Homogeneous differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$ છે.
$\frac{y}{x} = v$ લેતા,તેથી $y = vx$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \tan(v) + v$.
સાદુરૂપ આપતા,$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dv}{\tan(v)} = \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot(v) \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot(v) \, dv = \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\ln |\sin(v)| = \ln |x| + \ln |c|$ મળે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$\sin(v) = cx$ મળે.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ મળે છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = - \tan v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\tan v} = - \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = - \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = - \int \frac{1}{x} \, dx$.
આથી $\ln |\sin v| = - \ln |x| + \ln |c|$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c| \Rightarrow \ln |x \sin v| = \ln |c|$.
આમ,$x \sin v = c$. $v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \tan v + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\log |\sin v| = \log |x| + \log |c|$.
$\log |\sin v| = \log |cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\sin v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = \log v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$ બને છે.
$\log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$\log|\log v| = \log|cx|$.
$\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $v dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$.
$2x^2$ વડે ગુણતા: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$.
ગોઠવતા: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$.
$-c$ ને નવા અચળાંક $C$ તરીકે લેતા,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ મળે છે.

(A) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ આપેલ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{1+v^2}{2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,ઉકેલ $2y^2 = 2x^2 - 3x$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+y}{x-y}$ છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ હોવાથી,ધારો કે $y=vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3x+vx}{x-vx} = \frac{3+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{3+v}{1-v} - v = \frac{3+v-v+v^2}{1-v} = \frac{3+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{1-v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{3+v^2} dv - \int \frac{v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{v}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log(3+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(3+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{3x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \log\left(\frac{y^2+3x^2}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = \log|x| + C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$
પદોને ગોઠવતા: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $1-v^2 = t$,તો $-2v dv = dt$,તેથી $2v dv = -dt$.
$-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$
$\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$
$v = y/x$ મૂકતા: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$
$\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$
ગોઠવતા $x^2-y^2 = Cx$ મળે છે (જ્યાં $C = 1/C_1$ એ સ્વૈર અચળાંક છે).

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx}{x + \sqrt{x^2v}} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}} - v = \frac{-v\sqrt{v}}{1 + \sqrt{v}}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $-\frac{1 + \sqrt{v}}{v\sqrt{v}} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow -(\frac{1}{v^{3/2}} + \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int (v^{-3/2} + v^{-1}) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$-(-2v^{-1/2} - \ln|v|) = \ln|x| + C$.
$2\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln|v| = \ln|x| + C$.
$v = y/x$ મૂકતા,$2\sqrt{x/y} + \ln(y/x) = \ln|x| + C$ મળે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v x^2 + v^2 x^2}{x^2 + vx^2} = -\frac{3v+v^2}{1+v}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v+v^2}{1+v} - v = -\frac{3v+v^2+v+v^2}{1+v} = -\frac{2v^2+4v}{1+v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{2v^2+4v} dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int \frac{1+v}{v^2+2v} dv = -2\int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = v^2+2v$,તો $du = (2v+2) dv = 2(v+1) dv$.
તેથી,$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -2\ln|x| + C'$.
$\frac{1}{2} \ln|v^2+2v| = -2\ln|x| + C'$.
$\ln|v^2+2v| = -4\ln|x| + C''$.
$\ln|v^2+2v| + \ln|x^4| = C''$.
$\ln|x^4(v^2+2v)| = C''$.
$x^4(\frac{y^2}{x^2} + \frac{2y}{x}) = c$.
$x^2(y^2+2xy) = c$.

