Formation of differential equations Questions in Gujarati

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ થાય છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2ax)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$.
હવે $2a = \frac{x^2+y^2}{x}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉકેલ $y = e^x (A \cos x + B \sin x)$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + e^x (-(A + B) \sin x + (B - A) \cos x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B + B - A) \cos x + (B - A - A - B) \sin x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x (2B \cos x - 2A \sin x)$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ અને $y$ ની કિંમતો $\frac{d^2 y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ માં મૂકતા:
$e^x (2B \cos x - 2A \sin x) - 2e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + 2e^x (A \cos x + B \sin x)$
$= e^x [ (2B - 2A - 2B + 2A) \cos x + (-2A - 2B + 2A + 2B) \sin x ]$
$= e^x [ 0 \cos x + 0 \sin x ] = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું કુળ $y = C_1 e^{C_2 x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$
કારણ કે $y = C_1 e^{C_2 x}$,તેથી આપણે તેને વિકલિતમાં મૂકી શકીએ:
$y^{\prime} = y C_2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$
હવે,$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = C_1 C_2^2 e^{C_2 x}$
$y = C_1 e^{C_2 x}$ ને દ્વિતીય વિકલિતમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = (C_1 e^{C_2 x}) C_2^2 = y C_2^2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = y \left( \frac{y^{\prime}}{y} \right)^2$
$y^{\prime \prime} = y \frac{(y^{\prime})^2}{y^2}$
$y^{\prime \prime} = \frac{(y^{\prime})^2}{y}$
$y y^{\prime \prime} = (y^{\prime})^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને ધન $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(4ay)$
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$x = 2a \frac{dy}{dx}$
આના પરથી,આપણને $2a = \frac{x}{dy/dx}$ મળે છે.
હવે $2a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $x^2 = 2a(2y)$ માં મૂકતા:
$x^2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) (2y)$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = (x + c)^3$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(x + c)^2$
આથી,$(x + c)^2 = \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}$ મળે.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x + c)^6 = \left(\frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}\right)^3$
કારણ કે $(x + c)^3 = y^2$,તેથી $(x + c)^6 = (y^2)^2 = y^4$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^4 = \frac{8y^3}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
બંને બાજુ $y^3$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y = \frac{8}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
$27y = 8 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$

(C) $Y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે અને $a$ અચળાંક છે.
આ સમીકરણમાં ત્રણ સ્વૈર અચળાંકો છે: $h$,$k$,અને $a$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $2(x-h) = 4a \frac{dy}{dx} \implies (x-h) = 2a y_1$.
બીજું વિકલન: $1 = 2a y_2$.
ત્રીજું વિકલન: $0 = 2a y_3$.
કારણ કે $2a \neq 0$,તેથી $y_3 = 0$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$y = e^x(a \cos x + b \sin x)$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b \cos x - a \sin x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + [e^x(b \cos x - a \sin x) + e^x(-b \sin x - a \cos x)]$
$e^x(b \cos x - a \sin x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
$e^x(a \cos x + b \sin x) = y$ હોવાથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(A) આપેલ સમીકરણ $y=c^2+\frac{c}{x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{c}{x^2} = -\frac{c}{x^2}$.
આના પરથી,આપણે અચળાંક $c$ ને $x$ અને $\frac{dy}{dx}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$c = -x^2\frac{dy}{dx}$.
હવે,$c$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-x^2\frac{dy}{dx})^2 + \frac{-x^2\frac{dy}{dx}}{x}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$y = x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx}$.
વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx} - y = 0$.

(A) $x$-અંતઃખંડ $a$ અને $y$-અંતઃખંડ $b$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 0$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$b \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, k)$ છે. વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ky$ મળે છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $k$ ને દૂર કરવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$.
$k$ ની આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{y} \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2+y^2) \frac{dy}{dx} - 2y^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} = 2xy$.
આમ,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતા બમણો છે,તેથી $2a = 2(2b)$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2b$.
$a = 2b$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,અથવા $x^2 + 4y^2 = 4b^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(x^2 + 4y^2) = \frac{d}{dx}(4b^2)$ મળે છે.
આથી $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $(h, 0)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,જે આપે છે $x-h = -y \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$,તેથી $y^2 (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 (2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા: $(\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$.

