Linear differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(y + 2)}{2(y + 2) \ln(y + 2)}$ प्राप्त होता है।
इसे $2(y + 2) \ln(y + 2) \frac{dx}{dy} + x = 2 \ln(y + 2) - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = \ln(y + 2)$,तो $dt = \frac{1}{y + 2} dy$,इसलिए $dy = (y + 2) dt$।
समीकरण $2t \frac{dx}{dt} + x = 2t - 4$,या $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{2t} = 1 - \frac{2}{t}$ बन जाता है।
यह $t$ के सापेक्ष $x$ का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dt}(x \sqrt{t}) = \sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x \sqrt{t} = \int (t^{1/2} - 2t^{-1/2}) dt = \frac{2}{3} t^{3/2} - 4t^{1/2} + C$।
$\sqrt{t}$ से भाग देने पर,$x = \frac{2}{3} t - 4 + \frac{C}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
$t = \ln(y + 2)$ रखने पर,$x = \frac{2}{3} \ln(y + 2) - 4 + \frac{C}{\sqrt{\ln(y + 2)}}$।
दिया गया है कि $x(e^4 - 2) = 1$,इसलिए $y = e^4 - 2$,$t = \ln(e^4) = 4$,$x = 1$।
$1 = \frac{2}{3}(4) - 4 + \frac{C}{\sqrt{4}} \implies 1 = \frac{8}{3} - 4 + \frac{C}{2} \implies 1 = -\frac{4}{3} + \frac{C}{2} \implies \frac{C}{2} = \frac{7}{3} \implies C = \frac{14}{3}$।
अब $x(e^9 - 2)$ ज्ञात करें,इसलिए $y = e^9 - 2$,$t = \ln(e^9) = 9$।
$x = \frac{2}{3}(9) - 4 + \frac{14/3}{\sqrt{9}} = 6 - 4 + \frac{14/3}{3} = 2 + \frac{14}{9} = \frac{32}{9}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।
$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ है।
माना $u = 1 + \cos^2 x$,तो $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ होगा।
अतः,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$।
चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$।
इस प्रकार,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \, dy = -\{2(1-x) \tan x + x(2-x)\} \, dx$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\{2(1-x) \sin x + x(2-x) \cos x\}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \sin x + (x^2-2x) \cos x$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + \int (x^2-2x) \cos x \, dx$.
दूसरे पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int (x^2-2x) \cos x \, dx = (x^2-2x) \sin x - \int (2x-2) \sin x \, dx$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + (x^2-2x) \sin x - \int 2(x-1) \sin x \, dx + C$.
अतः,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + C$.
चूँकि $y(0)=2$ दिया गया है,$2 = (0^2-2(0)) \sin(0) + C$,जिसका अर्थ है $C=2$.
इस प्रकार,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + 2$.
$x=2$ के लिए,$y(2) = (2^2-2(2)) \sin(2) + 2 = (4-4) \sin(2) + 2 = 2$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।
$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.
$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.
चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \sqrt{3}(0) + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$ है।
$x = 1/2$ के लिए,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$ है।
$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$ है।
$y = \frac{65}{32}$ है।
चूँकि $m=65$ और $n=32$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m+n = 65+32 = 97$ है।

(A) $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ है।
$X=0$ के लिए,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.
$Y=0$ के लिए,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.
स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \left| x - \frac{y}{Y^{\prime}(x)} \right| \left| y - x Y^{\prime}(x) \right|$ है।
चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और क्षेत्रफल $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ दिया गया है:
$A = \frac{1}{2} \left( \frac{x Y^{\prime}(x) - y}{Y^{\prime}(x)} \right) (y - x Y^{\prime}(x)) = \frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)} + 1$.
$2 Y^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर:
$-(y - x Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$-y^2 + 2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = 2 Y^{\prime}(x)$.
चूंकि $Y^{\prime}(x) \neq 0$,$Y^{\prime}(x)$ से भाग देने पर:
$2xy - x^2 Y^{\prime}(x) = 2$.
$Y^{\prime}(x) = \frac{2xy - 2}{x^2} = \frac{2y}{x} - \frac{2}{x^2}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x} y = -\frac{2}{x^2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
हल $y \cdot \frac{1}{x^2} = \int \left( -\frac{2}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \right) dx = \int -2 x^{-4} dx = \frac{2}{3} x^{-3} + C$.
$y = \frac{2}{3x} + C x^2$.
$Y(1)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
अतः,$Y(x) = \frac{2}{3x} + \frac{x^2}{3}$.
$Y(2) = \frac{2}{3(2)} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.
$12 Y(2) = 12 \times \frac{5}{3} = 20$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{\tan x+y}{\sin x(\sec x-\sin x \tan x)}$ है।
हर का सरलीकरण: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{\cos^2 x}{\cos x}) = \sin x \cos x$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan x + y}{\sin x \cos x} = \frac{\tan x}{\sin x \cos x} + \frac{y}{\sin x \cos x} = \sec^2 x + y(2 \csc 2x)$.
