Maxima and Minima Questions in Gujarati

(C) ત્રિઘાત વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ને કોઈ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય તે માટે,તેનું વિકલન $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ એ ચિહ્ન બદલવું જોઈએ નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે $f'(x)$ એ તમામ $x \in R$ માટે કાં તો હંમેશા $\ge 0$ અથવા હંમેશા $\le 0$ હોવું જોઈએ.
આ સૂચવે છે કે દ્વિઘાત પદાવલિ $g(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ ચિહ્ન બદલતી નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $g(x) = Ax^2 + Bx + C$ માટે અચળ ચિહ્ન જાળવી રાખવા માટે,તેનો વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ એ $\le 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 4b^2 - 12ac \le 0$,જે સૂચવે છે કે $b^2 \le 3ac$.
જો $f'(x)$ ચિહ્ન બદલતું નથી,તો કોઈપણ $x_1, x_2 \in R$ માટે $f'(x_1)$ અને $f'(x_2)$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ખાસ કરીને,$f'(1) = 3a + 2b + c$ અને $f'(0) = c$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ અથવા શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર અ-ઋણ હોવો જોઈએ: $(3a + 2b + c)c \ge 0$.

(A) લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
આપેલ સંબંધ $r^2 + h = 6$ પરથી,$h = 6 - r^2$ લખી શકાય.
આ કિંમત ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \pi r^2 (6 - r^2) = \pi (6r^2 - r^4)$.
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 4r^3)$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ લેતા,$12r - 4r^3 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $4r(3 - r^2) = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r^2 = 3$,એટલે કે $r = \sqrt{3}$.
$r^2 = 3$ ને $h = 6 - r^2$ માં મૂકતા,$h = 6 - 3 = 3$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) $x \in (0, 1)$ માટે,$\ln x < 0$ છે,તેથી $x \ln x < 0$ થાય.
આમ,$f(x) = |x \ln x| = -x \ln x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = -(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 + \ln x = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\ln x = -1$,તેથી $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
કારણ કે $x < \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $x = \frac{1}{e}$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = -(\frac{1}{e}) \ln(\frac{1}{e}) = -(\frac{1}{e})(-1) = \frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^2 - 2}{\sqrt{1 + x^2}}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{\sqrt{1+x^2}(2x) - (x^2-2)\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}(2x)}{1+x^2}$
$f'(x) = \frac{2x(1+x^2) - x(x^2-2)}{(1+x^2)^{3/2}}$
$f'(x) = \frac{2x + 2x^3 - x^3 + 2x}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x^3 + 4x}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x(x^2 + 4)}{(1+x^2)^{3/2}}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2 + 4 > 0$ અને $(1+x^2)^{3/2} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની ફક્ત $x$ પર આધાર રાખે છે.
$x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$ (વિધેય ઘટે છે).
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$ (વિધેય વધે છે).
$x = 0$ આગળ,$f'(x) = 0$ થાય છે અને નિશાની ઋણથી ધન તરફ બદલાય છે,જે દર્શાવે છે કે $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
આમ,વિધેય બરાબર એક ન્યૂનતમ બિંદુ ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) > 0$,તેથી $f'(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$g'(x) = 2f'(2x^3 - 3x^2) \cdot (6x^2 - 6x) + f'(6x^2 - 4x^3 - 3) \cdot (12x - 12x^2)$
$g'(x) = 12x(x - 1) [f'(2x^3 - 3x^2) - f'(6x^2 - 4x^3 - 3)]$
$f'(x)$ વધતું હોવાથી,$f'(A) > f'(B) \iff A > B$.
અહીં $A - B = 3(x - 1)^2(2x + 1)$.
તેથી,$f'(A) - f'(B) > 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $x > -\frac{1}{2}$ ($x \neq 1$ માટે).
$g'(x) > 0$ માટે $12x(x - 1)$ અને $(f'(A) - f'(B))$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $I$: $x(x - 1) > 0$ અને $x > -\frac{1}{2}$,જે $x \in (1, \infty)$ આપે છે.
કિસ્સો $II$: $x(x - 1) < 0$ અને $x < -\frac{1}{2}$,જે $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$ આપે છે.
આમ,$g'(x) > 0$ માટે $x \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (1, \infty)$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \sin x$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x) = 1 + \cos x$ મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 + \cos x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = -1$.
આ કિંમતો $x = (2n + 1)\pi$ પર મળે છે,જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.
હવે,આપણે આ નિર્ણાયક બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ. કારણ કે તમામ $x$ માટે $\cos x \geq -1$ છે,તેથી $f'(x) = 1 + \cos x \geq 0$ થાય છે.
કારણ કે $f'(x)$ કોઈ પણ બિંદુ $x = (2n + 1)\pi$ પર ધનમાંથી ઋણમાં નિશાની બદલતું નથી,તેથી વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય નથી.
તેથી,સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યના બિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે $AF = x$. આકૃતિ મુજબ,$\Delta AFE \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{FE}{BC} = \frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$ થાય.
તેથી,$FE = \frac{c}{b}(b-x)$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $h = x \sin A$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A(x) = FE \cdot h = \frac{c}{b}(b-x) \cdot x \sin A = \frac{c \sin A}{b} (bx - x^2)$.
મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{dx} = \frac{c \sin A}{b} (b - 2x) = 0 \Rightarrow x = \frac{b}{2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= \frac{c \sin A}{b} (b(\frac{b}{2}) - (\frac{b}{2})^2) = \frac{c \sin A}{b} (\frac{b^2}{4}) = \frac{bc}{4} \sin A$.

