Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(D) दिया गया स्थिति फलन $S(t) = t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ है।
वेग $v(t)$,$S(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t + 4$.
त्वरण $a(t)$,$v(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
त्वरण को शून्य के बराबर रखकर समय $t$ ज्ञात करें:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ सेकंड}$.
अब,$t = 1$ को वेग फलन में प्रतिस्थापित करें:
$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \text{ m/s}$.
अतः,जब त्वरण शून्य होता है तो कण का वेग $1 \text{ m/s}$ होता है।

(D) दिया गया वक्र $x^3 = 12y$ है। समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 12 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3x^2}{12} \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
दिया गया है कि $x$ के परिवर्तन की दर $y$ के परिवर्तन की दर से अधिक है,अर्थात $\frac{dx}{dt} > \frac{dy}{dt}$।
$\frac{dy}{dt}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dx}{dt} > \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
चूंकि $x > 0$ है,$\frac{dx}{dt}$ धनात्मक है,इसलिए $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$1 > \frac{x^2}{4}$
$x^2 < 4$
$|x| < 2$
चूंकि $x > 0$ की शर्त दी गई है,इसलिए $x$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ है।

(A) माना $V$ आयतन है,$r$ त्रिज्या है,और $h$ किसी समय $t$ पर उल्टे शंकु में पानी की ऊँचाई है।
दिया है,$\frac{dV}{dt} = 3 \ m^3/min$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
शंकु में त्रिभुजों की समानता से,हमारे पास $\frac{r}{h} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है,जिसका अर्थ है $r = \frac{2}{3}h$.
आयतन सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3}h\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{9}h^2\right) h = \frac{4}{27} \pi h^3$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{27} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{4}{9} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
दिया है $\frac{dV}{dt} = 3$ और हमें $h = 3 \ m$ पर $\frac{dh}{dt}$ ज्ञात करना है:
$3 = \frac{4}{9} \pi (3)^2 \frac{dh}{dt}$
$3 = \frac{4}{9} \pi (9) \frac{dh}{dt}$
$3 = 4 \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4 \pi} \ m/min$.

(B) माना $V$ आयतन है,$S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 1200 \text{ cm}^3/\text{s}$ और $r = 10 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान रखने पर: $1200 = 4 \pi (10)^2 \frac{dr}{dt} \implies 1200 = 400 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (10) \left( \frac{3}{\pi} \right) = 80 \times 3 = 240 \text{ cm}^2/\text{s}$।

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$V = 288 \pi$ दिया गया है,अतः त्रिज्या $r$ का मान होगा:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow 216 = r^3 \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$.
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$2 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 4 \pi (36) \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 144 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{2 \pi}{144 \pi} = \frac{1}{72} \text{ cm}/\text{s}$.

(A) $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ और $r = 12 \text{ cm}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(A) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 30 \ ft^3 / \text{min}$ है और त्रिज्या $r = 15 \ ft$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$30 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$।
$30 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt} = 900 \pi \frac{dr}{dt}$।
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{900 \pi} = \frac{1}{30 \pi} \ ft / \text{min}$।

(B) दिया गया विस्थापन फलन: $s = \frac{1}{3} t^3 - 3 t^2 + 9 t + 17$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v = \frac{ds}{dt} = t^2 - 6 t + 9$.
यह ज्ञात करने के लिए कि वेग कब घटता है,हम त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ की गणना करते हैं।
$a = \frac{dv}{dt} = 2 t - 6$.
वेग तब घटता है जब त्वरण ऋणात्मक होता है,अर्थात $\frac{dv}{dt} < 0$.
$2 t - 6 < 0 \implies 2 t < 6 \implies t < 3$.
चूंकि समय $t$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए,इसलिए वेग $0 < t < 3$ के अंतराल में घटता है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2a \times \frac{da}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \frac{da}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm/s}$ और $a = 20 \text{ cm}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 \times 2 = 20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(B) बैक्टीरिया के बढ़ने का फलन $f(t) = t^4$ द्वारा दिया गया है।
बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $f(t)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^4) = 4t^3$.
हमें दिया गया है कि $t = t_0$ पर बढ़ने की दर $4000 \text{ units/second}$ है।
इसलिए,$f'(t_0) = 4t_0^3 = 4000$.
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $t_0^3 = 1000$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$t_0 = \sqrt[3]{1000} = 10$.
अतः,$t_0 = 10$ सेकंड।

