Maxima and Minima Questions in Gujarati

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.
આમ,$f'(x) = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$.
જ્યારે $1 - \ln(x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$,એટલે કે $\ln(x) < 1$,જેનો અર્થ છે $0 < x < e$.
જ્યારે $1 - \ln(x) < 0$ હોય ત્યારે $f'(x) < 0$,એટલે કે $\ln(x) > 1$,જેનો અર્થ છે $x > e$.
તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.
હવે,$e \approx 2.718$. $2 < e < 3$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $(0, e)$ પર વધે છે અને $(e, \infty)$ પર ઘટે છે.
$2^{1/2}$ અને $3^{1/3}$ ની સરખામણી કરતા: $2 < 3 < e$ હોવાથી,$f(2) < f(3)$,તેથી $2^{1/2} < 3^{1/3}$.
$3^{1/3}$ અને $4^{1/4}$ ની સરખામણી કરતા: $3 < e < 4$ હોવાથી,$f(3)$ એ $x$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે વિધેય $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત છે.
$x > e$ માટે $f(x)$ ઘટતું હોવાથી,$f(3) > f(4) > f(5) > f(6) > f(7)$.
આમ,આપેલી સંખ્યાઓમાંથી $3^{1/3}$ એ ખરેખર મહત્તમ કિંમત છે.
તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે અને વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ છે.
$x > 0$ હોવાથી,પદ $\sqrt{x^2 + x}$ હંમેશા ધન છે.
આપણે સમાંતર મધ્યક-સમગુણોત્તર મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે મુજબ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$,અથવા $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ થાય.
ધારો કે $a = \sqrt{x^2 + x}$ અને $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$.
તેથી $f(x) = a + b \ge 2\sqrt{a \cdot b}$.
$f(x) \ge 2\sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$.
$f(x) \ge 2\sqrt{\tan^2 \alpha}$.
$\alpha \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\tan \alpha > 0$,તેથી $f(x) \ge 2 \tan \alpha$.
આમ,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2 \tan \alpha$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 1)(x - 3)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, 1, 3$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવો: $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$. કારણ કે $f''(1) < 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. આમ,$p = 1$.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$. કારણ કે $f''(3) > 0$,તેથી $x = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનત્તમ બિંદુ છે. આમ,$q = 3$.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 0$. પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી (તે બંને બાજુ ધન છે),તેથી $x = 0$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે,સ્થાનિક અંતિમ બિંદુ નથી.
તેથી,$p = 1$ અને $q = 3$.

(B) અહીં $f(x) = (x + 1)^{\frac{1}{3}} - (x - 1)^{\frac{1}{3}}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{1}{3}(x + 1)^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}(x - 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x + 1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{3}}} \right]$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1}{(x + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{3}}} \implies (x + 1)^2 = (x - 1)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \implies 4x = 0 \implies x = 0$.
હવે,અંતરાલ $[0, 1]$ ના ક્રાંતિક બિંદુ અને અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$x = 0$ માટે: $f(0) = (0 + 1)^{\frac{1}{3}} - (0 - 1)^{\frac{1}{3}} = 1 - (-1) = 2$.
$x = 1$ માટે: $f(1) = (1 + 1)^{\frac{1}{3}} - (1 - 1)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} - 0 = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$.
કિંમતો $f(0) = 2$ અને $f(1) = \sqrt[3]{2}$ ની સરખામણી કરતા,મહતમ કિંમત $2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - px + q$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 - p$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x^2 = p$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{p}{3}$,તેથી $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$.
હવે,આ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $f''(x) = 6x$.
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ આગળ,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (કારણ કે $p > 0$). તેથી,$f(x)$ ને $x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મળે છે.
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ આગળ,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$. તેથી,$f(x)$ ને $x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ આગળ સ્થાનિક મહતમ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln y = x \ln x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા. $x > 0$ માટે $x^x > 0$ હોવાથી,$\ln x + 1 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\ln x = -1$,તેથી $x = e^{-1}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન અથવા પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ. $x < e^{-1}$ માટે,$\ln x < -1$,તેથી $\frac{dy}{dx} < 0$. $x > e^{-1}$ માટે,$\ln x > -1$,તેથી $\frac{dy}{dx} > 0$.
વિકલિતનું ચિહ્ન $x = e^{-1}$ આગળ ઋણથી ધન તરફ બદલાતું હોવાથી,વિધેયનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = e^{-1}$ આગળ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = -x \ln(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$.
