Formation of differential equations Questions in Gujarati

આપેલ વિધેય $y=a \cos x+b \sin x$ છે $(1)$.
સમીકરણ $(1)$ ના બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x} = -a \sin x + b \cos x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -a \cos x - b \sin x$.
હવે,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ અને $y$ ની કિંમતોને આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$L.H.S. = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = (-a \cos x - b \sin x) + (a \cos x + b \sin x)$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$L.H.S. = -a \cos x - b \sin x + a \cos x + b \sin x = 0$.
અહીં $L.H.S. = R.H.S. = 0$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $y=e^{x}+1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}+1)$
$\Rightarrow y^{\prime} = e^{x}$ --- $(1)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx}(y^{\prime}) = \frac{d}{dx}(e^{x})$
$\Rightarrow y^{\prime \prime} = e^{x}$
આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ માં $y^{\prime \prime}$ અને $y^{\prime}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$L.H.S. = y^{\prime \prime}-y^{\prime} = e^{x} - e^{x} = 0$
$R.H.S. = 0$
અહીં $L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(N/A) આપેલ વિધેય: $y = x^{2} + 2x + C$
આ સમીકરણની બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x + C)$
$y' = 2x + 2$
હવે,$y'$ ની કિંમતને આપેલ વિકલ સમીકરણ $y' - 2x - 2 = 0$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = y' - 2x - 2$
$L.H.S. = (2x + 2) - 2x - 2$
$L.H.S. = 2x - 2x + 2 - 2 = 0$
$L.H.S. = R.H.S.$
આમ,$L.H.S.$ એ $R.H.S.$ ની બરાબર હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(N/A) આપેલ વિધેય: $y = \cos x + C$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(\cos x + C)$
$y^{\prime} = -\sin x$
હવે,$y^{\prime}$ ની કિંમતને આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} + \sin x = 0$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = y^{\prime} + \sin x$
$L.H.S. = -\sin x + \sin x$
$L.H.S. = 0$
અહીં $L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય $y = \cos x + C$ એ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} + \sin x = 0$ નો ઉકેલ છે.

આપેલ વિધેય: $y=\sqrt{1+x^{2}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime}=\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^{2}})$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$y^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^{2})$
$y^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}} \cdot (2x)$
$y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$
હવે,જમણી બાજુને $\sqrt{1+x^{2}}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y^{\prime}=\frac{x \cdot \sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}} \cdot \sqrt{1+x^{2}}}$
$y^{\prime}=\frac{x \cdot y}{1+x^{2}}$
આમ,વિકલિત આપેલ વિકલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી વિધેય $y=\sqrt{1+x^{2}}$ એ આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $y = Ax$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' = \frac{d}{dx}(Ax) = A$
હવે,$y$ અને $y'$ ની કિંમતોને આપેલ વિકલ સમીકરણ $xy' = y$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = xy' = x(A) = Ax$
$R.H.S. = y = Ax$
અહીં $L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય $y = Ax$ એ વિકલ સમીકરણ $xy' = y$ નો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $xy = \log y + C$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\log y + C)$
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ અને જમણી બાજુ સાંકળનો નિયમ વાપરતા:
$y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + 0$
$y + xy' = \frac{1}{y} y'$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $y$ વડે ગુણતા:
$y^2 + xyy' = y'$
$y'$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 = y' - xyy'$
$y^2 = y'(1 - xy)$
આમ,$y' = \frac{y^2}{1 - xy}$ ($xy \neq 1$ માટે).
આમ,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

આપેલ વિધેય: $x+y=\tan ^{-1} y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y)$
$1 + y^{\prime} = \frac{1}{1+y^2} y^{\prime}$
$y^{\prime}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1 - (1+y^2)}{1+y^2} \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right)$
$y^{\prime} = -\frac{1+y^2}{y^2}$
હવે,$y^{\prime}$ ની કિંમતને વિકલ સમીકરણ $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$ ની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = y^2 \left( -\frac{1+y^2}{y^2} \right) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -(1+y^2) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -1 - y^2 + y^2 + 1 = 0$
અહીં $L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ:
$y = mx$ ............$(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = m$
આ વિકલિતમાંથી $m$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = (\frac{dy}{dx}) \cdot x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x \frac{dy}{dx} - y = 0$
આ સમીકરણ સ્વૈર અચળાંક $m$ થી મુક્ત છે,અને તેથી,આ જરૂરી વિકલ સમીકરણ છે.

