Linear differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ है।
$x^{2} dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.
माना $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ और $\frac{1}{x} = -t$ है।
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\frac{1}{x}$ रखने पर,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$ प्राप्त होता है।
$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$।
अतः,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$।
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$।
$e^{-2}$ से भाग देने पर,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$।

(B) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = y(-1 \cdot \frac{1}{x} - 0) - \sin x(0 \cdot \frac{1}{x} - 2) + 1(0 \cdot 0 - 2(-1))$
$|A| = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$
दिया गया है $\frac{dy}{dx} - |A| = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2 \sin x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = 2 \sin x + 2$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।
$yx = \int x(2 \sin x + 2) dx = 2 \int x \sin x dx + \int 2x dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x$,अतः:
$yx = 2(-x \cos x + \sin x) + x^2 + C = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x + C$।
$y(\pi) = \pi + 2$ दिया गया है,$x = \pi$ रखने पर:
$(\pi + 2)\pi = \pi^2 - 2\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C$
$\pi^2 + 2\pi = \pi^2 + 2\pi + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,$yx = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x$।
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए:
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = (\frac{\pi}{2})^2 - 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2})$
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + 2$।
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.
$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + 2 \sin^{2} x = 1 + y \cos 2x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = 1 - 2 \sin^{2} x$.
चूँकि $1 - 2 \sin^{2} x = \cos 2x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = \cos 2x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\cos 2x$ और $Q(x) = \cos 2x$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\cos 2x \, dx} = e^{-\frac{\sin 2x}{2}}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) \, dx + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = \int \cos 2x \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} \, dx + C$.
माना $u = -\frac{\sin 2x}{2}$,तो $du = -\cos 2x \, dx$.
अतः,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -\int e^u \, du + C = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + C$.
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$,इसलिए $0 = -e^{-\frac{\sin(\pi/2)}{2}} + C = -e^{-1/2} + C$,जिससे $C = e^{-1/2}$.
इस प्रकार,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + e^{-1/2}$.
$x = 0$ पर,$y \cdot e^0 = -e^0 + e^{-1/2}$,जिससे $y(0) = -1 + e^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y(0) + 1)^{2} = (-1 + e^{-1/2} + 1)^{2} = (e^{-1/2})^{2} = e^{-1}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$.
मान लीजिए $e^{y}=t$,तो $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$.
समीकरण $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ बन जाता है।
यह $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=-2 \sin x$ और $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$ है।
हल $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ है।
मान लीजिए $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$। समाकलन $\int u^{2} e^{2u} du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$.
अतः,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = 0$,तो $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
इस प्रकार,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$.
$x = 0$ पर,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$.
$\alpha + \beta e^{-2}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x dy - y dx}{x^2} = x \cos x dx$
यह भागफल नियम का अवकलन है:
$d(\frac{y}{x}) = x \cos x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d(\frac{y}{x}) = \int x \cos x dx$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\frac{y}{x} = x \sin x - \int \sin x dx$
$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + C$
चूंकि $y(\pi) = 0$ दिया गया है,$x = \pi$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 = \pi \sin(\pi) + \cos(\pi) + C$
$0 = 0 - 1 + C \implies C = 1$
अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + 1$
$y = x^2 \sin x + x \cos x + x$
अब,$y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}$
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4}(1) + \frac{\pi}{2}(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

(B) दिया गया है $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. ध्यान दें कि $F(3) = 0$.
दोनों पक्षों को $e^{x}$ से गुणा करने पर: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{x}F(x) + e^{x}F^{\prime}(x) = 3x^{2}+2x+4F^{\prime}(x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{x}-4)F^{\prime}(x) + e^{x}F(x) = 3x^{2}+2x$.
यह $\frac{d}{dx} [F(x)(e^{x}-4)] = 3x^{2}+2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $F(x)(e^{x}-4) = \int (3x^{2}+2x) \,dx = x^{3}+x^{2}+C$.
चूंकि $F(3) = 0$,इसलिए $0 = 3^{3}+3^{2}+C \Rightarrow C = -36$.
अतः,$F(x) = \frac{x^{3}+x^{2}-36}{e^{x}-4}$.
अब,$F^{\prime}(x) = \frac{(3x^{2}+2x)(e^{x}-4) - (x^{3}+x^{2}-36)e^{x}}{(e^{x}-4)^{2}}$.
$x=4$ पर: $F^{\prime}(4) = \frac{(3(16)+2(4))(e^{4}-4) - (64+16-36)e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{56(e^{4}-4) - 44e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{12e^{4}-224}{(e^{4}-4)^{2}}$.