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ સમપરિમાણીય છે જો $f(x, y)$ એ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય.
$I$ માટે: $f(x, y) = \frac{y+x}{x} = \frac{y}{x} + 1$. આ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,$I$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
$II$ માટે: $f(x, y) = \frac{x^2+y}{x^3} = \frac{1}{x} + \frac{y}{x^3}$. આ સમપરિમાણીય વિધેય નથી કારણ કે પદોની ઘાત સમાન નથી. તેથી,$II$ સમપરિમાણીય નથી.
$III$ માટે: $f(x, y) = \frac{2xy}{y^2-x^2}$. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $f(x, y) = \frac{2(y/x)}{(y/x)^2-1}$ મળે છે. આ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,$III$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
આમ,$I$ અને $III$ સમપરિમાણીય હોવાથી,વિધાન $S3$ સાચું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{v^2}{2} = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y^2}{2x^2} = \log |x| + C \Rightarrow y^2 = 2x^2 \log |x| + 2x^2 C$.
કારણ કે $\log |x| = \frac{1}{2} \log x^2$,તેથી $y^2 = x^2 \log x^2 + 2x^2 C$.
શરત $y(1) = -2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(-2)^2 = (1)^2 \log(1)^2 + 2(1)^2 C \Rightarrow 4 = 0 + 2C \Rightarrow C = 2$.
આમ,ઉકેલ $y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \frac{1}{2} \int \frac{2v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log |1+v^2| = \log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |1 + \frac{y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |\frac{x^2+y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} (\log |x^2+y^2| - \log |x^2|) = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| + \log |x| = \log |x| + c$.
આમ,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ છે.
$x^{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = ux$,તેથી $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = u^{2} + u$.
બંને બાજુથી $u$ બાદ કરતા: $x \frac{du}{dx} = u^{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{du}{u^{2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int u^{-2} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$-u^{-1} = \log |x| + c$.
$u = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$-\frac{x}{y} = \log |x| + c$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{y} + \log |x| = -c$,જેને $\frac{x}{y} + \log |x| = C$ તરીકે લખી શકાય (જ્યાં $C = -c$).

(D) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = ux$,તેથી $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$.
બંને બાજુથી $u$ બાદ કરતા:
$x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\tan^{-1}(u) = \log|x| + C$.
$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan^{-1}(0) = \log|1| + C$,જેનો અર્થ છે $0 = 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,સમીકરણ $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x|$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$
બંને બાજુ $dx \cdot x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)}$
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v} = -\operatorname{cosec} v$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log |x| + c$
$\cos v = \log |x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$.
$v = 0$ માટે,$A = 1/2$ અને $v = -2$ માટે,$B = 1/2$ મળે.
તેથી,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$.
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$.
$\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$.
$v = y/x$ મૂકતા: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ માટે: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

(D) જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ હોય,તો વિધેય $f(x, y)$ ને $n$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય કહેવાય છે.
$1$. $f(x, y) = y^2+2xy$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2(y^2+2xy) = \lambda^2 f(x, y)$. આ $2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$2$. $f(x, y) = 2x-3y$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = 2(\lambda x) - 3(\lambda y) = \lambda(2x-3y) = \lambda^1 f(x, y)$. આ $1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$3$. $f(x, y) = \sin\left(\frac{y}{x}\right)$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = \sin\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \sin\left(\frac{y}{x}\right) = \lambda^0 f(x, y)$. આ $0$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$4$. $f(x, y) = \cos x + \sin y$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = \cos(\lambda x) + \sin(\lambda y)$. આ વિધેયને કોઈ પણ $n$ માટે $\lambda^n f(x, y)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,$\cos x + \sin y$ એ સમપરિમાણીય વિધેય નથી.

(B) ધારો કે $S$ એ $50$ ટિકિટોનો નિદર્શાવકાશ છે: $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$,તેથી $n(S) = 50$.
ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $8$ છે: $E_1 = \{08, 17, 26, 35, 44\}$,તેથી $n(E_1) = 5$.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે અંકોનો ગુણાકાર શૂન્ય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય: $E_2 = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$,તેથી $n(E_2) = 14$.
છેદગણ $E_1 \cap E_2$ એ ટિકિટોનો સમૂહ છે જ્યાં સરવાળો $8$ અને ગુણાકાર $0$ છે: $E_1 \cap E_2 = \{08\}$,તેથી $n(E_1 \cap E_2) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{1}{14}$ છે.

(D) $1$ થી $19$ વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. આવી કુલ $8$ સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ મહેમાનને અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળો રૂમ આપવામાં આવ્યો હોવાથી,હવે $8 - 1 = 7$ અવિભાજ્ય રૂમ બાકી રહે છે.
બીજા મહેમાન માટે કુલ બાકી રહેલા રૂમની સંખ્યા $19 - 1 = 18$ છે.
તેથી,બીજા મહેમાનને અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળો રૂમ મળે તેની સંભાવના $\frac{7}{18}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A') = 0.6$,તેથી $P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
આપણને $P(B) = 0.8$ અને $P(B/A) = 0.3$ આપેલ છે.
ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A/B) = \frac{0.12}{0.8} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$.