यह $\frac{d y}{d x} - (2 \csc 2x)y = \sec^2 x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \csc 2x dx} = e^{-\ln|\tan x|} = \frac{1}{\tan x}$ (चूंकि $x \in (0, \pi/2)$)।
सामान्य हल $y \cdot \frac{1}{\tan x} = \int \sec^2 x \cdot \frac{1}{\tan x} dx + c$ है।
मान लीजिए $\tan x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$. अतः,$y \cot x = \int \frac{1}{t} dt + c = \ln|t| + c = \ln(\tan x) + c$.
इस प्रकार,$y = \tan x (\ln(\tan x) + c)$.
चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = 2$ दिया गया है,तो $2 = \tan(\frac{\pi}{4})(\ln(\tan(\frac{\pi}{4})) + c) = 1(0 + c)$,इसलिए $c = 2$.
हल $y = \tan x (\ln(\tan x) + 2)$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})(\ln(\tan(\frac{\pi}{3})) + 2) = \sqrt{3}(\ln \sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \log_e \sqrt{3})$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$.
$dy$ से भाग देने पर: $\sec^2 x \frac{dx}{dy} + e^{2y} \tan^2 x + \tan x = 0$.
माना $t = \tan x$,तो $\frac{dt}{dy} = \sec^2 x \frac{dx}{dy}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dy} + t = -e^{2y} t^2$.
$t^2$ से भाग देने पर: $t^{-2} \frac{dt}{dy} + t^{-1} = -e^{2y}$.
माना $u = t^{-1} = \frac{1}{\tan x}$,तो $\frac{du}{dy} = -t^{-2} \frac{dt}{dy}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $-\frac{du}{dy} + u = -e^{2y}$,या $\frac{du}{dy} - u = e^{2y}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल: $u e^{-y} = \int e^{2y} e^{-y} dy = \int e^y dy = e^y + C$.
अतः,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y + C$.
चूँकि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ दिया गया है,$\frac{1}{\tan(\pi/4)} e^0 = e^0 + C \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y \Rightarrow e^{2y} = \frac{1}{\tan x} = \cot x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$e^{2\alpha} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
अतः,$e^{8\alpha} = (e^{2\alpha})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$.
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$.
$\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$.
$t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$.
प्रारंभिक शर्त $x(0) = 2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$.
अतः,हल $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ है।
$t=1$ के लिए:
$x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-\alpha x}] = 3 e^{-\alpha x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) e^{-\alpha x} = \int 3 e^{-\alpha x} dx = -\frac{3}{\alpha} e^{-\alpha x} + C$.
अतः,$f(x) = -\frac{3}{\alpha} + C e^{\alpha x}$ है।
दिया गया है $f(0) = 2$,इसलिए $2 = -\frac{3}{\alpha} + C$,जिसका अर्थ है $C = 2 + \frac{3}{\alpha}$।
दिया गया है $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1$।
यदि $\alpha > 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow -\frac{3}{\alpha} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = -3$। यह $\alpha > 0$ के साथ विरोधाभास है।
यदि $\alpha < 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow \infty$। सीमा $1$ होने के लिए,$e^{\alpha x}$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
इसलिए $C = 0$,जिसका अर्थ है $2 + \frac{3}{\alpha} = 0$,अर्थात $\alpha = -\frac{3}{2}$।
तब $f(x) = -\frac{3}{-3/2} = 2$। चूँकि $f(x) = 2$ एक अचर फलन है,इसलिए $f'(x) = 0$। समीकरण $f'(x) = \alpha f(x) + 3$ में मान रखने पर $0 = (-3/2)(2) + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो संगत है।
अतः सभी $x$ के लिए $f(x) = 2$ है।
इसलिए,$f(-\log_e 2) = 2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1-y^2}{y}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1}{y^2} - 1\right) dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{y} - y + C$.
$y$ से गुणा करने पर: $x = -1 - y^2 + Cy$.
शर्त $x(1) = 1$ दी गई है,इसलिए $y=1$ और $x=1$ रखने पर: $1 = -1 - (1)^2 + C(1) \Rightarrow 1 = -2 + C \Rightarrow C = 3$.
अतः,विशिष्ट हल $x = -1 - y^2 + 3y$ है।
$5x(2)$ ज्ञात करने के लिए,$y=2$ रखने पर: $x(2) = -1 - (2)^2 + 3(2) = -1 - 4 + 6 = 1$.
इसलिए,$5x(2) = 5(1) = 5$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}(1 + 4 \sin x)$,जो $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} + 4 e^{-x} \sin x$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-x} = \int e^{-x} dx + 4 \int e^{-x} \sin x dx$.
सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर,$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x} - 2e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.
$e^{-x}$ से भाग देने पर,$y = -1 - 2(\sin x + \cos x) + C e^x$ प्राप्त होता है।
$y(\pi) = 1$ दिया गया है: $1 = -1 - 2(\sin \pi + \cos \pi) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = -1 - 2(0 - 1) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = 1 + C e^{\pi} \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(x) = -1 - 2(\sin x + \cos x)$.
अब $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) = -1 - 2(1 + 0) = -3$.