(A) આપેલ વક્રના કુળનું સમીકરણ:
$y = a \sin(x + b)$ --- $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a \cos(x + b)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a \sin(x + b)$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $a \sin(x + b) = y$. આ કિંમતને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$
પદોને ગોઠવતા,આપણને માંગેલ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

(N/A) $x$-અક્ષ પર નાભિઓ અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયોના કુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ............$(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x}{a^{2}} + \frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^{2}}$
$\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ............$(2)$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^{2}}{a^{2}} \right)$
$\left( \frac{y}{x} \right) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left( \frac{dy}{dx} \right) \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = 0$
$\left( \frac{y}{x} \right) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left( \frac{dy}{dx} \right) \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}} \right) = 0$
$x^{2}$ વડે ગુણતા:
$xy \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} - y \frac{dy}{dx} = 0$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(N/A) ધારો કે $C$ એ ઉગમબિંદુ પર $x$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંહતિ દર્શાવે છે. ધારો કે $(0, a)$ એ સંહતિના કોઈપણ સભ્યના કેન્દ્રના યામ છે.
તેથી,સંહતિ $C$ નું સમીકરણ
$x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2} \text{ અથવા } x^{2} + y^{2} = 2ay$ ..........$(1)$
જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે. સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a \frac{dy}{dx}$
અથવા $x + y \frac{dy}{dx} = a \frac{dy}{dx} \text{ અથવા } a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$ ..........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે
$x^{2} + y^{2} = 2y \left[ \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right]$
અથવા $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2}) = 2xy + 2y^{2} \frac{dy}{dx}$
અથવા $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2} - 2y^{2}) = 2xy$
અથવા $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$
આ આપેલ વર્તુળોની સંહતિનું જરૂરી વિકલ સમીકરણ છે.

(N/A) ધારો કે $P$ એ ઉપર જણાવેલ પરવલયોના સમૂહને દર્શાવે છે અને ધારો કે $(a, 0)$ એ આપેલ સમૂહના એક સભ્યનું નાભિ છે,જ્યાં $a$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે. તેથી,સમૂહ $P$ નું સમીકરણ
$y^{2} = 4ax$ ...........$(1)$
સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ ............$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $4a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે
$y^{2} = \left(2y \frac{dy}{dx}\right)(x)$
અથવા $y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$
જે આપેલ પરવલયોના સમૂહનું વિકલ સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ થાય.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $y'' = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^{2}=a(b^{2}-x^{2})$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = a(-2x)$
$y y' = -ax$ --- $(1)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' y' + y y'' = -a$
$(y')^{2} + y y'' = -a$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$a = -\frac{y y'}{x}$ મળે છે. આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા:
$(y')^{2} + y y'' = -(-\frac{y y'}{x})$
$(y')^{2} + y y'' = \frac{y y'}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x(y')^{2} + x y y'' = y y'$
$x y y'' + x(y')^{2} - y y' = 0$

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $y = a e^{3x} + b e^{-2x}$ .............$(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = 3a e^{3x} - 2b e^{-2x}$ .............$(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = 9a e^{3x} + 4b e^{-2x}$ .............$(3)$
$a$ અને $b$ નો લોપ કરવા માટે,આપણે સમીકરણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. $(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$y' + 2y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) + 2(a e^{3x} + b e^{-2x}) = 5a e^{3x} \Rightarrow a e^{3x} = \frac{y' + 2y}{5}$
$y' - 3y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) - 3(a e^{3x} + b e^{-2x}) = -5b e^{-2x} \Rightarrow b e^{-2x} = \frac{3y - y'}{5}$
આ કિંમતોને $(3)$ માં મૂકતા:
$y'' = 9\left(\frac{y' + 2y}{5}\right) + 4\left(\frac{3y - y'}{5}\right)$
$y'' = \frac{9y' + 18y + 12y - 4y'}{5}$
$y'' = \frac{5y' + 30y}{5}$
$y'' = y' + 6y$
$y'' - y' - 6y = 0$