$\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=12$ और $\beta=4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha+\beta = 12+4 = 16$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-x^{3}) dy = (y+yx^{2}-3x^{4}) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x-x^{3}) dy - y(1+x^{2}) dx = -3x^{4} dx$
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करें:
$x dy - x^{3} dy = y dx + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
$x dy - y dx = x^{3} dy + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{x^{3} dy + yx^{2} dx}{x^{2}} - 3x^{2} dx$
$d(\frac{y}{x}) = d(xy) - d(x^{3})$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{y}{x} = xy - x^{3} + C$
दिया गया है $y(3)=3$,इसलिए $x=3, y=3$ रखने पर:
$\frac{3}{3} = 3(3) - 3^{3} + C$
$1 = 9 - 27 + C$
$1 = -18 + C \Rightarrow C = 19$
अतः,समीकरण $\frac{y}{x} = xy - x^{3} + 19$ है।
$x=4$ के लिए:
$\frac{y}{4} = 4y - 64 + 19$
$\frac{y}{4} = 4y - 45$
$y = 16y - 180$
$15y = 180$
$y = 12$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ है।
$y$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y^{2}(y+1)e^{y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = \frac{1}{y^{2}}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y^{2}(y+1)e^{y} \cdot \frac{1}{y^{2}} dy = \int (y+1)e^{y} dy$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int (y+1)e^{y} dy = (y+1)e^{y} - \int e^{y} dy = (y+1)e^{y} - e^{y} + C = ye^{y} + C$.
अतः,$\frac{x}{y^{2}} = ye^{y} + C$,जिसका अर्थ है $x = y^{3}e^{y} + Cy^{2}$.
चूँकि $x(1) = 0$ दिया गया है,$0 = (1)^{3}e^{1} + C(1)^{2} \Rightarrow C = -e$.
इस प्रकार,हल $x = y^{3}e^{y} - ey^{2}$ है।
$x(e)$ के लिए,$y = e$ रखने पर: $x(e) = e^{3}e^{e} - ee^{2} = e^{3}e^{e} - e^{3} = e^{3}(e^{e}-1)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - y = e^{3x}(x+1)^2$ है।
$(x+1)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) \frac{dy}{dx} - y}{(x+1)^2} = e^{3x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x+1} \right) = e^{3x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{y}{x+1} = \int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y(0) = \frac{1}{3}$,$x=0$ और $y=\frac{1}{3}$ रखने पर $\frac{1/3}{1} = \frac{e^0}{3} + C$ मिलता है,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + C$,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$y = \frac{(x+1)e^{3x}}{3}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [ (x+1) \cdot 3e^{3x} + e^{3x} \cdot 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} [ 3x + 3 + 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} (3x+4)$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$3x+4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -\frac{4}{3}$ है।
$x < -\frac{4}{3}$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$,और $x > -\frac{4}{3}$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$ है।
चूंकि अवकलज $x = -\frac{4}{3}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2}{x}$ और $Q(x)=e^{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln |x|} = x^{2}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x^{2} = \int e^{x} \cdot x^{2} dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
अतः,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
चूँकि $y(1)=0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = e^{1}(1-2+2) + C$ है,जिससे $C = -e$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e$.
अब,$z(x) = x^{2} y(x) - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+1) - e = e^{x}(x-1)^{2} - e$.
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $z'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$z'(x) = e^{x}(x-1)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-1) = e^{x}(x-1)(x-1+2) = e^{x}(x-1)(x+1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=-1$ हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$x < -1$ के लिए $z'(x) > 0$,$-1 < x < 1$ के लिए $z'(x) < 0$,और $x > 1$ के लिए $z'(x) > 0$ है।
अतः,$x=-1$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $z(-1) = e^{-1}(-1-1)^{2} - e = e^{-1}(4) - e = \frac{4}{e} - e$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x(x^2 - 2)$ और $Q(x) = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x(x^2 - 2) dx}$.
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^x(x^2 - 2x)) = e^x(x^2 - 2x) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2)$ है।
अतः,$\text{I.F.} = e^{e^x(x^2 - 2x)}$.
व्यापक हल $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx$ है।
$y \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} = \int (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x} \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} dx$.
माना $t = e^x(x^2 - 2x)$ है। तब $dt = e^x(x^2 - 2x + 2x - 2) dx = e^x(x^2 - 2) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \cdot e^t = \int t e^t dt = t e^t - e^t + C$.
दिया गया है कि $y(0) = 0$,इसलिए $x = 0$ पर $t = e^0(0^2 - 0) = 0$ है।
$0 \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.
अतः,$y \cdot e^t = t e^t - e^t + 1$.
$x = 2$ पर,$t = e^2(2^2 - 2(2)) = 0$ है।
$y(2) \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ प्राप्त होता है।
$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} - 6xy = 2x(x^{2}+4)$.
$(x^{2}+4)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{6x}{x^{2}+4} y = 2x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{6x}{x^{2}+4}$ और $Q(x) = 2x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{6x}{x^{2}+4} dx} = e^{-3 \ln(x^{2}+4)} = (x^{2}+4)^{-3} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int \frac{2x}{(x^{2}+4)^{3}} dx$.
माना $t = x^{2}+4$,तो $dt = 2x dx$ है।
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+4)^{2}} + C$.
