$\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - \sec x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\tan x$ और $Q(x) = -\sec x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \cos x = \int (-\sec x) \cdot \cos x dx + C$.
$y \cos x = \int (-1) dx + C$.
$y \cos x = -x + C$.
चूँकि $f(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $1 \cdot \cos(0) = -0 + C \implies 1 = C$.
अतः,$y \cos x = -x + 1$.
$y = \frac{1-x}{\cos x} = (1-x) \sec x$.
इसलिए,$f(x) = (1-x) \sec x$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ और $Q(x) = \cos^2 x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx} = e^{\ln|\tan x|} = \tan x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \tan x dx + c$.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} dx + c = \int \sin x \cos x dx + c$.
$y \tan x = \frac{\sin^2 x}{2} + c$.
अतः,$2y \tan x = \sin^2 x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ है।
$(1+\cos^2 x)$ से विभाजित करने पर,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ प्राप्त होता है।
यह $f'(x) + P(x)f(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} dx}$ है।
माना $u = 1+\cos^2 x$,तो $du = -\sin 2x dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = 1+\cos^2 x$ है।
व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$f(x)(1+\cos^2 x) = \int 4 \sin 2x dx = -2 \cos 2x + C$ है।
चूँकि $f(0)=0$,इसलिए $0 = -2 + C \implies C = 2$ है।
अतः,$f(x) = \frac{2 - 2 \cos 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin^2 x}{1+\cos^2 x}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{4(3/4)}{1+1/4} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$.
दोनों पक्षों को $(1+y^2) dy$ से विभाजित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y - x}{1+y^2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ है।
मान रखने पर: $x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2} \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} dy + c$.
मान लीजिए $u = \operatorname{Tan}^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$ हो जाता है।
अतः,$x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \operatorname{Tan}^{-1} y \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} - e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} + c$.
$e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1 + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से करने पर,$f(y) = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$ (ii)
$(i)$ से,$A \cos x = y - \sin x$,अतः $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$.
$A$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$
$\frac{dy}{dx} = \cos x - y \tan x + \sin x \tan x$
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos x + \sin x \tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \tan x$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।
माना $u = f(x)$,तो $du = f^{\prime}(x) dx\text{।}$ समाकलन $\int u e^u du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u e^u du = u e^u - e^u$ होता है।
अतः,$y \cdot e^{f(x)} = f(x) e^{f(x)} - e^{f(x)} + C$ है।
$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,$y = f(x) - 1 + C e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।