(A) माना $AB$ स्ट्रीट लाइट है जिसकी ऊंचाई $H = 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ m}$ है। माना $CD$ व्यक्ति की ऊंचाई $h = 2 \text{ m}$ है। माना $AC = x$ व्यक्ति की लाइट से दूरी है और $CE = y$ उसकी परछाई की लंबाई है।
समरूप त्रिभुजों $\triangle ABE$ और $\triangle DCE$ से,हमें मिलता है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} \Rightarrow \frac{16/3}{2} = \frac{x+y}{y}$
$\frac{8}{3} = \frac{x}{y} + 1$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow y = \frac{3}{5}x$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \frac{dx}{dt}$
दिया गया है कि व्यक्ति $1 \frac{2}{3} \text{ m/s}$ की गति से लाइट की ओर चल रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{3} \text{ m/s}$ (ऋणात्मक क्योंकि $x$ घट रहा है)।
अतः,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \times (-\frac{5}{3}) = -1 \text{ m/s}$।
परछाई की लंबाई के बदलने की दर $-1 \text{ m/s}$ है।

(A) माना $AB$ लैंप-पोस्ट है और $PQ$ व्यक्ति है। माना $C$ छाया का सिरा है। माना $AP = x$ लैंप-पोस्ट से व्यक्ति की दूरी है और $PC = y$ उसकी छाया की लंबाई है।
दिया गया है: $AB = 9 \ m$,$PQ = 2 \ m$,और $\frac{dx}{dt} = 7 \ m/min$.
चूँकि $\triangle CAB$ और $\triangle CPQ$ समरूप त्रिभुज हैं,हमारे पास है:
$\frac{PC}{AC} = \frac{PQ}{AB}$
$\frac{y}{x+y} = \frac{2}{9}$
$9y = 2x + 2y$
$7y = 2x$
$x = \frac{7}{2}y$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$7 = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = 2 \ m/min$.
अतः,उसकी छाया की लंबाई $2 \ m/min$ की दर से बढ़ रही है।

(A) मान लीजिए $A_1$ पहले वर्ग का क्षेत्रफल है और $A_2$ दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल है।
पहले वर्ग की भुजा $x$ दी गई है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_1 = x^2$ है।
दूसरे वर्ग की भुजा $y = x - x^2$ दी गई है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $A_2 = x^2 - 2 x^3 + x^4$ प्राप्त होता है।
हमें $A_1$ के सापेक्ष $A_2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{d A_2}{d A_1}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{d A_2 / d x}{d A_1 / d x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन (derivative) ज्ञात करें:
$\frac{d A_1}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2) = 2 x$.
$\frac{d A_2}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2 - 2 x^3 + x^4) = 2 x - 6 x^2 + 4 x^3$.
अब,इन मानों को श्रृंखला नियम के सूत्र में रखें:
$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{2 x - 6 x^2 + 4 x^3}{2 x} = \frac{2 x(1 - 3 x + 2 x^2)}{2 x} = 1 - 3 x + 2 x^2$.

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r \text{ cm}$ है और इसका क्षेत्रफल $A \text{ cm}^2$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $r = 5 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (5) (0.1) = 10 \pi (0.1) = \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$.
अतः,क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 3$ है।
हमें समय $t$ के सापेक्ष ढाल $m$ के परिवर्तन की दर $\frac{dm}{dt}$ ज्ञात करनी है।
$x$ के सापेक्ष $m$ का अवकलन करने पर,$\frac{dm}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 3) = 6x - 4$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dm}{dt} = \frac{dm}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (6x - 4) \frac{dx}{dt}$।
बिंदु $(2, 4)$ पर,$x = 2$ है।
$x = 2$ रखने पर,$\frac{dm}{dt} = (6(2) - 4) \frac{dx}{dt} = (12 - 4) \frac{dx}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार $\frac{dm}{dt} = k \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
तुलना करने पर,$k = 8$ प्राप्त होता है।