(B) આપેલ વક્ર $y = e^x + e^{-x}$ છે.
આપણે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ વક્ર સુધીનું લઘુત્તમ અંતર શોધવા માંગીએ છીએ.
$f(x) = e^x + e^{-x}$ લો. $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$e^x + e^{-x} \ge 2\sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$.
$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $x = 0$ પર મળે છે.
આમ,વક્ર પરનું ઉગમબિંદુની સૌથી નજીકનું બિંદુ $(0,2)$ છે.
$(0,0)$ અને $(0,2)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4} = 2$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 12x + \lambda$ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 3x^2 - 12$.
$f'(x) = 0$ લેતા $3(x^2 - 4) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ છીએ:
$f''(x) = 6x$.
$x = -2$ આગળ,$f''(-2) = 6(-2) = -12 < 0$,જે દર્શાવે છે કે $x = -2$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ છે.
$x = 2$ આગળ,$f''(2) = 6(2) = 12 > 0$,જે દર્શાવે છે કે $x = 2$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ છે.
ત્રિઘાત બહુપદી $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે સ્થાનીય મહત્તમ અને ન્યૂનતમનું અસ્તિત્વ માત્ર તેના વિકલન $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ પર આધાર રાખે છે,અને અહીં $f'(x) = 3x^2 - 12$ એ $\lambda$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધેય $f(x)$ ને $\lambda$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ હશે.
આપેલ $\lambda \in [0, 20]$ માટે,$\lambda$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$ છે.
આવા મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $20 - 0 + 1 = 21$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = -1 + \frac{2}{2^{x^2} + 1}$ છે.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદ $\frac{2}{2^{x^2} + 1}$ ને મહત્તમ બનાવવું પડશે.
કોઈપણ અપૂર્ણાંક ત્યારે મહત્તમ બને છે જ્યારે તેનો છેદ ન્યૂનતમ હોય.
છેદ $2^{x^2} + 1$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $2^{x^2}$ ન્યૂનતમ હોય.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$x^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $x = 0$ પર મળે છે.
$x = 0$ પર,$2^{x^2} = 2^0 = 1$ થાય.
આમ,છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $1 + 1 = 2$ છે.
તેથી,અપૂર્ણાંકની મહત્તમ કિંમત $\frac{2}{2} = 1$ છે.
પરિણામે,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $f(0) = -1 + 1 = 0$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = a \ln |x + 1| + b(x + 1)^2 + x$ છે.
વિધેયને $x = 0$ આગળ અંતિમ કિંમત મળે છે,તેથી $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત $4$ છે.
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$4 = a \ln |0 + 1| + b(0 + 1)^2 + 0$
$4 = a \ln(1) + b(1)^2 + 0$
કારણ કે $\ln(1) = 0$,તેથી $4 = 0 + b + 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
હવે,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x + 1} + 2b(x + 1) + 1$.
અંતિમ બિંદુએ,વિકલન શૂન્ય હોય છે. તેથી $x = 0$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 0$:
$\frac{a}{0 + 1} + 2b(0 + 1) + 1 = 0$
$a + 2b + 1 = 0$.
સમીકરણમાં $b = 4$ મૂકતા:
$a + 2(4) + 1 = 0$
$a + 8 + 1 = 0$
$a + 9 = 0 \Rightarrow a = -9$.
તેથી,$(a, b) = (-9, 4)$.

