Order and degree of differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y = x\frac{dy}{dx} + \sqrt{a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2}$ है।
दोनों पक्षों से $x\frac{dy}{dx}$ घटाने पर: $y - x\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - x\frac{dy}{dx})^2 = a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर:
$y^2 + x^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात $1, 2$ हैं।

(C) अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पहले भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
दिया गया समीकरण: $\left[ 4 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^{2/3} = \frac{d^2y}{dx^2}$
घातांक में भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर:
$\left[ 4 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^2 = \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3$
अब,यह समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ और घात $3$ है।

(C) अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज होती है,और घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
विकल्प $(a)$: $x\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - x + a = 0$ प्रथम कोटि और द्वितीय घात का है।
विकल्प $(b)$: $\frac{d^2y}{dx^2} + xy = 0$ द्वितीय कोटि और प्रथम घात का है।
विकल्प $(c)$: $dy + dx = 0$ को $\frac{dy}{dx} + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस समीकरण में केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है जिसकी घात $1$ है। अतः,यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल चिह्न को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है,जो यहाँ $2$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त कर दिया जाता है,जो यहाँ $2$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{d^2s}{dt^2} \right)^2 + 3\left( \frac{ds}{dt} \right)^3 + 4 = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज (derivative) के बराबर होती है। यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2s}{dt^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त हो। यहाँ,$\frac{d^2s}{dt^2}$ की घात $2$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $2$ है।

(A) अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^4y}{dx^4} - 4\frac{d^3y}{dx^3} + 8\frac{d^2y}{dx^2} - 8\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ में,उच्चतम अवकलज $\frac{d^4y}{dx^4}$ है,जिसकी कोटि $4$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $4$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^4y}{dx^4}$ की घात $1$ है।
अतः,घात $1$ है।
इसलिए,कोटि और घात क्रमशः $4$ और $1$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{x}{\frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3}$.
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $\left( \frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \right)$ से गुणा करने पर:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right) \left( \frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \right) = x$.
इसका विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 = x$.
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जो प्रथम कोटि का अवकलज है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(C) दिया गया समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
यह एक वृत्त का सामान्य समीकरण है,जिसमें $3$ स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) $g$,$f$ और $c$ मौजूद हैं।
किसी अवकल समीकरण की कोटि उसके सामान्य हल में उपस्थित स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ होगी।

(A) $r$ त्रिज्या वाले,मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2ry + r^2 = r^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ry = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण में केवल एक स्वेच्छ अचर $r$ है।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के परिवार के सामान्य हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ केवल एक स्वेच्छ अचर $r$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(A) दिया गया हल $y = a\cos x + b\sin x + c{e^{ - x}}$ है।
इस समीकरण में $3$ स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं,जो $a$,$b$ और $c$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(A) प्रथम चतुर्थांश में स्थित और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है और एक स्वेच्छ अचर के रूप में कार्य करता है।
चूँकि यहाँ केवल एक स्वेच्छ अचर $a$ है,इसलिए यह वक्रों का एक-प्राचल परिवार है।
$n$ स्वेच्छ अचर वाले वक्रों के परिवार के लिए अवकल समीकरण की कोटि $n$ होती है।
अतः,वृत्तों के इस परिवार के लिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(D) कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों की घात $4$ करके भिन्नात्मक घात को हटाते हैं।
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^4 = y + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $4$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $4$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3} = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = - \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3}$
वर्गमूल को हटाने के लिए,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
अवकल समीकरण की घात उसके उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है जब समीकरण अपने अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,और इसकी घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।

(D) अवकल समीकरण की घात ज्ञात करने के लिए,इसे पहले इसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 = \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)^{1/2}$.
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
$\left( \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 \right)^2 = \left( \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)^{1/2} \right)^2$.
इसे सरल करने पर: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^6 = 1 + \frac{dy}{dx}$.
अवकल समीकरण की घात,समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है,जब समीकरण करणी और भिन्नों से मुक्त हो।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,और इसकी घात $6$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $6$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/3} + x^{1/4} = 0$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांकों को हटाना होगा।
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $\frac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4} = -\left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/3}$.
$1/3$ घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4} \right)^3 = -\frac{dy}{dx}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,उच्चतम अवकलज पद $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3$ प्राप्त होता है।
उच्चतम अवकलज की कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(A) वक्रों के परिवार का दिया गया समीकरण: $y = Ax + A^3$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = A$।
$A = \frac{dy}{dx}$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $y = x \left( \frac{dy}{dx} \right) + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$।
अवकल समीकरण की घात,उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है,जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो।
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है और इसकी उच्चतम घात $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $3$ है।

