फलन $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(0) = 0$ के लिए $x = 0$ पर:

यदि $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$,$\forall x, y \in R$ और $f'(0) = 0$ है,तो

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + [2x]x, & \text{यदि } x \in [-\frac{1}{2}, 0) \\ ax^2 - bx, & \text{यदि } x \in [0, \frac{1}{2}) \end{cases}$. तो:

कथन $(A)$: $f(x) = |x|$,$x = a \neq 0$ पर अवकलनीय है और $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।
कारण $(R)$: यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है,तो वह उस बिंदु पर सतत होता है। लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।
कथन-$1$: $gof$,$x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज उस बिंदु पर सतत है।
कथन-$2$: $gof$,$x=0$ पर दो बार अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5} & \text{for } x \neq 1 \\ -\frac{1}{3} & \text{for } x = 1 \end{cases}$ है,तो $f'(1) = $