(A) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $5 + 3 = 8$ છે.
આપણે બદલ્યા વગર બે પ્રયત્નોમાં એક લાલ અને એક લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: (લાલ પછી લીલો) અથવા (લીલો પછી લાલ).
$\text{જરૂરી સંભાવના} = P(R_1 \cap G_2) + P(G_1 \cap R_2)$
$= P(R_1) \cdot P(G_2 | R_1) + P(G_1) \cdot P(R_2 | G_1)$
$= \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}\right)$
$= \frac{15}{56} + \frac{15}{56}$
$= \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = -\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $\frac{x}{y}$ પદ હોવાથી,તે $\frac{dx}{dy} = F\left(\frac{x}{y}\right)$ સ્વરૂપનું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
આવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = vy$ આદેશ લઈએ છીએ,જ્યાં $v$ એ $y$ નું વિધેય છે.
તેથી,સાચો આદેશ $x = vy$ છે.

(B) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
આપેલ છે કે $P(A \mid B) = 1$,તેથી $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cap B$ એ $B$ નો ઉપગણ છે $(A \cap B \subseteq B)$,અને જો તેમની સંભાવનાઓ સમાન હોય,તો તેનો અર્થ એ થાય કે $B$ ના તમામ પરિણામો $A$ માં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,$B \subseteq A$ (અથવા આપેલા વિકલ્પોના સંદર્ભમાં $B \subset A$).

(B) આપેલ છે: $3 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{39}$.
$P(B) = \frac{5}{13} = \frac{15}{39}$.
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{3}{13} = \frac{9}{39}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{39} + \frac{15}{39} - \frac{9}{39} = \frac{11}{39}$.

(A) આપેલ છે કે $2 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{5}{13}$.
આપેલ છે કે $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
આપણે સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{11}{26}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dt}{dx} = \frac{t}{x + t e^{-2x/t}}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x + t e^{-2x/t}}{t}$.
અંશના દરેક પદને $t$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + \frac{t e^{-2x/t}}{t}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + e^{-2(x/t)}$.
આ $\frac{dx}{dt} = \phi\left(\frac{x}{t}\right)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\phi(v) = v + e^{-2v}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ મળે છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
સાદું રૂપ આપતા,$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v + \sqrt{v^2 + 1}) = \ln|x| + C = \ln|cx|$.
તેથી,$v + \sqrt{v^2 + 1} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 1} = cx \Rightarrow y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.
આપેલ છે કે $y(\sqrt{3}) = 1$,તેથી $1 + \sqrt{3 + 1} = c(\sqrt{3})^2 \Rightarrow 1 + 2 = 3c \Rightarrow c = 1$.
તેથી,ઉકેલ $y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,જેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(x-y) x}$ મળે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x+vx) vx}{(x-vx) x} = \frac{v(1+v)}{1-v} = \frac{v+v^2}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v+v^2}{1-v} - v = \frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} = \frac{2v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1-v}{v^2} dv = \int \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-v^{-1} - \ln|v| = 2 \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y} - \ln(\frac{y}{x}) = 2 \ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2 \ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$.
$-y$ વડે ગુણતા: $x = -y \ln|xy| - yC$.
$x + y(\ln|xy| + C) = 0$.
$x + y \ln|cxy| = 0$,જ્યાં $C = \ln|c|$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \operatorname{cosec} \frac{y}{x}$
ધારો કે $\frac{y}{x} = v$,તેથી $y = vx$,અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \operatorname{cosec} v$
$x \frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\operatorname{cosec} v} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow \sin v dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log_e |x| + C$
$\cos v = \log_e |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\cos \frac{y}{x} = \log_e x + C$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan(\frac{y}{x})$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$.
ચલને અલગ કરતા:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|\sin(v)| = \ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\sin(v)| = \ln|Cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$\sin(v) = Cx$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\sin(\frac{y}{x}) = Cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ છે.
બંને બાજુ $x dx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\log |v + \sqrt{1 + v^2}| = \log |x| + \log |c|$.
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$.
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$.
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 - 2(\frac{y}{x})}$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v} - v = \frac{v + v^2 - v + 2v^2}{1 - 2v} = \frac{3v^2}{1 - 2v}$
ચલને અલગ કરતા: $(\frac{1 - 2v}{3v^2}) dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (\frac{1}{3v^2} - \frac{2}{3v}) dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{3}v^{-2} - \frac{2}{3v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\frac{1}{3v} - \frac{2}{3} \ln|v| = \ln|x| + C_1$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{3y} - \frac{2}{3} \ln(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C_1$
$3$ વડે ગુણતા: $-\frac{x}{y} - 2(\ln y - \ln x) = 3\ln x + 3C_1$
$-\frac{x}{y} = 3\ln x + 2\ln y - 2\ln x + C_2 = \ln x + 2\ln y + C_2 = \ln(xy^2) + C_2$
$-\frac{x}{y} = \ln(Cxy^2) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} = Cxy^2$
તેથી,$Cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$.