(B) $f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે તે માટે,વિધેય $f(1) \le f(1 - h)$ અને $f(1) \le f(1 + h)$ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ,જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની કિંમત છે.
પ્રથમ,$x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ (left-hand limit) મેળવીએ:
$f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (3 - x) = 3 - 1 = 2$.
હવે,$x = 1$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય મેળવીએ:
$f(1) = 1^2 + \log_e b = 1 + \log_e b$.
$x > 1$ માટે,$f(x) = x^2 + \log_e b$. અહીં $f'(x) = 2x > 0$ હોવાથી,$x > 1$ માટે વિધેય વધતું વિધેય છે. તેથી,$x = 1$ ની આસપાસના વિસ્તારમાં $x > 1$ માટે $f(x) \ge f(1)$ થશે.
$x < 1$ માટે,$f(x) = 3 - x$. અહીં $f'(x) = -1 < 0$ હોવાથી,$x < 1$ માટે વિધેય ઘટતું વિધેય છે. તેથી,$x = 1$ ની આસપાસના વિસ્તારમાં $x < 1$ માટે $f(x) > f(1^-) = 2$ થશે.
$x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,આપણે $f(1) \le f(1^-)$ ની જરૂર છે:
$1 + \log_e b \le 2$
$\log_e b \le 1$
$b \le e^1 = e$.
લોગેરિધમ $\log_e b$ માત્ર $b > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$b$ ની કિંમતોનો ગણ $(0, e]$ છે.

(A) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળામાં અંતર્ગત શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે. ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી શંકુના પાયાનું અંતર $|h-R|$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 + (h-R)^2 = R^2$,તેથી $r^2 = R^2 - (h^2 - 2hR + R^2) = 2hR - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2h^2R - h^3)$.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4hR - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$h(4R - 3h) = 0$ મળે. $h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ મળે.
ગોળાનો વ્યાસ $D = 2R$ છે.
શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાના વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{h}{D} = \frac{4R/3}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ થાય.

(D) $x = 2$ આગળ વિધેયનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ નું પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ.
પગલું $1$: પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 12x - 3) = 3x^2 - 12x + 12$.
પગલું $2$: $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$3x^2 - 12x + 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies 3(x - 2)^2 = 0$.
આનાથી આપણને $x = 2$ ક્રાંતિક બિંદુ મળે છે.
પગલું $3$: દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 12) = 6x - 12$.
પગલું $4$: $x = 2$ આગળ $f''(x)$ ની કિંમત શોધો.
$f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
$f''(2) = 0$ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલન કસોટી અનિર્ણાયક છે. આપણે $x = 2$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$f'(x) = 3(x - 2)^2$. કારણ કે $(x - 2)^2$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) છે,તેથી $f'(x) \geq 0$ થાય.
જેમ $x$ એ $2$ માંથી પસાર થાય છે તેમ વિકલન પોતાની નિશાની બદલતું નથી,તેથી $x = 2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે,સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બિંદુ નથી.

(B) ધારો કે $y = (\frac{1}{x})^{2x^2} = x^{-2x^2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln y = -2x^2 \ln x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -4x \ln x - 2x^2 (\frac{1}{x}) = -4x \ln x - 2x = -2x(2 \ln x + 1)$ મળે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \ln x + 1) y$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા. $x > 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,$2 \ln x + 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\ln x = -\frac{1}{2}$,તેથી $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ પર વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
મૂળ પદમાં $x = e^{-1/2}$ મૂકતા:
$y_{max} = (\frac{1}{e^{-1/2}})^{2(e^{-1/2})^2} = (e^{1/2})^{2(e^{-1})} = e^{(1/2) \times (2/e)} = e^{1/e} = \sqrt[e]{e}$.