चूंकि वक्र $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = -\frac{1}{2(4)^{2}} + C \implies C = \frac{1}{32}$ है।
अतः,$y = -\frac{(x^{2}+4)^{3}}{2(x^{2}+4)^{2}} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32} = -\frac{x^{2}+4}{2} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32}$ है।
$x=2$ के लिए,$y(2) = -\frac{4+4}{2} + \frac{(4+4)^{3}}{32} = -4 + \frac{512}{32} = -4 + 16 = 8$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(\tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1 + y^2}$,जिसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int Q(y) \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$ है।
माना $u = \tan^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + C$ हो जाता है।
अतः,$x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + C$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $1 \cdot e^0 = (0 - 1) e^0 + C \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2$।
वक्र का समीकरण $x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + 2$ है।
$y = \tan(1)$ के लिए,$\tan^{-1} y = 1$। समीकरण में मान रखने पर:
$x e^1 = (1 - 1) e^1 + 2 \Rightarrow x e = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{e}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{-x}{1-x^{2}}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^{2})} = \sqrt{1-x^{2}}$.
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (y \sqrt{1-x^{2}}) = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sqrt{1-x^{2}} = x^{3}+2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sqrt{1-x^{2}} = \int (x^{3}+2) dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C$.
चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1-x^{2}} y(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x$.
हमें $k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{4}}{4} + 2x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $2x$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2x dx = 0$.
अतः,$k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{320}$.
इस प्रकार,$k^{-1} = 320$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}[y d x-2 x d y]+y^{2} d y=0$ प्राप्त होता है।
$y^{3}$ से भाग देने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}\left[\frac{y^{2} d x-2 x y d y}{y^{4}}\right]+\frac{1}{y} d y=0$ प्राप्त होता है।
इसे $2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{1}{y} d y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\int \frac{1}{y} d y=C$ प्राप्त होता है।
इससे $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x(1)=0$,अतः $x=0$ और $y=1$ रखने पर $2 e^{0}+\ln(1)=C$,जिससे $C=2$ प्राप्त होता है।
वक्र का समीकरण $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=2$ है।
$x(e)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $y=e$ रखने पर: $2 e^{x / e^{2}}+\ln(e)=2$.
$2 e^{x / e^{2}}+1=2 \Rightarrow 2 e^{x / e^{2}}=1$.
$e^{x / e^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{e^{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
अतः,$x(e)=-e^{2} \log _{e}(2)$ है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2 \tan x(\cos x - y)$ है।
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखने पर: $\frac{dy}{dx} + (2 \tan x)y = 2 \sin x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = 2 \sin x \sec^2 x = 2 \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$,जिसे सरल करने पर $y = 2 \cos x + C \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(\frac{\pi}{4}, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + C(\frac{1}{2}) = \sqrt{2} + \frac{C}{2}$.
अतः,$C = -2\sqrt{2}$,और वक्र का समीकरण $y = 2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x$ है।
अब,$\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} (2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x) \, dx$.
$= [2 \sin x]_{0}^{\pi / 2} - 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$.
$= 2(1 - 0) - \sqrt{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2} = 2 - \sqrt{2}(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ है।
$x(1-x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y = \frac{4x^{3}}{x(1-x^{2})}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}}$ और $Q = \frac{4x^{3}}{x-x^{3}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}} dx}$ है।
माना $t = x-x^{3}$,तो $dt = (1-3x^{2})dx$,इसलिए $P dx = \frac{-(1-3x^{2})}{x-x^{3}} dx = \frac{-dt}{t}$ होगा।
अतः,$IF = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{|x-x^{3}|}$ प्राप्त होता है। $x>1$ के लिए,$x-x^{3} < 0$,इसलिए $IF = \frac{1}{x^{3}-x}$ होगा।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x-x^{3}} \right) = \frac{4x^{3}}{(x-x^{3})^{2}} = \frac{4x^{3}}{x^{2}(1-x^{2})^{2}} = \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{x-x^{3}} = \int \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} dx$ प्राप्त होता है। माना $u = 1-x^{2}$,$du = -2x dx$ है।
$\frac{y}{x-x^{3}} = -2 \int u^{-2} du = -2(-u^{-1}) + C = \frac{2}{1-x^{2}} + C$ होगा।
चूँकि $y(2) = -2$ दिया गया है,$\frac{-2}{2-8} = \frac{2}{1-4} + C \Rightarrow \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{x-x^{3}} = \frac{2}{1-x^{2}} + 1$ होगा।
$x=3$ के लिए,$\frac{y}{3-27} = \frac{2}{1-9} + 1 \Rightarrow \frac{y}{-24} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = \frac{3}{4} \times (-24) = -18$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ है।
$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$ और $Q(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2+\frac{2}{x-1}) dx} = e^{2x+2\ln(x-1)} = e^{2x}(x-1)^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{2x}(x-1)^2 = \int \frac{1}{(x-1)^2} \cdot e^{2x}(x-1)^2 dx + C = \int e^{2x} dx + C = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
अतः,$y = \frac{e^{2x}}{2(x-1)^2 e^{2x}} + \frac{C}{(x-1)^2 e^{2x}} = \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{C}{e^{2x}(x-1)^2} = \frac{e^{2x} + 2C}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
चूँकि $y(2) = \frac{1+e^4}{2e^4}$ दिया गया है,तो $\frac{e^4 + 2C}{2e^4(1)^2} = \frac{1+e^4}{2e^4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2C = 1$,इसलिए $C = 1/2$.
इस प्रकार,$y(x) = \frac{e^{2x}+1}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
$x=3$ के लिए,$y(3) = \frac{e^6+1}{2e^6(3-1)^2} = \frac{e^6+1}{8e^6}$.