તેથી,$f'(x) = -(1/x)^x (\ln(x) + 1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,$\ln(x) + 1 = 0$,એટલે કે $\ln(x) = -1$,જે $x = 1/e$ આપે છે.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ અથવા $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતો ફેરફાર જોઈએ.
$x < 1/e$ માટે,$\ln(x) < -1$,તેથી $f'(x) > 0$.
$x > 1/e$ માટે,$\ln(x) > -1$,તેથી $f'(x) < 0$.
જેમ કે $x = 1/e$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x = 1/e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$x > 0$ માટે $f'(x) = \frac{\sin x}{x}$ થાય.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\sin x = 0$,તેથી $x = n\pi$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ છે.
$x = n\pi$ આગળ,$f''(n\pi) = \frac{n\pi \cos(n\pi) - \sin(n\pi)}{(n\pi)^2} = \frac{n\pi (-1)^n - 0}{(n\pi)^2} = \frac{(-1)^n}{n\pi}$.
જો $n$ એકી હોય,તો $f''(n\pi) = \frac{-1}{n\pi} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
જો $n$ બેકી હોય,તો $f''(n\pi) = \frac{1}{n\pi} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,વિધેય $x = n\pi$ આગળ મહત્તમ થાય છે જ્યાં $n$ એકી છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x(1 + \cos x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$\cos x + \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\cos x$.
નિત્યસમ $-\cos x = \cos(\pi - x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x = \cos(\pi - x) \implies 2x = \pi - x \implies 3x = \pi \implies x = \pi / 3$.
હવે,મહત્તમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \pi / 3$ આગળ:
$f''(\pi / 3) = -\sin(\pi / 3) - 2 \sin(2\pi / 3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
અહીં $f''(\pi / 3) < 0$ હોવાથી,વિધેયનું મૂલ્ય $x = \pi / 3$ આગળ મહત્તમ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^{25}(1 - x)^{75}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - 4x = 0 \implies x = 1/4$.
અહીં $f(0) = 0$ અને $f(1) = 0$ છે,અને $x \in (0, 1)$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1/4$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધારણ કરશે.

(D) આપેલ છે કે $y = a \log x + bx^2 + x$.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયની અંતિમ કિંમતો $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = 1$ આગળ: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ આગળ: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -\frac{1}{6}$.
$b = -\frac{1}{6}$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies a - \frac{1}{3} = -1 \implies a = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
આમ,$(a, b) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{6} \right)$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $3(x^2 - 12x + 32) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડો: $3(x - 4)(x - 8) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 4$ અને $x = 8$ છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 6x - 36$.
$x = 4$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત તપાસો: $f''(4) = 6(4) - 36 = 24 - 36 = -12 < 0$.
$f''(4) < 0$ હોવાથી,$x = 4$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમતની ગણતરી કરો: $f(4) = (4)^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 18(16) + 384 = 64 - 288 + 384 = 160$.
તેથી,અંતરાલ $(0, 9)$ માં મહત્તમ કિંમત $160$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 27$ છે.
વક્રનો ઢાળ વિકલન $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $g(x) = f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ એ ઢાળનું વિધેય છે.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$g'(x) = -6x + 6$.
$g'(x) = 0$ લેતા,$-6x + 6 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = -6$ તપાસીએ. કારણ કે $g''(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $g(x)$ એ $x = 1$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
મહત્તમ ઢાળ $g(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$ થાય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin x - x \cos x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જે $x \sin x = 0$ આપે છે. $x = n\pi$ હોવાથી,આ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે સંતોષાય છે.
આગળ,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = \sin x + x \cos x$.
$x = n\pi$ આગળ $f''(x)$ ની કિંમત: $f''(n\pi) = \sin(n\pi) + n\pi \cos(n\pi) = 0 + n\pi (-1)^n = n\pi (-1)^n$.
$f(x)$ ને $x = n\pi$ આગળ મહત્તમ થવા માટે,$f''(n\pi) < 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$n\pi (-1)^n < 0$. $\pi > 0$ હોવાથી,આપણે $n(-1)^n < 0$ ની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: જો $n$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય (દા.ત.,$n=1, 3, 5$),તો $n(-1)^n = n(-1) = -n < 0$. આ શરત સંતોષે છે.
કિસ્સો $2$: જો $n$ બેકી ઋણ પૂર્ણાંક હોય (દા.ત.,$n=-2, -4$),તો $n(-1)^n = n(1) = n < 0$. આ પણ શરત સંતોષે છે.
