यदि अवकल समीकरण $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$ का व्यापक हल $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ है और यह $y(\frac{\pi}{4}) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $C =$

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

एक फलन $y = f(x)$ जो अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x + \frac{\sin^2 x}{x^2} = 0$ को संतुष्ट करता है,इस प्रकार है कि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow 0$ होता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए $f :(0, \infty) \rightarrow R$ एक फलन है जो अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और शर्त $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=4$ है। तो $2 f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना अवकल समीकरण $(\log_e(\cos y))^2 \cos y dx - (1+3x \log_e(\cos y)) \sin y dy = 0$ का हल वक्र $x=x(y), 0 < y < \frac{\pi}{2}$,$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \log_e 2}$ को संतुष्ट करता है। यदि $x(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\log_e m - \log_e n}$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $mn$ का मान $.....$ है।

यदि $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$ है,तो $x^3 y^{-3}$ का मान क्या होगा?