(C) મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર કરીએ છીએ.
$f(x) = (7-x)^4 (2+x)^5$
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = 4(7-x)^3(-1)(2+x)^5 + 5(7-x)^4(2+x)^4$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [-4(2+x) + 5(7-x)]$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [-8 - 4x + 35 - 5x]$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [27 - 9x]$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 7, x = -2, x = 3$ મળે છે.
$x \in (-2, 7)$ માટે,વિધેય ધન છે. $x = 3$ પર,વિકલન ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે,જે સ્થાનિક મહત્તમ સૂચવે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(3) = (7-3)^4 (2+3)^5 = 4^4 \times 5^5$ છે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2 \ cm$ છે. એક ખૂણેથી તેની નજીકની બાજુ પરના બિંદુ સુધી કાપ મૂકવામાં આવે છે,જેનાથી એક કાટકોણ ત્રિકોણ અને એક ચતુષ્કોણ (સમલંબ) બને છે.
ધારો કે કાપની લંબાઈ $L$ છે. ત્રિકોણની બાજુઓ $x$,$2$ અને $L$ છે,જ્યાં $L = \sqrt{x^2 + 2^2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P_1 = x + 2 + L$ છે.
બાકી રહેલી આકૃતિ એક ચતુષ્કોણ છે જેની બાજુઓ $2$,$2$,$(2-x)$ અને $L$ છે.
ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $P_2 = 2 + 2 + (2-x) + L = 6 - x + L$ છે.
પરિમિતિઓનો સરવાળો $S = P_1 + P_2 = (x + 2 + L) + (6 - x + L) = 8 + 2L$ છે.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $L$ ને મહત્તમ કરવું પડશે. $2$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણેથી કાપી શકાય તેવા સીધા રેખાખંડ $L$ ની મહત્તમ લંબાઈ ચોરસનો વિકર્ણ છે.
આમ,$L = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
પરિમિતિઓનો મહત્તમ સરવાળો $S_{max} = 8 + 2(2\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2} \ cm$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{x}^{x^2} (t - 1) \, dt$.
લીબનીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - (x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = (x^2 - 1)(2x) - (x - 1)(1)$
$f'(x) = 2x^3 - 2x - x + 1 = 2x^3 - 3x + 1$.
આપણે $f'(x)$ ના અવયવ પાડી શકીએ છીએ કારણ કે $x=1$ એ તેનું બીજ છે:
$f'(x) = (x - 1)(2x^2 + 2x - 1)$.
$x \in [1, 3]$ માટે,$f'(x) \ge 0$ છે,તેથી $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 3$ પર મળે છે.
$f(3) = \int_{3}^{9} (t - 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{3}^{9}$
$f(3) = \left( \frac{81}{2} - 9 \right) - \left( \frac{9}{2} - 3 \right) = \frac{72}{2} - 6 = 36 - 6 = 30$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - x \sin x - \cos x$.
તેથી,વિકલન $f'(x) = 2x - (\sin x + x \cos x) - (-\sin x) = 2x - x \cos x = x(2 - \cos x)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \cos x \le 1$,તેથી $2 - \cos x > 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સત્ય છે.
આમ,$f'(x) = 0$ માત્ર $x = 0$ આગળ થાય છે.
જ્યારે $x < 0$ હોય,ત્યારે $f'(x) < 0$ હોવાથી $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
જ્યારે $x > 0$ હોય,ત્યારે $f'(x) > 0$ હોવાથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$x = 0$ એ વૈશ્વિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 0^2 - 0 \sin(0) - \cos(0) = -1$ છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to \infty$.
$f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,તે $(-\infty, 0)$ માં એક વાર અને $(0, \infty)$ માં એક વાર $x$-અક્ષને છેદે છે.
આમ,કુલ $2$ બિંદુઓ છે જ્યાં $f(x) = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^4 e^{-x^2}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 4x^3 e^{-x^2} + x^4 e^{-x^2}(-2x)$
$f'(x) = 2x^3 e^{-x^2}(2 - x^2)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $x^2 = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0, \pm \sqrt{2}$.
$f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x < -\sqrt{2}$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-\sqrt{2} < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$0 < x < \sqrt{2}$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x > \sqrt{2}$ માટે,$f'(x) < 0$.
આમ,$f(x)$ ને $x = \pm \sqrt{2}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\pm \sqrt{2}) = (\pm \sqrt{2})^4 e^{-(\pm \sqrt{2})^2} = 4 e^{-2}$ છે.

(B) ધારો કે $g(x) = 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3$.
તેથી $g'(x) = 12x^2 - 24x + 11$.
આપણે $g'(x) = 12(x - 1)^2 - 1$ તરીકે લખી શકીએ.
$x \in [2, 3]$ માટે,$(x - 1) \in [1, 2]$,તેથી $(x - 1)^2 \in [1, 4]$.
આમ,$x \in [2, 3]$ માટે $g'(x) \geq 12(1) - 1 = 11 > 0$.
$g'(x) > 0$ હોવાથી,$g(x)$ એ $[2, 3]$ પર વધતું વિધેય છે.
પરિણામે,$f(x) = \log_{10}(g(x))$ પણ $[2, 3]$ પર વધતું વિધેય છે.
તેથી,વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય અંતિમ બિંદુ $x = 3$ પર મળે છે.
$f(3) = \log_{10}(4(3)^3 - 12(3)^2 + 11(3) - 3) = \log_{10}(108 - 108 + 30) = \log_{10}(30)$.
$f(3) = \log_{10}(10 \times 3) = \log_{10}10 + \log_{10}3 = 1 + \log_{10}3$.

(A) ધારો કે $R = a/2$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.
ભૂમિતિ મુજબ,જો $x$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર હોય,તો $h = R + x = a/2 + x$.
શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r^2 = R^2 - x^2 = (a/2)^2 - x^2$ દ્વારા મળે છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a/2)^2 - x^2)(a/2 + x)$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$V = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - x^2)(a/2 + x) = \frac{\pi}{3} (a^3/8 + a^2x/4 - ax^2/2 - x^3)$.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,$dV/dx = 0$ લેતા:
$dV/dx = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - ax - 3x^2) = 0$.
$3x^2 + ax - a^2/4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(3)(-a^2/4)}}{2(3)} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{6} = \frac{-a \pm 2a}{6}$.
કારણ કે $x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = a/6$.
તેથી,ઊંચાઈ $h = a/2 + a/6 = (3a + a)/6 = 4a/6 = (2/3)a$ થાય.