તેથી,$n$ એ એકી ધન પૂર્ણાંક અથવા બેકી ઋણ પૂર્ણાંક છે.

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ મળે છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - \ln(x) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ln(x) = 1$,તેથી $x = e$.
$x < e$ માટે,$f'(x) > 0$ અને $x > e$ માટે,$f'(x) < 0$ છે. આમ,$f(x)$ એ $x = e$ આગળ વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન-$II$ સાચું છે.
કારણ કે $f(x)$ એ $x = e$ આગળ વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે,કોઈપણ $x \neq e$ માટે,$f(e) > f(x)$ થાય.
$x = \pi$ મૂકતા,આપણને $e^{1/e} > \pi^{1/\pi}$ મળે છે.
બંને બાજુ $e\pi$ ઘાત લેતા,$(e^{1/e})^{e\pi} > (\pi^{1/\pi})^{e\pi}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $e^{\pi} > \pi^e$ થાય છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ એ સીધું જ વિધાન-$I$ ની અસમતા તરફ દોરી જાય છે,તેથી વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચું સ્પષ્ટીકરણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x + 2y = 8$ પરથી,આપણે $x$ ને $x = 8 - 2y$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
ધારો કે $f(y) = xy = (8 - 2y)y = 8y - 2y^2$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(y)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(8y - 2y^2) = 8 - 4y$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$8 - 4y = 0 \implies y = 2$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$f''(y) = -4$.
અહીં $f''(2) = -4 < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(y)$ ને $y = 2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$y = 2$ ની કિંમત $f(y)$ માં મૂકતા:
$f(2) = 8(2) - 2(2)^2 = 16 - 8 = 8$.
આમ,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $8$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = e^x \sin x$. સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $g'(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ મેળવીએ છીએ.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2e^x \cos x = 0$ મળે છે. $e^x \neq 0$ હોવાથી,$\cos x = 0$ મળે.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = 0$ એ $x = \pi / 2$ અને $x = 3\pi / 2$ આગળ થાય છે.
દ્વિતીય વિકલિત $g''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ તપાસતા.
$x = \pi / 2$ આગળ,$g''(\pi / 2) = 2e^{\pi / 2}(0 - 1) = -2e^{\pi / 2} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ દર્શાવે છે.
$x = 3\pi / 2$ આગળ,$g''(3\pi / 2) = 2e^{3\pi / 2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi / 2} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ દર્શાવે છે.
આમ,$x = \pi / 2$ આગળ ઢાળ મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,જ્યાં $x > 0$ અને $a, b > 0$ છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = a - \frac{b}{x^2} = \frac{ax^2 - b}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $ax^2 = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (કારણ કે $x > 0$).
વિધેય $f(x)$ આ બિંદુએ તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{b/a}} - c = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} - c = 2\sqrt{ab} - c$.
પ્રશ્ન મુજબ,તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \ge 0$ છે,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ge 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$2\sqrt{ab} - c \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $2\sqrt{ab} \ge c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $4ab \ge c^2$ મળે છે,અથવા $ab \ge \frac{c^2}{4}$.

(B) આપેલ વિધેય $y = a \log|x| + bx^2 + x$ છે.
તેનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$ થાય.
$x = -1$ અને $x = 2$ એ અંતિમબિંદુઓ હોવાથી,આ બિંદુઓ આગળ વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$.
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$.
બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -1/2$.
$b = -1/2$ ને $a + 2b = 1$ માં મૂકતા: $a + 2(-1/2) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -1/2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
વિધેયને $x = 3$ અને $x = -1$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,આ બિંદુઓ આગળ $f'(x) = 0$ થાય.
તેથી,$3x^2 + 2ax + b = 0$ ના બીજ $x = 3$ અને $x = -1$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $f'(x) = k(x - 3)(x + 1) = k(x^2 - 2x - 3) = kx^2 - 2kx - 3k$.
આને $3x^2 + 2ax + b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.
તેથી,$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2a = -6 \implies a = -3$ અને $b = -9$.
અહીં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક હોવાથી,તે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે,એટલે કે $c \in \mathbb{R}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $(3 - x)$ છે અને બીજી સંખ્યા $x$ છે.
વિધેયને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો: $f(x) = (3 - x)x^2 = 3x^2 - x^3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,પ્રથમ વિકલન મેળવો:
$f'(x) = 6x - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$3x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ અથવા $x = 2$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$f''(x) = 6 - 6x$.