$\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=6$ और $\beta=8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta = 6+8 = 14$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sqrt{2}}{2\cos^4 x - \cos 2x}$ है।
हर का सरलीकरण करने पर: $2\cos^4 x - \cos 2x = \cos^4 x + \sin^4 x$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\int P(x) dx = \int \frac{\sqrt{2} dx}{\cos^4 x + \sin^4 x} = -\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)$।
अतः $IF = e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$।
हल $y \cdot IF = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ है।
$y(\pi/4) = \pi^2/32$ रखने पर $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $y = \frac{x^2}{2} e^{\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$।
$x = \pi/3$ के लिए,$y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2/3})}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $\alpha = \sqrt{2/3}$ मिलता है,इसलिए $3\alpha^2 = 2$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ है।
सामान्य हल $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx + C$ है।
$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^4+2x) dx = \frac{x^5}{5} + x^2 + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
हमें $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन $\frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}}$ और एक सम फलन $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ का योग है,इसलिए विषम भाग का समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ रखने पर,$dx = \cos \theta d\theta$. जब $x=0, \theta=0$; जब $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \theta=\frac{\pi}{3}$.
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) d\theta = [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=2-e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
हल $y \cdot e^{-x} = \int (2-e^{-x})e^{-x} dx = \int (2e^{-x}-e^{-2x}) dx$ है।
$y \cdot e^{-x} = -2e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x)$ परिमित है,इसलिए $e^x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $C=0$.
इस प्रकार,$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x}$ है।
$x=0$ पर,$y(0) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ है।
अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x}$ है।
$x=0$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx}|_{x=0} = -\frac{1}{2}$ है।
$(0, -3/2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-3/2) = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है,जो $y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x$ या $x + 2y = -3$ में सरल हो जाता है।
$x$-अंतःखंड $a$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखने पर,$a = -3$ मिलता है।
$y$-अंतःखंड $b$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखने पर,$2b = -3$ मिलता है,जिससे $b = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$a - 4b = -3 - 4(-\frac{3}{2}) = -3 + 6 = 3$ है।

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \tan x)y = \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln|\sec x|} = \sec^2 x$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = \sin x \sec^2 x = \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x \, dx + C = \sec x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \cos x + C \cos^2 x$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,इसलिए $0 = \cos(\frac{\pi}{3}) + C \cos^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + C(\frac{1}{4})$,जिससे $C = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \cos x - 2 \cos^2 x$।
माना $u = \cos x$। चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < u < 1$ है।
$y = u - 2u^2 = -2(u^2 - \frac{1}{2}u) = -2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$।
अधिकतम मान $u = \frac{1}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{8}$ है।

(C) दिया गया है कि $3$ से $x$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \frac{d}{dx} \left( \frac{y^3}{x^3} \right) = \frac{3y^2 y' x^3 - 3x^2 y^3}{x^6} = \frac{3y^2 y' x - 3y^3}{x^4}$.
$x^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 y = 3xy^2 y' - 3y^3$.
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$x^4 = 3xy y' - 3y^2$.
मान लीजिए $t = y^2$,तो $dt/dx = 2y y'$. यह मान रखने पर:
$x^4 = \frac{3}{2} x \frac{dt}{dx} - 3t$.
रैखिक अवकल समीकरण में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - \frac{2}{x} t = \frac{2}{3} x^3$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{t}{x^2} \right) = \frac{2}{3} x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{t}{x^2} = \frac{x^2}{3} + C$.
चूंकि वक्र $(3,3)$ से गुजरता है,$x=3$ पर $t = 3^2 = 9$:
$\frac{9}{9} = \frac{9}{3} + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$.
अतः,$\frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2}{3} - 2$.
बिंदु $(\alpha, 6\sqrt{10})$ के लिए:
$\frac{(6\sqrt{10})^2}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2}{3} - 2 \implies \frac{360}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 6}{3}$.
$1080 = \alpha^4 - 6\alpha^2 \implies \alpha^4 - 6\alpha^2 - 1080 = 0$.
मान लीजिए $u = \alpha^2$: $u^2 - 6u - 1080 = 0 \implies (u - 36)(u + 30) = 0$.
चूंकि $\alpha^2 > 0$,इसलिए $u = 36$,अतः $\alpha = 6$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = x$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यापक हल $y = -x - 1 + C e^{x}$ है।
$y_{1}(0) = 0$ के लिए,$0 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 1$। अतः,$y_{1}(x) = e^{x} - x - 1$ है।
$y_{2}(0) = 1$ के लिए,$1 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 2$। अतः,$y_{2}(x) = 2e^{x} - x - 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y_{1}(x) = y_{2}(x)$ रखें:
$e^{x} - x - 1 = 2e^{x} - x - 1$।
इसे सरल करने पर $e^{x} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin(2x^2) \ln(\tan x^2) dy + (4xy - 4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})) dx = 0$ है।
इसे $d(y \ln(\tan x^2))$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $d(y \ln(\tan x^2)) = \frac{4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})}{\sin(2x^2)} dx$ प्राप्त होता है।
$\sin(x^2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x^2 - \cos x^2)$ और $\sin(2x^2) = 2 \sin x^2 \cos x^2$ का उपयोग करने पर,दायां पक्ष $2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \ln(\tan x^2) = \int 2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx = \ln|\tan(x^2/2)| + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 1)$ का उपयोग करके $C$ का मान ज्ञात करने और फिर $x^2 = \frac{\pi}{3}$ के लिए हल करने पर,हमें $|y| = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x^2-1}$ और $Q(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} dx = \int \frac{x-1}{x+1} dx$.