(A) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R = 3 \, cm$ છે.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $b$ છે.
ગોલકની ભૂમિતિ મુજબ,$h, b,$ અને $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $(h-R)^2 + b^2 = R^2$ છે.
તેથી,$b^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi b^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$ છે.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) = 0$ લઈએ છીએ.
આનાથી $h(4R - 3h) = 0$ મળે છે. $h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3} = \frac{4(3)}{3} = 4 \, cm$ મળે.
હવે,$b^2 = 2(4)(3) - (4)^2 = 24 - 16 = 8$,તેથી $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, cm$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi b l = \pi (2\sqrt{2}) (2\sqrt{6}) = 4\pi \sqrt{12} = 4\pi (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \pi \, cm^2$ થાય.

(D) ધારો કે $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 \right) = 3$,તેથી $\lim_{x \to 0} \left( \frac{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lim_{x \to 0} \left( Ax^2 + Bx + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવાથી,$D = 0$ અને $E = 0$ હોવા જોઈએ. તેથી,$C + 1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.
હવે,$f(x) = Ax^4 + Bx^3 + 2x^2$. વિકલન કરતા $f'(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 4x$ મળે.
$f(x)$ ને $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$f'(1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4A + 3B + 4 = 0 \implies 4A + 3B = -4$ (સમીકરણ $1$).
$f'(2) = 4A(8) + 3B(4) + 4(2) = 32A + 12B + 8 = 0 \implies 8A + 3B = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8A + 3B) - (4A + 3B) = -2 - (-4) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.
$A = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{2}) + 3B = -4 \implies 2 + 3B = -4 \implies 3B = -6 \implies B = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
અંતે,$f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18$ તપાસીએ.
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$M = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = 10$.
$x = 2$ માટે,$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$m = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = 9$.
તેથી,$M - m = 10 - 9 = 1$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
વિકલન $f'(x)$ લેતા:
$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 + x)^{-2/5} - (1 + x)^{3/5} \cdot \frac{3}{5}x^{-2/5}}{(1 + x^{3/5})^2}$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{1 + x^{3/5}}{(1 + x)^{2/5}} - \frac{(1 + x)^{3/5}}{x^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5}(1 + x^{3/5}) - (1 + x)^{3/5}(1 + x)^{2/5}}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} + x - (1 + x)}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right] = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} - 1}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
અહીં $x \in [0, 1]$ હોવાથી,$x^{2/5} \le 1$,તેથી $f'(x) \le 0$. વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $K = f(0) = \frac{(1+0)^{0.6}}{1+0^{0.6}} = 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $k = f(1) = \frac{(1+1)^{0.6}}{1+1^{0.6}} = \frac{2^{0.6}}{2} = 2^{0.6 - 1} = 2^{-0.4}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(k, K) = (2^{-0.4}, 1)$ થાય.

(C) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3}$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા,નળાકારની ત્રિજ્યા અને નળાકારની અડધી ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$R^2 = r^2 + (h/2)^2$
$(\sqrt{3})^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$
$3 = r^2 + \frac{h^2}{4} \Rightarrow r^2 = 3 - \frac{h^2}{4}$
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (3 - \frac{h^2}{4})h = 3\pi h - \frac{\pi h^3}{4}$ છે.
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dh} = 3\pi - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$
$3\pi = \frac{3\pi h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
$h = 2$ ને ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \pi (3 - \frac{2^2}{4})(2) = \pi (3 - 1)(2) = 4\pi$.

(D) ધારો કે પાયો $b$ છે અને કર્ણ $h$ છે.
તેથી વેધ (લંબ) $\sqrt{h^2 - b^2}$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} b \sqrt{h^2 - b^2}$ છે.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A$ નું $b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{db} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{h^2 - b^2} + b \cdot \frac{-2b}{2\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{h^2 - b^2 - b^2}{\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{h^2 - 2b^2}{2\sqrt{h^2 - b^2}}$.
$\frac{dA}{db} = 0$ લેતા,આપણને $h^2 - 2b^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{h^2}{2}$,અથવા $b = \frac{h}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{h^2 - \frac{h^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h^2}{4}$.

