Homogeneous differential equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = v x$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = v(\log v + 1)$
$v + x \frac{d v}{d x} = v \log v + v$
$x \frac{d v}{d x} = v \log v$
ચલ અલગ કરતા: $\frac{d v}{v \log v} = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} d v = \int \frac{1}{x} d x$.
ધારો કે $\log v = t$,તેથી $\frac{1}{v} d v = d t$.
$\int \frac{1}{t} d t = \int \frac{1}{x} d x \implies \log t = \log x + \log c$.
$\log(\log v) = \log(c x) \implies \log v = c x$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = c x \implies \frac{y}{x} = e^{c x} \implies y = x e^{c x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|cx|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$
અથવા $x^2 = C[y + \sqrt{x^2 + y^2}]$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\left(1+e^{x / y}\right) d x+e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{d x}{d y}=-\frac{e^{x / y}(1-x / y)}{1+e^{x / y}}$
ધારો કે $x=v y$,તેથી $\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v+y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v-v e^v}{1+e^v}-v = \frac{-e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v} = -\frac{v+e^v}{1+e^v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\frac{d y}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\int \frac{d y}{y}$
ધારો કે $v+e^v=t$,તેથી $(1+e^v) d v=d t$.
તેથી,$\int \frac{d t}{t}=-\int \frac{d y}{y} \Rightarrow \ln|t|=-\ln|y|+\ln|c|$
$\ln|t|+\ln|y|=\ln|c| \Rightarrow \ln|t y|=\ln|c| \Rightarrow t y=c$
$t=v+e^v$ અને $v=x/y$ મૂકતા: $(x/y+e^{x/y}) y=c$
$x+y e^{x/y}=c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ મળે છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x \frac{dv}{dx} = e^v$ અથવા $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$,જે $-e^{-v} = \log x + c$ આપે છે.
$v = y/x$ મૂકતા,આપણને $-e^{-y/x} = \log x + c$ મળે છે.
શરત $y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $-e^0 = \log 1 + c$,જેનો અર્થ છે કે $-1 = 0 + c$,તેથી $c = -1$.
આમ,$-e^{-y/x} = \log x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $e^{-y/x} + \log x = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|x| + C$,જ્યાં $C = \ln|k|$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|kx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ છે.
તેને $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = v x$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x^3 + v^3 x^3}{x(v x)^2} = \frac{x^3(1 + v^3)}{x^3 v^2} = \frac{1 + v^3}{v^2}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^3}{v^2} - v = \frac{1 + v^3 - v^3}{v^2} = \frac{1}{v^2}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $v^2 d v = \frac{1}{x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v^2 d v = \int \frac{1}{x} d x$.
$\frac{v^3}{3} = \log |x| + C$.
કારણ કે $\log |x| + C = \log |x| + \log c = \log |c x|$,તેથી $\frac{v^3}{3} = \log |c x|$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{3} \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \log |c x|$ મળે છે.
તેથી,$y^3 = 3 x^3 \log |c x|$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
ધારો કે $u = 1-v^2$,તો $du = -2v dv$. સંકલન કરતા: $-\int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$
$-\ln|1 - (y/x)^2| = \ln|cx|$
$-\ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}| = \ln|cx|$
$\ln|\frac{x^2}{x^2-y^2}| = \ln|cx|$
$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$
$x = c(x^2-y^2)$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2} - v = \frac{-v^2 - v + v^2 - v^3}{1 - v + v^2} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$.
તેથી,$(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}) dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log|v| - \tan^{-1}(v) = -\log|x| + C$.
$\log|vx| = \tan^{-1}(v) + C$.
કારણ કે $y = vx$,તેથી $\log|y| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + C$,એટલે કે $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{-v}$.
$x \frac{d v}{d x} = e^{-v} \Rightarrow e^v d v = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^v d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow e^v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $e^{\frac{y}{x}} = \log |x| + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = \log e = 1$,તેથી $x=1, y=1$ માટે: $e^{\frac{1}{1}} = \log(1) + C \Rightarrow e = 0 + C \Rightarrow C = e$.
આમ,ઉકેલ $e^{\frac{y}{x}} = \log x + e$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકો: $e^{\frac{y(e)}{e}} = \log e + e = 1 + e$.
બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\frac{y(e)}{e} = \log(1+e) \Rightarrow y(e) = e \log(1+e)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ મળે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
આનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = -\tan v$ અથવા $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
આથી $\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$ મળે.
