Homogeneous differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{dx}{dy} = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ ........... $(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$.
તો $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(2 x e^{\frac{x}{y}} - y)}{\lambda(2 y e^{\frac{x}{y}})} = \lambda^0 F(x, y)$.
આમ,$F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
તેને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = vy$ આદેશ લઈએ છીએ ........... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ અને $\frac{dx}{dy}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v + y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v} - v$
$y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{2 e^v}$
$2 e^v dv = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2 e^v dv = -\int \frac{dy}{y}$.
$2 e^v = -\log |y| + C$.
$v$ ને $\frac{x}{y}$ વડે બદલતા,$2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C$ ........... $(3)$.
સમીકરણ $(3)$ માં $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા,$2 e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$.
સમીકરણ $(3)$ માં $C$ ની કિંમત મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$.
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^{2}}{2(y/x)}$. આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v} - v = \frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} = \frac{1-v^{2}}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^{2}} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^{2}} dv = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $1-v^{2} = t$,તો $-2v dv = dt$,તેથી $\int -\frac{dt}{t} = \ln|x| + C$.
$-\ln|1-v^{2}| = \ln|x| + C$.
$\ln|1-v^{2}|^{-1} = \ln|x| + C \implies \frac{1}{1-v^{2}} = Cx$.
$v = y/x$ મૂકતા: $\frac{1}{1-(y^{2}/x^{2})} = Cx \implies \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = Cx$.
$x^{2} = C x (x^{2}-y^{2}) \implies x = C(x^{2}-y^{2}) \implies x^{2}-y^{2} = \frac{1}{C} x = cx$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(x^{2}+xy\right) dy=\left(x^{2}+y^{2}\right) dx$ છે.
આને $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+xy} = F(x, y)$ તરીકે લખી શકાય.
સમપરિમાણીયતા માટે,$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2}{(\lambda x)^2 + (\lambda x)(\lambda y)} = \frac{\lambda^2(x^2+y^2)}{\lambda^2(x^2+xy)} = F(x, y) = \lambda^0 F(x, y)$.
ઘાત $0$ હોવાથી,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
$y=vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{x^2 + vx^2} = \frac{1+v^2}{1+v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{1+v} - v = \frac{1+v^2-v-v^2}{1+v} = \frac{1-v}{1+v}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{1+v}{1-v} dv = \frac{dx}{x}$.
$\frac{-(v-1)-2}{v-1} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (-1 - \frac{2}{v-1}) dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-v - 2\ln|v-1| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{y}{x} - 2\ln|\frac{y}{x}-1| = \ln|x| + C$.
$-\frac{y}{x} - 2\ln|\frac{y-x}{x}| = \ln|x| + C$.
$-\frac{y}{x} - 2\ln|y-x| + 2\ln|x| = \ln|x| + C$.
$-\frac{y}{x} - 2\ln|y-x| + \ln|x| = C$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x} \quad \dots (1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x+y}{x}$.
હવે,$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x} = \frac{\lambda(x+y)}{\lambda x} = \frac{x+y}{x} = \lambda^0 F(x, y)$.
અહીં $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
તેને ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x} = \frac{x(1+v)}{x} = 1+v$.
$x \frac{dv}{dx} = 1$.
$dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{y}{x} = \log|x| + C$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $y = x \log|x| + Cx$ છે.

$(x-y) dy - (x+y) dx = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x+y}{x-y}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x - \lambda y} = \frac{x+y}{x-y} = \lambda^{0} F(x, y)$.
આમ,આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણીય સમીકરણ છે. તેને ઉકેલવા માટે,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ છીએ.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$y$ અને $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
$\Rightarrow \frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + \log|x| = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + C$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x^{2}-y^{2})}{2xy} = F(x, y)$ ..............$(1)$
સમપરિમાણીયતા ચકાસવા માટે,$F(\lambda x, \lambda y)$ ની ગણતરી કરીએ:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-((\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2})}{2(\lambda x)(\lambda y)} = \frac{-\lambda^{2}(x^{2}-y^{2})}{\lambda^{2}(2xy)} = \lambda^{0} F(x, y)$
આમ,$F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$ હોવાથી,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લઈએ,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ થાય.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x^{2} - (vx)^{2})}{2x(vx)} = \frac{-(x^{2} - v^{2}x^{2})}{2vx^{2}} = \frac{v^{2}-1}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}-1}{2v} - v = \frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2v} = \frac{-(1+v^{2})}{2v}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\ln(1+v^{2}) = -\ln|x| + \ln|C| = \ln|\frac{C}{x}|$
$1+v^{2} = \frac{C}{x}$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$x^{2}+y^{2} = Cx$

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + xy - 2y^{2}}{x^{2}}$.
