Linear differential equations Questions in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$
$x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y dx = (10y^3 - 2x) dy$
$\frac{dx}{dy} = 10y^2 - \frac{2x}{y}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y} x = 10y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{y}$ और $Q = 10y^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln y} = y^2$
व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + C$ है:
$x \cdot y^2 = \int (10y^2) \cdot y^2 dy + C$
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$
$x y^2 = 10 \cdot \frac{y^5}{5} + C$
$x y^2 = 2y^5 + C$
अतः,व्यापक हल $x y^2 - 2y^5 = C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(\sec x + \tan x) \frac{dy}{dx} + (\sec^2 x + \sec x \tan x) y = 1$
$(\sec x + \tan x)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \sec x \cdot y = \frac{1}{\sec x + \tan x}$
चूंकि $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} + (\sec x) y = \sec x - \tan x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = \sec x - \tan x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ है।
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec^2 x - \tan^2 x) dx + c$
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$:
$y(\sec x + \tan x) = \int 1 dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = x + c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot x = \int (x^2 \cdot x) dx + C$.
$xy = \int x^3 dx + C$.
$x^3$ का समाकलन करने पर,हमें $xy = \frac{x^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$
$x$ से भाग देने पर $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$।
व्यापक हल: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$
$y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$
$\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$
$y(2) = 4$ दिया गया है,इसलिए $x = 2$ और $y = 4$ रखने पर:
$\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,विशिष्ट हल है: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$।
$f(4)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 4$ रखने पर:
$f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$।

(C) हम जानते हैं कि उप-स्पर्शरेखा की लंबाई $\frac{y}{dy/dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{y}{dy/dx} = x + 7y^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + 7y^2}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 7y^2}{y} = \frac{x}{y} + 7y$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 7y$ है।
समाकलन गुणक (integrating factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 7y \cdot \frac{1}{y} dy + C$।
$\frac{x}{y} = \int 7 dy + C = 7y + C$।
$x = 7y^2 + Cy$।
अतः,$7y^2 + Cy - x = 0$,जो $f(x, y) = 7y^2 + cy - x$ के अनुरूप है।