(B) વર્તુળો ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $h$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ $(1)$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2h = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $h = x + y\frac{dy}{dx}$ થાય છે.
આ $h$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2(x + y\frac{dy}{dx})x = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જે $x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ રેખાઓનું કુળ: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = m$
$m$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y = \left(\frac{dy}{dx}\right)x + \frac{4}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$
બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 4$
પદોને ગોઠવતા:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y\left(\frac{dy}{dx}\right) + 4 = 0$

(A) ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને ધન $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે,જ્યાં $a > 0$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow a = \frac{2x}{4(dy/dx)} = \frac{x}{2(dy/dx)}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2(dy/dx)} \right) y$
$x^2 = \frac{2xy}{dy/dx}$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી):
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમતને મૂળ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y^2 = 2y\frac{dy}{dx}\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2x\frac{dy}{dx} + y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\frac{dy}{dx} - y = 0$ મળે છે,જે $-y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x\frac{dy}{dx} - y$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
કારણ કે $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ મૂકીએ:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$
પદોને ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$

(C) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અક્ષ $y$-અક્ષ હોવાથી,શિરોબિંદુ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $h=0$. આમ,સમીકરણ $x^2 = 4a(y-k)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4a \frac{dy}{dx} \implies 4a = \frac{2x}{dy/dx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 = 4a \frac{d^2y}{dx^2}$.
પ્રથમ વિકલનમાંથી $4a$ ની કિંમત બીજા વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = \left( \frac{2x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.
સાદું રૂપ આપતા:
$1 = \frac{x}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$.

(D) $x$-અંત:ખંડ $a$ અને $y$-અંત:ખંડ $b$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$ab$ વડે ગુણતા,આપણને $bx + ay = ab$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$b + a \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કારણ કે $-\frac{b}{a}$ એ અચળ છે,તેથી $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^{2}=(2 x+c)^{5}$ ...$(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4} \times 2$
$y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4}$
આના પરથી,આપણે $(2 x+c)$ શોધીએ છીએ:
$(2 x+c)^{4} = \frac{y}{5} \frac{dy}{dx}$
$(2 x+c) = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = \left[\left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}\right]^{5}$
$y^{2} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5/4}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(y^{2})^{4} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{5^{5}} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{5}$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y^{3} = \frac{1}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$3125 y^{3} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5} - 3125 y^{3} = 0$

(D) આપેલ છે કે $y = e^{ax}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log y = \log(e^{ax})$.
કારણ કે $\log(e^{ax}) = ax$,તેથી $\log y = ax$ ...$(1)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a$.
હવે,વિકલનમાંથી મળેલ $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\log y = \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) x$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,આપણને $y \log y = x \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જે $x \frac{dy}{dx} = y \log y$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = c$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{1+x^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m} \dots (1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = m$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $m = \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{2}{\frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2$.

(A) આપેલ છે $y=e^{x}(A \cos x+B \sin x)$ ... $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ ... $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
કારણ કે $e^{x}(A \cos x + B \sin x) = y$ હોવાથી:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(B) આપેલ વિધેય $y = a(x-a)^{2} \quad ...(1)$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2a(x-a) \quad ...(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$a = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a}$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a} (x-a)^2 = \frac{1}{2} (x-a) \frac{dy}{dx}$
તેથી,$(x-a) = \frac{2y}{dy/dx}$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 2a \left( \frac{2y}{dy/dx} \right) \implies a = \frac{(dy/dx)^2}{4y}$.
હવે,$a$ અને $(x-a)$ ની કિંમત $y = a(x-a)^2$ માં મૂકતા:
$y = \left( \frac{(dy/dx)^2}{4y} \right) \left( \frac{2y}{dy/dx} \right)^2$
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે $a$ નો લોપ કરતા,આપણને $8y^3 = (y')^2 (2x - y')$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 8)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 8$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-8)^{2} = 8^{2} = 64$ ... $(1)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-8) \frac{d y}{d x} = 0$
$(x-h) = -(y-8) \frac{d y}{d x}$
$(x-h)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$[-(y-8) \frac{d y}{d x}]^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} (\frac{d y}{d x})^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} [1 + (\frac{d y}{d x})^{2}] = 64$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કેન્દ્ર $A(-1, 2)$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ મળે.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = r^2$.
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$.
ધારો કે $c = 5 - r^2$,જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x^2 + y^2 + 2x - 4y + c = 0$ છે.

