Mix Examples-Differential Equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$
पूरे समीकरण को $y^2$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{y\,dx - x\,dy}{y^2} + 3x^2e^{x^3}dx = 0$
हम जानते हैं कि $\frac{y\,dx - x\,dy}{y^2} = d\left(\frac{x}{y}\right)$ और $d(e^{x^3}) = 3x^2e^{x^3}dx$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$d\left(\frac{x}{y}\right) + d(e^{x^3}) = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d\left(\frac{x}{y}\right) + \int d(e^{x^3}) = \int 0$
$\frac{x}{y} + e^{x^3} = c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $xdy = y(dx + ydy)$ है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{xdy - ydx}{y^2} = dy$ प्राप्त होता है।
इसे $-d(\frac{x}{y}) = dy$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $-\frac{x}{y} = y + C$ प्राप्त होता है,जो $\frac{x}{y} + y = C$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{1}{1} + 1 = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 2$ है।
समीकरण $\frac{x}{y} + y = 2$ बन जाता है,या $x + y^2 = 2y$,जो $y^2 - 2y + x = 0$ है।
$x = -3$ के लिए,समीकरण $y^2 - 2y - 3 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(y - 3)(y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y = 3$ या $y = -1$ है।
चूँकि शर्त $y > 0$ दी गई है,इसलिए $y = 3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$.
पदों का विस्तार करने पर: $ydx + xy^2\,dx + x\,dy - x^2y\,dy = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(ydx + x\,dy) + (xy^2\,dx - x^2y\,dy) = 0$.
पूरे समीकरण को $x^2y^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{ydx + x\,dy}{x^2y^2} + \frac{xy^2\,dx}{x^2y^2} - \frac{x^2y\,dy}{x^2y^2} = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{d(xy)}{(xy)^2} + \frac{dx}{x} - \frac{dy}{y} = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(xy)}{(xy)^2} + \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dy}{y} = \int 0$.
$-\frac{1}{xy} + \log|x| - \log|y| = C$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\log\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{xy} + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $xy \cos xy \, dx + x^2 \cos xy \, dy + \sin xy \, dx = 0$
पहले दो पदों से $x \cos xy$ कॉमन लेने पर: $x \cos xy (y \, dx + x \, dy) + \sin xy \, dx = 0$
हम जानते हैं कि $d(xy) = y \, dx + x \, dy$. इसे प्रतिस्थापित करने पर: $x \cos xy \, d(xy) + \sin xy \, dx = 0$
पूरे समीकरण को $x \sin xy$ से विभाजित करने पर: $\cot (xy) \, d(xy) + \frac{dx}{x} = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot (xy) \, d(xy) + \int \frac{1}{x} \, dx = \int 0 \, dx$
$\ln |\sin (xy)| + \ln |x| = C$
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln (ab)$ का उपयोग करने पर: $\ln |x \sin (xy)| = C$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $x \sin (xy) = e^C = k$
अतः,हल $x \sin (xy) = k$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y{e^{ - x/y}}dx - (x{e^{ - x/y}} + {y^3})dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y{e^{ - x/y}}dx - x{e^{ - x/y}}dy = {y^3}dy$ प्राप्त होता है।
${e^{ - x/y}}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,${e^{ - x/y}}(ydx - xdy) = {y^3}dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को ${y^2}$ से विभाजित करने पर,${e^{ - x/y}} \frac{ydx - xdy}{{y^2}} = ydy$ प्राप्त होता है।
अवकल रूप $d(\frac{x}{y}) = \frac{ydx - xdy}{{y^2}}$ को पहचानने पर,समीकरण ${e^{ - x/y}} d(\frac{x}{y}) = ydy$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,मान लीजिए $u = -x/y$,तो $du = -d(x/y)$। समाकलन $\int -{e^u} du = \int y dy$ हो जाता है।
इसका परिणाम $-{e^u} = \frac{{{y^2}}}{2} + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$u = -x/y$ का मान वापस रखने पर,हमें $-{e^{ - x/y}} = \frac{{{y^2}}}{2} + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{{{y^2}}}{2} + {e^{ - x/y}} = k$ (जहाँ $k = -C$) के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d^2y}{dx^2} dx = \int -x^{-2} dx$
$\frac{dy}{dx} = -(\frac{x^{-1}}{-1}) + c_1 = \frac{1}{x} + c_1$.
पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{dx} dx = \int (\frac{1}{x} + c_1) dx$
$y = \log|x| + c_1x + c_2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$
चरण $1$: समीकरण को $\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 x$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: प्रथम अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$\frac{dy}{dx} = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + c_1$.
चरण $3$: $y$ ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$y = \int (\tan x + c_1) \, dx = \int \tan x \, dx + \int c_1 \, dx$.
चूंकि $\int \tan x \, dx = \log |\sec x|$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log |\sec x| + c_1x + c_2$.