(A) दी गई शर्त $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ है,जहाँ $x \in (2, 5)$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = -2 x^2$,जहाँ $y = f(x)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} d x} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x^2} \right) = -2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2} = -2 x + C$,जिससे $f(x) = -2 x^3 + C x^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{f(5)}{f(2)} = 1$,इसलिए $f(5) = f(2)$ है।
$x = 5$ और $x = 2$ रखने पर: $-2(125) + C(25) = -2(8) + C(4)$।
$-250 + 25 C = -16 + 4 C$।
$21 C = 234 \Rightarrow C = \frac{234}{21} = \frac{78}{7}$।
अतः,$f(x) = -2 x^3 + \frac{78}{7} x^2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ है।
$(1+y^2) dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t e^t dt = t e^t - e^t$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^t(t - 1) + C$.
$t = \tan^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर,$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + C$.
$e^{\tan^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \tan^{-1} y - 1 + C e^{-\tan^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ है।
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \cot x$ और $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ है।
समीकरण को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$ है।
शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ का उपयोग करने पर,$0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$,जिससे $C = -\frac{e^\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान रखने पर,$y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$.
$x \cos x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{\sec x}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x + \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\sec x}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln(x)} = e^{\ln(x \sec x)} = x \sec x$.
हल इस प्रकार है: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$.
मान रखने पर: $y(x \sec x) = \int \frac{\sec x}{x} \cdot (x \sec x) dx + C$.
$x y \sec x = \int \sec^2 x dx + C$.
$x y \sec x = \tan x + C$.
अतः,$x y \sec x - \tan x = C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + 4y + 7}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = ax + 4y + 7$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - ax = 4y + 7$.
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -a$ और $Q = 4y + 7$.
चूंकि समीकरण को $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह $x$ में रैखिक है।
चूंकि समीकरण $x$ में रैखिक है,इसलिए यह $y$ में रैखिक नहीं है।
अतः,कथन $A$ सही है और कथन $B$ सही है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -a dy} = e^{-ay}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,कथन $D$ गलत है और कथन $C$ गलत है।
अतः,केवल $A$ और $B$ सही हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ है।
$dy$ और $\sqrt{1-y^2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ और $Q(y) = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy} = e^{\sin^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है।
$x e^{\sin^{-1} y} = \int \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}} e^{\sin^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \sin^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int t e^t dt + c = (t e^t - e^t) + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \sin^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x e^{\sin^{-1} y} = e^{\sin^{-1} y}(\sin^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है।
$e^{\sin^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
$\frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c = \int \frac{e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy + c$.
माना $u = \tan ^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + c = \frac{1}{2} e^{2u} + c = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + c$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2c$.
चूँकि $2c$ एक स्थिरांक है,इसलिए हल को $2x e^{\tan ^{-1} y} - e^{2 \tan ^{-1} y} = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{dx}{dy} = x + 2y^3$
$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$
हल इस प्रकार दिया गया है: $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + c$
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
अतः,$x = y^3 + cy$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = ( an^{-1} y - x) dy$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t = e^t(t-1)$.
$t = \tan^{-1} y$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण है: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$
$\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2}{1+x^3} y=\frac{x^2}{1+x^3}$
यह $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{3 x^2}{1+x^3}$ और $Q=\frac{x^2}{1+x^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P d x} = e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x} = e^{\log(1+x^3)} = 1+x^3$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) d x + c$ है।
मान रखने पर: $y(1+x^3) = \int \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)(1+x^3) d x + c$.
$y(1+x^3) = \int x^2 d x + c$.
$y(1+x^3) = \frac{x^3}{3} + c$.
$3$ से गुणा करने पर: $3y(1+x^3) = x^3 + 3c$.
$3y + 3yx^3 - x^3 = 3c$.
$(3y-1)x^3 + 3y = C$ (जहाँ $C = 3c$).

(D) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$
पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1+y^2} x = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ है:
$IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$
व्यापक हल इस प्रकार दिया जाता है:
$x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + k$
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$:
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + k$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर ($\int u dv = uv - \int v du$ जहाँ $u=t, dv=e^t dt$):
$x e^{\tan^{-1} y} = t e^t - e^t + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + k$
$e^{\tan^{-1} y}$ से विभाजित करने पर:
$x = (\tan^{-1} y - 1) + k e^{-\tan^{-1} y}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} = e^{-y} - x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + x = e^{-y}$.
इसकी तुलना मानक रूप $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ से करने पर,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^{-y}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$.
हल $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^y = \int (e^{-y} \cdot e^y) dy + C$.
$x \cdot e^y = \int 1 dy + C$.
$x \cdot e^y = y + C$.
$x = e^{-y}(y + C)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan y$ और $Q = \sec y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ है।
व्यापक हल $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$।
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$।
$x \sec y = \tan y + C$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ है।
दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{x^4 (1-x^2)^{3/2}}{(1+x^5)(1-x^2)} = \frac{x^4 \sqrt{1-x^2}}{1+x^5}$.
यह $\frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $u = 1-x^2$,तब $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(B) दिया गया है,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,जो $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P = -1$ और $Q = y+1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$
$\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
दोनों पक्षों को $e^y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = -(y+2) + ce^y$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
माना $t = \frac{1}{x}$,तब $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
यह $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -1$
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
व्यापक हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(B) दिए गए रैखिक अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को हल करने के लिए।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$.

