Formation of differential equations Questions in Gujarati

(D) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y^2 = 4ax + 4a^2$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
આ સમીકરણમાં માત્ર પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 25$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $h$ અને $k$ હોવાથી,આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x - h) + 2(y - k)y' = 0$,જે આપે છે $(x - h) = -(y - k)y'$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 = -[(y')^2 + (y - k)y'']$,જે આપે છે $(y - k) = -\frac{1 + (y')^2}{y''}$.
$(y - k)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - h) = \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)y'$.
આ કિંમતોને મૂળ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 (y')^2 + \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $(1 + (y')^2)^3 = 25(y'')^2$ મળે છે.
કક્ષા $m$ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત છે,જે $y''$ છે,તેથી $m = 2$.
ઘાત $l$ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે,જે $2$ છે,તેથી $l = 2$.
આમ,$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(A) $(h, k)$ પર કેન્દ્રિત તમામ સમકેન્દ્રી વર્તુળોના પરિવારનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
અહીં,$(h, k)$ એ નિશ્ચિત અચળાંકો (કેન્દ્ર) છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે,જે એકમાત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
કારણ કે અહીં માત્ર એક જ સ્વૈચ્છિક અચળાંક $(r)$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ અને $x=1$ સંમિતિની અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x-1)^2 = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $a$ અને $k$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને $y = A(x-1)^2 + B$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $A$ અને $B$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વખત વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2A(x-1)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$A = \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને બીજા વિકલનમાં મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x-1} \frac{dy}{dx}$.
તેને ગોઠવતા: $(x-1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ મળે છે.
$a = x + y \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $x^2 + y^2 = 2ax$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જેને $(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
તેથી,$a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.

(B) આપેલ વક્રોની સંહતિ $y = \tan(ax + b)$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \sec^2(ax + b) \cdot a$
કારણ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,તેથી $y_1 = a(1 + y^2)$.
આમ,$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$.
હવે,$y_1 = a(1 + y^2)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = a(2y y_1)$.
$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ ની કિંમત $y_2 = 2ay y_1$ માં મૂકતા:
$y_2 = 2 \left( \frac{y_1}{1 + y^2} \right) y y_1$
$y_2 = \frac{2y y_1^2}{1 + y^2}$
તેથી,$(1 + y^2) y_2 - 2y y_1^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^3+Bxy=4$ છે.
$y$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે $Bxy = 4-Ax^3$,તેથી $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$.
ધારો કે $C_1 = \frac{4}{B}$ અને $C_2 = -\frac{A}{B}$. તો $y = C_1 x^{-1} + C_2 x^2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -C_1 x^{-2} + 2C_2 x$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2C_1 x^{-3} + 2C_2$.
આ કિંમતોને વિકલ સમીકરણ $F(x) \frac{d^2y}{dx^2} + G(x) \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ માં મૂકતા:
$F(x)(2C_1 x^{-3} + 2C_2) + G(x)(-C_1 x^{-2} + 2C_2 x) - 2(C_1 x^{-1} + C_2 x^2) = 0$.
$C_1$ અને $C_2$ ના પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$C_1(2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1}) + C_2(2F(x) + 2xG(x) - 2x^2) = 0$.
સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $C_1, C_2$ માટે આ શરત સાચી ઠરવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1} = 0 \implies 2F(x) - xG(x) - 2x^2 = 0$.
$2F(x) + 2xG(x) - 2x^2 = 0 \implies F(x) + xG(x) - x^2 = 0$.
$x=1$ આગળ:
$2F(1) - G(1) - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$F(1) + G(1) - 1 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $3F(1) - 3 = 0 \implies F(1) = 1$.
$F(1)=1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $1 + G(1) - 1 = 0 \implies G(1) = 0$.
તેથી,$F(1) + G(1) = 1 + 0 = 1$.