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x^{2} + xy - 2y^{2}}{x^{2}}$.
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^{2} + (\lambda x)(\lambda y) - 2(\lambda y)^{2}}{(\lambda x)^{2}} = \frac{\lambda^{2}(x^{2} + xy - 2y^{2})}{\lambda^{2}x^{2}} = \lambda^{0} F(x, y)$.
અહીં $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$ હોવાથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લેતા,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} + x(vx) - 2(vx)^{2}}{x^{2}} = 1 + v - 2v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = 1 - 2v^{2}$.
$\frac{dv}{1 - 2v^{2}} = \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{2} \int \frac{dv}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} - v^{2}} = \int \frac{dx}{x}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} \log |\frac{1/\sqrt{2} + v}{1/\sqrt{2} - v}| = \log |x| + C$.
$\frac{1}{2\sqrt{2}} \log |\frac{1 + \sqrt{2}v}{1 - \sqrt{2}v}| = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2\sqrt{2}} \log |\frac{x + \sqrt{2}y}{x - \sqrt{2}y}| = \log |x| + C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$
પદોને ગોઠવતા: $x dy = (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} = F(x, y)$
સમપરિમાણીયતા ચકાસવા માટે,$x$ ને $\lambda x$ અને $y$ ને $\lambda y$ વડે બદલો:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y + \sqrt{(\lambda x)^{2} + (\lambda y)^{2}}}{\lambda x} = \frac{\lambda (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{\lambda x} = \lambda^{0} F(x, y)$
આમ,$F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$ હોવાથી,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^{2} + v^{2}x^{2}}}{x} = v + \sqrt{1 + v^{2}}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^{2}}$
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^{2}}} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$
$\log |v + \sqrt{1 + v^{2}}| = \log |x| + \log C$
$v + \sqrt{1 + v^{2}} = Cx$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = Cx$
$\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} = Cx$
$y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}$

આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y \, dx = \left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x \, dy$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y}{\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x} \quad \dots(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y}{\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x}$
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\left\{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)+\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right\} \lambda y}{\left\{\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)-\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right\} \lambda x} = \lambda^0 F(x, y)$
આમ,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
$\left(\tan v - \frac{1}{v}\right) dv = \frac{2}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\log(\sec v) - \log v = 2 \log x + \log C$
$\log\left(\frac{\sec v}{v}\right) = \log(Cx^2)$
$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = Cxy$
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{Cxy} \implies xy \cos \left(\frac{y}{x}\right) = k$.

(N/A) $x \frac{dy}{dx} - y + \sin \left(\frac{y}{x}\right) = 0$
$\Rightarrow x \frac{dy}{dx} = y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x} \quad \dots (1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y - \lambda x \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)}{\lambda x} = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x} = \lambda^0 F(x, y)$.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લેતા,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx - x \sin v}{x} = v - \sin v$
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\sin v$
$\Rightarrow -\csc v \, dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int -\csc v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \ln |\csc v + \cot v| = \ln |x| + C$
$\Rightarrow \ln \left| \frac{1 + \cos v}{\sin v} \right| = \ln |x| + C$
$1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ અને $\sin v = 2 \sin \left(\frac{v}{2}\right) \cos \left(\frac{v}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln \left| \cot \left(\frac{v}{2}\right) \right| = \ln |x| + C$
$\Rightarrow \cot \left(\frac{y}{2x}\right) = Cx$
આમ,માંગેલ ઉકેલ $\cot \left(\frac{y}{2x}\right) = Cx$ છે.

(N/A) $y \, dx + x \log \left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0$
$\Rightarrow y \, dx = [2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)] dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)}$ ........... $(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)}$
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y}{2(\lambda x) - (\lambda x) \log \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)} = \lambda^0 F(x, y)$
આમ,$F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$ હોવાથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ છે.
