Formation of differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = ax + \frac{1}{a}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a$
$a = \frac{dy}{dx}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1$
અહીં સૌથી વધુ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = Ae^x + B \sin x$ છે.
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = Ae^x + B \cos x$.
પગલું $2$: ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = Ae^x - B \sin x$.
અચળાંકો $A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણને મળે છે: $(\cos x + \sin x) y'' - (\cos x - \sin x) y' - (\cos x + \sin x) y = 0$.
અહીં $f(x) = \cos x + \sin x$,$g(x) = -\cos x + \sin x$,$h(x) = -\cos x - \sin x$.
તેથી $f(x) + g(x) + h(x) = (\cos x + \sin x) + (-\cos x + \sin x) + (-\cos x - \sin x) = -\cos x + \sin x$.

(B) ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $h$ અને $k$ હોવાથી,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x - h) + 2(y - k)y_1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $(x - h) = -(y - k)y_1$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 + y_1^2 + (y - k)y_2 = 0$,તેથી $(y - k) = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$.
$(y - k)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - h) = -(-\frac{1 + y_1^2}{y_2})y_1 = \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2}$.
હવે $(x - h)$ અને $(y - k)$ ની કિંમતો મૂળ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2})^2 + (-\frac{1 + y_1^2}{y_2})^2 = a^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{y_1^2(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} + \frac{(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} = a^2$.
$(1 + y_1^2)^2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{(1 + y_1^2)^2 (y_1^2 + 1)}{y_2^2} = a^2$.
આમ,$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$ મળે છે.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = A e^{-x} + B \cos x$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -A e^{-x} - B \sin x$ ... $(ii)$
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = A e^{-x} - B \cos x$ ... $(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$B$ નો લોપ કરતા: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = A e^{-x} (\sin x - \cos x)$ ... $(iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$B$ નો લોપ કરતા: $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 2 A e^{-x}$ ... $(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ પરથી,$A$ નો લોપ કરતા: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = \frac{1}{2} (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
$2$ વડે ગુણતા: $2y \sin x + 2 \frac{dy}{dx} \cos x = (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
પદોને ગોઠવતા: $(\cos x - \sin x) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \cos x \frac{dy}{dx} + (\sin x + \cos x) y = 0$.

(A) આપેલ છે $y=A e^x+B \sin 2 x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x}=A e^x+2 B \cos 2 x$ ...$(1)$
ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=A e^x-4 B \sin 2 x$ ...$(2)$
$(1)$ પરથી,$A e^x = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x - 4 B \sin 2 x$.
વિકલ્પો ચકાસતા અથવા અચળાંકો $A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણને વિકલ સમીકરણ $(\cos 2 x-\sin 2 x) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 \sin 2 x \frac{d y}{d x}-4(\sin 2 x+\cos 2 x) y=0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y=x[a \cos (\log x)+b \sin (\log x)]$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = [a \cos (\log x) + b \sin (\log x)] + x [-a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$.
$x$ વડે ગુણતા: $x \frac{d y}{d x} = y - ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d x} - [a \sin (\log x) + ax \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + [b \cos (\log x) - bx \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} = -a \sin (\log x) - a \cos (\log x) + b \cos (\log x) - b \sin (\log x)$.
$x$ વડે ગુણતા: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -ax \sin (\log x) - ax \cos (\log x) + bx \cos (\log x) - bx \sin (\log x)$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -[ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)] - [ax \sin (\log x) - bx \cos (\log x)]$.
$y = ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)$ અને $x \frac{d y}{d x} - y = -ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -y - (x \frac{d y}{d x} - y) = -x \frac{d y}{d x} + 2y$ (સુધારેલ ગણતરી મુજબ).
અંતિમ સમીકરણ: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} + 2y = 0$.

(A) $r$ એકમની નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, 3)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x-h)^2 + (y-3)^2 = r^2$ --- $(1)$
જ્યાં $h$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-3)\frac{dy}{dx} = 0$
$x-h = -(y-3)\frac{dy}{dx}$
$(x-h)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$[-(y-3)\frac{dy}{dx}]^2 + (y-3)^2 = r^2$
$(y-3)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-3)^2 = r^2$
બંને બાજુ $(y-3)^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 = \frac{r^2}{(y-3)^2}$

(B) આપેલ વક્રના પરિવારનું સમીકરણ: $a x^2+b y^2=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0$,જેનું સાદું રૂપ $a x+b y \frac{d y}{d x}=0$ થાય છે.
આના પરથી,$a = -\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x}$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a + b \left( y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 \right) = 0$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $-\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x} + b y \frac{d^2 y}{d x^2} + b (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$b$ વડે ભાગતા: $-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $-y \frac{d y}{d x} + x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$ છે.