(C) कण की दूरी $S = f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$ द्वारा दी गई है।
वेग $v(t)$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 5t^2 + 8t) = 3t^2 - 10t + 8$.
त्वरण $a(t)$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 10t + 8) = 6t - 10$.
$t = 5 \text{ sec}$ पर त्वरण ज्ञात करने के लिए,त्वरण समीकरण में $t = 5$ रखें:
$a(5) = 6(5) - 10 = 30 - 10 = 20 \text{ cm/sec}^2$.
अतः,$t = 5 \text{ sec}$ पर कण का त्वरण $20 \text{ cm/sec}^2$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रेक्षक की स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। गुब्बारा $y = 30 \ m$ की स्थिर ऊँचाई पर है। मान लीजिए कि समय $t$ पर इसकी क्षैतिज स्थिति $x(t)$ है। दिया गया है कि गुब्बारा $1 \ m/s$ की दर से क्षैतिज रूप से गति कर रहा है,इसलिए $x(t) = 1 \cdot t = t$ (मानते हुए कि $t=0$ पर यह $x=0$ पर है)।
प्रेक्षक से गुब्बारे की दूरी $s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{t^2 + 30^2}$ द्वारा दी जाती है।
यह ज्ञात करने के लिए कि गुब्बारा किस दर से प्रेक्षक से दूर जा रहा है,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 30^2}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 30^2}}$.
$t = 40 \ s$ पर:
$\frac{ds}{dt} = \frac{40}{\sqrt{40^2 + 30^2}} = \frac{40}{\sqrt{1600 + 900}} = \frac{40}{\sqrt{2500}} = \frac{40}{50} = 0.8 \ m/s$.
अतः,दर $0.8 \ m/s$ है।

(B) माना $H = 15 \text{ ft}$ प्रकाश की ऊँचाई है और $h = 5 \text{ ft}$ व्यक्ति की ऊँचाई है।
माना $x$ प्रकाश स्रोत से व्यक्ति की दूरी है और $s$ उसकी परछाई की लंबाई है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{s}{h} = \frac{x+s}{H}$.
मान रखने पर,$\frac{s}{5} = \frac{x+s}{15} \implies 3s = x + s \implies 2s = x$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 \frac{ds}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{ds}{dt} = \frac{11}{5} \text{ ft/sec}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 2 \times \frac{11}{5} = \frac{22}{5} \text{ ft/sec}$.
$\frac{dx}{dt}$ को $\text{miles/hour}$ में बदलने के लिए,$\frac{22}{5} \text{ ft/sec} = \frac{22}{5} \times 3600 \text{ ft/hour} = \frac{22 \times 3600}{5 \times 5280} \text{ miles/hour}$.
इसकी गणना करने पर,$\frac{79200}{26400} = 3 \text{ miles/hour}$.
अतः,$K = 3$.

(A) मान लीजिए $x$ दीवार से सिरे $A$ की दूरी है और $y$ फर्श से सिरे $B$ की ऊंचाई है। छड़ की लंबाई स्थिर है,इसलिए $x^2 + y^2 = 41^2 = 1681$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,जो $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $\frac{dx}{dt} = 3 \ ft/min$. जब $y = 9$,तो $x^2 + 9^2 = 1681 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40 \ ft$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $40(3) + 9 \frac{dy}{dt} = 0 \implies 9 \frac{dy}{dt} = -120 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{40}{3} \ ft/min$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 40 \times (-\frac{40}{3}) + 9 \times 3 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1600}{3} + 27 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1600 + 81}{3} \right) = -\frac{1519}{6} \ ft^2/min$.

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \pi / 3$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha) = r / h$,इसलिए $r = h \tan(\pi / 3) = h \sqrt{3}$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$r = h \sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi (h \sqrt{3})^2 h = \pi h^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि आयतन $V$ स्थिर है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2rh \frac{dr}{dt} = -r^2 \frac{dh}{dt}$,जो सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -\frac{r}{2h} \frac{dh}{dt}$ हो जाता है।
दिया है कि $\frac{dh}{dt} = 2$ और $r = h \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{dr}{dt} = -\frac{h \sqrt{3}}{2h} (2) = -\sqrt{3}$।
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\sqrt{3} \text{ units/min}$ है।

(C) दूरी $S$ फलन $S(t) = t^3 - t^2 - t + 3$ द्वारा दी गई है।
कण का वेग $v$,समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जो $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - t + 3) = 3t^2 - 2t - 1$.
कण तब विरामावस्था में आता है जब उसका वेग $v = 0$ हो।
$v = 0$ रखने पर,हमें $3t^2 - 2t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) = 0$.
चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = 1$ सेकंड लेते हैं।
अब,$t = 1$ को दूरी के समीकरण $S(t)$ में रखने पर:
$S(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2$ मीटर।
अतः,विरामावस्था में आने पर कण द्वारा तय की गई दूरी $2$ मीटर है।