તેને ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લેતા,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx}{2x - x \log v} = \frac{v}{2 - \log v}$
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{2 - \log v} - v = \frac{v - 2v + v \log v}{2 - \log v} = \frac{v(\log v - 1)}{2 - \log v}$
$\Rightarrow \frac{2 - \log v}{v(\log v - 1)} dv = \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \left[ \frac{-( \log v - 1) + 1}{v(\log v - 1)} \right] dv = \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \left[ -\frac{1}{v} + \frac{1}{v(\log v - 1)} \right] dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$-\int \frac{1}{v} dv + \int \frac{1}{v(\log v - 1)} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\log v + \log |\log v - 1| = \log |x| + C$
$\log \left| \frac{\log v - 1}{v} \right| = \log |x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\log \left| \frac{\log (y/x) - 1}{y/x} \right| = \log |x| + C$
$\frac{x}{y} [\log (y/x) - 1] = C_1 x$
$\log (y/x) - 1 = C_1 y$

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}} = F(x, y)$
અહીં $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}\left(1-\frac{\lambda x}{\lambda y}\right)}{1+e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}} = F(x, y) = \lambda^0 F(x, y)$,તેથી આ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
ધારો કે $x = vy$,તો $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$v + y\frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y\frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(v+e^v)}{1+e^v}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{1}{y} dy$
$\log(v+e^v) = -\log y + \log C = \log\left(\frac{C}{y}\right)$
$v+e^v = \frac{C}{y}$
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા:
$\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}} = \frac{C}{y}$
$x + ye^{\frac{x}{y}} = C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(x+y) dy = -(x-y) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$ ..........$(1)$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx-x}{x+vx} = \frac{v-1}{1+v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{1+v} - v = \frac{v-1-v-v^{2}}{1+v} = \frac{-(1+v^{2})}{1+v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^{2}} dv + \int \frac{v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\tan^{-1} v + \frac{1}{2} \log(1+v^{2}) = -\log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) - \log x = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) = C$
$2$ વડે ગુણતા: $2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \log(x^{2}+y^{2}) = 2C = K$
જ્યારે $x=1$ ત્યારે $y=1$: $2 \tan^{-1}(1) + \log(1^{2}+1^{2}) = K$
$2(\frac{\pi}{4}) + \log 2 = K \Rightarrow K = \frac{\pi}{2} + \log 2$
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\log(x^{2}+y^{2}) + 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$ છે.

(A) $x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$
$\Rightarrow x^{2} dy = -(xy + y^{2}) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$ ............. $(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-(\lambda x \cdot \lambda y + (\lambda y)^{2})}{(\lambda x)^{2}} = \frac{-\lambda^{2}(xy + y^{2})}{\lambda^{2}x^{2}} = \lambda^{0} F(x, y)$.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. તેને ઉકેલવા માટે,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ છીએ.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $y$ અને $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x \cdot vx + (vx)^{2})}{x^{2}} = -(v + v^{2}) = -v - v^{2}$.
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -v^{2} - 2v = -v(v + 2)$.
$\Rightarrow \frac{dv}{v(v + 2)} = -\frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v(v + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} \right)$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} [\ln|v| - \ln|v + 2|] = -\ln|x| + C_1$.
$\Rightarrow \ln \left( \frac{v}{v + 2} \right) = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln \left( \frac{C}{x^{2}} \right)$.
$\Rightarrow \frac{v}{v + 2} = \frac{C}{x^{2}}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\Rightarrow \frac{y/x}{y/x + 2} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y + 2x} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = C$.
$x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે:
$\frac{1^{2} \cdot 1}{1 + 2(1)} = C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x^{2}y = y + 2x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy = -\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)}{x} = \frac{y}{x} - \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)$ ... $(1)$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin ^{2} v$.
$x \frac{dv}{dx} = -\sin ^{2} v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\sin ^{2} v} = -\frac{dx}{x}$.
$\int \csc ^{2} v dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\cot v = -\log |x| - C$.
