यदि $f(x) = \begin{cases} x + 2, & -1 < x < 3 \\ 5, & x = 3 \\ 8 - x, & x > 3 \end{cases}$ है,तो $x = 3$ पर $f'(x) = $

वह बिंदु जहाँ फलन $f: R \rightarrow R, f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x^2-5x+4|$ अवकलनीय नहीं है,उनकी संख्या क्या है?

फलन $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$, $x \in R$ के लिए, निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: $f$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है।
कथन $II$: $f$, $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} g(x) \cos(\frac{1}{x}) & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ जहाँ $g(x)$ एक सम फलन है जो $x = 0$ पर अवकलनीय है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $f'(0)$:

कथन $(A)$: $f(x) = |x|$,$x = a \neq 0$ पर अवकलनीय है और $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।
कारण $(R)$: यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है,तो वह उस बिंदु पर सतत होता है। लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि फलन $f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 - \beta, & |x| < 1 \\ \frac{-1}{|x|}, & |x| \ge 1 \end{cases}$ हर जगह अवकलनीय है,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) =$