चूंकि $c_1$ एक स्वेच्छ अचर है,यह धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। अतः,$y = \log \sec x \pm c_1x + c_2$ विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों को समाहित करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 x + x e^x$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \int \sec^2 x \, dx + \int x e^x \, dx + c_1$।
समाकलन सूत्र $\int x e^x \, dx = x e^x - e^x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \tan x + (x e^x - e^x) + c_1$।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int \tan x \, dx + \int x e^x \, dx - \int e^x \, dx + \int c_1 \, dx + c_2$।
चूँकि $\int \tan x \, dx = \log(\sec x)$ होता है:
$y = \log(\sec x) + (x e^x - e^x) - e^x + c_1 x + c_2$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = \log(\sec x) + x e^x - 2e^x + c_1 x + c_2$।
$y = \log(\sec x) + (x - 2)e^x + c_1 x + c_2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ है।
इसे $y = x\frac{{dy}}{{dx}} - {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $\frac{{dy}}{{dx}} = p$ है। तब समीकरण $y = px - {p^2}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{dy}}{{dx}} = p + x\frac{{dp}}{{dx}} - 2p\frac{{dp}}{{dx}}$.
चूंकि $\frac{{dy}}{{dx}} = p$,इसलिए $p = p + (x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}}$.
यह सरल होकर $(x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}} = 0$ हो जाता है।
स्थिति $1$: $\frac{{dp}}{{dx}} = 0$,जिसका अर्थ है $p = c$ (एक स्थिरांक)।
$p = c$ को $y = px - {p^2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें व्यापक हल $y = cx - {c^2}$ प्राप्त होता है।
यदि $c = 2$ है,तो $y = 2x - {2^2}$,अर्थात $y = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 2x - 4$ एक हल है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1 + y^2} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int dx$,जो $\tan^{-1} y = x + c$ देता है।
प्रतिबंध $y(0) = 0$ लागू करने पर,हमें $\tan^{-1}(0) = 0 + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 0$ है।
अतः,हल $\tan^{-1} y = x$ या $y = \tan x$ है।
हालाँकि,हमें प्रतिबंध $y(\pi) = 0$ दिया गया है।
$y = \tan x$ में $x = \pi$ रखने पर,हमें $y = \tan(\pi) = 0$ प्राप्त होता है,जो सीमा प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
लेकिन फलन $y = \tan x$ अंतराल $(0, \pi)$ में सतत नहीं है क्योंकि यह $x = \frac{\pi}{2}$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) रखता है।
इसलिए,$(0, \pi)$ में ऐसा कोई सतत अवकलनीय फलन $\phi(x)$ संभव नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x - \sin x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \int (\cos x - \sin x) dx = \sin x - (-\cos x) + c_1 = \sin x + \cos x + c_1$.
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \int (\sin x + \cos x + c_1) dx = -\cos x + \sin x + c_1x + c_2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d^2y}{dx^2} dx = \int -\sin x dx$।
इससे हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \cos x + c_1$।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{dx} dx = \int (\cos x + c_1) dx$।
अतः,हल है: $y = \sin x + c_1x + c_2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2) dx = xy dy$
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{y}{1 + y^2} dy$
दाहिनी ओर के समाकलन को सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर: $2 \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$2 \ln|x| = \ln(1 + y^2) + C$
$ln(x^2) = \ln(1 + y^2) + ln(c) \implies x^2 = c(1 + y^2)$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1^2 = c(1 + 0^2) \implies c = 1$
वक्र का समीकरण $x^2 = 1 + y^2$ है,जिसे सरल करने पर $x^2 - y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक आयताकार अतिपरवलय है,जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 1$ है।
इस अतिपरवलय के लिए,$a = 1$ और $b = 1$ है। उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है: $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1 \cdot \sqrt{2}, 0) = (\pm \sqrt{2}, 0)$ द्वारा दी जाती हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ है।
इसे $\frac{d}{dx} (f(x) \sin x) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) \sin x = x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x + C}{\sin x}$।
चूंकि $x \rightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + C}{\sin x}$ परिमित होना चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ का उपयोग करने पर,सीमा केवल तभी परिमित होगी यदि $C = 0$ हो।
इसलिए,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$।
हमें $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin x < x < \tan x$।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\tan x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\frac{x}{\tan x} < 1 < \frac{x}{\sin x}$।
अतः,$x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $f(x) > 1$ है।
साथ ही,ग्राफ या टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है जहाँ $f(0^+) = 1$ और $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $1 < f(x) < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए समाकलन $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ का मान $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx < I < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \, dx$ को संतुष्ट करता है।
इससे $\frac{\pi}{2} < I < \frac{\pi^2}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = \frac{x}{\ln |c x|}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{y} = \frac{\ln |c x|}{x}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \ln |c| + \ln |x|$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right) = \frac{d}{dx} (\ln |c| + \ln |x|)$.
बाईं ओर भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{y(1) - x(y')}{y^2} = \frac{1}{x}$.
$\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2} = \frac{1}{x}$.
$y - x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$.
$x \frac{dy}{dx} = y - \frac{y^2}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}$.
इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\phi \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{y^2}{x^2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x - \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
सामान्य हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + C$ है।
$y e^{-x} = \int e^{-x}(\cos x - \sin x) dx + C$ है।
समाकलन करने पर,हमें $y e^{-x} = e^{-x} \sin x + C$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \sin x + C e^x$ है।
चूँकि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y$ परिबद्ध है,इसलिए $C = 0$ होना चाहिए,अतः $y = \sin x$ है।
$y = \sin x$,$y = \cos x$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = -\frac{x^2}{2}$,तो $du = -x dx$ होगा।
अतः,$y = \int e^u du = e^u + C = e^{-\frac{x^2}{2}} + C.$
चूंकि वक्र बिंदु $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1^2}{2}} + C \implies \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{e}} + C \implies C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
यह एक सम फलन है,जिसका अर्थ है कि यह $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,न कि मूल बिंदु के सापेक्ष। अतः,कथन $B$ गलत है।
$f'(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$,जो सभी $x$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।
$x < 0$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए यह $x < 0$ के लिए वर्धमान और $x > 0$ के लिए ह्रासमान है।
$f''(x) = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$ प्राप्त होता है। $f''(x) = 0$ रखने पर $x = \pm 1$ प्राप्त होता है,जो दो नति परिवर्तन बिंदु हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 100 - y$ है,जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 50$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें मिलता है: $\int \frac{dy}{100 - y} = \int dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|100 - y| = x + C$.
जब $x = 0$,$y = 50$,तो $-\ln|100 - 50| = 0 + C$,जिससे $C = -\ln 50$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $-\ln(100 - y) = x - \ln 50$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\ln 50 - \ln(100 - y) = x$,या $\ln(\frac{50}{100 - y}) = x$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\frac{50}{100 - y} = e^x$,जिसका अर्थ है $100 - y = 50e^{-x}$.
अतः,समाधान $y = 100 - 50e^{-x}$ है।
जैसे $x \to \infty$,$y \to 100$,और $x = 0$ पर,$y = 50$ है। वक्र बढ़ रहा है और क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 100$ के करीब पहुँचता है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(D) माना $m = \frac{dy}{dx}$ अभीष्ट वक्र के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है।
वक्र $xy = c^2$ के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{y}{x}$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right| = \tan\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.
$m_1 = -\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{m + \frac{y}{x}}{1 - m \frac{y}{x}} \right| = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{m + \frac{y}{x}}{1 - m \frac{y}{x}} = \pm 1$.
स्थिति $1$: $m + \frac{y}{x} = 1 - m \frac{y}{x} \implies m(1 + \frac{y}{x}) = 1 - \frac{y}{x} \implies m = \frac{x-y}{x+y}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है जो $y^2 + 2xy - x^2 = k$ की ओर ले जाता है।
स्थिति $2$: $m + \frac{y}{x} = -(1 - m \frac{y}{x}) \implies m(1 - \frac{y}{x}) = -1 - \frac{y}{x} \implies m = \frac{x+y}{x-y}$. यह $y^2 - 2xy - x^2 = k$ की ओर ले जाता है।
चूंकि दोनों समाधान मान्य हैं,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + (x - y) \frac{dy}{dx} - x = 0$.
यह $\frac{dy}{dx}$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y) \pm \sqrt{(x-y)^2 - 4(y)(-x)}}{2y} = \frac{y-x \pm \sqrt{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}}{2y} = \frac{y-x \pm \sqrt{(x+y)^2}}{2y} = \frac{y-x \pm (x+y)}{2y}$.
स्थिति $1$: $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x+x+y}{2y} = \frac{2y}{2y} = 1$.
समाकलन करने पर,$y = x + c$. चूँकि यह $(3, 4)$ से गुजरता है,$4 = 3 + c \Rightarrow c = 1$. अतः,$y = x + 1$ या $x - y + 1 = 0$.
स्थिति $2$: $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x-x-y}{2y} = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y}$.
समाकलन करने पर,$y dy = -x dx \Rightarrow \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C' \Rightarrow x^2 + y^2 = C$.
चूँकि यह $(3, 4)$ से गुजरता है,$3^2 + 4^2 = C \Rightarrow 9 + 16 = 25$. अतः,$x^2 + y^2 = 25$.