(A) $y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ છે,જ્યાં $a$ અને $k$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $x^2 = 4ay - 4ak$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow x = 2a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{1}{2a} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$
સ્વૈર અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \right)$
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 0$
આખા સમીકરણને $x^2$ વડે ગુણતા:
$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

(B) વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ. ધારો કે કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ ... $(i)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2a$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-k) \frac{dy}{dx} = 0$
$(x-h) + (y-k) \frac{dy}{dx} = 0$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + (y-k) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
$(y-k) = -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}}$ ... (iii)
(ii) પરથી,$(x-h) = -(y-k) \frac{dy}{dx}$. આમાં (iii) ની કિંમત મૂકતા:
$(x-h) = \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]}{d^{2}y/dx^{2}} \cdot \frac{dy}{dx}$ ... (iv)
$(i)$ માં (iii) અને (iv) ની કિંમત મૂકતા:
$\left[ \frac{[1 + (dy/dx)^{2}] \cdot (dy/dx)}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} + \left[ -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} = a^{2}$
$\frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{2}}{ (d^{2}y/dx^{2})^{2} } \left[ (dy/dx)^{2} + 1 \right] = a^{2}$
$\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3} = a^{2} \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}$

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ થાય છે.
સ્વૈર અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 2ay$ માં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
ગોઠવતા,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,તેથી $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
આમ,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,અથવા $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(D) $x$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે.
આ સમીકરણમાં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $r$ છે,તેથી તેનું બે વાર વિકલન કરવાથી વિકલ સમીકરણ મળે છે.
પ્રથમ વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow x-a = -y \frac{dy}{dx}$.
બીજી વાર વિકલન કરતા: $1 - ((\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$.
જેને સાદું રૂપ આપતા $y \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + 1 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓનું કુળ: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$
સમીકરણ $(i)$ માં $m = \frac{dy}{dx}$ મુકતા:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{4}{\frac{dy}{dx}}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 4$
પદોને ગોઠવતા આપણને માંગેલ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$ છે.

(D) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^{2} = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $h, k,$ અને $a$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $3$ વખત વિકલન કરવું પડશે.
ધારો કે $(x-h)^{2} = A(y-k)$,જ્યાં $A = 4a$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) = A y_{1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 = A y_{2}$.
ત્રીજી વખત $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $0 = A y_{3}$.
કારણ કે $A = 4a \neq 0$,તેથી $y_{3} = 0$ મળે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $y_{3} = 0$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $y=c^{2}+\frac{c}{x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{c}{x^{2}}$
આના પરથી,આપણે $c$ ને $x$ અને $\frac{d y}{d x}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$c = -x^{2} \frac{d y}{d x}$
હવે,$c$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-x^{2} \frac{d y}{d x})^{2} + \frac{-x^{2} \frac{d y}{d x}}{x}$
$y = x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x}$
પદોને ગોઠવતા આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x} - y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે $y=e^x(a+bx+x^2)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a+bx+x^2) + e^x(b+2x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b+2x) \quad ...(i)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(b+2x) + e^x(2)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $e^x(b+2x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) + 2e^x$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - y + 2e^x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 2e^x + y = 0$.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ છે,જ્યાં $(a, 0)$ કેન્દ્ર છે અને $a$ ત્રિજ્યા છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0 ... (i)$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx} ... (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$.
આમ,$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,જે $y^2 = x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ આપે છે.