अंत में,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = -3 + 10 = 7$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^2+4)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2+4)y = 2$ प्राप्त होता है।
$(x^2+4)^2$ से भाग देने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+4}y = \frac{2}{(x^2+4)^2}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{2x}{x^2+4} dx} = e^{\ln(x^2+4)} = x^2+4$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [y(x^2+4)] = \frac{2}{x^2+4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y(x^2+4) = \int \frac{2}{x^2+2^2} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C = \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0(0+4) = \tan^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C=0$ है।
अतः,$y(x^2+4) = \tan^{-1}(\frac{x}{2})$।
$x=2$ पर,$y(2^2+4) = \tan^{-1}(\frac{2}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$y(8) = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{\pi}{32}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2$ और $Q=\sin(2x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{2x} = \int e^{2x} \sin(2x) dx + C$.
सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर:
$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2^2+2^2} (2 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C$.
चूंकि $y(0) = \frac{3}{4}$ दिया गया है,$x=0$ और $y=\frac{3}{4}$ रखने पर:
$\frac{3}{4} \cdot e^0 = \frac{e^0}{4} (\sin(0) - \cos(0)) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (0 - 1) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + 1$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{1}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = \frac{\pi}{8}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) + e^{-2(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + e^{-\pi/4} = 0 + e^{-\pi/4} = e^{-\pi/4}$.

(B) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x)-x^2 f'(t)}{1}=1$
$2x f(x)-x^2 f'(x)=1$
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$।
हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx + C = \int -x^{-4} dx + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है।
$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$।
$f(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{3} + C$,जिससे $C = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3} = \frac{1+2x^3}{3x}$।
$f(2) = \frac{1+2(8)}{3(2)} = \frac{17}{6}$।
$f(3) = \frac{1+2(27)}{3(3)} = \frac{55}{9}$।
$2f(2) + 3f(3) = 2(\frac{17}{6}) + 3(\frac{55}{9}) = \frac{17}{3} + \frac{55}{3} = \frac{72}{3} = 24$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ है।
$(1+x^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx$.
मान लीजिए $\tan^{-1} x = z$,तो $\frac{1}{1+x^2} dx = dz$.
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2z} dz = \frac{e^{2z}}{2} + C = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{\tan^{-1}(1)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(1)}}{2} + C \Rightarrow 0 = \frac{e^{\pi/2}}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{e^{\pi/2}}{2}$.
अतः,$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
$x=0$ के लिए,$y \cdot e^{\tan^{-1}(0)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(0)}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2} \Rightarrow y \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
इसलिए,$y(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{\pi/2})$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$ है।
$(2x \ln x)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{3}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \ln x}$ और $Q = \frac{3}{2x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \ln x = \int \frac{3}{2x^2} \ln x dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \ln x \cdot (\frac{3}{2} x^{-2}) dx = \ln x \cdot (-\frac{3}{2x}) - \int \frac{1}{x} (-\frac{3}{2x}) dx = -\frac{3 \ln x}{2x} + \frac{3}{2} \int x^{-2} dx = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} + C$.
दिया है कि $y(e^{-1}) = 0$,इसलिए $0 \cdot \ln(e^{-1}) = -\frac{3 \ln(e^{-1})}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C$.
$0 = -\frac{3(-1)}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C \Rightarrow 0 = \frac{3e}{2} - \frac{3e}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y \ln x = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} \Rightarrow y = -\frac{3}{2x} - \frac{3}{2x \ln x}$.
$x = e$ पर,$y(e) = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e \ln e} = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e} = -\frac{6}{2e} = -\frac{3}{e}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$.
दोनों पक्षों को $\cos y$ से विभाजित करने पर (या $\sec y$ से गुणा करने पर):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} + 2x \tan y = x^3$.
माना $t = \tan y$,तब $\frac{dt}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx} + 2xt = x^3$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$.
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(t e^{x^2}) = x^3 e^{x^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2} dx + C$.
माना $u = x^2$,तब $du = 2x dx$,इसलिए $\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int u e^u du = \frac{1}{2} (u e^u - e^u) + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
अतः,$\tan y \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
दिया गया है कि $y(1) = 0$,इसलिए $\tan(0) \cdot e^1 = \frac{1}{2} e^1 (1 - 1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,$\tan y = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$.
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$\tan y = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 - 1) = \frac{1}{2} (3 - 1) = 1$.
