$r$ त्रिज्या वाले गोले के आयतन के परिवर्तन की दर उसके व्यास के सापेक्ष क्या होगी?

एक $5 \ m$ लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे टिकी है। सीढ़ी का निचला सिरा जमीन पर दीवार से दूर $2 \ cm/s$ की दर से खींचा जाता है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से $4 \ m$ दूर है,तो दीवार पर उसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है?

रेत एक पाइप से $12 \text{ cm}^3/\text{s}$ की दर से गिर रही है। गिरती हुई रेत जमीन पर एक शंकु बनाती है,जिसमें शंकु की ऊँचाई हमेशा आधार की त्रिज्या का छठा भाग होती है। जब ऊँचाई $4 \text{ cm}$ है,तो रेत के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है?

एक कण एक सीधी रेखा में इस प्रकार गति करता है कि समय $t$ (सेकंड में) पर उसका विस्थापन $S$ (मीटर में) $S(t) = t^3 - 4t^2 + 7t$ द्वारा दिया गया है। $t = 4$ पर तात्कालिक वेग $v$ क्या है ($m/sec$ में)?

वर्तमान में,एक फर्म $1000$ वस्तुओं का निर्माण कर रही है। यह अनुमान लगाया गया है कि अतिरिक्त श्रमिकों $x$ के सापेक्ष उत्पादन $P$ के परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$ द्वारा दी गई है। यदि फर्म $9$ और श्रमिकों को नियुक्त करती है,तो वस्तुओं के उत्पादन का नया स्तर क्या होगा?

एक लंबवृत्तीय बेलन की त्रिज्या $0.1 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है और ऊँचाई $0.2 \text{ cm/min}$ की दर से घट रही है। जब त्रिज्या $2 \text{ cm}$ और ऊँचाई $3 \text{ cm}$ है,तो बेलन के आयतन में परिवर्तन की दर $\text{cm}^3/\text{min}$ में ज्ञात कीजिए।