$x = 2$ માટે કિંમત તપાસતા:
$f''(2) = 6 - 6(2) = -6 < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$x = 2$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત = $(3 - 2) \times 2^2 = 1 \times 4 = 4$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$.
પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 7x + 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 6) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 6$ છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 12x - 42$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર કિંમત તપાસો:
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = 6$ માટે,$f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = 6$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમતની ગણતરી કરો:
$f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20$
$f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20$
$f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 = -128$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-128$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ ના વર્તનને તપાસવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - (x^2)(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{400x - x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$.
સ્થાનીય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,$x = 0$ અથવા $x^3 = 400$,એટલે કે $x = \sqrt[3]{400} \approx 7.368$ મળે.
$x < \sqrt[3]{400}$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > \sqrt[3]{400}$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \sqrt[3]{400}$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
શ્રેઢી $a_n$ માટે,આપણે $a_7$ અને $a_8$ ની સરખામણી કરીએ.
$a_7 = \frac{49}{543} \approx 0.0902$ અને $a_8 = \frac{64}{712} \approx 0.0898$.
$a_7 > a_8$ અને $a_7 > a_6$ હોવાથી,$a_7$ એ સૌથી મોટું પદ છે.
જોકે,વિધાન-$II$ કહે છે કે મહત્તમ મૂલ્ય $x = 7$ આગળ મળે છે,જે ખોટું છે કારણ કે મહત્તમ મૂલ્ય $x = \sqrt[3]{400} \approx 7.368$ આગળ મળે છે.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્રિય ખૂણો રેડિયનમાં છે.
વૃતાંશની પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$\theta = \frac{p - 2r}{r} = \frac{p}{r} - 2$ મળે છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{p - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(p - 2r) = \frac{1}{2} pr - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2} p - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,$\frac{1}{2} p = 2r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{p}{4}$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$,જે સાબિત કરે છે કે $r = \frac{p}{4}$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(D) કોઈ વિધેય $f(x)$ માટે $x = a$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનત્તમ કિંમત હોય,તો $f(a)$ ની કિંમત $a$ ની નજીકના વિસ્તારમાં $f(x)$ ની કિંમતો કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
ખાસ કરીને,$x = -1$ માટે,આપણે નાના $h > 0$ માટે $f(-1) \leqslant f(-1 + h)$ અને $f(-1) \leqslant f(-1 - h)$ ની જરૂર છે.
પ્રથમ,વ્યાખ્યાના પ્રથમ ભાગનો ઉપયોગ કરીને $f(-1)$ શોધો: $f(-1) = k - 2(-1) = k + 2$.
$x > -1$ માટે,$f(x) = 2x + 3$. જેમ $x \to -1^+$,તેમ $f(x) \to 2(-1) + 3 = 1$.
$x \leqslant -1$ માટે,$f(x) = k - 2x$. જેમ $x \to -1^-$,તેમ $f(x) \to k + 2$.
$x = -1$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનત્તમ હોવા માટે,$f(-1) \leqslant \lim_{x \to -1^+} f(x)$ અને $f(-1) \leqslant \lim_{x \to -1^-} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આમ,$k + 2 \leqslant 1$ અને $k + 2 \leqslant k + 2$.
$k + 2 \leqslant 1$ ઉકેલતા,આપણને $k \leqslant -1$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે કિંમત આ શરતનું પાલન કરે છે તે $k = -1$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ છે.
સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
હવે,સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - 2x^{-2}) = 0 - 2(-2)x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$.
કારણ કે $f''(2) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણાકાર બગીચો $\Delta ABC$ છે,જ્યાં $AB = AC = x$. ધારો કે $AT$ એ $A$ થી નદીના કિનારા $BC$ પરનો વેધ છે. ધારો કે $\angle ABT = \theta$.
તો $AT = x \sin \theta$ અને $BT = x \cos \theta$ થાય.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $AB=AC$,વેધ $AT$ એ $BC$ ને દુભાગે છે,તેથી $BC = 2BT = 2x \cos \theta$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} x^2 \sin(2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\sin(2\theta)$ ને મહત્તમ કરવું પડશે. $\sin(2\theta)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$ પર મળે છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^3 - px + q$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 - p$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x^2 = p$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $f''(x) = 6x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર કિંમત તપાસતા:
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ માટે,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$ (કારણ કે $p > 0$). તેથી,$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ માટે,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (કારણ કે $p > 0$). તેથી,$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
આમ,ત્રિઘાત બહુપદીને $-\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર મહત્તમ અને $\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત છે.