चूँकि $\tan y = 1$,इसलिए $y = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y = \alpha$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-3x}) = \alpha e^{-3x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-3x} = \int \alpha e^{-3x} dx = \frac{\alpha e^{-3x}}{-3} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\frac{\alpha}{3} + C e^{3x}$ है।
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 7$,जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$e^{3x} \rightarrow 0$ होता है। इसलिए,$7 = -\frac{\alpha}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = -21$ है।
$\alpha = -21$ को समीकरण में रखने पर,$y = 7 + C e^{3x}$ प्राप्त होता है।
$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 7 + C$,इसलिए $C = -6$ है।
अतः,$f(x) = 7 - 6 e^{3x}$ है।
अब,$f(-\log_e 3) = 7 - 6 e^{3(-\log_e 3)} = 7 - 6 e^{\log_e(3^{-3})} = 7 - 6(3^{-3}) = 7 - 6(\frac{1}{27}) = 7 - \frac{6}{27} = 7 - \frac{2}{9} = \frac{63-2}{9} = \frac{61}{9}$ है।
इसलिए,$9 f(-\log_e 3) = 9 \times \frac{61}{9} = 61$।

(A) दी गई सीमा $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है।
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t=x$ रखने पर,हमें $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$ है।
चूंकि $f(1) = 1$ दिया गया है,हमारे पास $1 = \frac{1}{3} + C$ है,जिसका अर्थ है $C = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$ है।

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ है।
समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(x f(x)) = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x f(x) = x^2 + c$,जो सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f(x) = x + \frac{c}{x}$ देता है।
दिया गया है कि $f(1) \neq 1$,इसलिए $1 + c \neq 1$,अर्थात $c \neq 0$.
अब,$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{c}{x^2}$.
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 - c x^2) = 1$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} x \left(\frac{1}{x} + cx\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 + cx^2) = 1 \neq 2$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} x^2 f^{\prime}(x) = \lim _{x \rightarrow 0+} x^2 (1 - \frac{c}{x^2}) = \lim _{x \rightarrow 0+} (x^2 - c) = -c \neq 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 f(x) = x f'(x) - x^2 \implies x f'(x) - 2 f(x) = x^2$.
$x$ से भाग देने पर $(x \geq 1)$:
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है:
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int x \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$.
अतः,$f(x) = x^2 \ln x + C x^2$.
शर्त $f(1) = \frac{1}{3}$ का उपयोग करने पर:
$f(1) = 1^2 \ln(1) + C(1)^2 = \frac{1}{3} \implies 0 + C = \frac{1}{3} \implies C = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$f(x) = x^2 \ln x + \frac{x^2}{3}$.
$f(e)$ की गणना करने पर:
$f(e) = e^2 \ln(e) + \frac{e^2}{3} = e^2(1) + \frac{e^2}{3} = \frac{3e^2 + e^2}{3} = \frac{4e^2}{3}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ है।
$(x^2-5)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2-5}$ और $Q(x) = -2x(x^2-5)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{2x}{x^2-5} dx} = e^{-\ln|x^2-5|} = \frac{1}{x^2-5}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y \cdot \frac{1}{x^2-5} = \int -2x(x^2-5) \cdot \frac{1}{x^2-5} dx + c$.
$\frac{y}{x^2-5} = \int -2x dx + c = -x^2 + c$.
चूँकि $y(2) = 7$ दिया गया है,हमें $\frac{7}{2^2-5} = -2^2 + c \Rightarrow \frac{7}{-1} = -4 + c \Rightarrow c = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{x^2-5} = -x^2 - 3$,जिसका अर्थ है $y = -(x^2-5)(x^2+3) = -x^4 + 2x^2 + 15$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $t = x^2$ जहाँ $t \ge 0$ है। तो $y = -t^2 + 2t + 15$.
यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ पर है।
चूँकि $t=1$ डोमेन $t \ge 0$ में है,अधिकतम मान $y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$ है।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x) - 2f(x) > 0$.
समाकलन गुणक $e^{-2x}$ से गुणा करने पर:
$e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) > 0$.
यह $\frac{d}{dx}(f(x) e^{-2x}) > 0$ के बराबर है।
मान लीजिए $g(x) = f(x) e^{-2x}$ है। चूँकि $g^{\prime}(x) > 0$,इसलिए $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
$x > 0$ के लिए,$g(x) > g(0)$ है।
चूँकि $g(0) = f(0) e^0 = 1 \cdot 1 = 1$,इसलिए हमें $f(x) e^{-2x} > 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x > 0$ के लिए $f(x) > e^{2x}$ है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $f(x) > e^{2x} > 0$ और $f^{\prime}(x) > 2f(x)$ है,इसलिए $f^{\prime}(x) > 2e^{2x} > 0$ है।
चूँकि $f^{\prime}(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है।
अतः,$A$ और $C$ सही हैं।

(C) बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$y$-अंतःखंड प्राप्त करने के लिए,$X = 0$ रखने पर,हमें $Y = y - x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड भुज के घन के बराबर है,इसलिए $y - x \frac{dy}{dx} = x^3$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $x \frac{dy}{dx} - y = -x^3$,या $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -x^2$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -x^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y \cdot \frac{1}{x} = \int (-x^2) \cdot \frac{1}{x} dx = \int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C$ है।
अतः,$f(x) = -\frac{x^3}{2} + Cx$ है।
चूँकि $f(1) = 1$ दिया गया है,हमारे पास $1 = -\frac{1}{2} + C$ है,जिसका अर्थ है $C = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$f(x) = -\frac{x^3}{2} + \frac{3}{2}x$ है।
$f(-3) = -\frac{(-3)^3}{2} + \frac{3}{2}(-3) = -\frac{-27}{2} - \frac{9}{2} = \frac{18}{2} = 9$ है।

(A) दिया गया समीकरण $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ है।
न्यूटन-लीबनिज प्रमेय का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$6 f(x) = 3 f(x) + 3x f'(x) - 3x^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x f'(x) = 3 f(x) + 3x^2 \Rightarrow x f'(x) - f(x) = x^2$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए):
$\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} = 1 \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x} = x + C$.