(N/A) $y = e^{2x}(a + bx)$ ...........$(1)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' = 2e^{2x}(a + bx) + e^{2x}(b)$
$y' = 2y + be^{2x}$ ...........$(2)$
$b$ વાળા પદને અલગ કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને ફરીથી ગોઠવતા:
$y' - 2y = be^{2x}$ ...........$(3)$
સમીકરણ $(3)$ ની બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' - 2y' = b(2e^{2x})$
$y'' - 2y' = 2(be^{2x})$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $be^{2x} = y' - 2y$ ની કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y'' - 2y' = 2(y' - 2y)$
$y'' - 2y' = 2y' - 4y$
$y'' - 4y' + 4y = 0$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = e^{x}(a \cos x + b \sin x)$ ............$(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$y' = e^{x}(a \cos x + b \sin x) + e^{x}(-a \sin x + b \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-a \sin x + b \cos x)$ ............$(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = y' + [e^{x}(-a \sin x + b \cos x) + e^{x}(-a \cos x - b \sin x)]$
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(a \cos x + b \sin x)$
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' = 2y' - 2y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે. ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે.
તે ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $|a|$ છે.
કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $|a|$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ ... $(1)$ થાય છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2yy' = 2a$ મળે છે,અથવા $x + yy' = a$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2(x + yy')x$ મળે છે.
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xyy'$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 + 2xyy' = 0$ અથવા $x^2 - y^2 = 2xyy'$ મળે છે.
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + 2xyy' = 0$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને ધન $y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ:
$x^{2}=4 a y$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2 x=4 a y^{\prime}$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 x}{x^{2}}=\frac{4 a y^{\prime}}{4 a y}$
$\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{y^{\prime}}{y}$
$\Rightarrow x y^{\prime}=2 y$
$\Rightarrow x y^{\prime}-2 y=0$
આ જરૂરી વિકલ સમીકરણ છે.

(N/A) $y$-અક્ષ પર નાભિ અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયોના સમૂહનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ --- $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{b^{2}}+\frac{2yy'}{a^{2}}=0$
$\Rightarrow \frac{x}{b^{2}}+\frac{yy'}{a^{2}}=0$ --- $(2)$
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$.
સમીકરણ $(2)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{b^{2}}+\frac{y' \cdot y' + y \cdot y''}{a^{2}} = 0$
$\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{yy'}{a^{2}x} + \frac{(y')^{2} + yy''}{a^{2}} = 0$
$a^{2}x$ વડે ગુણતા:
$-yy' + x(y')^{2} + xyy'' = 0$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ:
$xyy'' + x(y')^{2} - yy' = 0$

(N/A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $x$-અક્ષ પર નાભિ ધરાવતા અતિવલયોના કુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ --- $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^{2}} - \frac{2yy'}{b^{2}} = 0$
$\Rightarrow \frac{x}{a^{2}} = \frac{yy'}{b^{2}}$ --- $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} (y' \cdot y' + y \cdot y'')$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} ((y')^{2} + yy'')$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $\frac{1}{a^{2}}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x \cdot \frac{1}{b^{2}} ((y')^{2} + yy'') = \frac{yy'}{b^{2}}$
$b^{2} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $b^{2}$ વડે ગુણતા:
$x(y')^{2} + xyy'' = yy'$
પદોને ગોઠવતા,આપણને જરૂરી વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$xyy'' + x(y')^{2} - yy' = 0$

(B) ધારો કે $y$-અક્ષ પરના વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, b)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, b)$ અને ત્રિજ્યા $3$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ:
$x^2 + (y - b)^2 = 3^2$
$x^2 + (y - b)^2 = 9$ --- $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2(y - b) \cdot y' = 0$
$(y - b) \cdot y' = -x$
$(y - b) = -\frac{x}{y'}$
$(y - b)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 + \left(-\frac{x}{y'}\right)^2 = 9$
$x^2 + \frac{x^2}{(y')^2} = 9$
$(y')^2$ વડે ગુણતા:
$x^2(y')^2 + x^2 = 9(y')^2$
$x^2(y')^2 - 9(y')^2 + x^2 = 0$
$(x^2 - 9)(y')^2 + x^2 = 0$

