अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

मान लीजिए $f : (0, \infty) \to (2, 20)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x)$,जहाँ $\lim_{x \to \infty} g(x)$ का अस्तित्व है और यह $5$ के बराबर है,तो $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 0$ है।

यदि $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ है,तो $y$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \geq 3$ है। तो $12f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।