(C) कथन $A$ के लिए:
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ है।
इसकी तुलना मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ से करने पर,हमें $P(x) = 1$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कथन $A$ सही है।
कथन $R$ के लिए:
रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है।
समाकलन गुणक को $e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,कथन $R$ सही है।
चूंकि कथन $A$ सीधे कथन $R$ में दिए गए सूत्र से प्राप्त होता है,इसलिए $R \Rightarrow A$ सही है।
अतः,दोनों कथन सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ है।
समीकरण को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{x+2y^3}{y^2} = \frac{x}{y^2} + 2y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2}x = 2y$
यहाँ,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(y) dy}$ है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{\frac{1}{y}}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$ प्राप्त होता है।
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$।
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ प्राप्त होता है।
माना $2C = C_1$,अतः $2ye^x = e^{2x} + C_1$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y-3 x^2) d x+x d y=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y d x-3 x^2 d x+x d y=0$.
$y d x$ और $x d y$ पदों को एक साथ लेने पर: $y d x+x d y=3 x^2 d x$.
अवकलन के गुणन नियम के अनुसार,$d(x y) = y d x + x d y$,अतः समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $d(x y) = 3 x^2 d x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(x y) = \int 3 x^2 d x$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $x y = x^3 + C$.
$x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें हल प्राप्त होता है: $y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.
$x^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.
यह $\frac{y}{x}$ का अवकलज है,अतः $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} \right) = \sin x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.
दिया है $y(\pi) = 0$,अतः $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.
इस प्रकार,$y = -x \cos x - x$.
$x = \alpha$ पर चरम मान के लिए,हम $\frac{d y}{d x} = 0$ रखते हैं।
$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.
$x = \alpha$ पर,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.
चूंकि $\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$,इसलिए $\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

(B) लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए दिए गए समीकरण $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) \tan x$
$f^{\prime}(x) + f(x) \tan x = \sin 2x$
यह $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$ है।
अतः,$f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$,जिसका अर्थ है $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$ है।
अब,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$ है।
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$ प्राप्त होता है।
$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$।

(A) दिया गया है,$f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$।
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = f(x)$।
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = k e^{x}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अब,मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$।
$f(0) = k e^{0} = k$ का उपयोग करने पर,हमें $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0 \cdot e^{x} = 0$ है।
इस प्रकार,$f(\log_{e} 5) = 0$।