(A) આપેલ સમીકરણ છે:
$y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x}=c_{1} e^{x}-c_{2} e^{-x}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$
સમીકરણ $(1)$ મુજબ જમણી બાજુ $y$ ની બરાબર હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x}=1$ $(1)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ $(2)$
હવે,$y=x$,$\frac{d y}{d x}=1$,અને $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ ની કિંમતો વિકલ્પોમાં મૂકતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ વિકલ્પોમાં કોઈ પણ સમીકરણ સંતોષતું નથી. જો સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + y = 0$ હોય,તો $y=x$ તેનો ઉકેલ બને છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(N/A) ધારો કે $C$ એ બીજા ચરણમાં આવેલા અને યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળોનો સમૂહ દર્શાવે છે. ધારો કે આ સમૂહના કોઈપણ સભ્યના કેન્દ્રના યામ $(-a, a)$ છે.
આ સમૂહ $C$ ને દર્શાવતું સમીકરણ
$(x+a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ ............$(1)$
અથવા $x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0$ .............. $(2)$
સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2x+2y \frac{dy}{dx}+2a-2a \frac{dy}{dx} = 0$
અથવા $x+y \frac{dy}{dx} = a \left(\frac{dy}{dx}-1\right)$
અથવા $a = \frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે
$\left[x+\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[y-\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
અથવા $\left[\frac{x y^{\prime}-x+x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[\frac{y y^{\prime}-y-x-y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
અથવા $(x y^{\prime}+y y^{\prime})^{2}+(-y-x)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
અથવા $(x+y)^{2} (y^{\prime})^{2}+(x+y)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
અથવા $(x+y)^{2} [1+(y^{\prime})^{2}]=(x+y y^{\prime})^{2}$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

આપેલ વિધેય: $y=ae^{x}+be^{-x}+x^{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = ae^{x} - be^{-x} + 2x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = ae^{x} + be^{-x} + 2$
$\frac{dy}{dx}$ અને $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ની કિંમતો વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L.H.S. = x(ae^{x} + be^{-x} + 2) + 2(ae^{x} - be^{-x} + 2x) - x(ae^{x} + be^{-x} + x^{2}) + x^{2} - 2$
$= axe^{x} + bxe^{-x} + 2x + 2ae^{x} - 2be^{-x} + 4x - axe^{x} - bxe^{-x} - x^{3} + x^{2} - 2$
$= 2ae^{x} - 2be^{-x} - x^{3} + x^{2} + 6x - 2$
અહીં $L.H.S. \neq 0$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય: $y=e^{x}(a \cos x+b \sin x) = ae^{x} \cos x + be^{x} \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a(e^{x} \cos x - e^{x} \sin x) + b(e^{x} \sin x + e^{x} \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x]$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \{e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x]\}$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x] + e^{x}[-(a+b) \sin x + (b-a) \cos x]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[(a+b+b-a) \cos x + (b-a-a-b) \sin x]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x]$.
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,$\frac{dy}{dx}$,અને $y$ ની કિંમતો વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y$
$= e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x] - 2e^{x}[(a+b) \cos x + (b-a) \sin x] + 2e^{x}[a \cos x + b \sin x]$
$= e^{x}[2b \cos x - 2a \sin x - 2a \cos x - 2b \sin x + 2b \sin x - 2a \cos x + 2a \cos x + 2b \sin x]$
$= e^{x}[(2b - 2a - 2b + 2a) \cos x + (-2a - 2b + 2b + 2a) \sin x]$
$= e^{x}[0 \cos x + 0 \sin x] = 0 = R.H.S.$
આમ,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

આપેલ વિધેય: $x^{2}=2 y^{2} \log y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 2 \frac{d}{dx} [y^{2} \log y]$
$x = \frac{d}{dx} [y^{2} \log y]$
$x = 2y \log y \frac{dy}{dx} + y^{2} \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$
$x = \frac{dy}{dx} (2y \log y + y)$
$x = y \frac{dy}{dx} (2 \log y + 1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y(1+2 \log y)}$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત વિકલ સમીકરણ $(x^{2}+y^{2}) \frac{dy}{dx}-xy$ ના $L.H.S.$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = (2y^{2} \log y + y^{2}) \cdot \frac{x}{y(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = y^{2}(2 \log y + 1) \cdot \frac{x}{y(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = y(2 \log y + 1) \cdot \frac{x}{(1+2 \log y)} - xy$
$L.H.S. = xy - xy = 0$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)^{2}+2 y^{2}=a^{2}$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-2ax+a^{2}+2y^{2}=a^{2}$
સાદુરૂપ આપતા: $x^{2}-2ax+2y^{2}=0$
$2ax = x^{2}+2y^{2}$
$a = \frac{x^{2}+2y^{2}}{2x}$
હવે,સમીકરણ $x^{2}-2ax+2y^{2}=0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x - 2a + 4y \frac{dy}{dx} = 0$
$x - a + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$x - \frac{x^{2}+2y^{2}}{2x} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x$ વડે ગુણતા:
$2x^{2} - (x^{2}+2y^{2}) + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$2x^{2} - x^{2} - 2y^{2} + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x^{2} - 2y^{2} + 4xy \frac{dy}{dx} = 0$
$4xy \frac{dy}{dx} = 2y^{2} - x^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y^{2}-x^{2}}{4xy}$