(C) $Y$-અક્ષ પર $(0, b)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2 + (y - b)^2 = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2(y - b)y_1 = 0$
$x + (y - b)y_1 = 0$ ... $(i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + (y - b)y_2 + y_1^2 = 0$
$(y - b)y_2 = -(1 + y_1^2)$
$y - b = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$ ... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x + \left(-\frac{1 + y_1^2}{y_2}\right)y_1 = 0$
$x - \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2} = 0$
$xy_2 = y_1(1 + y_1^2)$

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = a e^{2x} + b x e^{2x} = e^{2x}(a + bx)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}(a + bx) + b e^{2x} = 2y + b e^{2x}$.
તેથી $b e^{2x} = \frac{dy}{dx} - 2y$ ... $(i)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2b e^{2x}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2(\frac{dy}{dx} - 2y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} - 4y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = A \cos 3x + B \sin 3x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x$
$-9$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(A \cos 3x + B \sin 3x)$
કારણ કે $y = A \cos 3x + B \sin 3x$ છે,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$
તેથી,
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$

(A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અતિવલયના કુળનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} y_1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} = \frac{y y_1}{b^2} \Rightarrow \frac{y y_1}{x} = \frac{b^2}{a^2} = k$ (અચળ).
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y y_1}{x} \right) = 0$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x(y y_2 + y_1^2) - y y_1}{x^2} = 0$.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x y y_2 + x y_1^2 - y y_1 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $ax + by = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{b}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
પ્રથમ વિકલન લેતા: $y' = a e^x - b e^{-x} - c \sin x + d \cos x$
બીજું વિકલન લેતા: $y'' = a e^x + b e^{-x} - c \cos x - d \sin x$
ત્રીજું વિકલન લેતા: $y''' = a e^x - b e^{-x} + c \sin x - d \cos x$
ચોથું વિકલન લેતા: $y^{(4)} = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
ચોથા વિકલનની મૂળ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $y^{(4)} = y$ મળે છે,જેને $y^{(4)} - y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=(a+b) e^{cx+d}$ છે.
ધારો કે $A = (a+b)e^d$. તેથી સમીકરણ $y = A e^{cx}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
અહીં,$A$ અને $c$ એ માત્ર બે જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{(1)} = A c e^{cx} = c y$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{(2)} = c y^{(1)}$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,આપણને $c = \frac{y^{(1)}}{y}$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{(2)} = \left(\frac{y^{(1)}}{y}\right) y^{(1)}$.
$y y^{(2)} = (y^{(1)})^2$.
$y y^{(2)} - (y^{(1)})^2 = 0$.

(B) આપેલ ઉકેલ $y=e^{2 x}(c \cosh \sqrt{2} x+d \sinh \sqrt{2} x)$ છે.
આ $y=e^{\alpha x}(c \cosh \beta x+d \sinh \beta x)$ સ્વરૂપનું છે,જે સહાયક સમીકરણના બીજ $m = \alpha \pm \beta$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,$\alpha = 2$ અને $\beta = \sqrt{2}$ છે.
તેથી બીજ $m = 2 \pm \sqrt{2}$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $(m - (2 + \sqrt{2}))(m - (2 - \sqrt{2})) = 0$ છે.
$(m - 2 - \sqrt{2})(m - 2 + \sqrt{2}) = 0$.
$(m - 2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$.
$m^2 - 4m + 4 - 2 = 0$.
$m^2 - 4m + 2 = 0$.
$m^2$ ને $y^{\prime \prime}$ અને $m$ ને $y^{\prime}$ વડે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 2y = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y=A e^x+B e^{-2 x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = A e^x - 2B e^{-2x}$.
બીજી વાર,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = A e^x + 4B e^{-2x}$.
હવે,અચળાંકો $A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે આ સમીકરણના ઉકેલ માટે લાક્ષણિક સમીકરણના બીજ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણ $(D-1)(D+2)y = 0$ સ્વરૂપમાં હશે,જ્યાં $D = \frac{d}{dx}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $(D^2 + 2D - D - 2)y = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} - 2y = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y=(a+b) \sin (x+c)-d e^{x+e+f}$ છે.
ધારો કે $A = (a+b)$ અને $B = d e^{e+f}$. તેથી સમીકરણ $y = A \sin(x+c) - B e^x$ બને છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે: $A$,$c$,અને $B$.
$n$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોને દૂર કરીને મેળવેલા વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $n$ હોય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(A) $(0,0)$ માંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-r)^2 + y^2 = r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $(r, 0)$ એ કેન્દ્ર છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2xr + r^2 + y^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2xr = 0$ અથવા $r = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2r = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} = r$
મૂળ સમીકરણમાંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$x + y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x}$
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$
$2xy \frac{dy}{dx} + x^2 - y^2 = 0$