લઘુગણકના નિયમો મુજબ,$\ln |\sin v| = \ln \left|\frac{k}{x}\right|$,તેથી $\sin v = \frac{k}{x}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{k}{x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y = x \sin^{-1} \left(\frac{k}{x}\right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ મળે.
સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k+1 = 0$ અને $h-k-1 = 0$ લો.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$h = 0$ અને $k = -1$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ બને છે.
ગોઠવતા,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,જેનો અર્થ છે કે $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.
$X^2+Y^2$ વડે ભાગતા,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int d\left(\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)\right) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ મળે.
$X = x$ અને $Y = y+1$ મૂકતા,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ મળે.
તેથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x dy - y dx = y dy$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x dy - y dy = y dx$
$\Rightarrow (x - y) dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x - y}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $dy = v dx + x dv$.
$v dx + x dv = \frac{vx}{x - vx} dx = \frac{v}{1 - v} dx$
$x dv = (\frac{v}{1 - v} - v) dx = \frac{v^2}{1 - v} dx$
$\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$
$\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-v^{-1} - \ln|v| = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{v} = \ln|vx| + C$
$v = \frac{y}{x}$ અને $vx = y$ મૂકતા:
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + C$
$\ln|y| = -\frac{x}{y} - C$
$y = A e^{-x/y}$ જ્યાં $A = e^{-C}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. $h$ અને $k$ એવી રીતે પસંદ કરો કે જેથી $h+2k-3=0$ અને $2h+k-3=0$ થાય,જેનાથી આપણને $h=1$ અને $k=1$ મળે છે.
$x=X+1$ અને $y=Y+1$ મૂકતા,સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{X+2Y}{2X+Y}$ બને છે.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
તેથી,$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v}{2+v}$.
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v-2v-v^2}{2+v} = \frac{1-v^2}{2+v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v+2}{1-v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\int (\frac{v}{1-v^2} + \frac{2}{1-v^2}) dv = \ln|X| + C$.
$-\frac{1}{2}\ln|1-v^2| + \ln|\frac{1+v}{1-v}| = \ln|X| + C$.
ગણતરી કરતા,આપણને $(x+y-2) = c(x-y)^3$ મળે છે.

(B) આપેલ સમઘાત વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ છે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2} - v = \frac{v^3 - v^2 - 2v + 2}{1 - v^2} = \frac{(v^2 - 2)(v - 1)}{-(v^2 - 1)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v^2 - 1}{(v^2 - 2)(v - 1)} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{v+1}{v^2-2} = \frac{v}{v^2-2} + \frac{1}{v^2-2}$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \log |v^2 - 2| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -\log |x| + C$.
$2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{2} \log |v^2 - 2| + \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -2\sqrt{2} \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$.

(A) જ્યારે પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$ એ પ્રથમ ફેંકમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની છે. પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ${2, 3, 5}$ છે. તેથી,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $B$ એ બીજી ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મેળવવાની છે. પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ ${2, 4, 6}$ છે. તેથી,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $\overline{B}$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવી. એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે. તેથી,$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$A$ ની ઘટના $\overline{B}$ ની ઘટના પર આધારિત નથી.
તેથી,$P(A / \overline{B}) = P(A) = \frac{1}{2}$.

(C) $52$ પત્તાના પેકમાં $12$ ફેસ કાર્ડ હોય છે. કાળા રંગના $6$ ફેસ કાર્ડ હોય છે.
પ્રથમ પત્તું રાણી છે. કુલ $4$ રાણીઓ છે.
જો પ્રથમ પત્તું કાળી રાણી હોય (સંભાવના $2/4 = 1/2$),તો બાકી રહેલા $51$ પત્તામાં $5$ કાળા ફેસ કાર્ડ બાકી રહે.
જો પ્રથમ પત્તું લાલ રાણી હોય (સંભાવના $2/4 = 1/2$),તો બાકી રહેલા $51$ પત્તામાં $6$ કાળા ફેસ કાર્ડ બાકી રહે.
કુલ સંભાવના $= (1/2 \times 5/51) + (1/2 \times 6/51) = 11/102$.

(C) ધારો કે $A$ એ અંકોનો સરવાળો $10$ હોય તેવી ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ અંકોનો ગુણાકાર $9$ હોય તેવી ઘટના છે.
ટિકિટો $00$ થી $49$ સુધીની છે.
ઘટના $B$ માટે (અંકોનો ગુણાકાર $9$ છે): શક્ય સંખ્યાઓ $19$ અને $33$ છે. તેથી,$B = \{19, 33\}$ અને $n(B) = 2$.