(A) સામાન્ય ઉકેલ $f(x, y, c_1, c_2) = 0$ માં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે,તેથી અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $k = 2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^k + y^k = c^2$ માં $k = 2$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = c^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(c^2)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = 4a(x + a)$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + 0) = 4a$
$2y y^{\prime} = 4a$
$a = \frac{1}{2} y y^{\prime}$
હવે,$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y y^{\prime} \right) \left( x + \frac{1}{2} y y^{\prime} \right)$
$y^2 = 2y y^{\prime} \left( \frac{2x + y y^{\prime}}{2} \right)$
$y^2 = y y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
બંને બાજુ $y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
$y = 2x y^{\prime} + y (y^{\prime})^2$
$y - y (y^{\prime})^2 = 2x y^{\prime}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+y^2}=C x e^{\tan ^{-1} x}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \cdot 2y \frac{dy}{dx} = C \left( e^{\tan ^{-1} x} + x e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right)$
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = C e^{\tan ^{-1} x} \left( 1 + \frac{x}{1+x^2} \right)$
કારણ કે $C e^{\tan ^{-1} x} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} \left( \frac{1+x^2+x}{1+x^2} \right)$
$\frac{xy}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}(1+x+x^2)}{1+x^2}$
$xy(1+x^2) dy = (1+y^2)(1+x+x^2) dx$
$xy(1+x^2) dy - (1+y^2)(1+x+x^2) dx = 0$

(D) આપેલ સમીકરણ $xy = ae^x + be^{-x} + x^2$ છે $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y + xy' = ae^x - be^{-x} + 2x$ (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' + y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$
$2y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$ (iii)
$(i)$ પરથી,$ae^x + be^{-x} = xy - x^2$ છે.
આ કિંમત (iii) માં મૂકતા:
$xy'' + 2y' = (xy - x^2) + 2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$xy'' + 2y' - xy + x^2 - 2 = 0$

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = ae^{4x} + be^{-x}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4ae^{4x} - be^{-x}$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16ae^{4x} + be^{-x}$ ... (iii)
અચળાંકો $a$ અને $b$ ને દૂર કરવા માટે,સમીકરણો $(i)$,(ii) અને (iii) નો ઉપયોગ કરતા:
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$y + \frac{dy}{dx} = 5ae^{4x} \implies ae^{4x} = \frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})$
$(i)$ ને $4$ વડે ગુણીને તેમાંથી (ii) બાદ કરતા:
$4y - \frac{dy}{dx} = 5be^{-x} \implies be^{-x} = \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
આ કિંમતો (iii) માં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16[\frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})] + \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{16y}{5} + \frac{16}{5}\frac{dy}{dx} + \frac{4y}{5} - \frac{1}{5}\frac{dy}{dx} = 4y + 3\frac{dy}{dx}$
તેથી,વિકલ સમીકરણ $f = \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$ છે.
$\frac{df}{dx}$ શોધવા માટે,$f$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y) = \frac{d^3y}{dx^3} - 3\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = ax^2 + bx + c$.
અહીં,સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $3$ $(a, b, c)$ છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વારંવાર વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
તૃતીય વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
તેથી,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ છે.
બે સ્વૈર અચળાંકો $l$ અને $m$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીએ છીએ.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2lx + 2myy^{\prime} - (1 + y^{\prime}) = 0 \ldots (ii)$
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2l + 2m(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y^{\prime \prime} = 0 \ldots (iii)$
આપણી પાસે $l, m, -1$ માં ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$l(x^2) + m(y^2) + (-1)(x+y) = 0$
$l(2x) + m(2yy^{\prime}) + (-1)(1+y^{\prime}) = 0$
$l(2) + m(2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime})) + (-1)(y^{\prime \prime}) = 0$
$l, m, -1$ માટે બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & -(x+y) \\ 2x & 2yy^{\prime} & -(1+y^{\prime}) \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & -y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$
ત્રીજા સ્તંભને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \\ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$

(C) $r$ જેટલી અચળ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(a, b)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow x-a = -(y-b)y'$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(y-b)^2 (y')^2 + (y-b)^2 = r^2 \Rightarrow (y-b)^2 [1 + (y')^2] = r^2 \Rightarrow y-b = \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}}$.
$x-a = -(y-b)y'$ નું ફરીથી વિકલન કરતા: $1 = -[y'' (y-b) + (y')^2]$.
$y-b$ ની કિંમત મૂકતા: $1 + (y')^2 = -y'' \left( \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $1 + (y')^2 = \mp \frac{r y''}{\sqrt{1+(y')^2}} \Rightarrow (1+(y')^2)^{3/2} = \mp r y''$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1+(y')^2)^3 = r^2 (y'')^2$.