(C) माना किसी समय $t$ पर शंकु में पानी के स्तर की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
ऊर्ध्वाधर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण $30^{\circ}$ होगा।
शंकु की ज्यामिति से,$\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $h = \sqrt{3}r$।
शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$h = \sqrt{3}r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi r^3$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = \sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अर्थात $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi r^2}$।
चूँकि $h = \sqrt{3}r$,जब $h = 3 \text{ m}$ है,तो $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$ होगा।
$\frac{dr}{dt}$ के व्यंजक में $r = \sqrt{3}$ रखने पर,हमें $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3 \pi (3)} = \frac{1}{9 \pi} \text{ m/min}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $x^3 y^4 = 2^7$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3x^2 y^4 \frac{dx}{dt} + 4x^3 y^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = -8 \text{ units/sec}$ (क्योंकि यह घट रहा है)।
बिंदु $(2, 2)$ पर,$x = 2, y = 2$ और $\frac{dx}{dt} = -8$ रखने पर:
$3(2)^2 (2)^4 (-8) + 4(2)^3 (2)^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
$3(4)(16)(-8) + 4(8)(8) \frac{dy}{dt} = 0$.
$-1536 + 256 \frac{dy}{dt} = 0$.
$256 \frac{dy}{dt} = 1536$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1536}{256} = 6$.
चूंकि $\frac{dy}{dt} > 0$,इसलिए $y$-निर्देशांक $6 \text{ units per second}$ की दर से बढ़ता है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
दोनों पक्षों का $A$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2a \delta a = 2bc \sin A \delta A$.
अतः,$\delta a = \frac{bc \sin A \delta A}{a}$.
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ है,इसलिए $bc \sin A = 2\Delta$.
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है $a = 2R \sin A$.
इन मानों को $\delta a$ के समीकरण में रखने पर: $\delta a = \frac{2\Delta \delta A}{2R \sin A} = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A}$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta a}{a} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A \cdot 2R \sin A} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{2R^2 \sin^2 A} \times 100$ होगी।

(C) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई (पानी का स्तर) है।
दिया गया है कि $r = 3.5 \ ft = \frac{7}{2} \ ft$ और आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 1 \ ft^3/min$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1 = \pi \times (\frac{7}{2})^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{11 \times 7}{2} \times \frac{dh}{dt} = \frac{77}{2} \times \frac{dh}{dt}$.
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{77} \ ft/min$.

(C) मान लीजिए कि निचला सिरा दीवार से $x$ दूरी पर है और ऊपरी सिरा जमीन से $y$ ऊंचाई पर है। सीढ़ी दीवार और जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है,इसलिए $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ हो जाता है।
दिया गया है कि निचला सिरा दीवार से $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$ की गति से दूर जा रहा है।
जब $x = 5 \ m$ है,तो $x^2 + y^2 = 169$ का उपयोग करके $y$ का मान ज्ञात करते हैं: $5^2 + y^2 = 169 \Rightarrow 25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow y = 12 \ m$।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $5(2) + 12 \frac{dy}{dt} = 0$।
$10 + 12 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 12 \frac{dy}{dt} = -10 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \ m/min$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ऊपरी सिरा नीचे गिर रहा है। अतः,ऊपरी सिरा $\frac{5}{6} \ m/min$ की गति से नीचे गिर रहा है।

(C) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ inch/min}$ है।
जब त्रिज्या $r = 10 \text{ inches}$ है।
गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10$ और $\frac{dr}{dt} = 5$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10)^2 (5) = 4 \pi (100) (5) = 2000 \pi \text{ cubic inches/min}$.

(B) कण का विस्थापन $S(t) = t^3 - 4t^2 + 7t$ द्वारा दिया गया है।
तात्कालिक वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$S(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 4t^2 + 7t) = 3t^2 - 8t + 7$।
$t = 4 \ sec$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,$v$ के व्यंजक में $t = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v = 3(4)^2 - 8(4) + 7$
$v = 3(16) - 32 + 7$
$v = 48 - 32 + 7$
$v = 16 + 7 = 23 \ m/sec$।

(A) माना $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है और $P$ परिधि है। हमारे पास है,$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दी गई दर को प्रतिस्थापित करने पर: $2\pi r \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}}$.
परिधि $P = 2\pi r$ है। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dP}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{dP}{dt} = 2\pi \times \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}} = \frac{1}{r \sqrt{\pi}}$.
दिया गया है $P = \sqrt{\pi}$,इसलिए $2\pi r = \sqrt{\pi} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$.
$\frac{dP}{dt}$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर: $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}) \sqrt{\pi}} = \frac{1}{1/2} = 2$ इकाई/सेकंड।