ઘટના $A$ માટે (અંકોનો સરવાળો $10$ છે): શક્ય સંખ્યાઓ $19, 28, 37, 46$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જ્યાં સરવાળો $10$ અને ગુણાકાર $9$ હોય. તેથી,$A \cap B = \{19\}$ અને $n(A \cap B) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે ત્રણ ઉછાળના પરિણામો $(T_1, T_2, T_3)$ છે. કુલ નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો છે: $\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
આપેલ છે કે ત્રીજો ઉછાળ છાપ $(T_3 = H)$ છે,તેથી ઘટાડેલ નિદર્શાવકાશ $S'$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં ત્રીજો ઉછાળ $H$ હોય: $S' = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$.
ઘટાડેલ નિદર્શાવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા $n(S') = 4$ છે.
આપણે પ્રથમ બે ઉછાળમાં ઓછામાં ઓછી એક વધુ છાપ મેળવવાની સંભાવના જોઈએ છે. $S'$ માં સાનુકૂળ પરિણામો $\{HHH, HTH, THH\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$
ગોઠવતા: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$
સમીકરણો $7x - 3y - 7 = 0$ અને $3x - 7y - 3 = 0$ ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $(1, 0)$ મળે છે.
$x = 1 + u$ અને $y = 0 + v = v$ લેતા,$dx = du$ અને $dy = dv$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $(7u - 3v)du + (3u - 7v)dv = 0$ $\ldots(ii)$
આ એક સુરેખ સમઘાત સમીકરણ છે. $u = tv$ લેતા,$du = t dv + v dt$ થાય.
સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા: $(7tv - 3v)(t dv + v dt) + (3tv - 7v)dv = 0$
$(7t - 3)(t dv + v dt) + (3t - 7)dv = 0$
$(7t^2 - 7)dv + v(7t - 3)dt = 0$
$\int \frac{dv}{v} + \int \frac{7t - 3}{7(t^2 - 1)} dt = 0$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{7t - 3}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - 1} + \frac{5}{t + 1}$.
$\ln |v| + \frac{1}{7} [2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1|] = C_1$
$7 \ln |v| + 2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1| = C_2$
$\ln |v^7 (t - 1)^2 (t + 1)^5| = C_2$
$t = u/v$ મૂકતા: $v^7 (u/v - 1)^2 (u/v + 1)^5 = C$
$(u - v)^2 (u + v)^5 = C$
$u = x - 1$ અને $v = y$ મૂકતા: $(x - y - 1)^2 (x + y - 1)^5 = C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $t^2 dx + (x^2 - tx + t^2) dt = 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $t^2 dx = -(x^2 - tx + t^2) dt$,જે આપે છે $\frac{dx}{dt} = -\frac{x^2 - tx + t^2}{t^2}$.
આને $\frac{dx}{dt} = -(\frac{x}{t})^2 + \frac{x}{t} - 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $\frac{dx}{dt} = f(\frac{x}{t})$ સ્વરૂપનું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = Vt$ આદેશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $V$ એ $t$ નું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$.
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v - \log|1+v| = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$.
આમ,$y = x \log|x+y| + Cx$,જેને $y = x \log(c|x+y|)$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v} - v = \frac{2v-v^2-3v+2v^2}{3-2v} = \frac{v^2-v}{3-2v}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{3-2v}{v^2-v} dv = \frac{dx}{x}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3-2v}{v(v-1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} \Rightarrow 3-2v = A(v-1) + Bv$.
$v=0$ માટે,$A=-3$. $v=1$ માટે,$B=-1$.
તેથી,$\int (\frac{-3}{v} - \frac{1}{v-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-3\ln|v| - \ln|v-1| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v^3(v-1)|^{-1} = \ln|cx| \Rightarrow v^3(v-1) = \frac{1}{cx}$
$v=\frac{y}{x}$ મૂકતા: $(\frac{y}{x})^3(\frac{y}{x}-1) = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{y^3(y-x)}{x^4} = \frac{1}{cx} \Rightarrow y^3(y-x) = \frac{x^3}{c}$
આમ,$xy-x^2=cy^3$ એ માંગેલ ઉકેલ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \text{cosec}\left(\frac{y}{x}\right)$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \text{cosec}(v)$
$x \frac{dv}{dx} = -\text{cosec}(v)$
ચલને અલગ કરતા: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos(v) = -\log |x| + C$
$\cos(v) = \log |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3y}{3x-2y}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x + 3vx}{3x - 2vx} = \frac{2+3v}{3-2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{2+3v}{3-2v} - v = \frac{2+3v - 3v + 2v^2}{3-2v} = \frac{2v^2+2}{3-2v}$.