इस प्रकार,$A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ है।
चरों को अलग करने पर,$2x \, dx = 3y \, dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x^2 = \frac{3}{2}y^2 + C$ प्राप्त होता है,जिसे $2x^2 - 3y^2 = 2C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $C > 0$,मान लें $2C = k^2$। तब $2x^2 - 3y^2 = k^2$,या $\frac{x^2}{k^2/2} - \frac{y^2}{k^2/3} = 1$। यह एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = \frac{k^2}{2}$ और $b^2 = \frac{k^2}{3}$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ है।
स्थिति $2$: यदि $C < 0$,मान लें $2C = -k^2$। तब $3y^2 - 2x^2 = k^2$,या $\frac{y^2}{k^2/3} - \frac{x^2}{k^2/2} = 1$। यह एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = \frac{k^2}{3}$ और $b^2 = \frac{k^2}{2}$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
अतः,उत्केंद्रता $\sqrt{\frac{5}{3}}$ या $\sqrt{\frac{5}{2}}$ हो सकती है।

(C) दिया गया है $f(x) = e^{ax} + e^{bx}.$
अतः $f'(x) = ae^{ax} + be^{bx}$ और $f''(x) = a^2e^{ax} + b^2e^{bx}.$
इन मानों को अवकल समीकरण $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,
$(a^2e^{ax} + b^2e^{bx}) - 2(ae^{ax} + be^{bx}) - 15(e^{ax} + e^{bx}) = 0.$
$e^{ax}$ और $e^{bx}$ वाले पदों को समूहित करने पर,
$(a^2 - 2a - 15)e^{ax} + (b^2 - 2b - 15)e^{bx} = 0.$
चूंकि $e^{ax}$ और $e^{bx}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र फलन हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a^2 - 2a - 15 = 0$ और $b^2 - 2b - 15 = 0.$
द्विघात समीकरण $t^2 - 2t - 15 = 0$ को हल करने पर,
$(t - 5)(t + 3) = 0,$
जिससे $t = 5$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \neq b,$ इसलिए $a = 5$ और $b = -3$ (या इसके विपरीत) होगा।
अतः,गुणनफल $ab = 5 \times (-3) = -15.$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} \right) = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dy} \right) = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} \cdot \frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} \cdot \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} = -\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left( \frac{dx}{dy} \right)^3}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left( \frac{dx}{dy} \right)^3} + y \left( \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \right) = 0$।
$-\left( \frac{dx}{dy} \right)^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2x}{dy^2} - y \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 = 0$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin y + e^x}{\ln y - x \cos y}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\ln y - x \cos y) dy = (\sin y + e^x) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\ln y \, dy - x \cos y \, dy = \sin y \, dx + e^x \, dx$.
पदों को समूहित करने पर: $\ln y \, dy - e^x \, dx = x \cos y \, dy + \sin y \, dx$.
दाहिनी ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर,$d(x \sin y) = x \cos y \, dy + \sin y \, dx$.
अतः,समीकरण बनता है: $\ln y \, dy - e^x \, dx = d(x \sin y)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \ln y \, dy - \int e^x \, dx = \int d(x \sin y)$.
समाकलन सूत्र $\int \ln y \, dy = y \ln y - y$ का उपयोग करने पर:
$(y \ln y - y) - e^x = x \sin y + C$.
इस प्रकार,$y(\ln y - 1) = e^x + x \sin y + C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y dy = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $dx - y dy + \sqrt{x^2 + y^2} (x dx + y dy) = 0$।
हम जानते हैं कि $d(x^2 + y^2) = 2x dx + 2y dy$,इसलिए $x dx + y dy = \frac{1}{2} d(x^2 + y^2)$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dx - y dy + \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2} d(x^2 + y^2) = 0$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dx - \int y dy + \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{1/2} d(x^2 + y^2) = C$।
इससे हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + y^2)^{3/2}}{3/2} = C$।
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{3/2} = C$।

(D) माना $P = \frac{dy}{dx}$। दिया गया समीकरण $y = 2xP + x^2P^4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = P = 2P + 2x\frac{dP}{dx} + 2xP^4 + 4x^2P^3\frac{dP}{dx}$.
इस समीकरण में $P = \sqrt{C/x}$ रखने पर:
$y = 2x\sqrt{\frac{C}{x}} + x^2\left(\sqrt{\frac{C}{x}}\right)^4$
$y = 2\sqrt{Cx} + x^2\left(\frac{C^2}{x^2}\right)$
$y = 2\sqrt{Cx} + C^2$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$.
चूंकि समाकल्य $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं $x = 2 \int_{0}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{dy} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 9y^2}}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 + 9y^2}}{2} = \frac{1}{2} (1 + 9y^2)^{1/2}$।
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} (1 + 9y^2)^{1/2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + 9y^2)^{-1/2} \cdot (18y) \cdot \frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 + 9y^2}}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{18y}{\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 9y^2}}{2} = \frac{18y}{8} = \frac{9}{4}y$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ से तुलना करने पर,$k = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$.
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर:
$2xydx + x^2dy = \frac{ydx - xdy}{y^2}$.
यहाँ बायाँ पक्ष $x^2y$ का अवकलन है और दायाँ पक्ष $\frac{x}{y}$ का अवकलन है:
$d(x^2y) = d(\frac{x}{y})$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$x^2y = \frac{x}{y} + C$.
शर्त $y(2) = 1$ का उपयोग करने पर:
$(2)^2(1) = \frac{2}{1} + C \Rightarrow 4 = 2 + C \Rightarrow C = 2$.
अतः,समीकरण $x^2y = \frac{x}{y} + 2$ है।
अब,$x = -1$ रखकर $y(-1)$ ज्ञात करें:
$(-1)^2y = \frac{-1}{y} + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{y} + 2$.