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right) dx = x - 2 \log_{e} |x+1| + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $\left(2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ से गुजरता है,हम $x=2$ और $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{2-1}{2+1} \right)^{1/2} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{3} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C$.
$C = \frac{1}{3} - 2 + 2 \log_{e} 3 = 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
अब,$x=8$ के लिए:
$y(8) \left( \frac{8-1}{8+1} \right)^{1/2} = 8 - 2 \log_{e} 9 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
$y(8) \left( \frac{7}{9} \right)^{1/2} = 8 - 4 \log_{e} 3 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3} = \frac{19}{3} - 2 \log_{e} 3$.
$y(8) \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{19 - 6 \log_{e} 3}{3}$.
$\sqrt{7} y(8) = 19 - 6 \log_{e} 3$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ है।
$\sin^2 2x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + (8 + 4 \cot 2x) y = \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 8 + 4 \cot 2x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int (8 + 4 \cot 2x) dx} = e^{8x + 2 \ln(\sin 2x)} = e^{8x} \sin^2 2x$ है।
हल $y \cdot (e^{8x} \sin^2 2x) = \int (e^{8x} \sin^2 2x) \cdot \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x} dx + C$ है।
$y e^{8x} \sin^2 2x = \int 2 e^{4x} (2 \sin 2x + \cos 2x) dx + C$ है।
सूत्र $\int e^{ax} (a f(x) + f'(x)) dx = e^{ax} f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,$f(x) = \sin 2x$ लेने पर,$f'(x) = 2 \cos 2x$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $e^{4x} \sin 2x + C$ होगा।
इस प्रकार,$y e^{8x} \sin^2 2x = e^{4x} \sin 2x + C$ है।
चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi}$ दिया गया है,तो $e^{-\pi} e^{2\pi} (1)^2 = e^{\pi} (1) + C \Rightarrow C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{e^{-4x}}{\sin 2x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{-4(\pi/6)}}{\sin(\pi/3)} = \frac{e^{-2\pi/3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ और $Q(x) = \frac{x+3}{x+1}$ है।
$P(x)$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$\frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$.
$P(x)$ का समाकलन करने पर:
$\int P(x) dx = 2\ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x+3) = \ln\left(\frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}\right)$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \int \left(\frac{x+3}{x+1}\right) \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} dx = \int (x+1)(x+2) dx = \int (x^2+3x+2) dx$.
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.
चूँकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है:
$1 \cdot \frac{(1)^2(2)}{3} = 0 + 0 + 0 + C \implies C = \frac{2}{3}$.
$x=1$ के लिए:
$y(1) \cdot \frac{(2)^2(3)}{4} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{2}{3} = 1 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
$y(1) \cdot 3 = \frac{9}{2} \implies y(1) = \frac{3}{2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ है,जिसे $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=1$ और $Q=\frac{1}{1+e^{2x}}$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
सामान्य हल $y \cdot e^x = \int Q \cdot I.F. dx + c = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx + c$ है।
मान लीजिए $u=e^x$,तो $du=e^x dx$। समाकलन $\int \frac{1}{1+u^2} du = \tan^{-1}(u) = \tan^{-1}(e^x)$ हो जाता है।
अतः,$y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + c$ है।
चूँकि वक्र बिंदु $(0, \frac{\pi}{2})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{\pi}{2} \cdot e^0 = \tan^{-1}(e^0) + c$ है,जो $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{4} + c$ देता है।
इस प्रकार,$c = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ है।
हल $y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}$ है।
जब $x \rightarrow \infty$ हो,तो सीमा लेने पर,$\lim_{x \rightarrow \infty} (y \cdot e^x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) + x f(x) + 2x = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f'(x) = -x(f(x) + 2)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x) + 2} = -x$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|f(x) + 2| = -\frac{x^2}{2} + C$।
अतः,$f(x) + 2 = A e^{-x^2/2}$,या $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$।
मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f(0) + \int_{0}^{0} t f(t) dt + 0^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$।
$f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$ में $x = 0$ रखने पर:
$0 = A(1) - 2 \Rightarrow A = 2$।
इसलिए,$f(x) = 2 e^{-x^2/2} - 2$।
अब,सीमाओं का मान ज्ञात करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$।
$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके और $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 + f(x)$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $f'(x) - f(x) = 1$.
समाकलन गुणक $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.
$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
चूंकि $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,इसलिए $0 = -1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$.
अतः,$f(x) = e^x - 1$.
अब,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ पर विचार करें।
$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.
$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.
इसलिए,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$।

(A) दिया गया समाकल समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 1 + f(x)$.
यह $f'(x) - f(x) = 1$ रूप का एक रैखिक प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-x}) = e^{-x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) dt = 0$.