(B) આપેલ છે $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
$x=0$ એ $P'(x)=0$ નું એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,$P'(0) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c=0$.
તેથી,$P'(x) = x(4x^2 + 3ax + 2b)$.
$x=0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,દ્વિઘાત અવયવ $4x^2 + 3ax + 2b$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવા જોઈએ,એટલે કે તેનો વિવેચક $D < 0$ થાય.
$D = (3a)^2 - 4(4)(2b) = 9a^2 - 32b < 0$.
અહીં અગ્ર સહગુણક $4 > 0$ હોવાથી,$4x^2 + 3ax + 2b > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે.
તેથી,$P'(x)$ ની નિશાની $x$ ની નિશાની પર આધાર રાખે છે.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$P'(x) < 0$,તેથી $P(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$x \in (0, 1]$ માટે,$P'(x) > 0$,તેથી $P(x)$ વધતું વિધેય છે.
$P(x)$ એ $[-1, 0]$ પર ઘટે છે અને $[0, 1]$ પર વધે છે,તેથી $[-1, 1]$ પર વૈશ્વિક ન્યૂનતમ કિંમત $x=0$ આગળ મળે છે.
આમ,$P(-1)$ એ ન્યૂનતમ નથી.
$P(x)$ એ $(0, 1]$ પર વધતું વિધેય છે અને $P(-1) < P(1)$ હોવાથી,$[-1, 1]$ પર મહત્તમ કિંમત $P(1)$ થશે.
તેથી,$P(-1)$ એ ન્યૂનતમ નથી,પરંતુ $P(1)$ એ મહત્તમ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha \log |x| + \beta x^2 + x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x = -1$ અને $x = 2$ એ અંતિમ બિંદુઓ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{\alpha}{-1} + 2\beta(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 2\beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ માટે: $\frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + 4\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 8\beta = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - 1 \Rightarrow 6\beta = -3 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{2}$.
$\beta = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\alpha + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \alpha - 1 = 1 \Rightarrow \alpha = 2$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (2, -\frac{1}{2})$.

(D) આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} \right] = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = 2$.
$f(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $2$ હોય તે માટે,$e=0$,$d=0$ અને $c=2$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 2x^2$.
હવે $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 4x$.
$f(x)$ એ $x=1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો ધરાવે છે,તેથી $f'(1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4a + 3b + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 3b = -4$.
$f'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 4(2) = 32a + 12b + 8 = 0 \Rightarrow 8a + 3b = -2$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(8a + 3b) - (4a + 3b) = -2 - (-4) \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ ને $4a + 3b = -4$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{2}) + 3b = -4 \Rightarrow 2 + 3b = -4 \Rightarrow 3b = -6 \Rightarrow b = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
$f(2)$ ની ગણતરી કરતા: $f(2) = \frac{1}{2}(16) - 2(8) + 2(4) = 8 - 16 + 8 = 0$.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં વર્તુળાકાર સેક્ટરનો કેન્દ્રીય ખૂણો છે.
વર્તુળાકાર સેક્ટરની પરિમિતિ $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તારની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી:
$2r + r\theta = 20$
$\Rightarrow r\theta = 20 - 2r$
$\Rightarrow \theta = \frac{20 - 2r}{r}$
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$
$\Rightarrow r = 5 \ m$
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ:
$\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ છે,તેથી $r = 5$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r = 5$ મૂકતા:
$A_{max} = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ m^2$.

(C) આપેલ છે કે $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.
અંશને $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$h(x) = \frac{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}{x - \frac{1}{x}} = (x - \frac{1}{x}) + \frac{2}{x - \frac{1}{x}}$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. $x \in R - \{-1, 1, 0\}$ હોવાથી,$t$ ની કિંમત $0$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
તેથી $h(t) = t + \frac{2}{t}$.
જ્યારે $t > 0$ હોય,ત્યારે $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $t = \frac{2}{t}$,એટલે કે $t^2 = 2$,તેથી $t = \sqrt{2}$ ($t > 0$ હોવાથી).
જ્યારે $t < 0$ હોય,ત્યારે $u = -t$ ધારો,જ્યાં $u > 0$. તો $h(t) = -u - \frac{2}{u} = -(u + \frac{2}{u}) \le -2\sqrt{2}$.