$f(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ रखने पर:
$\frac{f(1)}{1} = 1 + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = x^2 + x$.
$f(2)$ का मान:
$f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g^{\prime}(x)$ और $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int g^{\prime}(x) dx} = e^{g(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot e^{g(x)} = \int Q(x) e^{g(x)} dx + C = \int g(x) g^{\prime}(x) e^{g(x)} dx + C$ है।
मान लीजिए $u = g(x)$,तो $du = g^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u = e^{g(x)}(g(x) - 1)$ बन जाता है।
अतः,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$ है।
दिया गया है $y(0) = 0$ और $g(0) = 0$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$।
इस प्रकार,हल $y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + 1$ है।
$y(2)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 2$ और $g(2) = 0$ रखने पर: $y(2) e^0 = e^0(0 - 1) + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2x \sec x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 2x \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \cos x$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 2x \sec x \cdot \cos x = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \cos x = x^2 + C$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(0) = 0$,इसलिए $0 = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$ है।
अतः,$y = x^2 \sec x$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $y(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 \sec(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$। यह सत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $y'(x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ है।
$y'(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3}) \sec(\frac{\pi}{3}) + (\frac{\pi}{3})^2 \sec(\frac{\pi}{3}) \tan(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3})(2) + \frac{\pi^2}{9}(2)(\sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$। यह सत्य है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ और $f(0)=1$ है।
दिए गए समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)f(0)$
$f(0)=2f(0)f^{\prime}(0)$
चूँकि $f(0)=1$,इसलिए $1=2(1)f^{\prime}(0)$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ है।
अब,मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$f(x+0)=f(x)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x)f(0)$
$f(x)=f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$
$f^{\prime}(x) = f(x) - \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}f(x)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$
$\ln(f(x)) = \frac{x}{2} + C$।
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = 0 + C$ प्राप्त होता है,इसलिए $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{x/2}$ है।
अंत में,हम $\log _e(f(4))$ की गणना करते हैं:
$f(4) = e^{4/2} = e^2$।
$\log _e(f(4)) = \log _e(e^2) = 2$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \alpha$ और $Q(x) = x e^{\beta x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \alpha dx} = e^{\alpha x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x e^{(\alpha+\beta)x}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $\alpha + \beta = 0$,तो $\beta = -\alpha$ है। समीकरण $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x$ बन जाता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{\alpha x} = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1 \cdot e^{\alpha} = \frac{1}{2} + C$ मिलता है,इसलिए $C = e^{\alpha} - \frac{1}{2}$ है। अतः,$y = \frac{x^2}{2} e^{-\alpha x} + (e^{\alpha} - \frac{1}{2}) e^{-\alpha x}$। $\alpha = 1$ के लिए,$y = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (e - \frac{1}{2}) e^{-x}$,जो विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
स्थिति $II$: यदि $\alpha + \beta \neq 0$,तो $\int x e^{(\alpha+\beta)x} dx$ का खंडशः समाकलन करने पर $\frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ प्राप्त होता है। अतः,$y e^{\alpha x} = \frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$C = e^{\alpha} - \frac{e^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{e^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)^2}$ प्राप्त होता है। $\alpha = -1, \beta = 2$ के लिए,हमारे पास $\alpha+\beta = 1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर विकल्प $(C)$ का रूप प्राप्त होता है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों $S$ से संबंधित हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।
व्यापक हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + c = \int (x^4+2x) dx + c = \frac{x^5}{5} + x^2 + c$ है।
चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot 1 = 0 + 0 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^5/5 + x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
हमें $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $f(x) = \frac{x^5/5}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है,पहला पद एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।
माना $x = \sin \theta$,तब $dx = \cos \theta d\theta$ है। जब $x=0, \theta=0$; जब $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \theta=\frac{\pi}{3}$ है।
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) d\theta$ है।
$I = [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ है। $(1+e^x)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{e^x}{1+e^x} y = \frac{1}{1+e^x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{e^x}{1+e^x} dx} = e^{\ln(1+e^x)} = 1+e^x$ है।
हल $y(1+e^x) = \int 1 dx = x+c$ है।
$y(0)=2$ दिया गया है,इसलिए $2(1+e^0) = 0+c \Rightarrow c=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = \frac{x+4}{1+e^x}$ है।
$(A)$ के लिए,$y(-4) = \frac{-4+4}{1+e^{-4}} = 0$ है। अतः $(A)$ सत्य है।
$(B)$ के लिए,$y(-2) = \frac{-2+4}{1+e^{-2}} = \frac{2}{1+e^{-2}} \neq 0$ है। अतः $(B)$ असत्य है।
$(C)$ और $(D)$ के लिए,$y^{\prime}(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^{\prime}(x) = \frac{(1+e^x) - (x+4)e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{1-e^x(x+3)}{(1+e^x)^2}$ है।
मान लीजिए $g(x) = 1-e^x(x+3)$ है।
$g(0) = 1-e^0(3) = -2$ है।
$g(-1) = 1-e^{-1}(2) = 1-\frac{2}{e} > 0$ है।
चूंकि $g(x)$ सतत है और $g(-1) > 0$ तथा $g(0) < 0$ है,इसलिए $(-1, 0)$ के बीच एक मूल विद्यमान है।
अतः,$y(x)$ का $(-1, 0)$ में एक क्रांतिक बिंदु है। इसलिए $(C)$ सत्य है।
सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 12$ और $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) dx + C$ है।
सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ का उपयोग करने पर:
$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C$.