$\cot v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
આપેલ છે કે $y = \frac{\pi}{4}$ જ્યારે $x = 1$: $\cot \left(\frac{\pi/4}{1}\right) = \log |1| + C$.
$1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + 1 = \log |x| + \log e = \log |ex|$.
વિશિષ્ટ ઉકેલ $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |ex|$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \csc\left(\frac{y}{x}\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v + x\frac{dv}{dx} = v - \csc(v)$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x\frac{dv}{dx} = -\csc(v)$,જે $-\sin(v) dv = \frac{dx}{x}$ તરફ દોરી જાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int -\sin(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\cos(v) = \log|x| + C$ મળે છે.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $y = 0$,તેથી $\cos(0) = \log|1| + C$,જે $1 = 0 + C$ આપે છે,તેથી $C = 1$.
આમ,$\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + 1 = \log|x| + \log(e) = \log|ex|$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|ex|$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} \dots (1)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^2}{2x^2} = \frac{2vx^2 + v^2x^2}{2x^2} = v + \frac{v^2}{2}$.
તેથી,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{2}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow -\frac{2}{v} = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $-\frac{2x}{y} = \log |x| + C \dots (2)$.
આપેલ છે કે $x = 1$ ત્યારે $y = 2$: $-\frac{2(1)}{2} = \log |1| + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
સમીકરણ $(2)$ માં $C = -1$ મૂકતા: $-\frac{2x}{y} = \log |x| - 1 \Rightarrow \frac{2x}{y} = 1 - \log |x|$.
તેથી,$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}$ જ્યાં $x \neq 0, x \neq e$.

(A) $\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = vy$ આદેશ લેવો પડે છે,જ્યાં $v$ એ $y$ નું વિધેય છે.
$x = vy$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકવાથી આપણે $v$ અને $y$ ચલને અલગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,સાચો આદેશ $x = vy$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ સમપરિમાણીય કહેવાય જો $f(x, y)$ એ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,એટલે કે $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$.
ચાલો વિકલ્પ $D$ ચકાસીએ: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2)dy = 0$.
આને $\frac{dx}{dy} = -\frac{x^2 - xy - y^2}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $F(x, y) = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2}$.
$x = \lambda x$ અને $y = \lambda y$ મૂકતા:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-(\lambda x)^2 + (\lambda x)(\lambda y) + (\lambda y)^2}{(\lambda y)^2} = \frac{\lambda^2(-x^2 + xy + y^2)}{\lambda^2 y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = F(x, y)$.
અહીં $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$ હોવાથી,આ વિધેય $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય છે,અને તેથી આ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ છે.
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)] dy = [x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)] dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ $(1)$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v} - v = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = \frac{2}{x} dx$
$(\tan v - \frac{1}{v}) dv = \frac{2}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \tan v \, dv - \int \frac{1}{v} dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$
$\ln |\sec v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$
$\ln |\frac{\sec v}{v}| = \ln |x^{2}| + C$
$\frac{\sec v}{v} = C x^{2}$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C x^{2} \implies \sec(y/x) = C xy$.