આમ,$h(x)$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x(x - 2)(x - 4)$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $y = x(x^2 - 6x + 8) = x^3 - 6x^2 + 8x$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 8$.
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય: $\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $3x^2 - 12x + 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $x = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે $y = a \log |x| + b x^2 + x$.
કારણ કે $\frac{d}{dx} \log |x| = \frac{1}{x}$ તમામ $x \neq 0$ માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x = -1$ અને $x = 2$ પર હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -\frac{1}{2}$.

(A) વિધેય $f(x) = |x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$ અને $f(0) = 1$ છે.
$x = 0$ ની આસપાસના કોઈપણ નાના અંતરાલ $(0 - h, 0 + h)$ માટે (જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે),આપણી પાસે છે:
$f(0) = 1$
આ અંતરાલમાં $x \neq 0$ માટે,$f(x) = |x|$ છે. કારણ કે $x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક છે,તેથી $|x| < 1$ થાય.
આમ,$0$ ના પડોશમાં તમામ $x$ માટે $f(x) < f(0)$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમતની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $a$ ના કોઈ પડોશમાં તમામ $x$ માટે $f(x) \le f(a)$ હોય,તો $f$ ને $x = a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત હોય છે.
કારણ કે $x \in (-h, h) \setminus \{0\}$ માટે $f(x) < f(0)$ છે,તેથી વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_0^x t(t - 1)(t - 2) dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = x(x - 1)(x - 2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જે $x = 0, 1, 2$ આપે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નો તપાસતા:
$x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$1 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 2$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x = 0$ પર,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$x = 1$ પર,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$x = 2$ પર,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
આમ,વિધેય $x = 0$ અને $x = 2$ પર તેની ન્યૂનતમ કિંમત ધારણ કરે છે.

(B) લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = (1 - \sin x + 2\sin^3 x)(\cos x) - (1 - \cos x + 2\cos^3 x)(-\sin x)$
$f'(x) = \cos x - \sin x \cos x + 2\sin^3 x \cos x + \sin x - \sin x \cos x + 2\cos^3 x \sin x$
$f'(x) = \cos x + \sin x - 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x)$
$f'(x) = \cos x + \sin x - 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x = \cos x + \sin x$
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1$
$[0, 2\pi]$ માં,$x = \frac{3\pi}{4}$ અને $x = \frac{7\pi}{4}$
$f''(x) = -\sin x + \cos x$
$x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ,$f''(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$ (મહત્તમ)
$x = \frac{7\pi}{4}$ આગળ,$f''(\frac{7\pi}{4}) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ (ન્યૂનતમ)
આમ,વિધેય $\frac{3\pi}{4}$ આગળ મહત્તમ અને $\frac{7\pi}{4}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{\sin x}{x}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $\sin x = 0$ (કારણ કે $x > 0$),તેથી $x = n\pi$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
હવે,$f''(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$.
$x = n\pi$ આગળ,$f''(n\pi) = \frac{n\pi \cos(n\pi) - \sin(n\pi)}{(n\pi)^2} = \frac{n\pi (-1)^n - 0}{n^2 \pi^2} = \frac{(-1)^n}{n\pi}$.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય $(n = 1, 3, 5, \dots)$,$f''(n\pi) = \frac{-1}{n\pi} < 0$,તેથી $f(x)$ પાસે સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય $(n = 2, 4, 6, \dots)$,$f''(n\pi) = \frac{1}{n\pi} > 0$,તેથી $f(x)$ પાસે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) વક્ર $y = x^2 + 1$ છે. વક્ર પરનું બિંદુ $(x_1, x_1^2 + 1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, x_1^2 + 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x_1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (x_1^2 + 1) = 2x_1(x - x_1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x_1x - x_1^2 + 1$ થાય છે.
ધારો કે સ્પર્શક રેખાઓ $x=1$ અને $x=2$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$x=1$ માટે,$y_P = 2x_1(1) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 2x_1 + 1$.
$x=2$ માટે,$y_Q = 2x_1(2) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 4x_1 + 1$.
રેખાઓ $x=1, x=2$,$x$-અક્ષ અને સ્પર્શક દ્વારા બનતા સમલંબકનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{y_P + y_Q}{2} \times (2 - 1) = \frac{(-x_1^2 + 2x_1 + 1) + (-x_1^2 + 4x_1 + 1)}{2} = \frac{-2x_1^2 + 6x_1 + 2}{2} = -x_1^2 + 3x_1 + 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{dx_1} = -2x_1 + 3$ મેળવીએ. $\frac{dA}{dx_1} = 0$ લેતા $x_1 = \frac{3}{2}$ મળે છે.
