Linear differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ है।
$(x^2+1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ और $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$।
अब,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$।
चूंकि $x^2 \sin x$ और $\sin x$ विषम फलन हैं,$[-3, 3]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$।

(C) दिया गया है $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$।
सबसे पहले,$g(f(f(x)))$ ज्ञात करें:
$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$.
$g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$.
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\sqrt{x}} = e^{-2 \sqrt{x}} \cdot e^{x-2} = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है।
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ और $Q(x) = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$ है।
हल $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int e^{x-2 \sqrt{x}-2} \cdot e^{2 \sqrt{x}} dx + C = \int e^{x-2} dx + C = e^{x-2} + C$.
$y(0)=0$ का उपयोग करने पर: $0 \cdot e^0 = e^{0-2} + C \implies 0 = e^{-2} + C \implies C = -e^{-2}$.
अतः,$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = e^{x-2} - e^{-2}$.
$x=1$ पर: $y \cdot e^2 = e^{1-2} - e^{-2} = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} = \frac{e-1}{e^2}$.
इसलिए,$y(1) = \frac{e-1}{e^4}$.

(A) दिए गए अवकल समीकरणों के लिए:
$1) \frac{dy_1}{y_1} = \sin^2 x dx \implies \ln y_1 = \int \sin^2 x dx + C_1$
$2) \frac{dy_2}{y_2} = \cos^2 x dx \implies \ln y_2 = \int \cos^2 x dx + C_2$
$3) \frac{dy_3}{y_3} = \left(\frac{2}{x^3} - 1\right) dx \implies \ln y_3 = \int (2x^{-3} - 1) dx + C_3 = -x^{-2} - x + C_3$
समीकरणों को जोड़ने पर: $\ln(y_1 y_2 y_3) = \int (\sin^2 x + \cos^2 x + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int (1 + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int \frac{2}{x^3} dx + C = -x^{-2} + C$.
$x=1$ पर प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर: $\ln(5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5e}) = \ln(e^{-1}) = -1$.
अतः,$-1 = -(1)^{-2} + C \implies C = 0$.
इस प्रकार,$y_1 y_2 y_3 = e^{-1/x^2}$.
अब,$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2} + 2x}{e^{3x} \sin x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{e^{3x} \sin x} + \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{\sin x} = 0$ और $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{\sin x} = 2$,इसलिए सीमा $0 + 2 = 2$ है।