$f(x) = -1 + C e^x$ में $x=0$ रखने पर:
$0 = -1 + C(e^0) \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = e^x - 1$.
समुच्चय $S = \{x \in R : f(x) = 0\}$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $e^x - 1 = 0$ को हल करते हैं।
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
केवल एक ही हल प्राप्त होता है,$x=0$।
इसलिए,समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x^2}$ और $Q = \frac{1}{x^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$.
मान लीजिए $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^2} dx$ है। साथ ही,$\frac{1}{x} = -t$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^t dt = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.
$e^{-\frac{1}{x}}$ से भाग देने पर,$y = 1 + \frac{1}{x} + C e^{\frac{1}{x}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$,अतः $3 - e = 1 + \frac{1}{1/2} + C e^{\frac{1}{1/2}} = 1 + 2 + C e^2 = 3 + C e^2$.
इस प्रकार,$3 - e = 3 + C e^2 \implies C e^2 = -e \implies C = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$.
अतः,$y(x) = 1 + \frac{1}{x} - e^{-1} e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x} - 1}$.
$x = 1$ के लिए,$y(1) = 1 + \frac{1}{1} - e^{\frac{1}{1} - 1} = 1 + 1 - e^0 = 2 - 1 = 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ प्राप्त होता है।
$y^3$ से भाग देने पर: $y^{-3}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-2} = 1 + \log_e x$.
माना $t = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. तब $\frac{dt}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$,अतः $y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\frac{dt}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{2}\frac{dt}{dx} - \frac{1}{x}t = 1 + \log_e x$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dx} + \frac{2}{x}t = -2(1 + \log_e x)$ हो जाता है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\log_e x} = x^2$.
हल $t \cdot x^2 = \int -2(1 + \log_e x)x^2 dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2(1 + \log_e x) dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9}$.
अतः,$\frac{x^2}{y^2} = -2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}\log_e x - \frac{x^3}{9}] + C = -2[\frac{2x^3}{9} + \frac{x^3}{3}\log_e x] + C = -\frac{4x^3}{9} - \frac{2x^3}{3}\log_e x + C$.
चूँकि $y(1) = 3$ दिया गया है,$\frac{1}{9} = -\frac{4}{9} - 0 + C \Rightarrow C = \frac{5}{9}$.
इस प्रकार,$\frac{x^2}{y^2} = \frac{5 - 4x^3 - 6x^3\log_e x}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + 3\log_e x)}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}{9}$.
अतः,$\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = \alpha$ और $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \alpha dt} = e^{\alpha t}$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है।
मान रखने पर,$y e^{\alpha t} = \int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} dt + C = \gamma \int e^{(\alpha - \beta)t} dt + C$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $\alpha \neq \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{(\alpha - \beta)t} + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + C e^{-\alpha t}$।
चूंकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए जैसे ही $t \rightarrow \infty$,$e^{-\beta t} \rightarrow 0$ और $e^{-\alpha t} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0 + 0 = 0$ है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha = \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \int \gamma dt + C = \gamma t + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \gamma t e^{-\alpha t} + C e^{-\alpha t}$।
$L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma t}{e^{\alpha t}} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma}{\alpha e^{\alpha t}} = 0$ है।
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ है।
$x \ln x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \ln x = \int x \ln x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
अतः,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
चूँकि $y(2) = 2$ दिया गया है,$2 \ln 2 = \frac{4}{2} \ln 2 - \frac{4}{4} + C \Rightarrow 2 \ln 2 = 2 \ln 2 - 1 + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 1$.
$x = e$ के लिए,$y \ln e = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} + 1$.
चूँकि $\ln e = 1$,$y(e) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2 + 4}{4}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ और $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.
माना $t = x^3$,तो $dt = 3x^2 dx$। समाकलन $\int -\frac{t \tan^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ बन जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I.F. = \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right)$।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right) \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) dx + C$.
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$।
$x = 1$ पर,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - \tan^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} \right) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} \right) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$।

(C) दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ होगा।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(x f(x)) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x f(x) = \int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} dx$.
मान लीजिए $t = \sqrt{x+1}$,तो $t^2 = x+1$,इसलिए $x = t^2-1$ और $dx = 2t dt$.
$x f(x) = \int \frac{t^2-1}{2t} (2t dt) = \int (t^2-1) dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.
$t = \sqrt{x+1}$ वापस रखने पर: $x f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{x+1} + C$.
$x=3$ के लिए,मूल समीकरण से $f(3) + 0 = \sqrt{3+1} = 2$,इसलिए $f(3) = 2$.
$x=3$ को $x f(x)$ के समीकरण में रखने पर: $3(2) = \frac{4^{3/2}}{3} - \sqrt{4} + C \Rightarrow 6 = \frac{8}{3} - 2 + C \Rightarrow C = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3x} - \frac{\sqrt{x+1}}{x} + \frac{16}{3x}$.
$x=8$ के लिए: $f(8) = \frac{9^{3/2}}{3(8)} - \frac{\sqrt{9}}{8} + \frac{16}{3(8)} = \frac{27}{24} - \frac{3}{8} + \frac{16}{24} = \frac{27 - 9 + 16}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$.