$(x^{3}-3xy^{2})dx=(y^{3}-3x^{2}y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-3xy^{2}}{y^{3}-3x^{2}y}$ ...........$(1)$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$
સમીકરણ $(1)$ માં $y=vx$ મૂકતા:
$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x^{3}-3x(vx)^{2}}{(vx)^{3}-3x^{2}(vx)}=\frac{x^{3}-3xv^{2}x^{2}}{v^{3}x^{3}-3x^{3}v}=\frac{1-3v^{2}}{v^{3}-3v}$
$\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{v^{3}-3v}-v=\frac{1-3v^{2}-v^{4}+3v^{2}}{v^{3}-3v}=\frac{1-v^{4}}{v^{3}-3v}$
$\Rightarrow \frac{v^{3}-3v}{1-v^{4}}dv=\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{v^{3}-3v}{1-v^{4}}dv = \int \frac{dx}{x} + \log C'$
$\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}}dv - 3\int \frac{v}{1-v^{4}}dv = \log x + \log C'$
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - 3\int \frac{v}{1-(v^{2})^{2}}dv = \log(C'x)$
ધારો કે $v^{2}=p$,તેથી $2vdv=dp$:
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - \frac{3}{2}\int \frac{dp}{1-p^{2}} = \log(C'x)$
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - \frac{3}{4}\log\left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = \log(C'x)$
$-4$ વડે ગુણતા:
$\log(1-v^{4}) + 3\log\left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = -4\log(C'x)$
$\log\left[(1-v^{2})(1+v^{2}) \cdot \frac{(1+v^{2})^{3}}{(1-v^{2})^{3}}\right] = \log(C'x)^{-4}$
$\frac{(1+v^{2})^{4}}{(1-v^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$v=\frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{(1+\frac{y^{2}}{x^{2}})^{4}}{(1-\frac{y^{2}}{x^{2}})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}} \Rightarrow \frac{(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}})^{4}}{(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{x^{8}} \cdot \frac{x^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}} \Rightarrow (x^{2}-y^{2})^{2} = C'^{4}(x^{2}+y^{2})^{4}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$x^{2}-y^{2} = C(x^{2}+y^{2})^{2}$,જ્યાં $C=C'^{2}$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y e^{\frac{x}{y}} dx = (x e^{\frac{x}{y}} + y^2) dy$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y e^{\frac{x}{y}} \frac{dx}{dy} = x e^{\frac{x}{y}} + y^2$
બંને બાજુથી $x e^{\frac{x}{y}}$ બાદ કરતા: $e^{\frac{x}{y}} (y \frac{dx}{dy} - x) = y^2$
$y^2$ વડે ભાગતા: $e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{dx}{dy} - x}{y^2} = 1$ --- $(1)$
ધારો કે $z = e^{\frac{x}{y}}$.
$y$ ની સાપેક્ષે $z$ નું વિકલન કરતા: $\frac{dz}{dy} = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{d}{dy}(\frac{x}{y}) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{y \frac{dx}{dy} - x}{y^2}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{dz}{dy} = 1$.
$y$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dz = \int dy \Rightarrow z = y + C$.
$z = e^{\frac{x}{y}}$ પાછું મૂકતા,સામાન્ય ઉકેલ: $e^{\frac{x}{y}} = y + C$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-2v^{-1} = \ln|x| + C$
$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=2$ મૂકતા:
$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.
$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.
હવે,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

(B) ધારો કે $v = \frac{y^2}{x^2}$,તેથી $y^2 = v x^2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
$x > 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$.
તેથી,$\phi(v) = k x^2$,જ્યાં $k = e^C$.
$v = y^2/x^2$ હોવાથી,$\phi(y^2/x^2) = k x^2$.
$y(1) = -1$ આપેલ છે,તેથી $x=1$ પર,$v = (-1)^2/1^2 = 1$. આમ $\phi(1) = k(1)^2 = k$.
આપણે $\phi(y^2/4)$ શોધવાનું છે. જો $x=2$ લઈએ,તો $v = y^2/4$.
તેથી,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \tan \left(\frac{y}{x}\right) d y = \left(y \tan \left(\frac{y}{x}\right)-x\right) d x$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\tan \left(\frac{y}{x}\right)(x d y - y d x) = -x d x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$\tan \left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{1}{x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln \left| \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = -\ln |x| + C$ મળે,જે $\ln \left| x \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = C$ તરીકે લખી શકાય.
$y(1/2) = \pi/6$ આપેલ હોવાથી,$\ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi/6}{1/2} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \cdot 2 \right| = \ln(1) = 0$. તેથી,$C=0$.
આમ,$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{y}{x}\right) = x$,અથવા $y = x \cos^{-1}(x)$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \cos^{-1}(x) d x$ છે.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$A = \left[ \frac{x^2}{2} \cos^{-1}(x) \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} - \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$.
$A = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) + \frac{1}{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$x = \sin \theta$ લેતા,$d x = \cos \theta d \theta$,તેથી $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} d \theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{\pi-1}{8}$.

(B) ધારો કે $Y = y+1$ અને $X = x+2$. તેથી $dY = dy$ અને $dX = dx$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$.
ગોઠવતા: $X dY - Y dX = X e^{Y/X} dX$.
$X^2$ વડે ભાગતા: $\frac{X dY - Y dX}{X^2} = \frac{e^{Y/X}}{X} dX$.