(C) અચળ ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્ર $(a, b)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $k = 2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow (x-a) + (y-b)y' = 0$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0 \Rightarrow (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
આ કિંમત પ્રથમ વિકલિતના સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-a) = -y' \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right) = \frac{y'(1+(y')^2)}{y''}$.
$(x-a)$ અને $(y-b)$ ની કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{y'(1+(y')^2)}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = r^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} ( (y')^2 + 1 ) = r^2 \Rightarrow (1+(y')^2)^3 = r^2(y'')^2$.
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $y''$ છે,તેથી ક્રમ $k = 2$.
સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $l = 2$.
આમ,$k^2 + l^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

(D) $X$-અક્ષ પર $(a, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ થાય છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$.
આના પરથી $a = x + y\frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$a$ ની આ કિંમતને $x^2 + y^2 = 2ax$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2x(x + y\frac{dy}{dx})$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ છે. તો વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, a)$ છે. તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ --- $(i)$
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a - 2a \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} - a(1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
$a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
અહીં $(x-a) = x - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
અને $(y-a) = y - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}}$
આ કિંમતો $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 + (\frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
$(x-y)^2 (\frac{dy}{dx})^2 + (x-y)^2 = (x + y \frac{dy}{dx})^2$
$(x-y)^2 [1 + (\frac{dy}{dx})^2] = (x + y \frac{dy}{dx})^2$

(A) આપેલ વક્રનું કુળ: $y = a + b e^{2x} + c e^{-3x}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = 2b e^{2x} - 3c e^{-3x}$ (ii)
ફરીથી વિકલન કરતા:
$y_2 = 4b e^{2x} + 9c e^{-3x}$ (iii)
ત્રીજી વાર વિકલન કરતા:
$y_3 = 8b e^{2x} - 27c e^{-3x}$ (iv)
અચળાંકો $a, b, c$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $y_3 + k_1 y_2 + k_2 y_1 = 0$ સ્વરૂપ વિચારીએ.
$e^{2x}$ અને $e^{-3x}$ પદો માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $(m-2)(m+3)m = 0$ છે,જે $m^3 + m^2 - 6m = 0$ થાય છે.
આથી,અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ $y_3 + y_2 - 6y_1 = 0$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિનું આપેલ સમીકરણ: $x = A \cos (nt + \alpha)$ ... $(i)$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -A n \sin (nt + \alpha)$ ... (ii)
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An \frac{d}{dt} \sin (nt + \alpha)$
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos (nt + \alpha)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $x = A \cos (nt + \alpha)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
તેથી,વિકલ સમીકરણ:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2 x = 0$

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y=(\alpha+\beta x) e^{p x}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p(\alpha+\beta x) e^{p x}$
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p y$ (ii)
(ii) પરથી,આપણને મળે છે $\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$.
(ii) નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = \beta p e^{p x} + p y^{\prime}$
$\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = p(y^{\prime} - p y) + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = p y^{\prime} - p^2 y + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = 2 p y^{\prime} - p^2 y$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime \prime} - 2 p y^{\prime} + p^2 y = 0$

(C) $(0,-1)$ પર શિરોબિંદુ અને $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $x^2 = 4a(y+1)$ $(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x = 4a y^{\prime}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y+1)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x = \frac{2(y+1)}{y^{\prime}}$ મળે છે.
આમ,$x y^{\prime} = 2y + 2$,અથવા $x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy = ae^x + be^{-x}$ છે.
પ્રથમ,ડાબી બાજુએ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
પદને સરળ બનાવતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
કારણ કે $ae^x + be^{-x} = xy$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$.
આમ,અંતિમ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 2ax + a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2a \Rightarrow a = y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $y^2 = 2ax + a^2$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2x(y \frac{dy}{dx}) + (y \frac{dy}{dx})^2$.
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y - 2x \frac{dy}{dx}$,જે $-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ ને સમાન છે.

(A) યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y^{\prime} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot y^{\prime} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{y y^{\prime}}{x} = -\frac{b^2}{a^2}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y y^{\prime}}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y y^{\prime}(1)}{x^2} = 0$
$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^2 - y y^{\prime} = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ વક્રનું કુળ $y^2 - 5ax - 5a^{3/2} = 0$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2yy' - 5a = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{5}yy'$
સમીકરણ $(i)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$y^2 - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)x - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2} = 0$
$y^2 - 2yy'x = 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \left(\frac{2}{5}yy'\right)^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \frac{8}{125} (yy')^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = \frac{8}{5} (yy')^3$
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $y'$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $n = 3$.
તેથી,$m - n = 1 - 3 = -2$.

