मान लीजिए f(x) = frac{x}{1 + |x|} . . . . पर | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ के रूप में परिभाषित है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1

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$( - \infty, \infty )$

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(A) फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ के रूप में परिभाषित है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - x}, & x अब,हम दोनों स्थितियों के लिए अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$x $x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$.$x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ की जाँच करते हैं:$LHD = \lim_{h 	o 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.$RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.चूँकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर भी अवकलनीय है।अतः,फलन सभी $x \in ( - \infty, \infty )$ के लिए अवकलनीय है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ . . . . पर अवकलनीय है।

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