(C) આપેલ છે કે $y = (\sin^{-1} x)^2 + A \cos^{-1} x + B$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$y' = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{A}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y' \sqrt{1 - x^2} = 2 \sin^{-1} x - A$ ... $(ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$y'' \sqrt{1 - x^2} + y' \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$
આખા સમીકરણને $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$y'' (1 - x^2) - x y' = 2$
આને આપેલ સમીકરણ $(a - x^2) y'' - x y' = b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b = 2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b + a}{b - a} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = ax + b$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = a$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $y = ax + b$ માં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,તે દ્વિતીય ક્રમના વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y y^{\prime} = 0$ મળે છે.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y y^{\prime}$ પર ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y^{\prime}) = 0$
$1 + (y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime}) = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
આમ,સાચું વિકલ સમીકરણ $y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમૂહનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જ્યાં $m$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$
હવે,$m = \frac{y}{x}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$y = x \frac{dy}{dx}$

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $x^2 = c(y+c)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે $x = \sqrt{c}(y+c)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 = \sqrt{c} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$.
સમીકરણ $x = \sqrt{c}(y+c)$ માં $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$ મૂકતા:
$x = \frac{dx}{dy} \left( y + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 \right)$.
બંને બાજુ $\left( \frac{dy}{dx} \right)^3$ વડે ગુણતા:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = \left( \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \right) \left( y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 \right)$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) $Y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે,જ્યાં $A, B, C$ એ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે ત્રણ અચળાંકોને દૂર કરવા માટે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
બીજું વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
ત્રીજું વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$\frac{d y}{d x} = y + e^x(-a \sin x + b \cos x) \quad \dots(I)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + \frac{d}{d x}[e^x(-a \sin x + b \cos x)]$
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + e^x(-a \sin x + b \cos x) + e^x(-a \cos x - b \sin x)$
સમીકરણ $(I)$ પરથી,$e^x(-a \sin x + b \cos x) = \frac{d y}{d x} - y$.
આ કિંમત બીજા વિકલિતમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + (\frac{d y}{d x} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
કારણ કે $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 \frac{d y}{d x} - y - y$
$\frac{d^2 y}{d x^2} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$.

(D) વિધાન $(I)$:
આપેલ છે $y=(\alpha+\beta+\gamma) x$. ધારો કે $k = \alpha+\beta+\gamma$,જ્યાં $k$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી $y = kx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = k$ મળે છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$:
આપેલ છે $y = \alpha x + \beta \sin x + \gamma e^x$.
આ સમીકરણમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરતા:
$(1) \frac{dy}{dx} = \alpha + \beta \cos x + \gamma e^x$
$(2) \frac{d^2y}{dx^2} = -\beta \sin x + \gamma e^x$
$(3) \frac{d^3y}{dx^3} = -\beta \cos x + \gamma e^x$
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,આપણે તેમને દૂર કરીને $3$ કક્ષાનું વિકલ સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ.
તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે,$y = e^x(A \cos x + B \sin x)$ ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = e^x(A \cos x + B \sin x) + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} = y + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} - y = e^x(-A \sin x + B \cos x)$ ...(ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = e^x(-A \sin x + B \cos x) + e^x(-A \cos x - B \sin x)$
સમીકરણ (ii) માંથી $e^x(-A \sin x + B \cos x) = y^{\prime} - y$ અને સમીકરણ $(i)$ માંથી $e^x(-A \cos x - B \sin x) = -y$ મૂકતા:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = (y^{\prime} - y) - y$
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = y^{\prime} - 2y$
$y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 2y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું કુળ $y^2 = 4a(x+a) \quad ...(i)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y}{x} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right) = 0$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$.