(C) माना आयताकार समानांतर षट्फलक का आयतन $V = 27 \ m^3$ है।
माना $A$ आधार का क्षेत्रफल है और $h$ टंकी की ऊँचाई है।
अतः,$V = A \times h$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = A \frac{dh}{dt}$।
प्रश्न के अनुसार,पानी के स्तर में परिवर्तन की दर $\frac{dh}{dt}$,पानी की मात्रा में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$ की तीन गुनी है,अर्थात $\frac{dh}{dt} = 3 \frac{dV}{dt}$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dV}{dt} = A \times (3 \frac{dV}{dt})$।
इसका अर्थ है $1 = 3A$,इसलिए $A = \frac{1}{3} \ m^2$।
चूँकि $V = A \times h$,इसलिए $27 = \frac{1}{3} \times h$।
अतः,$h = 27 \times 3 = 81 \ m$।

(A) दिया गया है कि आयतन में वृद्धि की दर $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$ है।
गोले का आयतन $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
त्रिज्या $r$ ज्ञात करने के लिए दिए गए आयतन का मान रखने पर:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies 288 = \frac{4}{3} r^3 \implies r^3 = 216 \implies r = 6 \text{ cm}$.
आयतन के सूत्र का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
ज्ञात मान $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ और $r = 6$ रखने पर:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$.
$1 = 36 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$.

(B) दिया गया है कि,समय के किसी भी क्षण पर,आयतन में परिवर्तन की दर और पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर समान है,अर्थात $\frac{dV}{dt} = \frac{dS}{dt}$ $\ldots(i)$
$r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ $\ldots(ii)$
$r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ $\ldots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$
यदि $\frac{dr}{dt} \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $4 \pi r \frac{dr}{dt}$ से विभाजित करने पर,हमें $r = 2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए किसी समय $t$ पर पानी की ऊँचाई $h$,त्रिज्या $r$ और तिरछी ऊँचाई $l$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
शंकु की ज्यामिति से,$r = h \tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{9}$.
चूँकि $V = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,$\frac{\pi h^3}{9} = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}} \Rightarrow h^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24 \sqrt{3} = (2 \sqrt{3})^3$,इसलिए $h = 2 \sqrt{3} \ ft$.
तिरछी ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \frac{h^2}{3}} = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dl}{dt} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt}$.
$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (घट रहा है) दिया गया है,इसलिए $-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2} \ ft/min$.
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi h^3}{9}\right) = \frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt}$.
$h = 2 \sqrt{3}$ और $\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (2 \sqrt{3})^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} (12) \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \pi \ cu. \ ft/min$.
अतः,पानी का आयतन $2 \pi \ cu. \ ft/min$ की दर से घट रहा है।

(C) दिया गया वक्र $y = 3x^5 + 15x - 8$ है।
$x$ के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{5} \text{ units/sec}$ है।
$y$ के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ है।
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (15x^4 + 15) \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$6 = (15x^4 + 15) \cdot \frac{1}{5} = 3(x^4 + 1)$.
$x^4 + 1 = 2 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = 1$ के लिए,$y = 3(1)^5 + 15(1) - 8 = 10$. अतः,$A = (1, 10)$.
$x = -1$ के लिए,$y = 3(-1)^5 + 15(-1) - 8 = -3 - 15 - 8 = -26$. अतः,$B = (-1, -26)$.
$AB$ की ढाल $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-26 - 10}{-1 - 1} = \frac{-36}{-2} = 18$ है।

(D) दिया गया है: $\frac{d(2r)}{dt} = 4 \text{ cm/s} \implies \frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है। चूँकि आयतन स्थिर है, $\frac{dV}{dt} = 0$.
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right) = 0$.
$r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh(2) = 0 \implies r \frac{dh}{dt} + 4h = 0 \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{4h}{r}$.
जब $r = 4 \text{ cm}$ और $h = 12 \text{ cm}$ है, तब $\frac{dh}{dt} = -\frac{4(12)}{4} = -12 \text{ cm/s}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2 \pi rh$ है।
$\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( r \frac{dh}{dt} + h \frac{dr}{dt} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( 4(-12) + 12(2) \right) = 2 \pi (-48 + 24) = 2 \pi (-24) = -48 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.