આ $d(\frac{Y}{X}) = e^{Y/X} \frac{dX}{X}$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-Y/X} d(Y/X) = \int \frac{dX}{X} \Rightarrow -e^{-Y/X} = \ln|X| + C$.
$y(1)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,$Y=2$ અને $X=3$ મળે: $-e^{-2/3} = \ln|3| + C$,તેથી $C = -e^{-2/3} - \ln 3$.
આમ,$-e^{-(y+1)/(x+2)} = \ln|x+2| - e^{-2/3} - \ln 3$.
$e^{-(y+1)/(x+2)} = e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2|$.
ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે,$e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2| > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\ln|x+2| < e^{-2/3} + \ln 3$.
ધારો કે $k = e^{-2/3} + \ln 3$. તો $|x+2| < e^k$,જેનો અર્થ છે કે $-e^k - 2 < x < e^k - 2$.
આમ,$\alpha = -e^k - 2$ અને $\beta = e^k - 2$.
તેથી $\alpha + \beta = -4$,એટલે કે $|\alpha + \beta| = 4$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $y(y dx - x dy) + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
$y(x^{2} + y^{2})$ વડે ભાગતા: $\frac{y dx - x dy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{x dy - y dx}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
વિકલન ઓળખતા: $d(\tan^{-1}(\frac{y}{x})) + d(\ln y) = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે: $\tan^{-1}(1) + \ln(1) = C \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 0 = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$.
વક્રનું સમીકરણ $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = \frac{\pi}{4}$ છે.
તે $y = \sqrt{3}x$ ને $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ પર છેદે છે,તેથી $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$ અને $y = \sqrt{3}\alpha$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{3} + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$.
પદોને ગોઠવતા: $e^{\frac{y}{x}}(x dy - y dx) + \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}(x dy - y dx) = x dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા: $e^{\frac{y}{x}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) = \frac{dx}{x}$.
વિકલન સ્વરૂપ $d(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા: $e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \int \frac{dx}{x}$.
જેથી: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મુકતા: $e^{0} + \sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow 1 + 0 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
સમીકરણ: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x + 1$.
તે બિંદુ $(2\alpha, \alpha)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2\alpha, y=\alpha$ મુકતા: $e^{\frac{\alpha}{2\alpha}} + \sin^{-1}(\frac{\alpha}{2\alpha}) = \ln(2\alpha) + 1$.
$e^{1/2} + \sin^{-1}(1/2) = \ln(2\alpha) + 1 \Rightarrow \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} = \ln(2\alpha) + 1$.
$\ln(2\alpha) = \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1$.
$2\alpha = \exp(\sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1) \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2} \exp(\frac{\pi}{6} + \sqrt{e} - 1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ છે.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.
$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.
$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.
$y(1) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.
$x = 2$ માટે: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.
$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.
$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$ અને $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
પ્રથમ,આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{10 + 6 - 15}{30} = \frac{1}{30}$.
હવે,આપણે $P(A \cap B')$ અને $P(B \cap A')$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{10 - 1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(B \cap A') = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6 - 1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ અને $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A \mid B') + P(B \mid A') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} + \frac{P(B \cap A')}{P(A')} = \frac{9/30}{4/5} + \frac{5/30}{2/3} = \frac{9}{30} \times \frac{5}{4} + \frac{5}{30} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y(4y^2+2x^2)}{x(3y^2+x^2)}$ છે.
$y=vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v(4v^2+2)}{3v^2+1}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{4v^3+2v-3v^3-v}{3v^2+1} = \frac{v^3+v}{3v^2+1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{3v^2+1}{v^3+v} dv = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v^3+v| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln|\frac{y^3}{x^3} + \frac{y}{x}| = \ln|x| + C$.
$y(1)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|1+1| = \ln(1) + C \Rightarrow C = \ln 2$.
તેથી,$\ln|\frac{y^3+yx^2}{x^3}| = \ln(2x)$.
$x=2$ માટે: $\frac{y^3+4y}{8} = 4 \Rightarrow y^3+4y = 32$.
ધારો કે $f(y) = y^3+4y-32$. $f(2) = -16$ અને $f(3) = 7$ હોવાથી,$y(2)$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે છે.