इसलिए,$12 f(8) = 17$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = x \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sec^2 x dx = x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
अतः,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot \tan(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + 1$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1$.
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1 \right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $1 = \ln e$,इसलिए $y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ है,जहाँ $k = \int_0^2 f(t) dt$ एक स्थिरांक है।
रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = k$ का सामान्य हल समाकलन गुणक $e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^x f(x) = \int k e^x dx = k e^x + c$.
अतः,$f(x) = k + c e^{-x}$ है।
प्रतिबंध $f(0) = e^{-2}$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{-2} = k + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = e^{-2} - k$ है।
$c$ का मान वापस रखने पर: $f(x) = k + (e^{-2} - k)e^{-x}$ है।
अब,$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (k + (e^{-2} - k)e^{-t}) dt$ की गणना करें।
$k = [kt - (e^{-2} - k)e^{-t}]_0^2 = (2k - (e^{-2} - k)e^{-2}) - (0 - (e^{-2} - k)) = 2k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} - k$.
$k = k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} \implies (e^{-2} - k)e^{-2} = e^{-2}$.
$e^{-2}$ से विभाजित करने पर (चूंकि $e^{-2} \neq 0$): $e^{-2} - k = 1$,इसलिए $k = e^{-2} - 1$ है।
अतः $f(x) = (e^{-2} - 1) + 1 \cdot e^{-x} = e^{-2} - 1 + e^{-x}$ है।
$f(0) = e^{-2} - 1 + 1 = e^{-2}$ है।
$f(2) = e^{-2} - 1 + e^{-2} = 2e^{-2} - 1$ है।
$2f(0) - f(2) = 2(e^{-2}) - (2e^{-2} - 1) = 1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.
मान लीजिए $y^2 = t$. तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 \frac{dt}{dx} + xt = 1$.
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} + \frac{1}{x} t = \frac{1}{x^2}$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
हल $t \cdot x = \int \frac{1}{x^2} \cdot x dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C = \ln x + C$ है।
$t = y^2$ रखने पर,$xy^2 = \ln x + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y(2) = \sqrt{\ln 2}$,इसलिए $y^2(2) = \ln 2$. $x=2$ और $y^2=\ln 2$ रखने पर: $2(\ln 2) = \ln 2 + C$,जिससे $C = \ln 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy^2 = \ln x + \ln 2 = \ln(2x)$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $e^{xy^2} = 2x$,या $2x = \exp(x^1 y^2)$.
इसकी तुलना $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 1$,और $\gamma = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta - \gamma = 2 + 1 - 2 = 1$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ है।
$dx$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ प्राप्त होता है।
$x \cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{1}{x \cos x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x \cos x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln x} = x \sec x$ है।
हल $y(x \sec x) = \int (x \sec x) \frac{1}{x \cos x} dx + C = \int \sec^2 x dx + C = \tan x + C$ है।
दिया है $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$\frac{3\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \tan(\frac{\pi}{3}) + C \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + C \implies C = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{\tan x + \sqrt{3}}{x \sec x} = \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर $y'$ और $y''$ की गणना करने पर,$|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+\ln x) \frac{dx}{dy} - x \ln x = e^y$.
माना $t = x \ln x$. तब $\frac{dt}{dy} = (1 + \ln x) \frac{dx}{dy}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dy} - t = e^y$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
समीकरण को $e^{-y}$ से गुणा करने पर: $e^{-y} \frac{dt}{dy} - e^{-y} t = 1$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy}(t e^{-y}) dy = \int 1 dy$.
$t e^{-y} = y + c$.
$t = x \ln x$ रखने पर: $x \ln x e^{-y} = y + c$,या $x \ln x = (y + c) e^y$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1 \ln 1 = (0 + c) e^0$,जिसका अर्थ है $c = 0$.
अतः,हल $x \ln x = y e^y$ है।
बिंदु $(\alpha, 2)$ के लिए,$\alpha \ln \alpha = 2 e^2$.
इसे $\ln(\alpha^\alpha) = 2 e^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$\alpha^\alpha = e^{2e^2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ प्राप्त होता है।
$dx$ और $(2x \ln x)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y}{2x \ln x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{2x \ln x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x \ln x} dx}$ है।
माना $\ln x = t$,तो $\frac{1}{x} dx = dt$. अतः,$I$.$F$. $= e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t} = \sqrt{\ln x}$।
व्यापक हल $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx + C$ है।
$y \sqrt{\ln x} = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx$.