(C) अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसे इसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त करते हैं।
विकल्प $(a)$ के लिए: $\frac{d^4y}{dx^4} + 8\left(\frac{dy}{dx}\right)^6 + 5y = e^x$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4y}{dx^4}$ है,इसलिए कोटि $= 4$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $= 1$ है।
विकल्प $(b)$ के लिए: $5\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 8\left(1 + \frac{dy}{dx}\right)^2 + 5y = x^8$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $= 3$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $4$ है,इसलिए घात $= 4$ है।
विकल्प $(c)$ के लिए: $\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{2/3} = 4\frac{d^3y}{dx^3}$। दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^2 = 64\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^3$ प्राप्त होता है। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $= 3$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $= 3$ है। यहाँ,कोटि $=$ घात है।
विकल्प $(d)$ के लिए: $y - x^2\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(y - x^2\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ प्राप्त होता है। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $= 1$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $= 2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + \sin y + x^2 = 0$ है।
$1$. अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
$2$. अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि $\sin y$ उपस्थित है,समीकरण रैखिक नहीं है,लेकिन उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $1$ है। अतः,घात $1$ है।
इसलिए,समीकरण की कोटि $2$ और घात $1$ है। अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(\frac{d^2y}{dx^2})^3 + (\frac{dy}{dx})^4 + y = x^2$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $3$ है।
अतः,घात $3$ है और कोटि $2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^5 + 4\frac{\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3}{\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)} + \frac{d^3y}{dx^3} = x^2 - 1$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें पूरे समीकरण को $\frac{d^3y}{dx^3}$ से गुणा करके भिन्न को हटाना होगा।
$\frac{d^3y}{dx^3}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^5 \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) + 4\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 = (x^2 - 1) \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)$।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण अवकलजों में एक बहुपद के रूप में होता है। $\frac{d^3y}{dx^3}$ की उच्चतम घात $2$ है।
अतः,$m = 3$ और $n = 2$।

(B) अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विकल्प $A$ में,उच्चतम अवकलज $y'$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
विकल्प $B$ में,उच्चतम अवकलज $y''$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
विकल्प $C$ में,उच्चतम अवकलज $y'''$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
विकल्प $D$ में,उच्चतम अवकलज $y'$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
अतः,द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण $y'y'' + y = \sin x$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y^2 = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $1$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\rho = \frac{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^{3/2}}}{{\frac{{d^2y}}{{dx^2}}}}$
दोनों पक्षों को $\frac{{d^2y}}{{dx^2}}$ से गुणा करने पर:
$\rho \cdot \frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^{3/2}$
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \rho \cdot \frac{{d^2y}}{{dx^2}} \right)^2 = \left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^3$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{{d^2y}}{{dx^2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + 6y = 0$ है।
अवकल समीकरण की घात को उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त हो।
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
इस उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 - xy = 0$ है।
$1$. अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
$2$. अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है और इसकी घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} + 2\left[ 1 + \frac{d^2y}{dx^2} \right] = 1$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $\frac{d^3y}{dx^3} + 2 + 2\frac{d^2y}{dx^2} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{d^3y}{dx^3} + 2\frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$ मिलता है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ $\frac{d^3y}{dx^3}$ की घात $1$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण ${\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^{3/4}} = {\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^{1/3}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांकों को हटाना होगा,जिसके लिए दोनों पक्षों को हर के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,जो $12$ है,की घात तक उठाना होगा।
दोनों पक्षों की घात $12$ लेने पर:
${\left[ {{\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^{3/4}}} \right]^{12}} = {\left[ {{\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^{1/3}}} \right]^{12}}$
${\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^9} = {\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^4}$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो।
यहाँ,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ की घात $4$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + 2 \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 + 3y + x = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $2$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} - \sqrt{\frac{dy}{dx} - 3} = x$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} - x = \sqrt{\frac{dy}{dx} - 3}$
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{d^2y}{dx^2} - x\right)^2 = \frac{dy}{dx} - 3$
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 - 2x\frac{d^2y}{dx^2} + x^2 = \frac{dy}{dx} - 3$
अवकल समीकरण की घात वह होती है जो उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है,जब समीकरण अवकलजों में एक बहुपद के रूप में हो।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,और इसकी उच्चतम घात $2$ है।
अतः,इस समीकरण की घात $2$ है।