(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ સ્વરૂપના વિકલ સમીકરણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે જો વિધેય $f(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સુરેખ વિધેય હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સુરેખ વિધેય છે જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$ થાય.
આવા વિધેયને હંમેશા $f(x, y) = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$ અથવા $f(x, y) = \psi\left(\frac{x}{y}\right)$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ માટે $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $\phi\left(\frac{y}{x}\right)$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos v = -\log |x| + C$.
ગોઠવતા આપણને મળે: $\log |x| - \cos v = C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે: $\log |x| - \cos \frac{y}{x} = C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આપણે $h, k$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $h+k+1 = 0$ અને $h-3k+5 = 0$ થાય.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h = -2$ અને $k = 1$ મળે છે. તેથી,$x = X-2$ અને $y = Y+1$.
સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = -\frac{X+Y}{X-3Y}$ બને છે.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $Y = vX$,તો $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1+v}{1-3v} = \frac{1+v}{3v-1}$.
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{3v-1} - v = \frac{1+v-3v^2+v}{3v-1} = \frac{-3v^2+2v+1}{3v-1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{3v-1}{-3v^2+2v+1} dv = \int \frac{1}{X} dX$.
સંકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{2} \ln| -3v^2+2v+1 | = \ln|X| + C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-3v^2+2v+1 = \frac{c}{X^2}$ થાય છે.
$v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{x+2}$ મૂકતા:
$-3(\frac{y-1}{x+2})^2 + 2(\frac{y-1}{x+2}) + 1 = \frac{c}{(x+2)^2}$.
$-3(y-1)^2 + 2(y-1)(x+2) + (x+2)^2 = c$.
ગોઠવતા $3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ છે. આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + \log|x| + C = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + C$.
તેથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(c\sqrt{x^2+y^2}\right)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
આપણે $2h+k-3=0$ અને $-h+2k+3=0$ સમીકરણો ઉકેલીએ.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $-2h+4k+6=0$. પ્રથમ સમીકરણ સાથે સરવાળો કરતા: $5k+3=0 \implies k = -3/5$. તેથી $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$.
સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ બને છે.
ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
ધારો કે $u = -2v^2+2v+2$,તેથી $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$.
તેથી,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$.
$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$.
$X=x-9/5$ અને $Y=y+3/5$ મૂકતા,સાદું રૂપ આપતા $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x) - x}{x \sin (y/x)}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
$-\cos v = -\log |x| + C_1$,જેનું સાદું રૂપ $\cos v = \log |x| + c$ થાય છે.
$v = y/x$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$.

(D) આદેશ $x=vy$ નો ઉપયોગ $\frac{dx}{dy} = f(\frac{x}{y})$ અથવા $\frac{dy}{dx} = g(\frac{x}{y})$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે થાય છે.
આદેશ $x=vy$ (જેનો અર્થ છે $\frac{x}{y}=v$) માટે,વિકલ સમીકરણ $x$ અને $y$ માં સમપરિમાણીય હોવું જોઈએ જેથી $\frac{dy}{dx}$ ને $\frac{x}{y}$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય.
વિકલ્પ $(d)$ તપાસતા:
$(1+2e^{\frac{x}{y}}) + 2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+2e^{\frac{x}{y}}}{2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}$
જમણી બાજુ $\frac{x}{y}$ નું વિધેય હોવાથી,આ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે,જે $x=vy$ આદેશ લેવાથી ચલ વિભાજનની રીત દ્વારા ઉકેલી શકાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^\alpha \frac{dy}{dx} = y^\beta(\gamma \log x + \delta \log y + 1)$ છે.
સમીકરણ સમપરિમાણીય હોવા માટે,અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવી જોઈએ,અથવા વિધેય $\frac{y}{x}$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ.
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^\beta}{x^\alpha} (\gamma \log x + \delta \log y + 1)$.
સમપરિમાણીયતા માટે,$x$ અને $y$ ની ઘાત એવી રીતે સંતુલિત હોવી જોઈએ કે જેથી પદ માત્ર $\frac{y}{x}$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે.
આ માટે $\alpha = \beta$ હોવું જરૂરી છે.
$\alpha = \beta$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + 1) = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + \delta \log x - \delta \log x + 1)$.
પદ $\frac{y}{x}$ નું વિધેય બને તે માટે,$\log x$ વાળા પદો દૂર થવા જોઈએ,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\gamma + \delta = 0$,એટલે કે $\gamma = -\delta$.