ચલ અલગ કરતા:
$\frac{3-2v}{2(v^2+1)} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{3}{2} \int \frac{dv}{v^2+1} - \int \frac{v}{v^2+1} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(v^2+1) = \ln|x| + C$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(v^2+1) + C = \ln|x \sqrt{v^2+1}| + C = \ln \sqrt{x^2+y^2} + C$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C'$.
$\frac{y}{x} = \tan(\frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C')$.
$y = x \tan(f(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{3} \log(x^2+y^2)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x^2 - xy - y^2)}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = -(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1$.
ધારો કે $x = vy$,તો $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = -v^2 + v + 1$.
$y \frac{dv}{dy} = 1 - v^2$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{1 - v^2} = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + v}{1 - v}| = \ln |y| + C$.
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + x/y}{1 - x/y}| = \ln |y| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + C$.
બિંદુ $(2, 1)$ આગળ: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + 2}{1 - 2}| = \ln |1| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |3| = C$.
આમ,$\frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + \frac{1}{2} \ln 3$.
$2$ વડે ગુણતા: $\ln |\frac{y + x}{y - x}| = 2 \ln |y| + \ln 3 = \ln |3y^2|$.
ઘાતાંકીય લેતા: $\frac{y + x}{y - x} = 3y^2$ અથવા $\frac{y + x}{x - y} = -3y^2$.
ગોઠવતા: $y + x = 3y^2(x - y) = 3(xy^2 - y^3)$.
$x + y = k(xy^2 - y^3)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$
પદોને ગોઠવતા: $x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) d x + x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y = x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) d y - y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right) d x$
$dx$ અને $dy$ ના પદોને અલગ કરતા: $[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)] d x = [x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)] d y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
$y=vx$ આદેશ લેતા,$\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} d v = 2 \frac{d x}{x}$
$\int (\tan v - \frac{1}{v}) d v = 2 \int \frac{d x}{x}$
$\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
$\log |\frac{\sec v}{v}| = \log |C_1 x^2| \Rightarrow \frac{\sec v}{v} = C_1 x^2$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C_1 x^2 \Rightarrow \frac{\sec(y/x)}{y} = C_1 x \Rightarrow \sec(y/x) = C_1 x y$
આમ,$\frac{1}{\cos(y/x)} = C_1 x y \Rightarrow \cos(y/x) = \frac{1}{C_1 x y} = \frac{C}{x y}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$
$x dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.
$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.
આપેલ છે કે $x=\sqrt{3}$ ત્યારે $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.
$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+xy)y'=y^2$.
$(x^2+xy)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.
આ એક સુરેખ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2+x(vx)} = \frac{v^2x^2}{x^2(1+v)} = \frac{v^2}{1+v}$.
પદોને ગોઠવતા: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{1+v} - v = \frac{v^2 - v - v^2}{1+v} = \frac{-v}{1+v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+v}{v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{v} + 1) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|v| + v = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln|\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| - \ln|x| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| + \frac{y}{x} = C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^{\ln|y| + \frac{y}{x}} = e^C$.
$y \cdot e^{\frac{y}{x}} = K$ (જ્યાં $K = e^C$).
ગોઠવતા $e^{-\frac{y}{x}} = cy$ મળે (જ્યાં $c = 1/K$).

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-3xy^2)dx = (y^3-3x^2y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^3-3xy^2}{y^3-3x^2y}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^3-3x(vx)^2}{(vx)^3-3x^2(vx)} = \frac{x^3(1-3v^2)}{x^3(v^3-3v)} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v} - v = \frac{1-3v^2-v^4+3v^2}{v^3-3v} = \frac{1-v^4}{v^3-3v}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\int \frac{v^3-3v}{1-v^4} dv = \int \frac{dx}{x}$
$\int \frac{v^3}{1-v^4} dv - 3\int \frac{v}{1-v^4} dv = \ln|x| + C$
ધારો કે $1-v^4 = t \Rightarrow -4v^3 dv = dt \Rightarrow v^3 dv = -\frac{dt}{4}$.
ધારો કે $v^2 = m \Rightarrow 2v dv = dm \Rightarrow v dv = \frac{dm}{2}$.