(N/A) પ્રથમ ચરણમાં કેન્દ્ર $(a, a)$ અને ત્રિજ્યા $(a)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ જે યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે તે:
$(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-a)+2(y-a) y^{\prime}=0$
$(x-a)+(y-a) y^{\prime}=0$
$x-a+yy^{\prime}-ay^{\prime}=0$
$x+y y^{\prime}-a(1+y^{\prime})=0$
$a=\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left[x-\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)\right]^{2}+\left[y-\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)\right]^{2}=\left(\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^{2}$
$\left[\frac{x+xy^{\prime}-x-yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}+\left[\frac{y+yy^{\prime}-x-yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}=\left[\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}$
$\left[\frac{x y^{\prime}-y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}+\left[\frac{y-x}{1+y^{\prime}}\right]^{2}=\left[\frac{x+yy^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right]^{2}$
$(y^{\prime})^{2}(x-y)^{2}+(y-x)^{2}=(x+yy^{\prime})^{2}$
$(x-y)^{2}[1+(y^{\prime})^{2}]=(x+yy^{\prime})^{2}$

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^{2} = 4ax + 4a^{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{2} = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 4 \cdot \frac{y^{2}}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + y^{2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y^{2}=a\left(x+\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = ax + \frac{a^{3/2}}{2} \quad ...(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2yy' = a$
$a = 2yy'$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = (2yy')x + \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$y^{2} - 2xyy' = \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = \frac{(2yy')^{3}}{4}$
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = 2y^{3}(y')^{3}$
અહીં સૌથી વધુ વિકલિત $y'$ છે,તેથી કક્ષા (order) $1$ છે.
સૌથી વધુ વિકલિતની મહત્તમ ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત (degree) $3$ છે.
ઘાત અને કક્ષા વચ્ચેનો તફાવત $3 - 1 = 2$ થાય છે.

(D) નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ એ બિંદુ $(2, -3)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નું અંતર છે.
$4a = \frac{|3(2) + 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|6 - 12 - 5|}{5} = \frac{|-11|}{5} = \frac{11}{5}$.
અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^{2} = 4a(y - k)$ છે,જ્યાં $4a = \frac{11}{5}$.
$(x - h)^{2} = \frac{11}{5}(y - k)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x - h) = \frac{11}{5} \frac{dy}{dx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 = \frac{11}{5} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
$10 = 11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,એટલે કે $11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 10$.

(A) $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,$4 + 4f + c = 0$ અને $4 - 4f + c = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f = 0$ અને $c = -4$.
તેથી,વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 4 + 2gx = 0$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} + 2g = 0$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} \right) = 0$ મળે.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) - (x^{2} + y^{2} - 4)(1)}{x^{2}} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2xy \frac{dy}{dx} + x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, h)$ છે કારણ કે તે $y=x$ રેખા પર છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ $(h, h)$ થી $(0,0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-h)^2 = 2h^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = 2h^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2h(x+y) = 0$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2yy' - 2h(1+y') = 0$ મળે છે,જેમાંથી $h = \frac{x+yy'}{1+y'}$ મળે છે.
$h$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 = 2(\frac{x+yy'}{1+y'})(x+y)$.
$(x^2+y^2)(1+y') = 2(x+y)(x+yy')$.
$(x^2+y^2) + (x^2+y^2)y' = 2x^2 + 2xyy' + 2xy + 2y^2y'$.
$y'$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $(x^2+y^2-2xy-2y^2)y' = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^2$.
$(x^2-y^2-2xy)y' = x^2-y^2+2xy$.
આમ,$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$.

