अवकल समीकरण (tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx क | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(	an ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{	an ^{-1} y - x}{1+y^2}$

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$e^{	an ^{-1} y}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(	an ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{	an ^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{	an ^{-1} y}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{	an ^{-1} y}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है। $IF = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an ^{-1} y}$। अतः,सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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माना $y(x)$ अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ का हल है। तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए: $[y(1) = 0]$

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