रैखिक अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) | vedclass

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Question

(A) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ को $IF = e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।माना $u = e

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$\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$

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(A) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ को $IF = e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।माना $u = e^{\int P(x) dx}$ है।तब,$\frac{du}{dx} = e^{\int P(x) dx} \cdot \frac{d}{dx}(\int P(x) dx) = u \cdot P(x)$ है।इसका अर्थ है कि $\frac{du}{dx} - P(x)u = 0$ है।चूंकि समाकलन गुणक $u$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए सही विकल्प $\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$ है।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) किस अवकल समीकरण का हल है?

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मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(1)=1$,और प्रत्येक $x>0$ के लिए $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। तब $f(x)$ है

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