(A) $x$-अक्ष के समानांतर नियता वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ होता है।
यहाँ,$h$,$k$,और $a$ तीन स्वतंत्र स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य समीकरण में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \dots$
मान लीजिए $t = \frac{dy}{dx}$। श्रेणी का विस्तार $y = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots$ है।
यह $e^t$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार है,इसलिए $y = e^t$।
$t = \frac{dy}{dx}$ वापस रखने पर,हमें $y = e^{\frac{dy}{dx}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(y) = \frac{dy}{dx}$।
अब अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \ln(y)$ के रूप में है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,और इसकी घात $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(B) एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि आश्रित चर और उसके अवकलज केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हो।
विकल्प $A$ में,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \log x$ रैखिक है क्योंकि आश्रित चर $y$ और उसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ प्रथम घात में हैं और उनका गुणा नहीं हुआ है।
विकल्प $B$ में,$y\frac{dy}{dx} + 4x = 0$ में आश्रित चर $y$ का उसके अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के साथ गुणा हुआ है,इसलिए यह अरैखिक है।
विकल्प $C$ में,$dx + dy = 0$ को $1 + \frac{dy}{dx} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो रैखिक है।
विकल्प $D$ में,$\frac{dy}{dx} = \cos x$ रैखिक है क्योंकि अवकलज प्रथम घात में है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक अवकल समीकरण रैखिक होता है यदि आश्रित चर $y$ और उसके अवकलज केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हुआ हो।
विकल्प $(d)$ के लिए,हमारे पास $x\frac{dy}{dx} + \frac{3}{dy/dx} = y^2$ है।
दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,हमें $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y^2\frac{dy}{dx} + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यहाँ अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की घात $2$ है,इसलिए यह अवकल समीकरण अरेखीय है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $3\frac{d^2y}{dx^2} = \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^{3/2}$
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left( 3\frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = \left[ \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^{3/2} \right]^2$
$9\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^3$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद,उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।

(D) दिया गया वक्र ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,जिसका अर्थ है $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ से गुणा करने पर:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
वर्ग का विस्तार करने पर:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।

(B) दिया गया व्यापक हल $y = C_1 e^{2x + C_2} + C_3 e^x + C_4 \sin(x + C_5)$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$y = C_1 e^{C_2} e^{2x} + C_3 e^x + C_4 (\sin x \cos C_5 + \cos x \sin C_5)$
मान लीजिए $A = C_1 e^{C_2}$,$B = C_4 \cos C_5$,और $D = C_4 \sin C_5$ है।
इन अचरों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = A e^{2x} + C_3 e^x + B \sin x + D \cos x$
इस व्यंजक में,$4$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(A, C_3, B, D)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $4$ है।

(C) अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पहले भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $3$ लेनी होगी।
दिया गया समीकरण: ${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$
दोनों पक्षों का घन करने पर:
${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {\left( {4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}} \right)^3}$
अब,यह समीकरण अवकलजों के रूप में एक बहुपद है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $3$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/2} = y^3$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले भिन्नात्मक घातांकों को हटाकर समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त करना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - y^3 = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/2}$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left( \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - y^3 \right)^2 = \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
इस बहुपद रूप में उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2 \times 2 = 4$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $4$ है।