(C) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -y + e^{-x}$ द्वारा दी गई है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y e^x = \int e^{-x} \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int 1 dx + C$.
$y e^x = x + C$.
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 \cdot e^0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y e^x = x$ है,जिसे $y e^x - x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना वक्र पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोटि $(y)$ और भुज $(x)$ का योग ढाल से $5$ अधिक है,अतः:
$y + x = \frac{dy}{dx} + 5$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - y = x - 5$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x - 5$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है:
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$= (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx$
$= -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C$
$= (-x + 5 - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$
अतः,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,जिसका अर्थ है $y = 4 - x + C e^x$।
चूंकि वक्र $(0, 2)$ से गुजरता है:
$2 = 4 - 0 + C e^0 \implies 2 = 4 + C \implies C = -2$।
$C = -2$ रखने पर:
$y = 4 - x - 2 e^x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = 1$ और $Q(y) = 2y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^y \frac{dx}{dy} + x e^y = 2y e^y$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dy}(x e^y) = 2y e^y$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $x e^y = \int 2y e^y dy$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2y e^y dy = 2(y e^y - e^y) + c = 2e^y(y - 1) + c$.
अतः,$x e^y = 2e^y(y - 1) + c$.
$e^y$ से भाग देने पर,हमें $x = 2(y - 1) + ce^{-y}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$.
माना $v = y^{-3}$,तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} = y^{-4} \frac{dy}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{3}{x} dx} = x^3$.
हल: $v \cdot x^3 = \int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} dx = 3 \sin x + C$.
अतः,$x^3 y^{-3} = 3 \sin x + C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$,जिसे सरल करने पर $3y(1+x^2) = 4x^3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \frac{1 + y \log y}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(y) = \log y$ और $f(x) = \sin x$:
$e^y \log y = e^x \sin x + c$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})$
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x-e^{\tan ^{-1} y})}{1+y^{2}} = \frac{-x}{1+y^{2}} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c$.
माना $t = e^{\tan ^{-1} y}$,तो $dt = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} dy$ होगा।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int t dt + c = \frac{t^{2}}{2} + c$.
अतः,व्यापक हल $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \frac{(e^{\tan ^{-1} y})^{2}}{2} + c$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$.
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $x(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x-2}{x(x-1)}y = \frac{x^3(2x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2(2x-1)}{x-1}$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}) = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}) dx} = e^{\ln|x-1| - 2\ln|x|} = \frac{x-1}{x^2}$.
रैखिक समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dx} [y \cdot \frac{x-1}{x^2}] = \frac{x^2(2x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = 2x-1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = \int (2x-1) dx = x^2 - x + c$.
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = x(x-1) + c$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + k$ है।
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + k$.
माना $u = \tan ^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + k = \frac{1}{2} e^{2u} + k = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2k$.
चूँकि $2k$ भी एक स्थिरांक है,हम इसे $k$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,समीकरण $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ है,जिसे सरल करने पर $3(1+x^2)y = 4x^3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।
अवकलन का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$2y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x + \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = \sin x + \log x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = x^2$.
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y \cdot x^2 = \int x^2(\sin x + \log x) dx + c$.
$y x^2 = \int x^2 \sin x dx + \int x^2 \log x dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$.
अतः,$y x^2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + c$.
$x^2$ से भाग देने पर: $y = -\cos x + \frac{2 \sin x}{x} + \frac{2 \cos x}{x^2} + \frac{x}{3} \log x - \frac{x}{9} + \frac{c}{x^2}$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।
अवकलज पद का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर: $2y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ हो जाता है।
पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = \sin x + \log x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = \sin x + \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P dx}$ होता है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$.
इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ और $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$.
अतः,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$.
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y(1+x) = x + ce^x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + y \frac{\log x}{x} = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$।
अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$।
इसलिए,$IF = e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{2} \log x} = x^{\frac{1}{2} \log x}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है।
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = \frac{4x}{\sin x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$।
अतः,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,जिससे $C = -\frac{\pi^2}{2}$ प्राप्त होता है।
विशिष्ट हल $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 3y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
अतः,$x = 3y^2 + cy$.
चूँकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=1$ रखते हैं: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
वक्र का समीकरण $x = 3y^2 - 2y$ है।
विकल्प $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ की जाँच करने पर: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
चूँकि बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
अतः,विशिष्ट हल $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ या $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ है।
अब,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$y$ के पदों को एक साथ रखने पर,$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$,जो सरल होकर $\frac{dy}{dx} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)y = \frac{1}{x}$ हो जाता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1 - \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx} = e^{x - \log x} = e^x \cdot e^{-\log x} = e^x \cdot e^{\log(x^{-1})} = e^x \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^x}{x}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$.
पूरे समीकरण को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6 x \sec x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 6 x \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करें:
$IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$.
मान रखने पर:
$y \cdot \cos x = \int (6 x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
चूँकि $\sec x \cdot \cos x = 1$,इसलिए:
$y \cos x = \int 6 x dx + c$.
$x$ के सापेक्ष $6x$ का समाकलन करने पर:
$y \cos x = 3 x^2 + c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{1}{x}$ और $Q(x)=\log x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$xy = \int x \log x dx + c$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$।
अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$।
दिया गया है कि $2(y(2)) = \log 4 - 1$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$।
व्यापक हल में $x=2$ रखने पर: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$।
$2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$।
$x=e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
$y^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \tan x = -\sec x$
माना $v = -\frac{1}{y}$,तब $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} + v \tan x = -\sec x$.
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = -\sec x$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
हल $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$v \sec x = \int -\sec x \cdot \sec x dx + c = -\int \sec^2 x dx + c$.
$v \sec x = -\tan x + c$.
$v = -\frac{1}{y}$ रखने पर: $-\frac{1}{y} \sec x = -\tan x + c$.
$-y$ से गुणा करने पर: $\sec x = y(\tan x - c)$.
$-c$ को एक नए स्थिरांक $c$ के रूप में लेने पर: $\sec x = y(\tan x + c)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{3x^2}{1+x^3}$ और $Q = \frac{1}{1+x^3}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$\text{I.F.} = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx} = e^{\ln(1+x^3)} = 1+x^3$.
व्यापक हल $y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.}) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y(1+x^3) = \int \left(\frac{1}{1+x^3}\right) \cdot (1+x^3) dx + c$
$y(1+x^3) = \int 1 dx + c$
$y(1+x^3) = x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$yx = \int (\sin x \cdot x) dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $(\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx)$:
माना $u = x$ और $v = \sin x$.
$yx = x(-\cos x) - \int (1 \cdot -\cos x) dx + c$.
$yx = -x \cos x + \int \cos x dx + c$.
$yx = -x \cos x + \sin x + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$yx + x \cos x = \sin x + c$.
$x(y + \cos x) = \sin x + c$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1 \dots (i)$
मान लीजिए $\frac{1}{x} = t$. तब $-\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = \frac{dt}{dy}$,अतः $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = -\frac{dt}{dy}$.
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ हो जाता है।
यह $t$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $t(I.F.) = \int (-1)(I.F.) dy + c$ है।
$t(\frac{1}{y}) = \int -\frac{1}{y} dy + c = -\log y + c$.
$t = \frac{1}{x}$ रखने पर: $\frac{1}{xy} = -\log y + c$.
अतः,$\frac{1}{x} = cy - y \log y$.