सरल करने पर,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C e^{-12x}$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$ है,इसलिए $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.
अतः,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right) - 12 e^{-12x}\right)$.
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$e^{-12x} \to 0$,इसलिए $y(x)$ एक आवर्ती फलन $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phi\right)$ की ओर अग्रसर होता है।
चूँकि $y(x)$ एक आवर्ती फलन की ओर अग्रसर होता है,इसलिए इस आवर्ती फलन के परिसर में स्थित किसी मान $\beta$ के लिए,रेखा $y = \beta$ वक्र $y = y(x)$ को अनंत बिंदुओं पर काटेगी। अतः,कथन $C$ $TRUE$ है।

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{10 t^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(t)}{9 t^8}=1$
$\Rightarrow \frac{10 x^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(x)}{9 x^8}=1$
$\Rightarrow 10 x f(x)-x^2 f^{\prime}(x)=9$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)-\frac{10}{x} f(x)=-\frac{9}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{10}{x}$ और $Q(x) = -\frac{9}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-10 \ln x} = x^{-10} = \frac{1}{x^{10}}$.
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$\frac{f(x)}{x^{10}} = \int -\frac{9}{x^2} \cdot \frac{1}{x^{10}} dx = -9 \int x^{-12} dx = -9 \left( \frac{x^{-11}}{-11} \right) + C = \frac{9}{11 x^{11}} + C$.
चूंकि $f(1)=2$,हमारे पास $\frac{2}{1} = \frac{9}{11} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{9}{11} = \frac{13}{11}$ है।
अतः,$f(x) = x^{10} \left( \frac{9}{11 x^{11}} + \frac{13}{11} \right) = \frac{9}{11 x} + \frac{13}{11} x^{10}$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int y^{-2} dy} = e^{-1/y}$ है।
हल $x \cdot e^{-1/y} = \int Q(y) \cdot e^{-1/y} dy + C$ है।
माना $t = -1/y$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$।
$x \cdot e^{-1/y} = \int (-t) e^t dt + C = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$।
$t = -1/y$ रखने पर,$x \cdot e^{-1/y} = e^{-1/y}(1 + \frac{1}{y}) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x(1) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C$,इसलिए $e^{-1} = 2e^{-1} + C$,जिसका अर्थ है $C = -e^{-1}$।
अतः,$x = 1 + \frac{1}{y} - e^{1/y} \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{y} - e^{(1/y) - 1}$।
$y = 1/2$ के लिए,$x = 1 + \frac{1}{1/2} - e^{(1/(1/2)) - 1} = 1 + 2 - e^{2-1} = 3 - e$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}-x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ है।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy = \int \frac{2 e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy$.
माना $t = \tan ^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int 2 e^{2t} dt = e^{2t} + C = e^{2 \tan ^{-1} y} + C$.
दिया गया है कि $f(0)=1$,अर्थात $y=0$ पर $x=1$:
$1 \cdot e^{\tan ^{-1} 0} = e^{2 \tan ^{-1} 0} + C \implies 1 \cdot 1 = 1 + C \implies C = 0$.
अतः,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} \implies x = e^{\tan ^{-1} y}$.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$x = e^{\tan ^{-1}(1/\sqrt{3})} = e^{\pi / 6}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ (चूंकि $-1 < x < 1$,इसलिए $x^2-1 < 0$,अतः $|x^2-1| = 1-x^2$)।
हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^6+4x) dx = \frac{x^7}{7} + 2x^2 + C$ है।
$f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C \Rightarrow C=0$।
अतः,$f(x) = \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$।
हमें $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{x^7/7}{\sqrt{1-x^2}}$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1/2, 1/2]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,व्यंजक $6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 24 \int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ बन जाता है।
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $dx = \cos \theta d\theta$। जब $x=0, \theta=0$; जब $x=1/2, \theta=\pi/6$।
समाकलन = $24 \int_0^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \sin^2 \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = 12 [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/6} = 12(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2\pi - 3\sqrt{3}$।
$2\pi - \alpha$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}y = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{x}{1+x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y\sqrt{1+x^2} = \int \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int 5x^2 dx = \frac{5x^3}{3} + C$.
$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0\sqrt{1+0} = \frac{5(0)^3}{3} + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{5x^3}{3\sqrt{1+x^2}}$.
$x=\sqrt{3}$ के लिए,$y(\sqrt{3}) = \frac{5(\sqrt{3})^3}{3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}} = \frac{5(3\sqrt{3})}{3\sqrt{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{3(2)} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$.