(C) ધારો કે ખર્ચ વિધેય $C(v) = av + \frac{b}{v}$ છે.
આપેલ છે કે $v = 30 \text{ km/h}$ પર,$C = 75$,તેથી $30a + \frac{b}{30} = 75 \implies 900a + b = 2250 \quad (i)$.
આપેલ છે કે $v = 40 \text{ km/h}$ પર,$C = 65$,તેથી $40a + \frac{b}{40} = 65 \implies 1600a + b = 2600 \quad (ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,આપણને $700a = 350$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 0.5$.
$a = 0.5$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $900(0.5) + b = 2250 \implies 450 + b = 2250 \implies b = 1800$ મળે છે.
સૌથી આર્થિક ઝડપ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dC}{dv} = 0$ લઈને $C(v)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ.
$\frac{dC}{dv} = a - \frac{b}{v^2} = 0 \implies v^2 = \frac{b}{a}$.
$v^2 = \frac{1800}{0.5} = 3600 \implies v = 60 \text{ km/h}$.

(D) ધારો કે ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = 3 \, m$,ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 = r^2 + h^2$,તેથી $r^2 = l^2 - h^2 = 9 - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $V(h) = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (9h - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$9 - 3h^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $h^2 = 3$,તેથી $h = \sqrt{3}$.
હવે,મહત્તમ ઘનફળની ગણતરી કરતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (9 - 3) \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi (6) \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\pi \, m^3$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ વક્ર $y = \sqrt{x}$ પરનું બિંદુ છે. તેથી $P$ ને $(t^2, t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $t > 0$.
$P(t^2, t)$ અને $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ $D^2$ નીચે મુજબ છે:
$f(t) = (t^2 - \frac{3}{2})^2 + (t - 0)^2 = t^4 - 3t^2 + \frac{9}{4} + t^2 = t^4 - 2t^2 + \frac{9}{4}$.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(t) = 4t^3 - 4t = 4t(t^2 - 1) = 0$.
$t > 0$ હોવાથી,$t^2 = 1$,એટલે કે $t = 1$.
$t = 1$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(1^2, 1) = (1, 1)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ $(1, 1)$ અને $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(C) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, x^{3/2} + 7)$ છે. સૈનિક $A(1/2, 7)$ પર છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = (x - 1/2)^2 + (x^{3/2} + 7 - 7)^2 = (x - 1/2)^2 + x^3$.
ધારો કે $f(x) = (x - 1/2)^2 + x^3$. ન્યૂનતમ અંતર માટે,$f'(x) = 0$.
$f'(x) = 2(x - 1/2) + 3x^2 = 3x^2 + 2x - 1 = 0$.
$(3x - 1)(x + 1) = 0$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x = 1/3$.
બિંદુ $P$ એ $(1/3, 7 + \frac{1}{3\sqrt{3}})$ છે.
અંતર $AD = \sqrt{(1/3 - 1/2)^2 + (\frac{1}{3\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{27}} = \sqrt{\frac{7}{108}} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{7}{3}}$.