(B) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $r^2 = a^2 \cos 2\theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d\theta}(r^2) = \frac{d}{d\theta}(a^2 \cos 2\theta)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 (-\sin 2\theta) \cdot 2$.
સાદું રૂપ આપતા: $r \frac{dr}{d\theta} = -a^2 \sin 2\theta$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$a^2 = \frac{r^2}{\cos 2\theta}$.
વિકલિત સમીકરણમાં $a^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$r \frac{dr}{d\theta} = -\left(\frac{r^2}{\cos 2\theta}\right) \sin 2\theta$.
$r \frac{dr}{d\theta} = -r^2 \tan 2\theta$.
$r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$\frac{dr}{d\theta} = -r \tan 2\theta$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = c(x - c)^2$ છે.
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = 2c(x - c)$.
પગલું $2$: મૂળ સમીકરણ પરથી,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y' = 2c(x - c)$ પરથી,$c = \frac{y'}{2(x - c)}$.
$c$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{y}{(x - c)^2} = \frac{y'}{2(x - c)} \implies 2y = y'(x - c) \implies x - c = \frac{2y}{y'}$.
પગલું $3$: $x - c$ ની કિંમત $y'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y' = 2c \left(\frac{2y}{y'}\right) \implies c = \frac{(y')^2}{4y}$.
પગલું $4$: $c$ અને $x - c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $y = c(x - c)^2$ માં મૂકતા:
$y = \left(\frac{(y')^2}{4y}\right) \left(\frac{2y}{y'}\right)^2 = y$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,$c = x - \frac{2y}{y'}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y' = 2(x - \frac{2y}{y'})(\frac{2y}{y'}) = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2}$.
તેથી,$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = a e^{2x} + b e^{5x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2a e^{2x} + 5b e^{5x}$ (સમીકરણ $1$)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4a e^{2x} + 25b e^{5x}$ (સમીકરણ $2$)
આપણે $a$ અને $b$ નો લોપ કરવો છે. લાક્ષણિક સમીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $m_1 = 2$ અને $m_2 = 5$ છે.
તેથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $(m - 2)(m - 5) = 0$ થશે.
$m^2 - 7m + 10 = 0$.
$m^k$ ને $\frac{d^k y}{dx^k}$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dx^2} - 7 \frac{dy}{dx} + 10 y = 0$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $(a,0)$ એ કેન્દ્ર છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ $(i)$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ મળે છે.
આમ,$a = x + y \frac{dy}{dx}$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$
$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $A x^2 + B y^2 = 1$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y y' = 0$ $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $A + B (y')^2 + B y y'' = 0$ $(3)$
$(2)$ પરથી,$A = -B \frac{y y'}{x}$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-B \frac{y y'}{x} + B (y')^2 + B y y'' = 0$
$B$ વડે ભાગતા (ધારો કે $B \neq 0$):
$-\frac{y y'}{x} + (y')^2 + y y'' = 0$
$x$ વડે ગુણતા: $-y y' + x (y')^2 + x y y'' = 0$
ગોઠવતા: $x y y'' + x (y')^2 = y y'$
આમ,વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = y \frac{d y}{d x}$ છે.

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = (a + bx + cx^2) e^x$
આને $y e^{-x} = a + bx + cx^2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરતા:
પ્રથમ વિકલન: $y' e^{-x} - y e^{-x} = b + 2cx \implies (y' - y) e^{-x} = b + 2cx$
દ્વિતીય વિકલન: $(y'' - y') e^{-x} - (y' - y) e^{-x} = 2c \implies (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 2c$
તૃતીય વિકલન: $(y''' - 2y'' + y') e^{-x} - (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 0$
કારણ કે $e^{-x} \neq 0$,તેથી $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x} \quad \dots(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x} \quad \dots(ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x} \quad \dots(iii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y''' = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x} \quad \dots(iv)$
વૈકલ્પિક રીતે,સહાયક સમીકરણના બીજ $m = 1, 2, 3$ હોવાથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ થશે.
$(m^2 - 3m + 2)(m-3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ ને $y^{(k)}$ વડે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$.