$x=0$ पर,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \frac{3}{2}$.
लेबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4(x+2) f(x) + 2(x+2)^2 f'(x) - 6(x+2) = 10(x+2) f(x)$.
$2(x+2)$ से विभाजित करने पर:
$2 f(x) + (x+2) f'(x) - 3 = 5 f(x)$.
$(x+2) f'(x) - 3 f(x) = 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{df}{dx} - \frac{3}{x+2} f = \frac{3}{x+2}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{3}{x+2} dx} = (x+2)^{-3}$.
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) (x+2)^{-3}] = 3(x+2)^{-4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) (x+2)^{-3} = -(x+2)^{-3} + C$.
$f(x) = -1 + C(x+2)^3$.
$f(0) = \frac{3}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{3}{2} = -1 + 8C \implies C = \frac{5}{16}$.
अतः,$f(x) = \frac{5}{16}(x+2)^3 - 1$.
$f(2) = \frac{5}{16}(4)^3 - 1 = 20 - 1 = 19$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x) = 3$.
दोनों पक्षों को $x^4$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$\frac{x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x)}{x^4} = \frac{3}{x^4}$
इसे भागफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x^2} \right) = 3 x^{-4}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x^2} = \int 3 x^{-4} dx = 3 \left( \frac{x^{-3}}{-3} \right) + C = -\frac{1}{x^3} + C$
$x^2$ से गुणा करने पर:
$f(x) = -\frac{1}{x} + C x^2$
चूँकि $f(1) = 4$ दिया गया है,$x=1$ रखने पर:
$4 = -\frac{1}{1} + C(1)^2 \Rightarrow 4 = -1 + C \Rightarrow C = 5$.
अतः,$f(x) = 5x^2 - \frac{1}{x}$.
अब,$2f(2)$ की गणना करने पर:
$f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} = 20 - 0.5 = 19.5$.
$2f(2) = 2 \times 19.5 = 39$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$ है।
$2 \cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} - \frac{4y \sin x}{2 \cos x} = \sin x - 2y \tan x$।
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x$।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर: $y \sec^2 x = \int \sin x \sec^2 x \, dx = \int \tan x \sec x \, dx = \sec x + C$।
चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$।
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
अब,$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$।
आगे,$y^{\prime}(x) = -\sin x - 4 \cos x(-\sin x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x = -\sin x + 2 \sin 2x$।
$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$।
अंत में,$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) + y(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + 2) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ है।
$\sqrt{4-x^2}$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ और $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$ है।
माना $u = \sin^{-1}(x/2)$,तो $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$ है।
माना $t = u^2/2$,तो $dt = u du$ है। समाकलन $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ होता है।
मान रखने पर,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$ प्राप्त होता है।
$y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ और $u = \pi/2$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$ है।
$x=0$ के लिए,$y(0) = -2$ है।
अतः,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ है।
$dx \cdot \cos x(\ln(\cos x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)} y = -\frac{\tan x}{(\ln(\cos x))^2}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = (\ln(\cos x))^3$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y(\ln(\cos x))^3 = -\int \tan x \ln(\cos x) dx + C$।
$v = \ln(\cos x)$ लेने पर,$dv = -\tan x dx$ प्राप्त होता है।
$y(\ln(\cos x))^3 = \frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C$।
$y(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\ln 2}$ दिया गया है,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{1}{2 \ln(\cos x)}$।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\ln 3 - \ln 4}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\tan x$ और $Q=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = \sec x$ है।
सामान्य हल $y \sec x = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \sec x = \int \frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2} \sec x dx = \int \frac{2\cos x+1}{(\cos x+2)^2} dx$ है।
$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $t = \tan(x/2)$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2dt}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
$y \sec x = \int \frac{3-t^2}{(t^2+3)^2} 2dt = \frac{2t}{t^2+3} + C$ है।
$f(\pi/3) = \sqrt{3}/10$ दिया गया है,अतः $x=\pi/3$ के लिए $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ है।
$(\sqrt{3}/10) \cdot 2 = \frac{2(1/\sqrt{3})}{1/3+3} + C \implies C=0$ प्राप्त होता है।
अतः $y \sec x = \frac{2t}{t^2+3}$ है। $x=\pi/4$ के लिए $t = \tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$ है।
$y \cdot \sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2+3} = \frac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{2}}$ है।
$y = \frac{4-\sqrt{2}}{14}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $10 \int_1^x f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$10 f(x) = 5 f(x) + 5x f'(x) - 5x^4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$5 f(x) + 5x^4 = 5x f'(x)$
$f'(x) - \frac{1}{x} f(x) = x^3$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^3$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{x} f'(x) - \frac{1}{x^2} f(x) = x^2$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x} = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=1$ रखने पर: $10 \int_1^1 f(t) dt = 5(1)f(1) - 1^5 - 9 \Rightarrow 0 = 5f(1) - 10 \Rightarrow f(1) = 2$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^3}{3} + C$ में $x=1$ रखने पर:
$\frac{2}{1} = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{x^4}{3} + \frac{5x}{3}$.