(C) ધારો કે પરવલય પરના લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ અને $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$ છે.
લંબચોરસનો પાયો $x-$અક્ષ પર છે,તેથી પાયાની લંબાઈ $2\alpha$ અને ઊંચાઈ $12 - \alpha^2$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = \text{લંબાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 2\alpha(12 - \alpha^2) = 24\alpha - 2\alpha^3$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{d\alpha} = 24 - 6\alpha^2$.
$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ લેતા,આપણને $24 - 6\alpha^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 = 4$,તેથી $\alpha = 2$ (કારણ કે $\alpha > 0$).
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ છીએ: $\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -12\alpha$. $\alpha = 2$ પર,$\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -24 < 0$,તેથી તે મહત્તમ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(2)(12 - 2^2) = 4(12 - 4) = 4(8) = 32$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ મળે.
વિધેય $f(x)$ એ $(0, 1]$ માં વધતું અને $[1, 5)$ માં ઘટતું હોવાથી,$x = 1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય મળે.
તેથી,$f'(1) = 0$.
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 3 - 6a + 12 + 3a = 15 - 3a = 0$.
આથી $a = 5$ મળે.
$a = 5$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,$f(x) = x^3 - 3(5 - 2)x^2 + 3(5)x + 7 = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ મળે.
આપણે $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ ઉકેલવાનું છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) - 14 = 0$ ($x \neq 1$ માટે).
$x^3 - 9x^2 + 15x + 7 - 14 = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
$x = 1$ એ $f(x) - 14 = 0$ નું બીજ હોવાથી,આપણે $(x - 1)^2$ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ:
$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x - 1)^2(x - 7) = 0$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ નું બીજ $x = 7$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 9x^4 + 12x^3 - 36x^2 + 25$ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને મહત્તમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 36x^3 + 36x^2 - 72x$
$f'(x) = 0$ લેતા:
$36x(x^2 + x - 2) = 0$
$36x(x - 1)(x + 2) = 0$
તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, 0, 1$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા $f''(x) = 108x^2 + 72x - 72$:
$x = -2$ માટે: $f''(-2) = 108(4) + 72(-2) - 72 = 216 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = 0$ માટે: $f''(0) = -72 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 108 + 72 - 72 = 108 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓનો ગણ $S_1 = \{-2, 1\}$ અને સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓનો ગણ $S_2 = \{0\}$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R=3$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળા અને નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $r^2 + (h/2)^2 = R^2 = 3^2 = 9$ છે.
તેથી,$r^2 = 9 - \frac{h^2}{4}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (9 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (9h - \frac{h^3}{4})$ છે.
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - \frac{3h^2}{4}) = 0$.
$9 = \frac{3h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આમ,મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારની ઊંચાઈ $2\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી છે અને તેના સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ છે,તેથી તેનું વિકલન $f'(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી હશે જેના બીજ $-1, 0, 1$ છે.
આમ,$f'(x) = \lambda(x + 1)(x)(x - 1) = \lambda(x^3 - x)$,જ્યાં $\lambda \neq 0$.
$f'(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = \lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu$ મળે છે,જ્યાં $\mu$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
આપણને ગણ $S = \{x \in R; f(x) = f(0)\}$ આપેલ છે.
$f(0) = \mu$ ને $f(x) = f(0)$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu = \mu$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) = 0$ થાય છે.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$.
આનાથી $x^2 = 0$ અથવા $x^2 = 2$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = 0, 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
ગણ $S$ માં ભિન્ન ઘટકો $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
અહીં,$0$ એ સંમેય સંખ્યા છે,અને $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યાઓ છે.
તેથી,ગણ $S$ માં બે અસંમેય અને એક સંમેય સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$kx - x^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x(k - x) \geq 0$. $x \in [0, 3]$ માટે,આના માટે $k \geq 3$ જરૂરી છે.
વિકલન $f'(x) = \sqrt{kx - x^2} + x \cdot \frac{k - 2x}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{2(kx - x^2) + kx - 2x^2}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{3kx - 4x^2}{2\sqrt{kx - x^2}}$.
$f(x)$ એ $[0, 3]$ પર વધતું વિધેય હોવા માટે,આપણે $x \in (0, 3)$ માટે $f'(x) \geq 0$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ છે $3kx - 4x^2 \geq 0$,અથવા $x(3k - 4x) \geq 0$.
$x > 0$ હોવાથી,આપણને $3k - 4x \geq 0$,અથવા $k \geq \frac{4x}{3}$ ની જરૂર છે.
આ શરત $[0, 3]$ માં તમામ $x$ માટે સાચી હોવા માટે,$k$ એ $[0, 3]$ પર $\frac{4x}{3}$ ની મહત્તમ કિંમત જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ,જે $\frac{4(3)}{3} = 4$ છે.
આમ,$m = 4$.
હવે,$k = 4$ માટે,$f(x) = x\sqrt{4x - x^2}$.
$[0, 3]$ પર મહત્તમ કિંમત $M$ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = \frac{12x - 4x^2}{2\sqrt{4x - x^2}} = \frac{2x(3 - x)}{\sqrt{4x - x^2}}$ તપાસીએ.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 3$ છે. $f(0) = 0$ અને $f(3) = 3\sqrt{4(3) - 3^2} = 3\sqrt{12 - 9} = 3\sqrt{3}$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $M = 3\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$(m, M) = (4, 3\sqrt{3})$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$. $f(x)$ એ $5$ ઘાતવાળી બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g$. લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $2$ હોય તે માટે $g=e=d=0$ અને $c=2$ હોવું જોઈએ. તેથી,$f(x) = ax^5 + bx^4 + 2x^3$.
$f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 6x^2$.
$x=\pm 1$ એ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(1) = 5a + 4b + 6 = 0$ અને $f'(-1) = 5a - 4b + 6 = 0$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $10a + 12 = 0 \Rightarrow a = -6/5$ મળે. બાદબાકી કરતા $8b = 0 \Rightarrow b = 0$ મળે.
આમ,$f(x) = 2x^3 - \frac{6}{5}x^5$.
$f'(x) = 6x^2 - 6x^4 = 6x^2(1-x^2) = 6x^2(1-x)(1+x)$.
$x < -1$ માટે,$f'(x) < 0$. $-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) > 0$. $0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$. $x > 1$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ આગળ,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
વિકલ્પ $B$ જણાવે છે કે $x=1$ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે અને $x=-1$ એ મહત્તમ બિંદુ છે,જે ખોટું છે.

(B) ધારો કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $f^{\prime \prime}(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે. $f^{\prime}(x)$ ને $x=1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime \prime}(1)=0$ થાય. તેથી,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$.
$f^{\prime \prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ મળે.
$f(x)$ ને $x=-1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime}(-1) = 0$ થાય. $x=-1$ મૂકતા $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ મળે,તેથી $C = -\frac{3\lambda}{2}$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$.
$f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ મળે.
$f(1) = -6$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$.
$f(-1) = 10$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$.
તેથી,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.
$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=3$ અને $x=-1$ મળે.
$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$. $x=3$ આગળ,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.