(C) ઉગમબિંદુ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$.
તેથી,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(B) આપેલ વર્તુળોનું કુળ: $(x-a)^2+(y-b)^2=4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a)+2(y-b)y'=0 \implies (x-a)+(y-b)y'=0$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1+(y')^2+(y-b)y''=0 \implies (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
$(y-b)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-a) = -y'(y-b) = y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}$.
હવે $(x-a)$ અને $(y-b)$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = 4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} \cdot ((y')^2+1) = 4$.
તેથી,$(1+(y')^2)^3 = 4(y'')^2$,જે $4\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3$ છે.

(C) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y^2=4a(x+a)$
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\implies a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$
પગલું $2$: $a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
પગલું $3$: ક્રમ અને ઘાત નક્કી કરતા:
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$.
પગલું $4$: $m+n^2$ ની ગણતરી કરતા:
$m+n^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(B) આપેલ વક્રોનો પરિવાર: $(x-2)^2+(y-a)^2=b^2$ $(i)$
અહીં બે પ્રાચલો $a$ અને $b$ હોવાથી,આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-2) + 2(y-a)y' = 0$
$(x-2) + (y-a)y' = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$(y-a) = -\frac{x-2}{y'}$
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(x-2)^2 + \left(-\frac{x-2}{y'}\right)^2 = b^2$
$(x-2)^2 \left(1 + \frac{1}{(y')^2}\right) = b^2$
$(x-2)^2 \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) = b^2$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-2) \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) + (x-2)^2 \left(\frac{2y'y'' \cdot (y')^2 - ((y')^2+1) \cdot 2y'y''}{(y')^4}\right) = 0$
આ વિકલ સમીકરણમાં દ્વિતીય વિકલિત $y''$ નો સમાવેશ થાય છે,તેથી ક્રમ $m = 2$.
સૌથી મોટા વિકલિત $y''$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $n = 1$.
તેથી,$m^2+n = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}-2\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=0$ નો ક્રમ $l=2$ છે.
$\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{2}{3}}=\left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{3}{2}}$ ની ઘાત શોધવા માટે,બંને બાજુ ઘન કરતા: $\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{9}{2}}$. અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે ફરીથી વર્ગ કરતા,મહત્તમ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની ઘાત $2 \times 2 = 4$ થશે. તેથી,$m=4$.
આપેલ છે $y=A x^2+B e^{4 x}$.
$y^{\prime}=2 A x+4 B e^{4 x}$
$y^{\prime \prime}=2 A+16 B e^{4 x}$
$A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણને વિકલ સમીકરણ $\left(2 x^2-x\right) y^{\prime \prime}-\left(8 x^2-1\right) y^{\prime}+(16 x-4) y=0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ તેની ધરી હોય તેવા પરવલયોના સમૂહનું સમીકરણ $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $m = 1$ છે અને ઘાત $n = 2$ છે.
તેથી,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(C) દરેક વિકલ્પ માટે વિકલ સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને સ્વૈચ્છિક અચળાંકને દૂર કરીએ છીએ.
$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. વિકલન કરતા,$2x+2y\frac{dy}{dx}+2g+4\frac{dy}{dx}=0$. આ પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું સમીકરણ આપે છે.
$(b)$ $x^2=a^2(1+y^2)$. વિકલન કરતા,$2x=a^2(2y\frac{dy}{dx})$. $a^2$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું સમીકરણ મળે છે.
$(c)$ $y^2=2c(x+\sqrt{c})$. વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx}=2c$,તેથી $c=y\frac{dy}{dx}$. $c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2=2(y\frac{dy}{dx})(x+\sqrt{y\frac{dy}{dx}})$. ગોઠવતા: $y^2-2xy\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\sqrt{y\frac{dy}{dx}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y^2-2xy\frac{dy}{dx})^2 = 4y^2(\frac{dy}{dx})^2(y\frac{dy}{dx}) = 4y^3(\frac{dy}{dx})^3$. આ સમીકરણનો ક્રમ $1$ અને ઘાત $3$ છે.
$(d)$ $y^2=4ax$. વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx}=4a$. $a$ ની કિંમત મૂકતા $y^2=2xy\frac{dy}{dx}$ મળે છે,જે પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.