(D) આપેલ રેખા $5x + 2y + 7 = 0$ છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ હોય તેવી કોઈપણ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ થશે.
$\frac{2}{5}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમૂહનું સમીકરણ $y = \frac{2}{5}x + c$ છે,જેને $2x - 5y + 5c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $5c = k$,તેથી સમીકરણ $2x - 5y + k = 0$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 - 5\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
$dx$ વડે ગુણતા,આપણને $2dx - 5dy = 0$ મળે,અથવા $5dy - 2dx = 0$ થાય.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $A x^2+B y^2=1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y \frac{d y}{d x} = 0 \dots (i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$A + B \left[ \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} \right] = 0 \dots (ii)$
$(i)$ પરથી,$A = -\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x}$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$-\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x} + B \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + B y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$B$ વડે ભાગતા ($B \neq 0$ ધારીને):
$-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$x$ વડે ગુણતા:
$-y \frac{d y}{d x} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + x y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
આમ,$x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -a c_{1} \sin(ax) + a c_{2} \cos(ax)$.
ત્યારબાદ,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} c_{1} \cos(ax) - a^{2} c_{2} \sin(ax)$.
$-a^{2}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} (c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax))$.
કારણ કે $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} y$.
તેથી,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a^{2} y = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવતા: $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x} - 2e^{-x}$.
બીજું વિકલન મેળવતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 16e^{4x} + 2e^{-x}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} + A\frac{dy}{dx} + By = 0$ માં મૂકતા:
$(16e^{4x} + 2e^{-x}) + A(4e^{4x} - 2e^{-x}) + B(e^{4x} + 2e^{-x}) = 0$.
$e^{4x}$ અને $e^{-x}$ ના પદોને અલગ કરતા:
$(16 + 4A + B)e^{4x} + (2 - 2A + 2B)e^{-x} = 0$.
દરેક $x$ માટે આ સમીકરણ સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$16 + 4A + B = 0$ (સમીકરણ $1$)
$2 - 2A + 2B = 0 \Rightarrow 1 - A + B = 0 \Rightarrow B = A - 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી $B = A - 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$16 + 4A + (A - 1) = 0 \Rightarrow 5A + 15 = 0 \Rightarrow A = -3$.
તેથી $B = -3 - 1 = -4$.
આમ,$A = -3$ અને $B = -4$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ છે,જ્યાં $h$ એક પ્રાચલ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણને $2h = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}$ મળે છે.
સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $2h$ ની કિંમત મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - \left( \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \right) = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^{2} - y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,જેને $y^{2} = x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $y$-અંતઃખંડ જેટલો છે,તે $y = mx + c$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઢાળ $m$ એ $y$-અંતઃખંડ $c$ જેટલો છે,તેથી $m = c$.
આ કિંમત મૂકતા,$y = cx + c = c(x+1)$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = c$ મળે છે.
હવે $c$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાંથી મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}$ મળે છે.
તેથી,$(x+1) \frac{dy}{dx} - y = 0$ એ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $c_{1} y = (c_{2} + c_{3}) e^{x + c_{4}}$
અચળાંકોને એકસાથે લેતા: $y = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}} \cdot e^{x}$
ધારો કે $C = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}}$,જ્યાં $C$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી,સમીકરણ $y = C e^{x}$ બને છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંક $C$ હોવાથી,તેને દૂર કરવાથી મળતા વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ થશે.
$y = C e^{x}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = C e^{x}$ મળે છે.
$y = C e^{x}$ ને વિકલનમાં મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ $y=ax+\frac{1}{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx}=a$ મળે છે.
$a=\frac{dy}{dx}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$y=x\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા,$y\left(\frac{dy}{dx}\right)=x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1$ મળે,જે $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\left(\frac{dy}{dx}\right)+1=0$ છે.
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $m=1$ અને ઘાત $r=2$ છે.
તેથી,$r+m = 2+1 = 3$.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C$ મળે,જેનો અર્થ $y^2=kx$ થાય છે.
શરત $y(1)=\sqrt{r+m}=\sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\sqrt{3})^2=k(1)$ મળે,તેથી $k=3$.
આમ,ઉકેલ $y^2=3x$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ વક્રના કુળના સામાન્ય સમીકરણમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
અહીં,$g$ અને $f$ એ બે સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો છે.
તેથી,$2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,બનતું વિકલ સમીકરણ $2$ કક્ષાનું હશે.
વિકલ્પ $B$ માટે,સમીકરણ $y^2 = 4a(x-h)$ છે,જેમાં બે અચળાંકો છે,પરંતુ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થવાની અને નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાની શરત તેને મર્યાદિત કરે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,સમીકરણ $y = mx$ છે,જેમાં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,સમીકરણ $x^2 - y^2 = k^2$ માં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક $k$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y=c_1 e^x+c_2 e^{\log _{e} x}+c_3 \sin ^2 x-c_4\left(\cos ^2 x-1\right)$
$e^{\log _{e} x} = x$ અને $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાદું રૂપ આપીએ:
$y = c_1 e^x + c_2 x + c_3 \sin^2 x - c_4(-\sin^2 x)$
$y = c_1 e^x + c_2 x + (c_3 + c_4) \sin^2 x$
ધારો કે $C = c_3 + c_4$. તો સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$y = c_1 e^x + c_2 x + C \sin^2 x$
આ સમીકરણમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(c_1, c_2, C)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(B) આપેલ ઉકેલ $y = a e^{2x} + b x e^{2x} + C$ છે ...$(i)$
અહીં,$a$ અને $b$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે,જ્યારે $C$ એ નિશ્ચિત અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો ($a$ અને $b$) હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
ચકાસણી માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$y_1 = 2a e^{2x} + b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (2a + b)e^{2x} + 2bx e^{2x}$ ...(ii)
$y_2 = 2(2a + b)e^{2x} + 2b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (4a + 4b)e^{2x} + 4bx e^{2x}$ ...(iii)
આ સમીકરણોમાંથી $a$ અને $b$ નો લોપ કરતા,આપણને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલ સમીકરણ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુથી $P$ એકમ અંતરે આવેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$.
આના પરથી,$\cos \alpha = -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ મળે છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $x \left( -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) + y \left( \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) = P$.
આનું સાદું રૂપ $y - x \frac{dy}{dx} = P \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y - x \frac{dy}{dx})^2 = P^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2)$ મળે છે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $l = 1$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $m = 2$ છે.
આમ,$l m^2 + l^2 m = (1)(2^2) + (1^2)(2) = 4 + 2 = 6$.