$y$ से गुणा करने पर:
$y^2 = -1 + 2y \Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 0$.
$(y - 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1$.
इस प्रकार,$y(-1) = 1$.

(A) दिया गया समीकरण: $x dy = y dx + xy^3(1 + \log_e x) dx$
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{x dy - y dx}{y^2} = xy(1 + \log_e x) dx$
इस पद का समाकलन करने पर:
$\int \frac{x dy - y dx}{y^2} = \int x^2(1 + \log_e x) dx$
$\frac{-x^2}{2y^2} = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^2}{3} dx + C$
$\frac{-x^2}{2y^2} = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9} + C$
$\frac{-x^2}{y^2} = \frac{2}{3}x^3(1 + \log_e x - \frac{1}{3}) + C$
$\frac{-x^2}{y^2} = \frac{2}{3}x^3(\frac{2}{3} + \log_e x) + C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण ${y^5}x + y - x\frac{{dy}}{{dx}} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें ${y^5}x dx + y dx - x dy = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ में दिए गए हल ${x^5}/5 + (1/4){(x/y)^4} = C$ का अवकलन करने पर:
${x^4} dx + (1/4) \cdot 4 {(x/y)^3} d(x/y) = 0$
${x^4} dx + {(x/y)^3} \frac{y dx - x dy}{y^2} = 0$
${x^4} dx + \frac{x^3}{y^5} (y dx - x dy) = 0$
इस समीकरण को $y^5/x^3$ से गुणा करने पर,हमें $x{y^5} dx + y dx - x dy = 0$ प्राप्त होता है,जो मूल समीकरण है।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) कथन $-1$: मूल बिंदु पर शीर्ष और $x$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ (या $y^2 = -4ax$) है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
अतः,ढाल $\frac{dy}{dx}$ कोटि $y$ के व्युत्क्रमानुपाती है। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$: निकाय $y^2 = 4ax$ के लिए अवकल समीकरण $a$ को विलुप्त करके प्राप्त किया जाता है: $a = \frac{y^2}{4x}$। इसे $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ में रखने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4(\frac{y^2}{4x}) = \frac{y^2}{x}$,या $2x \frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का अवकल समीकरण है। इसलिए,कथन $-2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन $-2$ निकाय के अवकल समीकरण का वर्णन करता है,जबकि कथन $-1$ परवलय के समीकरण से प्राप्त स्पर्श रेखा की ढाल का गुण है। कथन $-2$,कथन $-1$ में दिए गए गुण का कारण नहीं है।
अतः,दोनों सत्य हैं,लेकिन कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ है।
इसे $x^2 dx - y^2 dx + 2xy\, dy = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 dx + (2xy\, dy - y^2 dx) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $dx + \frac{2xy\, dy - y^2 dx}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है।
यथार्थ अवकल को पहचानने पर,यह $d(x) + d\left(\frac{y^2}{x}\right) = 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $x + \frac{y^2}{x} = C$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 = Cx$ में सरल हो जाता है।
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $1^2 + 1^2 = C(1) \implies C = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ या $(x-1)^2 + y^2 = 1$ है।
यह $x-$ अक्ष पर केंद्र $(1, 0)$ वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(N/A) दिया गया फलन: $y = x \sin x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$y^{\prime} = \sin x + x \cos x$
अब,अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ पर विचार करें:
$L.H.S. = x y^{\prime} = x(\sin x + x \cos x) = x \sin x + x^2 \cos x$
दाएँ पक्ष $(R.H.S.)$ में $y = x \sin x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R.H.S. = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 - (x \sin x)^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2(1 - \sin^2 x)}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 \cos^2 x}$
$= x \sin x + x(x \cos x)$
$= x \sin x + x^2 \cos x$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

(N/A) दिया गया समीकरण: $y - \cos y = x$ ..........$(1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$
$y' - (-\sin y) y' = 1$
$y'(1 + \sin y) = 1$
$y' = \frac{1}{1 + \sin y}$ ..........$(2)$
अब,अवकल समीकरण के $L.H.S.$ पर विचार करें:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + x) y'$
समीकरण $(1)$ से $x = y - \cos y$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + y - \cos y) y'$
$L.H.S. = (y \sin y + y) y'$
$L.H.S. = y(1 + \sin y) y'$
समीकरण $(2)$ से $y'$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y}$
$L.H.S. = y = R.H.S.$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2xy^2 - y)dx + xdy = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy^2 dx - ydx + xdy = 0$।
$xy^2$ से भाग देने पर: $2xdx - \frac{ydx - xdy}{y^2} = 0$।
यह $2xdx = d(\frac{x}{y})$ के रूप में सरल होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 2xdx = \int d(\frac{x}{y}) \Rightarrow x^2 = \frac{x}{y} + c$।
रेखाओं $2x - 3y = 1$ और $3x + 2y = 8$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करें: $4x - 6y = 2$ और $9x + 6y = 24$।
जोड़ने पर $13x = 26 \Rightarrow x = 2$ प्राप्त होता है। $x=2$ को $2x - 3y = 1$ में रखने पर $4 - 3y = 1 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$ प्राप्त होता है।
वक्र $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $2^2 = \frac{2}{1} + c \Rightarrow 4 = 2 + c \Rightarrow c = 2$।
वक्र का समीकरण $x^2 = \frac{x}{y} + 2$ है।
$x = 1$ के लिए,$1^2 = \frac{1}{y} + 2 \Rightarrow 1 = \frac{1}{y} + 2 \Rightarrow \frac{1}{y} = -1 \Rightarrow y = -1$।
अतः,$|y(1)| = |-1| = 1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.