(C) વિધાન $I$: $(0, \alpha)$ કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.
તેથી,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.
$(i)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.
$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.
$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $X$-અક્ષ પર છે,તેથી કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ અને ત્રિજ્યા $|\alpha|$ છે.
સમીકરણ $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ છે.
$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a+b(y')^2+b y y''=0$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$a = -b y y' / x$. આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-b y y' / x + b(y')^2 + b y y'' = 0$.
$b$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારતા): $-y y' / x + (y')^2 + y y'' = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $x y y'' + x (y')^2 - y y' = 0$.
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $\alpha = 2$ અને ઘાત $\beta = 1$ છે.
આ કિંમતોને ઉપવલયના સમીકરણ $\alpha x^2+\beta y^2=1$ માં મૂકતા,આપણને $2 x^2+y^2=1$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
અહીં,$a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1$. કારણ કે $b^2 > a^2$,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) જે પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય તેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે,જ્યાં $A, B, C$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વાર વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
તૃતીય વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ થશે. તેથી,સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(B) કોઓર્ડિનેટ ધરીઓને સમાંતર ધરીઓ અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ અથવા $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $y=2x$ પર હોવાથી,આપણી પાસે $k=2h$ છે.
હાયપરબોલા માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 3$,તેથી $b^2 = 2a^2$.
સમીકરણ $(x-h)^2 - \frac{1}{2}(y-2h)^2 = \pm a^2$ બને છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) - (y-2h)y_1 = 0$,જે $x-h = \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ આપે છે.
$h = x - \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા વિકલ સમીકરણ $(y-2x)y_2 + y_1^2 + 2y_1 = y_1^3 + 2$ મળે છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું કુળ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} \right) = \frac{d}{dx} (1)$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{x^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{4} = \frac{4 - y^2}{4}$,તેથી $\frac{1}{a^2} = \frac{4 - y^2}{4x^2}$.
$\frac{1}{a^2}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x \left( \frac{4 - y^2}{4x^2} \right) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{4 - y^2}{2x} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
બંને બાજુ $2x$ વડે ગુણતા:
$(4 - y^2) + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} = y^2 - 4$.

(A) $X$-અક્ષ પર સંમિતિની ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y^2 = 4a(x - h)$ છે,જેને $y^2 = Ax + B$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $A$ અને $B$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
અહીં $2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,તેમને દૂર કરવા માટે આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરવું પડશે.
પ્રથમ વિકલન: $2y \frac{dy}{dx} = A$.
બીજું વિકલન: $2 \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} \right) = 0$.
વિકલ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન દ્વિતીય વિકલન હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $y = e^{a \sin x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = a \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \cos x$.
સમીકરણ $\log y = a \sin x$ પરથી,આપણે $a = \frac{\log y}{\sin x}$ લખી શકીએ.
'$a$' ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{\sin x} \right) \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log y \cot x$.
પદોને વિકલ્પો મુજબ ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = y \log y \cot x$,જેને $\frac{dy}{dx} \tan x = y \log y$ અથવા $y \log y = \tan x \frac{dy}{dx}$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને અક્ષોને યામ અક્ષો તરીકે ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a^{2}}+\frac{y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ થાય છે.
આથી $\frac{b^{2}}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{x}$ મળે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે.
$\frac{1}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x}$ મૂકતા,આપણને $-\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે છે.
$b^{2}x$ વડે ગુણતા,$-y y^{\prime} + x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે.
આમ,$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^{2} - y y^{\prime} = 0$ એ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = y' + [e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)]$
પ્રથમ વિકલન પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = y' - y$.
આ કિંમત બીજા વિકલનમાં મૂકતા:
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
કારણ કે $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$,તેથી:
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
આમ,વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$ છે.

(A) આપેલ છે,$y = e^{-x} \cos 2x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x}(-2 \sin 2x) + \cos 2x(-e^{-x}) = -2e^{-x} \sin 2x - y$.
પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} + y = -2e^{-x} \sin 2x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2[e^{-x}(2 \cos 2x) + \sin 2x(-e^{-x})] = -4(e^{-x} \cos 2x) + 2(e^{-x} \sin 2x)$.
$y = e^{-x} \cos 2x$ અને $-2e^{-x} \sin 2x = \frac{dy}{dx} + y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - (\frac{dy}{dx} + y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - \frac{dy}{dx} - y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 5y = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $y=(\cos x+y)^{1/2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \cos x + y$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -\sin x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dx}(2y - 1) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2 \frac{dy}{dx}) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \cos x = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = ae^{bx} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = abe^{bx}$
કારણ કે $y = ae^{bx}$,આપણે લખી શકીએ:
$y_1 = by \dots (ii)$
$y_1 = by$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = by_1 \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$b = \frac{y_1}{y}$ મળે છે.
$b$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y_2 = \left(\frac{y_1}{y}\right)y_1$
$y_2 = \frac{y_1^2}{y}$
તેથી,$yy_2 = y_1^2$.

(D) આપેલ છે,$\sqrt{y}=\cos ^{-1} x \Rightarrow y=(\cos ^{-1} x)^{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos ^{-1} x) \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
બંને બાજુ $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} = -2 \cos ^{-1} x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} \times \left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -2 \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = 2$ મળે છે.