$x=3$ के लिए: $f(3) = \frac{3^4}{3} + \frac{5(3)}{3} = \frac{81}{3} + 5 = 27 + 5 = 32$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 \sec^2 x$ और $Q(x) = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int 2 \sec^2 x dx} = e^{2 \tan x}$ है।
हल $y \cdot e^{2 \tan x} = \int (2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x) e^{2 \tan x} dx$ है।
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (2 + 3u) e^{2u} du$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (2 + 3u) e^{2u} du = (2 + 3u) \frac{e^{2u}}{2} - \int 3 \frac{e^{2u}}{2} du = (1 + \frac{3}{2}u) e^{2u} - \frac{3}{4} e^{2u} + C = (\frac{3}{2}u + \frac{1}{4}) e^{2u} + C$ है।
अतः,$y \cdot e^{2 \tan x} = (\frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4}) e^{2 \tan x} + C$ है।
$e^{2 \tan x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + C e^{-2 \tan x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = \frac{5}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{5}{4} = 0 + \frac{1}{4} + C \implies C = 1$ है।
इस प्रकार,$y(x) = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + e^{-2 \tan x}$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4} + e^{-2} = \frac{7}{4} + e^{-2}$ है।
इसलिए,$12(y(\frac{\pi}{4}) - e^{-2}) = 12(\frac{7}{4}) = 21$ है।

(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g(x) = 1 - xg(x)$।
अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिससे $g(x) = \frac{1}{1+x}$ प्राप्त होता है।
अब $g(x)$ का मान अवकल समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x \cdot \frac{1}{1+x} = 2 \sec x$।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\tan x dx} = \cos x$ है।
समीकरण का हल $y \cos x = \int 2 \sec x \cdot \cos x dx + C = \int 2 dx + C = 2x + C$ है।
$y(0) = 0$ होने के कारण,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $y = 2x \sec x$।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{3}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ है।
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\sec^2 x)y = \sec^2 x$ में सरल हो जाता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3\sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3\sec^2 x dx} = e^{3\tan x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{3\tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3\tan x} dx + C$.
मान लीजिए $u = 3\tan x$,तो $du = 3\sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3\tan x} = \int e^u \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + C$.
दिया है $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$,$x=0$ पर $\tan(0)=0$,इसलिए $y(0) \cdot e^0 = \frac{1}{3}e^0 + C \Rightarrow \frac{1}{3} + e^3 = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = e^3$.
अतः,$y \cdot e^{3\tan x} = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + e^3$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot e^3 = \frac{1}{3}e^3 + e^3 = \frac{4}{3}e^3$.
इसलिए,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{4}{3}$.

(B) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$।
लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) = -2 + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt + e^x (e^{-x} f(x)) = -2 + (f(x) - (1 - 2x)) + f(x) = 2f(x) + 2x - 3$।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 2y = 2x - 3$।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2x - 3) e^{-2x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-2x} = \int (2x - 3) e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$।
$y = -\frac{2x-3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + 1 + C e^{2x}$।
चूंकि $f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$,हमारे पास $1 = -0 + 1 + C e^0 \Rightarrow C = 0$ है।
अतः,$f(x) = 1 - x$।
$y = 1 - x$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0,0), (1,0), (0,1)$ हैं।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(7 x^4 \cot y-e^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{d x}{d y}=x^5$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} = \frac{7 \cot y}{x} - \frac{e^x \operatorname{cosec} y}{x^5}$.
$\sin y$ से गुणा करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} - \frac{7 \cos y}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$.
माना $t = \cos y$,तो $\frac{d t}{d x} = -\sin y \frac{d y}{d x}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{d t}{d x} - \frac{7 t}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$,अर्थात $\frac{d t}{d x} + \frac{7 t}{x} = \frac{e^x}{x^5}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = x^7$ है।
हल: $t \cdot x^7 = \int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.
$x=1, y=\frac{\pi}{2}$ रखने पर,$0 = e + C \implies C = -e$.
अतः,$\cos y = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2) - e}{x^7}$.
$x=2$ के लिए,$\cos y = \frac{e^2(4 - 4 + 2) - e}{128} = \frac{2e^2 - e}{128}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0$ है।
इसे रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$x(x^2 + e^x) \frac{dy}{dx} + e^x(x-2)y = x^3$
$\frac{dy}{dx} + \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} y = \frac{x^2}{x^2 + e^x}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} dx}$.
मान लीजिए $u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$. तब $du = \frac{x^2 e^x - e^x(2x)}{x^4} dx = \frac{e^x(x-2)}{x^3} dx$.
अतः,$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{u} du} = u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int \frac{x^2}{x^2 + e^x} \cdot (\frac{x^2 + e^x}{x^2}) dx + C$.
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int 1 dx + C = x + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0(1 + e) = 1 + C$,जिससे $C = -1$.
अतः,$y = \frac{x-1}{1 + \frac{e^x}{x^2}}$.
$x = 2$ के लिए,$y(2) = \frac{2-1}{1 + \frac{e^2}{4}} = \frac{1}{\frac{4+e^2}{4}} = \frac{4}{4+e^2}$.