$x_1 = \frac{3}{2}$ માટે,$y_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
આમ,બિંદુ $\left( \frac{3}{2}, \frac{13}{4} \right)$ છે.

(D) $\sin^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે. અહીં,$u = a^2 - 8a + 17 = (a-4)^2 + 1$. આ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$(a-4)^2 + 1 \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $(a-4)^2 \le 0$. વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આ માત્ર $a = 4$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.
$f(x)$ માં $a = 4$ મૂકતા:
$f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 \sin(6) - x \sin(4) \sin(8) - 5 \sin^{-1}(1)$.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -x^2 + 2x \sin(6) - \sin(4) \sin(8)$.
$f'( \sin(8) )$ ની કિંમત શોધતા:
$f'( \sin(8) ) = -\sin^2(8) + 2 \sin(8) \sin(6) - \sin(4) \sin(8)$.
$f'( \sin(8) ) = \sin(8) [ -\sin(8) + 2 \sin(6) - \sin(4) ]$.
નિત્યસમ $\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'( \sin(8) ) = -\sin(8) [ \sin(8) + \sin(4) - 2 \sin(6) ]$.
$f'( \sin(8) ) = -\sin(8) [ 2 \sin(6) \cos(2) - 2 \sin(6) ]$.
$f'( \sin(8) ) = -2 \sin(8) \sin(6) [ \cos(2) - 1 ] = 2 \sin(8) \sin(6) [ 1 - \cos(2) ]$.
અહીં $\sin(8) > 0$,$\sin(6) < 0$ અને $1 - \cos(2) > 0$ હોવાથી,ગુણાકાર ઋણ મળે છે.
તેથી,$f'( \sin(8) ) < 0$.

(B) આપેલ છે $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 6(x - a)(x - 2a)$.
$f'(x) = 0$ લેતા નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = a$ અને $x = 2a$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 12x - 18a$.
નિર્ણાયક બિંદુઓનું સ્વરૂપ તપાસો:
$f''(a) = 12a - 18a = -6a$
$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$
કિસ્સો $1$: જો $a > 0$ હોય,તો $f''(a) < 0$ (મહત્તમ $x_1 = a$ પર) અને $f''(2a) > 0$ (ન્યૂનતમ $x_2 = 2a$ પર).
આપેલ છે $x_1^2 = x_2$,તેથી $a^2 = 2a$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $a < 0$ હોય,તો $f''(a) > 0$ (ન્યૂનતમ $x_2 = a$ પર) અને $f''(2a) < 0$ (મહત્તમ $x_1 = 2a$ પર).
આપેલ છે $x_1^2 = x_2$,તેથી $(2a)^2 = a$,એટલે કે $4a^2 = a$. $a < 0$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
આમ,$a$ ની કિંમત $2$ છે.

(D) ત્રિકોણ $AOB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$B(x, 0)$,અને $A(x, e^{-x^2})$ છે.
ત્રિકોણ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A(x)$ નીચે મુજબ મળે:
$A(x) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times e^{-x^2} = \frac{x e^{-x^2}}{2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$A'(x) = \frac{1}{2} [1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x)] = \frac{e^{-x^2}}{2} [1 - 2x^2]$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $A'(x) = 0$ લેતા:
$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (કારણ કે $x > 0$).
હવે,$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ પર મહત્તમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{8e}}$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{\sqrt{8e}}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$. મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - x^2(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{2x^4 + 400x - 3x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $400 - x^3 > 0$,અથવા $x < (400)^{1/3}$.
કારણ કે $7^3 = 343$ અને $8^3 = 512$,તેથી $7 < (400)^{1/3} < 8$.
આમ,વિધેય $x = (400)^{1/3}$ સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ ઘટે છે.
આપણે $a_7$ અને $a_8$ ની સરખામણી કરીએ:
$a_7 = \frac{7^2}{7^3 + 200} = \frac{49}{343 + 200} = \frac{49}{543} \approx 0.0902$.
$a_8 = \frac{8^2}{8^3 + 200} = \frac{64}{512 + 200} = \frac{64}{712} = \frac{8}{89} \approx 0.0898$.
$a_7 > a_8$ હોવાથી,સૌથી મોટું પદ $a_7$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$.