माना $y-x = u$,तो $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{du}{dx} = xe^u$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $e^{-u} du = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.
$u = y-x$ रखने पर: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.
$y(0)=0$ दिया गया है,अतः $x=0, y=0$ के लिए: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें: $1 + xe^{y-x} = 0$. मूल समीकरण से,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.
$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ को हल करने पर। मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$,हम $x = 1-\sqrt{3}$ लेंगे।
$x = 1-\sqrt{3}$ को $y(x)$ में रखने पर: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

(D) अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{xy - x^2y^2 - 1}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy = -xy dx + x^2y^2 dx + dx$ प्राप्त होता है।
$x^2 dy + xy dx = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x(x dy + y dx) = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x d(xy) = (1 + (xy)^2) dx$.
दोनों पक्षों को $x(1 + (xy)^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{d(xy)}{1 + (xy)^2} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\tan^{-1}(1) = \ln(1) + C$,जिससे $C = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$xy = \tan\left(\ln(x) + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tan(\ln x)}{1 - \tan(\ln x)}$।
$x = e$ के लिए,$e \cdot y(e) = \frac{1 + \tan(1)}{1 - \tan(1)}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)^2} = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2} dx$.
मान लीजिए $u = 1 + \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
अतः,$y = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{1 + \tan x} + C$.
प्रतिबंध $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} = -\frac{1}{1 + 1} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y(x) = 1 - \frac{1}{1 + \tan x} = \frac{\tan x}{1 + \tan x}$.
अब,$y(x)$ को $y = \sqrt{2} \sin x$ के साथ बराबर रखने पर: $\frac{\tan x}{1 + \tan x} = \sqrt{2} \sin x$.
$\frac{\sin x}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \sin x$.
इससे $\sin x = 0$ (अतः $(0, 2\pi)$ में $x = \pi$) या $\frac{1}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ या $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi$.
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$ या $x + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$.
$x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ और $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{23\pi}{12}$.
भुजों का योग $= \pi + \frac{7\pi}{12} + \frac{23\pi}{12} = \frac{12\pi + 7\pi + 23\pi}{12} = \frac{42\pi}{12}$.
$\frac{k\pi}{12}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 42$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + g}{y + f}$ होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$b = 0$,$a = -2$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 15 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका केंद्र $C(1, 1)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
बिंदु $P(11, 6)$ से केंद्र की दूरी $CP = \sqrt{(11+1)^2 + (6-1)^2} = 13$ है।
न्यूनतम दूरी $= CP - r = 13 - 5 = 8$।

(D) दिए गए अवकल समीकरण $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ से,हमारे पास $(f^{\prime}(x))^2 = \pm 4f(x)$ है।
चूंकि $(f^{\prime}(x))^2 \geq 0$ है,इसलिए $4f(x) \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $f(x) \geq 0$।
अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = 4f(x)$,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = \pm 2\sqrt{f(x)}$।
यदि $f(x) > 0$ है,तो $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} = \pm 2$ होगा। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $2\sqrt{f(x)} = \pm 2x + C$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(0)=0$ है,इसलिए $C=0$ होगा,जिससे $\sqrt{f(x)} = \pm x$ प्राप्त होता है,जो $f(x) = x^2$ देता है।
हम $f(x) = x^2$ और $f(x) = 0$ का उपयोग करके टुकड़ों में फलन बना सकते हैं जो $x=0$ पर अवकलनीय बना रहे। चूँकि ऐसे अनंत संयोजन संभव हैं,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या $4$ से अधिक है।

(C) दिया गया है $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{x} \phi(x) = \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$ प्राप्त होता है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} \phi(x) + \sqrt{x} \phi^{\prime}(x) = 4 \sqrt{2} \sin x - 3 \phi^{\prime}(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\phi^{\prime}(x) (3 + \sqrt{x}) = 4 \sqrt{2} \sin x - \frac{\phi(x)}{2\sqrt{x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ और $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{8}{6+\sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\alpha, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \beta)$ पर काटती है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$A$ के लिए,$Y = 0 \implies -y = \frac{dy}{dx}(\alpha - x) \implies \alpha = x - y \frac{dx}{dy}$.