माना $\ln x = u^2$,तो $\frac{1}{x} dx = 2u du$. समाकलन $\int u \cdot 2u du = 2 \int u^2 du = \frac{2}{3} u^3 + C = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + C$ बन जाता है।
बिंदु $(e, \frac{4}{3})$ का उपयोग करने पर,$\frac{4}{3} \sqrt{\ln e} = \frac{2}{3} (\ln e)^{3/2} + C \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$।
अतः,$y \sqrt{\ln x} = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + \frac{2}{3}$।
बिंदु $(e^4, \alpha)$ के लिए,$\alpha \sqrt{\ln e^4} = \frac{2}{3} (\ln e^4)^{3/2} + \frac{2}{3}$।
$\alpha \sqrt{4} = \frac{2}{3} (4)^{3/2} + \frac{2}{3} \Rightarrow 2\alpha = \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} = \frac{16+2}{3} = 6$।
अतः,$\alpha = 3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y}{(\ln(\cos y))^2 \cos y} = \tan y \left( \frac{3x}{\ln(\cos y)} + \frac{1}{(\ln(\cos y))^2} \right)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)}$ और $Q(y) = \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)} dy}$ है।
माना $t = \ln(\cos y)$,तो $dt = -\tan y dy$। अतः,$IF = e^{\int \frac{3}{t} dt} = e^{3 \ln t} = t^3 = (\ln(\cos y))^3$।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x (\ln(\cos y))^3 = \int \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2} \cdot (\ln(\cos y))^3 dy + C = \int \tan y \ln(\cos y) dy + C$।
$t = \ln(\cos y)$ का उपयोग करने पर,$\int t (-dt) = -\frac{t^2}{2} + C$।
अतः,$x (\ln(\cos y))^3 = -\frac{(\ln(\cos y))^2}{2} + C$।
$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \ln 2}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\ln(\cos(\frac{\pi}{3})) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2 \ln 2} (-\ln 2)^3 = -\frac{(-\ln 2)^2}{2} + C \implies -\frac{(\ln 2)^2}{2} = -\frac{(\ln 2)^2}{2} + C \implies C = 0$।
इस प्रकार,$x = -\frac{1}{2 \ln(\cos y)}$।
$y = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $x = -\frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{2 (\frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2)} = \frac{1}{\ln 4 - \ln 3} = \frac{1}{\ln(\frac{4}{3})}$।
$\frac{1}{\ln m - \ln n}$ से तुलना करने पर,हमें $m=4, n=3$ प्राप्त होता है। चूँकि $4$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,$mn = 12$।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 = 4x f(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 f'(x) - 2x f(x) = 1$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = \frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$f(x) = -\frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = \frac{2}{3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = x^2 - \frac{1}{3x}$.
$18 f(3)$ की गणना करने पर:
$f(3) = (3)^2 - \frac{1}{3(3)} = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$.
$18 f(3) = 18 \times \frac{80}{9} = 2 \times 80 = 160$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ और $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{5}{x(x^5+1)} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन को हल करने के लिए,अंश और हर को $x^{-6}$ से गुणा करें:
$I.F. = e^{\int \frac{5x^{-6}}{x^{-5}+1} dx}$.
मान लीजिए $t = x^{-5}+1$,तो $dt = -5x^{-6} dx$,इसलिए $-dt = 5x^{-6} dx$.
$I.F. = e^{\int \frac{-dt}{t}} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t} = \frac{1}{x^{-5}+1} = \frac{x^5}{x^5+1}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \int \frac{(x^5+1)^2}{x^7} \cdot \frac{x^5}{x^5+1} dx + C = \int \frac{x^5+1}{x^2} dx + C = \int (x^3 + x^{-2}) dx + C$.
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + C$.
दिया गया है $y(1) = 2$,इसलिए $2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{4} - 1 + C \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4} + C \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.
अतः,$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + \frac{7}{4}$.
$x=2$ के लिए,$y \cdot \frac{32}{33} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 4 - 0.5 + 1.75 = 5.25 = \frac{21}{4}$.
$y = \frac{21}{4} \cdot \frac{33}{32} = \frac{693}{128}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.
$(1+x^2) dx$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.
$y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.
मान लीजिए $t = y^{-1}$,तो $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.
हल $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.
चूंकि $t = \frac{1}{y}$,हमारे पास $\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$ है।
$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.
अतः,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.
$x = 2\sqrt{2}$ के लिए,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.
$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = 7$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = 7$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot e^{-x} = \int 7 e^{-x} dx + C = -7e^{-x} + C$ है।
अतः,$y = Ce^x - 7$।
$y_1(0) = 0$ के लिए: $0 = C_1(1) - 7 \Rightarrow C_1 = 7$। अतः,$y_1(x) = 7e^x - 7$।
$y_2(0) = 1$ के लिए: $1 = C_2(1) - 7 \Rightarrow C_2 = 8$। अतः,$y_2(x) = 8e^x - 7$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y_1(x) = y_2(x)$ रखें:
$7e^x - 7 = 8e^x - 7$।
$7e^x = 8e^x \Rightarrow e^x = 0$।
चूंकि $e^x$ का मान किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $0$ नहीं होता है,इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{4x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{4x}{x^2-1} dx} = e^{2\ln(x^2-1)} = (x^2-1)^2$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}[y(x^2-1)^2] = \frac{x+2}{(x^2-1)^{1/2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x^2-1)^2 = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx + \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}} dx = \sqrt{x^2-1} + 2\ln(x+\sqrt{x^2-1}) + C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(2) = \frac{2}{9}\ln(2+\sqrt{3})$ का उपयोग करने पर,$C = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(\sqrt{2}) = 1 + 2\ln(\sqrt{2}+1) - \sqrt{3}$ है।
तुलना करने पर $\alpha=4, \beta=1, \gamma=3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha\beta\gamma = 12$।