(A) $x$-अक्ष पर सममिति की धुरी वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y^2 = 4a(x - h)$ है।
यहाँ,$a$ और $h$ दो स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण बनाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,कोटि और घात $(2, 1)$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $y = a(1 - e^{-x/a})$
$y = a - ae^{-x/a}$
$y - a = -ae^{-x/a}$
$-a$ से भाग देने पर: $\frac{a - y}{a} = e^{-x/a}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(\frac{a - y}{a}) = -\frac{x}{a}$
चूंकि $a$ एक प्राचल है,इसे हटाने के लिए हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
हालाँकि,समीकरण में एक घातांकीय पद $e^{-x/a}$ है जिसमें प्राचल $a$ घातांक में है,जिसे अवकलजों के बहुपद समीकरण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(\frac{d^3y}{dx^3}+y\frac{dy}{dx})^{\frac{7}{5}} =x^3\frac{d^2y}{dx^2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $5$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$(\frac{d^3y}{dx^3}+y\frac{dy}{dx})^7 = (x^3\frac{d^2y}{dx^2})^5$।
यहाँ कोटि $m$ उच्चतम अवकलज है,जो $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए $m = 3$ है।
घात $n$ समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त करने के बाद उच्चतम अवकलज की घात है,जो $7$ है,इसलिए $n = 7$ है।
अतः,$m + n = 3 + 7 = 10$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} + 4 - 3\frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} = 0$।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले उच्चतम कोटि के अवकलज के भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} = 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4$।
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर: $\left( \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^3 = \left( 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4 \right)^3$।
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 = \left( 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4 \right)^3$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद,उच्चतम कोटि के अवकलज का घातांक $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।

(D) अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब वह अपने अवकलजों (derivatives) के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण हो।
दिए गए समीकरण $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 + 4\left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = 3\sin \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ में,पद $\sin \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ एक अवकलज का ट्रांससेंडेंटल फलन है।
चूंकि इस समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

(B) एक अवकल समीकरण रैखिक कहलाता है यदि आश्रित चर $y$ और उसके अवकलज केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हुआ हो।
दिए गए समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3}-5y \frac{dy}{dx}+xy=0$ में,पद $y \frac{dy}{dx}$ में आश्रित चर $y$ और उसके अवकलज $\frac{dy}{dx}$ का गुणनफल मौजूद है।
इस गुणनफल के कारण,समीकरण अरैखिक है।
उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ की कोटि $3$ है।
उच्चतम अवकलज की घात $1$ है।
अतः,यह $3$ कोटि और $1$ घात वाला एक अरैखिक अवकल समीकरण है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos \left( \frac{dy}{dx} \right) + xy$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इस समीकरण में,$\cos \left( \frac{dy}{dx} \right)$ पद में अवकलज $\frac{dy}{dx}$ का त्रिकोणमितीय फलन शामिल है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(D) कथन $1$ के लिए:
प्रथम अवकल समीकरण पर विचार करें: $\frac{dy}{dx} + y^2 = x$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ (कोटि $1$) है,और इसकी घात $1$ है। अतः,घात $1$ है।
द्वितीय अवकल समीकरण पर विचार करें: $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ (कोटि $2$) है,और इसकी घात $1$ है। अतः,घात $1$ है।
चूंकि दोनों समीकरणों की घात $1$ है,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए:
यह अवकल समीकरण की घात की मानक परिभाषा है। यह अवकलजों में एक बहुपद है,और घात उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
निष्कर्ष:
कथन $2$ वह परिभाषा प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $1$ में घात निर्धारित करने के लिए किया गया है,जो इसे सही व्याख्या बनाता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \cos x = 0$ है।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जो प्रथम कोटि का अवकलज है। अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
यह समीकरण अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के पदों में एक बहुपद समीकरण है। उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $1$ है। अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$ है।
$1$. अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए इसकी कोटि $2$ है।
$2$. अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है,यदि समीकरण अवकलजों में एक बहुपद हो। यहाँ,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ का घातांक $1$ है। चूँकि समीकरण अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद है,इसलिए इसकी घात $1$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $1$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime \prime} + y^2 + e^{y^{\prime}} = 0$ है।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है,जो तीसरा अवकलज दर्शाता है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।
एक अवकल समीकरण की घात तभी परिभाषित होती है यदि उसे उसके अवकलजों में एक बहुपद समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सके।
इस समीकरण में,पद $e^{y^{\prime}}$ में अवकलज $y^{\prime}$ का चरघातांकी फलन है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।