मान लीजिए f(x) = begin{cases} sin x, & x ge 0 | vedclass

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Question

(D) $(g \circ f)'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करना होगा।दाएँ पक्ष के अवकलज $(g \circ f)'(0^+)

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इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) $(g \circ f)'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करना होगा।दाएँ पक्ष के अवकलज $(g \circ f)'(0^+)$ के लिए:$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sin x) = e^{\sin x}$,जहाँ $x \ge 0$.$(g \circ f)'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$.$x = 0$ पर,$(g \circ f)'(0^+) = e^{\sin 0} \cdot \cos 0 = e^0 \cdot 1 = 1$.बाएँ पक्ष के अवकलज $(g \circ f)'(0^-)$ के लिए:$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1 - \cos x) = e^{1 - \cos x}$,जहाँ $x \le 0$.$(g \circ f)'(x) = e^{1 - \cos x} \cdot \sin x$.$x = 0$ पर,$(g \circ f)'(0^-) = e^{1 - \cos 0} \cdot \sin 0 = e^0 \cdot 0 = 0$.चूँकि बाएँ पक्ष का अवकलज $(0)$ दाएँ पक्ष के अवकलज $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए $(g \circ f)'(0)$ का अस्तित्व नहीं है।अतः,सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \ge 0 \text{ के लिए} \\ 1 - \cos x, & x \le 0 \text{ के लिए} \end{cases}$ और $g(x) = e^x$ है। तो $(g \circ f)'(0)$ क्या है?

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