આપણે પદોને નીચે મુજબ જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:
$f(x) = [x(x + 3)] \cdot [(x + 1)(x + 2)]$
$f(x) = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$
ધારો કે $z = x^2 + 3x$. તો પદાવલિ આ મુજબ બનશે:
$f(x) = z(z + 2) = z^2 + 2z$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$f(x) = (z^2 + 2z + 1) - 1 = (z + 1)^2 - 1$
કારણ કે $(z + 1)^2 \ge 0$,તેથી $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $z + 1 = 0$,એટલે કે $z = -1$.
$z = x^2 + 3x$ પાછા મૂકતા,આપણને $x^2 + 3x + 1 = 0$ મળે છે,જેના વાસ્તવિક ઉકેલો શક્ય છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin(2x) - x$. વિકલન કરતા $f'(x) = 2\cos(2x) - 1$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$2\cos(2x) = 1$,તેથી $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ માં,$2x \in [-\pi, \pi]$,તેથી $2x = \pm \frac{\pi}{3}$,જેનો અર્થ છે $x = \pm \frac{\pi}{6}$.
હવે,નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત મેળવતા:
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી તફાવત $\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ થાય.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x(\ln x - 2)$ અંતરાલ $[1, e^2]$ પર છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 2) + (\ln x - 2) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x - 2 = 1 + \ln x - 2 = \ln x - 1$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\ln x - 1 = 0$,તેથી $\ln x = 1$,જેનો અર્થ છે $x = e$.
હવે,આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$f(1) = 1(\ln 1 - 2) = 1(0 - 2) = -2$.
$f(e) = e(\ln e - 2) = e(1 - 2) = -e$.
$f(e^2) = e^2(\ln e^2 - 2) = e^2(2 - 2) = 0$.
કિંમતો $\{-2, -e, 0\}$ ની સરખામણી કરતા,$e \approx 2.718$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-e$ છે અને મહત્તમ કિંમત $0$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત $0 - (-e) = e$ થાય.

(C) ધારો કે કર્ણ $h$ છે અને એક બાજુ $x$ છે. આપેલ છે કે $h + x = c$ (અચળ),તેથી $h = c - x$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ત્રીજી બાજુ $\sqrt{h^2 - x^2} = \sqrt{(c-x)^2 - x^2} = \sqrt{c^2 - 2cx}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{c^2 - 2cx}$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = \frac{1}{4} x^2 (c^2 - 2cx) = \frac{1}{4} (c^2 x^2 - 2cx^3)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = c^2 x^2 - 2cx^3$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2c^2 x - 6cx^2 = 2cx(c - 3x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{c}{3}$ મળે છે (કારણ કે $x \neq 0$).
હવે,$h = c - \frac{c}{3} = \frac{2c}{3}$.
ધારો કે $\theta$ એ કર્ણ અને બાજુ $x$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\cos \theta = \frac{x}{h} = \frac{c/3}{2c/3} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (x, \cos x), (\sin^3 x, 0)$ મૂકતા:
$A(x) = \frac{1}{2} |0(\cos x - 0) + x(0 - 0) + \sin^3 x(0 - \cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ લેતા,$3 \cos^2 x = \sin^2 x$ મળે,એટલે કે $\tan^2 x = 3$,તેથી $x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ ને $A(x)$ માં મૂકતા:
$A(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{32}$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$. ધારો કે $t = \sin x$. કારણ કે $x \in (0, \pi/2)$,તેથી $t \in (0, 1)$.
આપણે $g(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1 - t}$ ને $t \in (0, 1)$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $g(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$g'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1 - t)^2}$.
$g'(t) = 0$ લેતા,$\frac{1}{(1 - t)^2} = \frac{4}{t^2}$,જેનો અર્થ છે કે $(1 - t)^2 = \frac{t^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$1 - t = \frac{t}{2}$ અથવા $1 - t = -\frac{t}{2}$.
$t \in (0, 1)$ માટે,$1 - t = \frac{t}{2} \implies 1 = \frac{3t}{2} \implies t = \frac{2}{3}$.
$t = \frac{2}{3}$ પર વિધેયની કિંમત $g(2/3) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1 - 2/3} = 6 + 3 = 9$ છે.
જેમ $t \to 0^+$ અને $t \to 1^-$ થાય છે,તેમ $g(t) \to \infty$ થાય છે,તેથી $g(t)$ નો વિસ્તાર $[9, \infty)$ છે.
આમ,$a$ ની ન્યૂનતમ કિંમત જેના માટે સમીકરણને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે તે $9$ છે.