(A, B, D) माना $f(x)=\cos x$ और $g(x)=\sin x$. $f(x)$ और $g(x)$ का रोंस्कियन (Wronskian) लें।
$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \neq 0$.
चूँकि रोंस्कियन शून्य नहीं है,फलन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। व्यापक हल $y = A \cos x + B \sin x$ है।
$(a)$ $A \cos x + B \sin x$ व्यापक हल है,इसलिए यह सत्य है।
$(b)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) = A(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{A}{\sqrt{2}} \sin x$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है,इसलिए यह सत्य है।
$(c)$ $A \cos x \sin x = \frac{A}{2} \sin(2x)$,जो $A \cos x + B \sin x$ के रूप में नहीं है,इसलिए यह असत्य है।
$(d)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) + B \sin(x - \frac{\pi}{4}) = A(\frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}) + B(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}) = \cos x(\frac{A-B}{\sqrt{2}}) + \sin x(\frac{B-A}{\sqrt{2}})$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है,इसलिए यह सत्य है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है।
अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत के अनुसार,यदि $u(x)$ और $v(x)$ दो स्वतंत्र हल हैं,तो उनका कोई भी रैखिक संयोजन $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ भी एक हल होता है,जहाँ $c_{1}$ और $c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं।
विकल्प $A$ रैखिक संयोजन का एक विशिष्ट मामला है जहाँ $c_{1}=5$ और $c_{2}=8$ है।
विकल्प $B$ को $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जो नए स्वेच्छ अचरों के साथ $u(x)$ और $v(x)$ का एक रैखिक संयोजन है।
अतः,$A$ और $B$ दोनों अवकल समीकरण के हल को दर्शाते हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$.
माना $y^2 = z$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$.
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$.
यह $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2b$ और $Q = 2a \cos x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ है।
हल $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$.
मानक समाकलन $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करते हुए:
$z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$.
$y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$.
$e^{-2bx}$ से गुणा करने पर: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$.
अतः,$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ द्वारा दी गई है।
यह $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
अतः,$y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -2x - 2 + C e^x$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले वक्र के लिए,$0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$.
इस प्रकार,$y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ है।
सहायक समीकरण $25 m^{2}-10 m+1=0$ है।
इसे $(5 m-1)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिससे $m=\frac{1}{5}, \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल वास्तविक और समान हैं,इसलिए सामान्य हल $y=(c_{1}+c_{2} x) e^{x / 5} \quad \dots(i)$ होगा।
$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $(i)$ में $x=0$ रखने पर $1=(c_{1}+0) e^{0} \Rightarrow c_{1}=1$ प्राप्त होता है।
$y(1)=2 e^{1 / 5}$ दिया गया है,इसलिए $(i)$ में $x=1$ और $c_{1}=1$ रखने पर $2 e^{1 / 5}=(1+c_{2}) e^{1 / 5}$ प्राप्त होता है।
$e^{1 / 5}$ से विभाजित करने पर,$2=1+c_{2} \Rightarrow c_{2}=1$ प्राप्त होता है।
अब $c_{1}=1$ और $c_{2}=1$ को $(i)$ में रखने पर,विशिष्ट हल $y=(1+x) e^{x / 5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f'(x)$ और $Q(x) = f(x) f'(x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.
मान लीजिए $t = f(x)$,तब $dt = f'(x) dx$.
$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.
$t = f(x)$ वापस रखने पर,हमें $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,इन सीमाओं को समीकरण में रखने पर:
$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.
$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,हमें $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ है।
$(1+x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)y = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ है।
सामान्य हल $y(IF) = \int Q(x)(IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}\right)(1+x^{2}) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int 4x^{2} dx + C = \frac{4x^{3}}{3} + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = -1$ का उपयोग करते हुए,$x=0$ और $y=-1$ रखने पर:
$-1(1+0^{2}) = \frac{4(0)^{3}}{3} + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$y(1+x^{2}) = \frac{4x^{3}}{3} - 1$.
$x=1$ के लिए,$y(1+1^{2}) = \frac{4(1)^{3}}{3} - 1$.
$2y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$y(1) = \frac{1}{6}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.
समीकरण को $x^{2}(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर,यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}y = \frac{1}{x^{2}}$.
यहाँ,$P = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\int P dx = \int \frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} dx$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.
स्थिरांकों को हल करने पर: $x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.
$x=0$ के लिए,$1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x=1$ के लिए,$2 = 2B \Rightarrow B = 1$.
$x=-1$ के लिए,$2 = 2C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$\int P dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln|\frac{x^{2}-1}{x}|$.
$IF = e^{\ln|\frac{x^{2}-1}{x}|} = \frac{x^{2}-1}{x} = x - \frac{1}{x}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ है।
हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$xy = \int x e^x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)$.
अतः,$xy = e^x(x-1) + C$.
इसे दिए गए रूप $xy = e^x \phi(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\phi(x) = x-1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = -(3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x^3(1 + y^2) - 3x^2(\tan^{-1} y)(1 + y^2)$.
दोनों पक्षों को $(1 + y^2)$ से भाग देने पर: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = x^3 - 3x^2 \tan^{-1} y$.
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} + 3x^2 \tan^{-1} y = x^3$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dx} + 3x^2 t = x^3$.
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3x^2$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ है।
दोनों पक्षों को $(1+x^{2})$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}} y = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
माना $u = \log_{e} x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.
इसलिए,$IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.
हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।
$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.
माना $v = \log_{e} x$,तो $dv = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ हो जाता है।
अतः,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.
जब $x = e$ है तब $y = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.
$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.
$C$ का मान रखने पर,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $\log_{e} x$ से भाग देने या $2$ से गुणा करने पर,$2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$,जो सरल होकर $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ प्राप्त होता है।