अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

एक फलन $y = f(x)$ जो अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x + \frac{\sin^2 x}{x^2} = 0$ को संतुष्ट करता है,इस प्रकार है कि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow 0$ होता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \neq 0$ है।