$B$ के लिए,$X = 0 \implies Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
दिया है $PA: PB = 1: k$,विभाजन सूत्र के अनुसार,$x = \frac{k \cdot \alpha + 1 \cdot 0}{k + 1} = \frac{k \alpha}{k + 1} \implies \alpha = \frac{k + 1}{k} x$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $\frac{k + 1}{k} x = x - y \frac{dx}{dy} \implies \frac{x}{k} = -y \frac{dx}{dy} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{ky}{x}$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -k \int \frac{dx}{x} \implies \ln y = -k \ln x + C \implies y x^k = C$.
$(1, 1)$ से गुजरने पर $C = 1$. $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने पर $100 \cdot (\frac{1}{10})^k = 1 \implies 10^2 \cdot 10^{-k} = 10^0 \implies 2 - k = 0 \implies k = 2$.
अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = \ln(2x + 1)$ है।
समाकलन करने पर: $y = \int \ln(2x + 1) dx = \frac{1}{2} (2x + 1) \ln(2x + 1) - x + C$.
$y(0) = 2$ का उपयोग करने पर: $2 = \frac{1}{2}(1)(0) - 0 + C \implies C = 2$.
अतः,$y(x) = \frac{2x + 1}{2} \ln(2x + 1) - x + 2$.
$y(1) = \frac{3}{2} \ln 3 - 1 + 2 = \frac{3}{2} \ln 3 + 1$.
$4y(1) - 5 \ln 3 = 4(\frac{3}{2} \ln 3 + 1) - 5 \ln 3 = 6 \ln 3 + 4 - 5 \ln 3 = \ln 3 + 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x+y+2)^2$ है,जहाँ $y(0)=-2$ है।
माना $v=x+y+2$,तब $\frac{dv}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx}-1=v^2 \Rightarrow \frac{dv}{dx}=1+v^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx \Rightarrow \tan^{-1}(v) = x+C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}(x+y+2) = x+C$ है।
$x=0, y=-2$ के लिए,$\tan^{-1}(0-2+2) = 0+C \Rightarrow C=0$ है।
इसलिए,$x+y+2 = \tan(x) \Rightarrow y = \tan(x)-x-2$ है।
अंतराल $x \in [0, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,$f'(x) = \sec^2(x)-1 = \tan^2(x) \ge 0$,अतः $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
न्यूनतम मान $\beta = f(0) = \tan(0)-0-2 = -2$ है।
अधिकतम मान $\alpha = f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{3}-2 = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2$ है।
अब,$(3\alpha+\pi)^2+\beta^2 = (3(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2)+\pi)^2+(-2)^2$ है।
$= (3\sqrt{3}-\pi-6+\pi)^2+4 = (3\sqrt{3}-6)^2+4$ है।
$= (27+36-36\sqrt{3})+4 = 67-36\sqrt{3}$ है।
$\gamma+\delta\sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\gamma=67$ और $\delta=-36$ प्राप्त होता है।
अतः,$\gamma+\delta = 67-36 = 31$ है।

(A) अवकल समीकरण $(x-3)^2 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है। चरों को पृथक करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{(x-3)^2}$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$\ln|y| = \frac{1}{x-3} + C$। हल $x \neq 3$ के लिए परिभाषित है। अतः,अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,और $(0, \frac{\pi}{8})$ प्रांत $R - \{3\}$ में निहित हैं।
$(B)$ माना $I = \int_1^5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$। $x-3 = t$ रखने पर,$dx = dt$। सीमाएँ $x=1, 5$ से बदलकर $t=-2, 2$ हो जाती हैं। $I = \int_{-2}^2 (t+2)(t+1)t(t-1)(t-2) dt = \int_{-2}^2 t(t^2-1)(t^2-4) dt$। चूंकि समाकल्य एक विषम फलन है,अतः $I = 0$। मान $0$,$(0, \frac{\pi}{2})$ और $(-\pi, \pi)$ में निहित है।
$(C)$ माना $f(x) = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x = \frac{5}{4} - (\sin x - \frac{1}{2})^2$। उच्चतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin x = \frac{1}{2}$,अर्थात $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$। ये बिंदु $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,$(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$,और $(-\pi, \pi)$ में स्थित हैं।
$(D)$ माना $g(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$। $g'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$। $g(x)$ वर्धमान है जब $\cos x - \sin x > 0$,अर्थात $\cos x > \sin x$,जो $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए सत्य है। यह अंतराल $(0, \frac{\pi}{8})$ में निहित है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2)(x+2+y) \frac{dy}{dx}-y^2=0$ है।
$y=(x+2)t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx}=(x+2) \frac{dt}{dx}+t$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $(x+2)^2(1+t) \frac{dy}{dx}-(x+2)^2t^2=0$.
$(1+t)(x+2) \frac{dt}{dx}+t=0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+t}{t} dt = -\frac{dx}{x+2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|t|+t = -\ln|x+2|+C$.
$t=\frac{y}{x+2}$ रखने पर: $\ln y + \frac{y}{x+2} = C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1,3)$ से गुजरता है,$C = \ln 3 + 1$.