(B) આપેલ છે કે $y=f(x)$ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=a$ સુધી $\int_0^a f(x) dx = e^{-a}+4a^2+a-1$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $f(a) = \frac{d}{da}(e^{-a}+4a^2+a-1) = -e^{-a}+8a+1$ મળે.
આમ,$f(x) = -e^{-x}+8x+1$.
વ્યાપક ઉકેલ $y = c_1 f(x) + c_2$ આપેલ છે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c_1 f'(x) = c_1(e^{-x}+8)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = c_1 f''(x) = c_1(e^{-x})$.
દ્વિતીય વિકલિત પરથી,$c_1 = e^x \frac{d^2y}{dx^2}$ મળે.
$c_1$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = (e^x \frac{d^2y}{dx^2})(e^{-x}+8) = \frac{d^2y}{dx^2}(1+8e^x)$.
ગોઠવતા $(8e^x+1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.

(A) $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર $(h, 0)$ અને $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ છે.
તેનું સાદું રૂપ આપતા,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,એટલે કે $x^2 + y^2 = 2xh$ મળે.
ધારો કે $h = b$,તેથી $x^2 + y^2 = 2bx$ ... $(i)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2b$,અથવા $x + y \frac{dy}{dx} = b$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મુકતા,$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 + y^2)^2 = 4x^2(x + y \frac{dy}{dx})^2$ મળે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = (C_1 + C_2) \sin (x + C_3) - C_4 e^{x + C_5}$ છે.
અચળાંકોને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકાય છે:
ધારો કે $A = (C_1 + C_2)$. $C_1$ અને $C_2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,તેમનો સરવાળો $A$ પણ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
ધારો કે $B = C_4 e^{C_5}$. $C_4$ અને $C_5$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,$B$ પણ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
હવે,સમીકરણ $y = A \sin (x + C_3) - B e^x$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin (x + C_3) = \sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A (\sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3) - B e^x$
$y = (A \cos C_3) \sin x + (A \sin C_3) \cos x - B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos C_3$,$K_2 = A \sin C_3$,અને $K_3 = -B$.
આ $K_1, K_2, K_3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
આમ,સમીકરણ $y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
વ્યાપક ઉકેલમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2=2 c(x+\sqrt{c}) \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y \frac{dy}{dx} = 2c \implies c = y \frac{dy}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2 \left(y \frac{dy}{dx}\right) \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \left(y \frac{dy}{dx}\right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = 8ax + 8a^2$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 8a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{4} \frac{dy}{dx}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$y^2 = 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right) x + 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 8 \left( \frac{y^2}{16} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
છેદ દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$2y^2 = 4xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
આ વિકલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,જેનો ક્રમ $1$ છે. સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે. તેથી,તેની ઘાત (degree) $2$ છે.

(A) આપેલ ઉકેલ $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ છે.
જેમ કે ઉકેલમાં $3$ સ્વૈર અચળાંકો $(a, b, c)$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(B) $4$ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 4^2$ છે.
અહીં,$h$ અને $k$ એ સ્વૈર અચળાંકો છે.
ત્યાં $2$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(D) $4a$ નાભિલંબ અને $x$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ છે.
અહીં,$a$ એ નિશ્ચિત પ્રાચલ છે (નાભિલંબની લંબાઈ તરીકે આપેલ છે),જ્યારે $h$ અને $k$ એ શિરોબિંદુ $(h, k)$ ના યામ દર્શાવતા સ્વૈર અચળાંકો છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $a e^{x} + b e^{2x} + c e^{3x} + d = 0$ છે.
આ સમીકરણમાં $4$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $a, b, c,$ અને $d$ રહેલા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
અહીં $4$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $4$ થશે.

(C) બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
બિંદુ $(1, -1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
અહીં $m = \frac{dy}{dx}$ હોવાથી,તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $y + 1 = (x - 1) \frac{dy}{dx}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું કુટુંબ: $x^2 y = 4e^x + c$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2 y) = \frac{d}{dx}(4e^x + c)$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(x^2) = 4e^x$.
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 4e^x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2 \frac{dy}{dx} + (2xy - 4e^x) = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 5)$ છે અને તે $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય,એટલે કે $r = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-5)^2 = 5^2$ છે.
$(x-h)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(x-h) + 2(y-5) \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
આમ,$(x-h) = -(y-5) \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $[-(y-5) \frac{dy}{dx}]^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$.
પ્રથમ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = X \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6 - Y \cdot \sin(6t + 5) \cdot 6 = 6[X \cos(6t + 5) - Y \sin(6t + 5)]$.
હવે,ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = 6[X \cdot (-\sin(6t + 5)) \cdot 6 - Y \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6]$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36[X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)]$.
કારણ કે $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36y$.
આમ,$\frac{d^2 y}{dt^2} + 36y = 0$ મળે છે.