(D) दिया गया है: त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ है।
हमें $r = 12 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 12 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 24 \pi (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(A) दिया गया संबंध $p V^{1/4} = C$ है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dp}{p} + \frac{1}{4} \frac{dV}{V} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
दिया गया है कि आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2} \% = -0.5 \%$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} (-0.5 \%) = 0.125 \% = \frac{1}{8} \%$.
अतः,दाब में प्रतिशत वृद्धि $\frac{1}{8} \%$ है।

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $y = 4 - 2x^2$ है।
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $x$-निर्देशांक $5 \text{ units/s}$ की दर से घट रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर,$x = 1$ है।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$।
अतः,$y$-निर्देशांक $20 \text{ units/s}$ की दर से बदल रहा है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $y = x^2 + 2x$ है।
चूंकि कण के $x$ और $y$ निर्देशांक समान दर से बदलते हैं,इसलिए $\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ है।
वक्र के समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dx}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
यदि $\frac{dx}{dt} \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2x + 2$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -\frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)$
$y = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ है।

(A) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\frac{dV}{dt} = 2 \ cm^3/sec$.
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dS}{dt}$ के समीकरण में $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{2 \pi r^2} \right) = \frac{4}{r}$.
जब $r = 4 \ cm$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{4}{4} = 1 \ cm^2/sec$ होगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) कण का वेग समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = a \cos (\sqrt{\lambda} t + b) \cdot \sqrt{\lambda}$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,वेग शून्य होना चाहिए:
$v = 0 \Rightarrow a \sqrt{\lambda} \cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$ और $\lambda > 0$,इसलिए $\cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$ होगा।
यह तब होता है जब कोण $\pm \frac{\pi}{2}$ हो।
मान लीजिए कि दो बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं:
$x_1 = a \sin (\frac{\pi}{2}) = a(1) = a$.
$x_2 = a \sin (-\frac{\pi}{2}) = a(-1) = -a$.
इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी $|x_1 - x_2| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$ है।

(A) दिया गया दूरी समीकरण: $s = t^{2} + at - b + 17$ है।
चूंकि कण विराम अवस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए $t = 5 \ s$ पर वेग $v = \frac{ds}{dt} = 0$ होना चाहिए।
वेग की गणना करने पर: $v = \frac{ds}{dt} = 2t + a$।
$t = 5$ पर $v = 0$ रखने पर: $2(5) + a = 0 \implies 10 + a = 0 \implies a = -10$।
अब,दिया गया है कि $t = 5 \ s$ पर दूरी $s = 25$ है:
$25 = (5)^{2} + a(5) - b + 17$।
$a = -10$ रखने पर: $25 = 25 + (-10)(5) - b + 17$।
$25 = 25 - 50 - b + 17$।
$25 = -8 - b$।
$b = -8 - 25 = -33$।
अतः,$a = -10$ और $b = -33$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $x = \frac{1}{2} vt$ है।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dt} \right) t$।
चरों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{2 dt}{t} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$2 \int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \implies 2 \ln |t| + C' = \ln |x|$।
यह $\ln |t^2| + C' = \ln |x|$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $x = c t^2$ है।
अब,$t$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (c t^2) = 2ct$।
अंत में,$t$ के सापेक्ष $v$ का अवकलन करके त्वरण $f$ ज्ञात करें:
$f = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2ct) = 2c$।
चूंकि $2c$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $f$ स्थिर है।

(A) दिया गया है कि कोटि $y$ उसी दर से घटती है जिस दर से भुज $x$ बढ़ता है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $16x^{2} + 9y^{2} = 400$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$16(2x) \frac{dx}{dt} + 9(2y) \frac{dy}{dt} = 0$
$32x \frac{dx}{dt} + 18y \frac{dy}{dt} = 0$
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ को समीकरण में रखने पर:
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \left(-\frac{dx}{dt}\right) = 0$
$(16x - 9y) \frac{dx}{dt} = 0$.
चूँकि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,इसलिए $16x - 9y = 0$,जिसका अर्थ है $y = \frac{16}{9}x$.
$y = \frac{16}{9}x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$16x^{2} + 9\left(\frac{16}{9}x\right)^{2} = 400$
$16x^{2} + 9 \cdot \frac{256}{81}x^{2} = 400$
$16x^{2} + \frac{256}{9}x^{2} = 400$
$\frac{144x^{2} + 256x^{2}}{9} = 400$
$\frac{400x^{2}}{9} = 400$
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
यदि $x = 3$,तो $y = \frac{16}{9}(3) = \frac{16}{3}$.
यदि $x = -3$,तो $y = \frac{16}{9}(-3) = -\frac{16}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(3, \frac{16}{3}\right)$ और $\left(-3, -\frac{16}{3}\right)$ हैं।