(C) दिया गया समीकरण: $x \, dy = y(dx + y \, dy)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \, dy = y \, dx + y^2 \, dy$
$y \, dx = (x - y^2) \, dy$
$y \, dy$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = -y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
हल: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) \, dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} \, dy + C$
$\frac{x}{y} = \int -1 \, dy + C$
$\frac{x}{y} = -y + C$
चूंकि $y(1) = 1$,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$.
अतः,$\frac{x}{y} = -y + 2$.
$y(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ रखने पर:
$\frac{-3}{y} = -y + 2$
$-3 = -y^2 + 2y$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
$(y - 3)(y + 1) = 0$
चूंकि $y(x) > 0$,इसलिए $y = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$.
$\sin^{2} y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ और $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ है।
हल: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$.
$x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$.
माना $t = -\cot y$,तो $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$.
$x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\cot y$ प्रतिस्थापित करने पर: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$.
$x = 0$ और $y = \frac{3\pi}{4}$ रखने पर: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$.
चूँकि $\cot(3\pi/4) = -1$,इसलिए $0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$.
अतः,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,जो सरल होकर $x = 1 + \cot y$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^3 - 3$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ है।
$P = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन गुणक $x$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $r dx + (x - r^2) dr = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$r dx = -(x - r^2) dr$ प्राप्त होता है।
$dr$ से भाग देने पर,$r \frac{dx}{dr} = r^2 - x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dr} + P(r)x = Q(r)$ में व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dr} + \frac{1}{r}x = r$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{r} dr} = e^{\log r} = r$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(r) \cdot (I.F.) dr + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \cdot r = \int r \cdot r dr + c$।
दाहिनी ओर का समाकलन करने पर,$xr = \int r^2 dr + c$।
अतः,$xr = \frac{r^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{2x} = \int (e^{-x} \cdot e^{2x}) dx + c$ प्राप्त होता है।
$y e^{2x} = \int e^{x} dx + c$.
$y e^{2x} = e^{x} + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$
मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त करने के लिए $(1-x^{2})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
यहाँ,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ और $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + c$ है।
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \times \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$
मान लीजिए $u = 1-x^{2}$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.
दोनों पक्षों को $(1-x^{2})$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$।
दोनों पक्षों को $(1+x^{2}) dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{\tan^{-1} x - t}{1+x^{2}}$
समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dt}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}}t = \frac{\tan^{-1} x}{1+x^{2}}$
यहाँ,$P(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y$.
दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y} - x$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} = \sec y - x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} - \sec y = -x$.
माना $v = \sec y$. तब $\frac{d v}{d x} = \sec y \tan y \frac{d y}{d x}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x} - v = -x$.
यह $\frac{d v}{d x} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है।
$dx(x+x^{3})$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ मिलता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\log x}{x}\right) y = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$.
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$.
अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
इसलिए,$I$.$F$. $= e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{\log x}{2}} = x^{\frac{\log x}{2}} = x^{\log (\sqrt{x})}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ है।
दोनों पक्षों को $y \log y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \log y} = \frac{\log y}{y \log y} = \frac{1}{y}$।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{y \log y}$ और $Q = \frac{1}{y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{y \log y} dy}$।
मान लीजिए $u = \log y$,तो $du = \frac{1}{y} dy$ होगा।
अतः,$\int \frac{1}{y \log y} dy = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log y)$।
इसलिए,$I$.$F$. $= e^{\log(\log y)} = \log y$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$.
इस समीकरण को मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में लाने के लिए $(x \log x)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{4 \log x}{x \log x} = \frac{4}{x}$.
यहाँ,$P = \frac{1}{x \log x}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) का सूत्र $e^{\int P dx}$ है:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$.
अतः,$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log x)$.
इसलिए,$I.F. = e^{\log(\log x)} = \log x$.

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समाकलन गुणक $\sin x$ है,इसलिए:
$e^{\int P dx} = \sin x$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\int P dx = \ln(\sin x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$P = \cot x$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ होगा।
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
अतः,समाकलन गुणक $\log x$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
यहाँ,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है:
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log x dx = x \log x - x$:
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
चूंकि समीकरण $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है,$x=1$ रखने पर,$\log(1)=0$.
$y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$.
अतः,हल $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर:
$y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$.
चूंकि $\log(e) = 1$:
$y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$.
इसलिए,$y(e) = 2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$
पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2} x = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2}$
यहाँ,$P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(y) dy}$ है।
$IF = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ होता है।
$P = \tan x$ रखने पर,हमें $IF = e^{\int \tan x dx}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\int \tan x dx = \ln|\sec x|$,इसलिए $IF = e^{\ln|\sec x|}$ होगा।
$e^{\ln f(x)} = f(x)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$IF = \sec x$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समाकलन गुणक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखते हैं।
दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।