हल वक्र $\ln y + \frac{y}{x+2} = \ln 3 + 1$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$y=x+2$ के साथ प्रतिच्छेदन: $\ln(x+2) + 1 = \ln 3 + 1 \Rightarrow x=1$. केवल एक बिंदु पर।
विकल्प $(D)$ के लिए,$y=(x+3)^2$ को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

(A) मान लीजिए $f(x) = x e^{\sin x} - \cos x$ है। तब $f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x + \sin x > 0$ सभी $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए।
चूंकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} e^1 - 0 > 0$ है,इसलिए ठीक $1$ हल है।
$(B)$ समतल एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं यदि गुणांकों का सारणिक $0$ हो और वे समांतर न हों। सारणिक $k(k-4) - 4(4-4) + 1(8-2k) = k^2 - 6k + 8 = 0$ है,जिससे $k=2, 4$ प्राप्त होता है। $k=2$ के लिए,समतल $2x+4y+z=0, 4x+2y+2z=0, 2x+2y+z=0$ हैं। पहला और तीसरा समतल समांतर नहीं हैं,इसलिए वे एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।
$(C)$ मान लीजिए $f(x) = |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|$ है। $f(x)$ का न्यूनतम मान $6$ है (जब $x \in [-1, 1]$)। $f(x) = 4k$ के पूर्णांक हलों के लिए,$4k \ge 6$,इसलिए $k \ge 1.5$। $k=2, 3, 4, 5$ के लिए,$4k$ का मान $8, 12, 16, 20$ है,जो सभी पूर्णांक हलों की अनुमति देते हैं।
$(D)$ $\frac{dy}{y+1} = dx \implies \ln|y+1| = x + C$। चूंकि $y(0)=1$ है,इसलिए $\ln 2 = C$। अतः $y+1 = 2e^x$,जिससे $y = 2e^x - 1$ प्राप्त होता है। अतः $y(\ln 2) = 2(2) - 1 = 3$।

(C) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.
$e^x$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -2e^{-x} - (1 - 2x)e^{-x} + e^{-x} f(x)$.
सरल करने पर,$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x)$,अतः $f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-2x}) = (2x - 3)e^{-2x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-2x} = \int (2x - 3)e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} + \int e^{-2x} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C = -x e^{-2x} + e^{-2x} + C$.
इस प्रकार,$f(x) = -x + 1 + C e^{2x}$.
मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$. $f(x)$ में रखने पर,$1 = 0 + 1 + C$,अतः $C = 0$.
इसलिए,$f(x) = 1 - x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(1) = 1 - 1 = 0 \neq 2$. $(A)$ गलत है।
$(B)$ $f(2) = 1 - 2 = -1$. $(B)$ सही है।
$(C)$ क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x)) dx = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - x + \frac{x^2}{2}]_0^1 = (0 + \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{1}{2}) - (0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi-2}{4}$. $(C)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{b^2+x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|f(x)| = \frac{1}{b} \tan^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = \frac{1}{b} \tan^{-1}(0) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})}$ है।
अब,$f(x)f(-x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})} \cdot e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{-x}{b})} = e^{\frac{1}{b} (\tan^{-1}(\frac{x}{b}) - \tan^{-1}(\frac{x}{b}))} = e^0 = 1$ है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$b>0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2} > 0$ क्योंकि $f(x) = e^{\dots} > 0$ और $b^2+x^2 > 0$ है। अतः,$f$ एक वर्धमान फलन है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(C) केंद्र $(h, h)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - h)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = r^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2h(x + y) + 2h^2 - r^2 = 0$ हो जाता है।
माना $C = 2h^2 - r^2$. अतः $x^2 + y^2 - 2h(x + y) + C = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy^{\prime} - 2h(1 + y^{\prime}) = 0$,जिससे $h = \frac{x + yy^{\prime}}{1 + y^{\prime}}$ प्राप्त होता है।
$h$ का मान समीकरण में वापस रखने पर: $x^2 + y^2 - 2\left(\frac{x + yy^{\prime}}{1 + y^{\prime}}\right)(x + y) + C = 0$.
पुनः अवकलन करने पर: $2 + 2(y^{\prime})^2 + 2yy^{\prime \prime} - 2\frac{d}{dx}\left[\frac{(x + yy^{\prime})(x + y)}{1 + y^{\prime}}\right] = 0$.
सरलीकरण के बाद,अवकल समीकरण $(y - x)y^{\prime \prime} + (1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2)y^{\prime} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $Py^{\prime \prime} + Qy^{\prime} + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = y - x$ और $Q = 1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = y - x$ (कथन $B$ सत्य है)।
$P + Q = (y - x) + (1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2) = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$ (कथन $C$ सत्य है)।
इसलिए,सही विकल्प $(B, C)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x(\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = C$
समाकलन सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(x) = \cos^2 x$ और $f'(x) = -\sin 2x$:
$y + \log |y| + e^x \cos^2 x = C$
$x=0, y=1$ रखने पर:
$1 + \log(1) + e^0 \cos^2(0) = C$
$1 + 0 + 1(1) = C \Rightarrow C = 2$
अतः,हल $y + \log |y| + e^x \cos^2 x = 2$ है।