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{2}\int \frac{dm}{1-m^2} = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+v^2}{1-v^2}| = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$-\frac{1}{4}\ln|1-\frac{y^4}{x^4}| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+y^2/x^2}{1-y^2/x^2}| = \ln|x| + C$
સાદું રૂપ આપતા ઉકેલ મળે છે: $c^2(x^2+y^2)^2 = (y^2-x^2)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} = \frac{v}{1 + v^3}$.
તેથી,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} = \frac{-v^4}{1 + v^3}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v^3}{v^4} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-4} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
આથી,$-\frac{1}{3v^3} + \log |v| = -\log |x| + c$ મળે.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{1}{3(y/x)^3} + \log |\frac{y}{x}| = -\log |x| + c$.
$-\frac{x^3}{3y^3} + \log |y| - \log |x| = -\log |x| + c$.
આમ,$\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$ મળે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v + v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\sqrt{x^2+y^2} + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$.
$x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $y' = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમત મૂકતા: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
$\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$.
$y(1) = 1$ હોવાથી,$x = 1$ ત્યારે $v = \frac{y}{x} = 1$.
$\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$,જેનો અર્થ છે કે $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v} + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $e^v dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^v dv = \int \frac{2}{x} dx$.
$e^v = 2 \log |x| + C_1$.
અચળાંક $C_1 = 2 \log |C|$ લેતા,$e^v = 2 \log |x| + 2 \log |C| = 2 \log |Cx|$.
તેથી,$e^{y/x} = 2 \log |Cx|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{(vx)^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2 x^2}{x^2(v - 1)} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{v - 1}{v} d v = \frac{d x}{x}$.
$(1 - \frac{1}{v}) d v = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 - \frac{1}{v}) d v = \int \frac{d x}{x}$.
$v - \ln |v| = \ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{y}{x} - \ln |\frac{y}{x}| = \ln |x| + C$.
$\frac{y}{x} = \ln |\frac{y}{x}| + \ln |x| + C = \ln |y| + C$.
$e^{y/x} = e^{\ln |y| + C} = e^C \cdot y = ky$ (જ્યાં $k = e^C$ એક અચળાંક છે).
આમ,$e^{y/x} = ky$.

(B) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad \dots(i)$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan v}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$
ચલને અલગ કરતા:
$\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\log|\sin v| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin v| = \log|cx|$
$\sin v = cx$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$
$\Rightarrow x^2 dy = (xy - y^2) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) - (vx)^2}{x^2} = \frac{vx^2 - v^2x^2}{x^2} = v - v^2$
$x \frac{dv}{dx} = v - v^2 - v = -v^2$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{-v^2} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int -v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$\frac{1}{v} = \ln|x| + C$
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી:
$\frac{x}{y} = \ln|x| + C$
$x = y \ln|x| + Cy$
$y \log x = x + Cy$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y + (h+7k+3)}{3X+5Y + (3h+5k+9)}$.
સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+7k+3=0$ અને $3h+5k+9=0$ લેતા.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$h=-3$ અને $k=0$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y}{3X+5Y}$ બને છે.
ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{d Y}{d X} = v + X \frac{d v}{d X}$.
$v + X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v}{3+5v} \Rightarrow X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v - 3v - 5v^2}{3+5v} = \frac{-5v^2+4v+1}{3+5v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{5v+3}{5v^2-4v-1} dv = -\int \frac{1}{X} dX$.
સંકલન કરતા,આપણને $v$ અને $X$ વચ્ચેનો સંબંધ મળે છે.
છેલ્લે $v = \frac{Y}{X} = \frac{y}{x+3}$ અને $X = x+3$ મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $(y-x+3)^4 = c|5y+x-3|$ મળે છે.

(B) ધારો કે $5 \ cm$ ની ધાર ધરાવતા મોટા સમઘનને કાપ્યા પછી $1 \ cm$ ની ધાર ધરાવતા $n$ નાના સમઘન મળે છે.
મોટા સમઘનનું કદ $= n \times$ નાના સમઘનનું કદ
$\Rightarrow 5^3 = n \times 1^3$
$\Rightarrow n = 125$.
જ્યારે રંગીન સમઘનને $125$ નાના સમાન સમઘનમાં કાપવામાં આવે છે:
$1$. $3$ બાજુઓ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (ખૂણા પર) $= 8$.
$2$. $2$ બાજુઓ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (ધાર પર) $= (5-2) \times 12 = 3 \times 12 = 36$.
$3$. $1$ બાજુ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (સપાટી પર) $= (5-2)^2 \times 6 = 9 \times 6 = 54$.
ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી હોય તેવા કુલ સમઘન $= 8 + 36 + 54 = 98$.
આપણને આપેલ છે કે પસંદ કરેલ સમઘનની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી છે. આપણે સંભાવના શોધવાની છે કે વધુ $2$ બાજુઓ પણ રંગાયેલી હોય,જેનો અર્થ છે કે સમઘનની કુલ $3$ બાજુઓ રંગાયેલી છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સમઘનની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી છે,તેથી $n(E) = 98$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે સમઘનની $3$ બાજુઓ રંગાયેલી છે,તેથી $n(F) = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(F|E) = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{8}{98} = \frac{4}{49}$.

(B) ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે $3$ પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $15$ છે. સરવાળો $15$ મેળવવા માટેના શક્ય પરિણામો $(6, 6, 3)$,$(6, 5, 4)$ અને $(5, 5, 5)$ ના ક્રમચયો છે.
$(6, 6, 3)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$(6, 5, 4)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
$(5, 5, 5)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 6 + 1 = 10$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $3$ પાસાઓમાંથી કોઈ પણ પર સંખ્યા $5$ દેખાતી નથી.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ શોધવાની છે.
$E \cap F$ એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $15$ હોય અને સંખ્યા $5$ દેખાતી ન હોય.
ઉપરના સંયોજનોમાંથી,માત્ર $(6, 6, 3)$ સેટમાં સંખ્યા $5$ નથી.
$(6, 6, 3)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $3$ છે.
આમ,$n(E \cap F) = 3$.
તેથી,$P(E|F) = \frac{3}{10}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ ત્રણ ઉછાળમાં $2$ કે તેથી વધુ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$E_1 = \{HHH, HTH, HHT, THH\}$.
$P(E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E_2$ એ $6$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
આપણે $P(E_2 | E_1) = \frac{P(E_2 \cap E_1)}{P(E_1)}$ શોધવાનું છે.
$E_2 \cap E_1$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પ્રથમ ત્રણ ઉછાળમાં $2$ કે તેથી વધુ છાપ છે અને કુલ $6$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ હોય (દા.ત.,$HHT, HTH, THH$).
જો પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ હોય,તો બાકીના $3$ ઉછાળમાં બરાબર $1$ છાપ હોવી જોઈએ જેથી કુલ $3$ છાપ થાય.
પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{2} = 3$.
છેલ્લા $3$ ઉછાળમાં $1$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{1} = 3$.
કુલ રીતો $= 3 \times 3 = 9$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ હોય $(HHH)$.
જો પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ હોય,તો બાકીના $3$ ઉછાળમાં $0$ છાપ હોવી જોઈએ જેથી કુલ $3$ છાપ થાય.
પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{3} = 1$.
છેલ્લા $3$ ઉછાળમાં $0$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{0} = 1$.
કુલ રીતો $= 1 \times 1 = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E_2 \cap E_1) = 9 + 1 = 10$.
$P(E_2 \cap E_1) = \frac{10}{2^6} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
$P(E_2 | E_1) = \frac{5/32}{1/2} = \frac{5}{16}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ છે.
$dy \cdot y \sin \left(\frac{x}{y}\right)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - \frac{1}{\sin(x/y)}$ મળે છે.
ધારો કે $v = \frac{x}{y}$,તેથી $x = vy$,અને $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = v - \frac{1}{\sin v}$.
આનું સાદું રૂપ $y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{\sin v}$ થાય છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\cos v = -\log_e |y| + C$,જેનું સાદું રૂપ $\cos v = \log_e |y| + C$ થાય છે.
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e |y| + C$.
આપેલ છે કે $y(\pi/4) = 1$,તેથી $x = \pi/4$ અને $y = 1$ લેતા: $\cos(\pi/4) = \log_e(1) + C \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ઉકેલ $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$.
$x$ વડે ભાગતા: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$.
$v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$.
$x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos(v) = -\log|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x = 1$ માટે $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$-\cos(v) = -\log x$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ ...$(i)$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $x = vy$,તેથી $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ ...(ii)
(ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(e^v + v)}{1+e^v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{dy}{y}$
ધારો કે $v+e^v = t$,તેથી $(1+e^v) dv = dt$. તેથી,$\ln|t| = -\ln|y| + \ln|C|$
$\ln|v+e^v| + \ln|y| = \ln|C| \Rightarrow y(v+e^v) = C$
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $y(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}) = C \Rightarrow x + ye^{\frac{x}{y}} = C$