આમ,$y(2) \in [2, 3)$,તેથી $n=3$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,જ્યાં $k = e^{C}$.
તેથી,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મૂકતા: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.
વક્રનું સમીકરણ $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ છે.
$x = 2, y = \alpha$ માટે: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.
$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.
$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ છે.
ધારો કે $X = x-1$ અને $Y = y-1$,તો $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$.
અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$.
ધારો કે $Y = VX$,તો $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$.
આ કિંમત મૂકતા,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,તેથી $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$.
ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$.
$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$.
$\tan^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$.
$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ મૂકતા,$\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\right) = \ln|x-1| + C$.
તે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $X=1, Y=0$: $\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$.
બિંદુ $(k+1, 2)$ માટે,$X=k, Y=1$: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}\right) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}\right) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k^{2}+1)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y=vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{3v}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3v}$,અથવા $3vdv = -\frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 3vdv = -\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{3v^2}{2} = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + C$.
$y(1)=1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3(1)^2}{2(1)^2} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + \frac{3}{2} \Rightarrow 3y^2 = 3x^2 - 2x^2\ln|x|$.
$x=e$ માટે,$3y^2(e) = 3e^2 - 2e^2\ln(e) = 3e^2 - 2e^2 = e^2$.
આમ,$6y^2(e) = 2(3y^2(e)) = 2e^2$.

(C) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2} - v = -\frac{1+3v^2+3v+v^3}{3+v^2} = -\frac{(v+1)^3}{3+v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} = \frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}$.
સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}\right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} = -\ln|x| + C$.
$\ln|x(v+1)| + \frac{2v}{(v+1)^2} = C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = C$.
$y(1)=0$ આપેલ હોવાથી,$\ln|1+0| + 0 = C \implies C=0$.
તેથી,ઉકેલ $\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y=mx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = m + x\frac{dm}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $m + x\frac{dm}{dx} = \frac{m(5-3m^2)}{2(1-m^2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $x\frac{dm}{dx} = \frac{m(3-m^2)}{2(1-m^2)}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{2(1-m^2)}{m(3-m^2)} dm$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{dx}{x} = (\frac{2}{3m} + \frac{4m}{3(m^2-3)}) dm$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|x| = \frac{2}{3}\ln|m| + \frac{2}{3}\ln|m^2-3| + C$.
$y(1)=1$ માટે $m=1$ અને $x=1$ લેતા,$C = -\frac{2}{3}\ln(2)$ મળે.
તેથી,$x^{3/2} = \frac{1}{2} |m(m^2-3)|$ મળે.
$x=2$ માટે ગણતરી કરતા,અંતિમ જવાબ $|y^3-12y| = 32\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ મળે.
ધારો કે $y = tx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$.
$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,જેનો અર્થ છે $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$.
તેથી,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,અથવા $1-t^2 = \frac{1}{cx}$.
$t = y/x$ મૂકતા: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$.
આપેલ છે કે $y(2) = 0$,તેથી $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $x^2 - y^2 = 2x$ બને છે.
$x = 8$ માટે: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$.
આમ,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ મળે.
સમીકરણ સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k-2=0$ અને $h-k=0$ લેતા,$h=1$ અને $k=1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ મળે.
ધારો કે $Y/X = v$,તેથી $Y = vX$ અને $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.
$v = \frac{y-1}{x-1}$ અને $X = x-1$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right) = \ln|x-1| + C$.
વક્ર બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.
$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = v + \frac{1}{\cos v}$.
$x \frac{d v}{d x} = \sec v$.
ચલને અલગ કરતા:
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\sin \left(\frac{\pi/3}{1}\right) = \log |1| + C$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 + C \implies C = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\alpha}{2}$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) આપેલ છે $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.
લક્ષ લેતા,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ મળે.
ધારો કે $y = f(x)$,તો $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.
$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ મળે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.
ચલ અલગ કરતા: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.
$f(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1, y=1 \implies v=1$. તેથી,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.
આમ,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.
$f(a) = 0$ માટે,$y=0, x=a$,તેથી $v=0$.
$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. ઉકેલતા $a = 2/e$ મળે,તેથી $ea = 2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
ધારો કે $v = \frac{x}{y}$,તેથી $x = vy$. $y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.