(C) $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય કહેવાય જો $F(x, y)$ એ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય. સમાન રીતે,$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ સમીકરણ માટે,તે સમપરિમાણીય છે જો $M(x, y)$ અને $N(x, y)$ બંને સમાન ઘાતના સમપરિમાણીય વિધેયો હોય.
વિકલ્પ $C$ માં,આપણી પાસે $(x^2 + y^2)dx = 2xy dy$ છે.
અહીં,$M(x, y) = x^2 + y^2$,જે $2$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
અને $N(x, y) = 2xy$,જે પણ $2$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
આમ,$M$ અને $N$ બંને સમાન ઘાતના સમપરિમાણીય વિધેયો હોવાથી,આ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3y - 7}{3x + 2y - 8}$ ... $(i)$
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x = X - h$ અને $y = Y - k$ આદેશ લઈએ છીએ.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{dY}{dX} = \frac{2(X - h) + 3(Y - k) - 7}{3(X - h) + 2(Y - k) - 8} = \frac{2X + 3Y - (2h + 3k + 7)}{3X + 2Y - (3h + 2k + 8)}$.
સમીકરણ સુરેખ બને તે માટે,અંશ અને છેદમાં અચળ પદો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h + 3k - 7 = 0$ ... (ii)
$3h + 2k - 8 = 0$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) ને $3$ વડે અને (iii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6h + 9k - 21 = 0$
$6h + 4k - 16 = 0$
બાદબાકી કરતા: $5k - 5 = 0 \Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ ને (ii) માં મૂકતા: $2h + 3(1) - 7 = 0 \Rightarrow 2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$.
આમ,$(h, k) = (2, 1)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)}$
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$
ચલને અલગ કરતા:
$-\sin v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$-\int \sin v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\cos v = \log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\cos \frac{y}{x} = \log x + C$
આને આપેલ ઉકેલ $\cos \frac{y}{x} = A \log x + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ છે.
$y = mx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ મળે.
$m + x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2 x^2}{x(mx) - m^2 x^2 - x^2} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1}$.
$x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1} - m = \frac{m^2 - m^2 + m^3 + m}{m - m^2 - 1} = \frac{m^3 + m}{m - m^2 - 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{m - m^2 - 1}{m^3 + m} dm = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \left( \frac{m}{m(m^2 + 1)} - \frac{m^2 + 1}{m(m^2 + 1)} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\int \left( \frac{1}{m^2 + 1} - \frac{1}{m} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}(m) - \ln|m| = \ln|x| + C$.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \ln\left|\frac{y}{x}\right| = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|y| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ સાથે સરખાવતા,$f(y) = \ln|y|$ મળે.
તેથી,$f(e^3) = \ln|e^3| = 3$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ છે.
કારણ કે $f$ અને $g$ સમાન ક્રમના સમપરિમાણીય વિધેયો છે,આપણે લખી શકીએ $\frac{dy}{dx} = \frac{f(Vy, y)}{g(Vy, y)} = \frac{y^n f(V, 1)}{y^n g(V, 1)} = \frac{f(V, 1)}{g(V, 1)}$.
આપણને આદેશ $x = Vy$ આપેલ છે. $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = V + y\frac{dV}{dy}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{dx}{dy} - V \right)$.
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$,આપણી પાસે $\frac{dx}{dy} = \frac{g(x, y)}{f(x, y)} = \frac{g(Vy, y)}{f(Vy, y)} = \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)}$ છે.
આ કિંમતને $\frac{dV}{dy}$ ના પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ મળે છે.
આને $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y}(F(V))$ સાથે સરખાવતા,આપણને $F(V) = \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\}}{x \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\}} = \frac{(y/x) \cos (y/x) + (y/x)^2 \sin (y/x)}{(y/x) \sin (y/x) - \cos (y/x)}$.
ધારો કે $v = y/x$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v^2 \sin v + v \cos v}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = 2 \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\tan v - \frac{1}{v}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-\ln |\cos v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$.
$-\ln |v \cos v| = \ln |x^2| + C$.
$-\ln |(y/x) \cos (y/x)| = \ln |x^2| + C$.
$\ln |(y/x) \cos (y/x)| + \ln |x^2| = -C$.
$\ln |xy \cos (y/x)| = -C$.
$xy \cos (y/x) = \pm e^{-C}$.