$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.
ધારો કે $u = \ln v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.
$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.
બિંદુ $(e, 1)$ માંથી પસાર થતા: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dx = 5xy dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{5xy}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. $y = Vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = V + x \frac{dV}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $V + x \frac{dV}{dx} = \frac{x^2 + V^2x^2}{5x(Vx)} = \frac{1+V^2}{5V}$
$\Rightarrow x \frac{dV}{dx} = \frac{1+V^2}{5V} - V = \frac{1+V^2-5V^2}{5V} = \frac{1-4V^2}{5V}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{5V}{1-4V^2} dV = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $1-4V^2 = t$,તેથી $-8V dV = dt$,એટલે કે $V dV = -\frac{1}{8} dt$.
$\Rightarrow 5 \int \frac{-1/8}{t} dt = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow -\frac{5}{8} \ln|t| = \ln|x| + C_1$
$\Rightarrow -5 \ln|1-4V^2| = 8 \ln|x| + C_2$
$\Rightarrow \ln|1-4V^2|^{-5} = \ln|x^8| + C_2$
$\Rightarrow |1-4V^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |1-4(\frac{y}{x})^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |\frac{x^2-4y^2}{x^2}|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} \cdot (x^2)^5 = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} = K x^{-2}$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^5 = C x^2$
આપેલ છે કે $y(1)=0$: $|1^2 - 4(0)^2|^5 = C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
આમ,ઉકેલ $|x^2-4y^2|^5 = x^2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} + v = 1 + v^2$.
$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2 - 2v = (v - 1)^2$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{(v - 1)^2} = \int \frac{dx}{x}$.
$-\frac{1}{v - 1} = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y - x} = \ln x + C$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{x - y} = \ln x + C$ થાય છે.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1 - 0} = \ln(1) + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$\frac{x}{x - y} = \ln x + 1 = \ln(ex)$.
$y(e)$ માટે: $\frac{e}{e - y(e)} = \ln(e^2) = 2 \Rightarrow e = 2e - 2y(e) \Rightarrow y(e) = \frac{e}{2}$.
$y(e^2)$ માટે: $\frac{e^2}{e^2 - y(e^2)} = \ln(e^3) = 3 \Rightarrow e^2 = 3e^2 - 3y(e^2) \Rightarrow 3y(e^2) = 2e^2 \Rightarrow y(e^2) = \frac{2e^2}{3}$.
અંતે,$2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)} = 2 \frac{(e/2)^2}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{e^2/4}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(C) સ્પર્શકના ઢાળ માટે આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}\right)$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$
$x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$
ચલને અલગ કરતા:
$\sec^2(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\tan(v) = -\log|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = -\log|x| + C$
વક્ર $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\tan\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = -\log(1) + C$
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 + C \Rightarrow C = 1$
આમ,$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = 1 - \log(x) = \log(e) - \log(x) = \log\left(\frac{e}{x}\right)$
તેથી,$y = x \tan^{-1}\left[\log\left(\frac{e}{x}\right)\right]$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,જ્યાં $\log(c)$ સંકલનનો અચળાંક છે.
$\log(\log v) = \log(cx)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 - v^2x^2}}{x}$
$v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 - v^2}$
$x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2}$
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(v) = \log|x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + c$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. $y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.
$2$ વડે ગુણતા,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.
તેથી,$1+v^2 = c x^2$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = c x^4$ થાય છે.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$1^2 + 0^2 = c(1)^4$,તેથી $c = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 + y^2 = x^4$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$
ચલને અલગ કરતા: $\sec^2 v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx + C \Rightarrow \tan v = -\log |x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\tan \frac{y}{x} = -\log x + C \dots (iii)$
વક્ર $(1, \frac{\pi}{4})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = -\log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$
આમ,$\tan \frac{y}{x} = 1 - \log x = \log e - \log x = \log \frac{e}{x}$
તેથી,$y = x \tan^{-1} \left( \log \frac{e}{x} \right)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$.
તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$.
$\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,જેનું સાદું રૂપ $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$.
તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$.
ચલનું પૃથક્કરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$.
સામાન્યીકરણ કરતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$.
$x=1, y=1$ માટે: $\tan^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
તેથી,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
$\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.