(A) આપેલ છે $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ આગળ,$F'(1) = 1^{2} \int_{1}^{1} f(u) du = 0$. તેથી,$x=1$ એ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત શોધો: $F''(x) = \frac{d}{dx} [x^{2} g(x)] = x^{2} g'(x) + 2x g(x)$.
કારણ કે $g(t) = \int_{1}^{t} f(u) du$,તેથી $g'(t) = f(t)$.
તેથી,$F''(x) = x^{2} f(x) + 2x \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ આગળ કિંમત મૂકતા: $F''(1) = 1^{2} f(1) + 2(1) \int_{1}^{1} f(u) du = f(1) + 0 = 3$.
કારણ કે $F'(1) = 0$ અને $F''(1) = 3 > 0$,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$x=1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બિંદુ છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = x^{2}$ છે.
બધા $x \in R$ માટે $x^{2} \geq 0$ હોવાથી,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $x = 0$ આગળ મળે છે.
જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$,તેમ $f(x) = x^{2} \to \infty$.
તેથી,વિધેય $f(x) = x^{2}$ ની $R$ માં કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(N/A) આપેલ વિધેયના આલેખ પરથી,નોંધો કે:
$f(x) \geq 0$ દરેક $x \in R$ માટે અને જો $x=0$ હોય તો $f(x)=0.$
તેથી,વિધેય $f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે અને $f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત માટેનું બિંદુ $x=0$ છે.
વધુમાં,આલેખ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે $f$ ની $R$ માં કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી અને તેથી $R$ માં મહત્તમ કિંમત માટેનું કોઈ બિંદુ પણ નથી.

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = x$ એ વિવૃત અંતરાલ $(0, 1)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
વિધેયના આલેખ પરથી,એવું લાગે છે કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ ની જમણી બાજુએ તેના સૌથી નજીકના બિંદુએ હોવું જોઈએ,અને મહત્તમ મૂલ્ય $1$ ની ડાબી બાજુએ તેના સૌથી નજીકના બિંદુએ હોવું જોઈએ.
જો કે,આવા બિંદુઓ વિવૃત અંતરાલ $(0, 1)$ માં અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
કોઈપણ બિંદુ $x_0 \in (0, 1)$ માટે,આપણે હંમેશા એક નાનું બિંદુ $\frac{x_0}{2} \in (0, 1)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\frac{x_0}{2} < x_0$ થાય. આમ,કોઈ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
તે જ રીતે,કોઈપણ બિંદુ $x_1 \in (0, 1)$ માટે,આપણે હંમેશા એક મોટું બિંદુ $\frac{x_1 + 1}{2} \in (0, 1)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\frac{x_1 + 1}{2} > x_1$ થાય. આમ,કોઈ મહત્તમ મૂલ્ય નથી.
તેથી,વિધેય $f(x) = x$ ને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ન તો મહત્તમ મૂલ્ય છે કે ન તો ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = x^3 - 3x + 3$ છે.
વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ મળે છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુઓ મળે છે.
આ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x = 1$ માટે:
- $1$ ની નજીક અને જમણી બાજુએ,$f'(x) > 0$ છે.
- $1$ ની નજીક અને ડાબી બાજુએ,$f'(x) < 0$ છે.
ચિહ્ન ઋણથી ધન તરફ બદલાતું હોવાથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1 - 3 + 3 = 1$ છે.
$x = -1$ માટે:
- $-1$ ની નજીક અને ડાબી બાજુએ,$f'(x) > 0$ છે.
- $-1$ ની નજીક અને જમણી બાજુએ,$f'(x) < 0$ છે.
ચિહ્ન ધનથી ઋણ તરફ બદલાતું હોવાથી,$x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે અને સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-1) = -1 + 3 + 3 = 5$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 6x + 5) = 6x^2 - 12x + 6$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 2x + 1) = 0$
$6(x - 1)^2 = 0$
આનાથી $x = 1$ એ એકમાત્ર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ મળે છે.
હવે,$x = 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x < 1$ માટે,$x = 0$ લેતા,$f'(0) = 6(0-1)^2 = 6 > 0$.
$x > 1$ માટે,$x = 2$ લેતા,$f'(2) = 6(2-1)^2 = 6 > 0$.
જેમ $x$ એ $1$ માંથી પસાર થાય છે તેમ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી (તે ધન રહે છે),તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ નથી.
તેથી,વિધેયને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 + |x|$ છે.
નોંધો કે વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,તેથી દ્વિતીય વિકલિત કસોટી લાગુ કરી શકાતી નથી.
આપણે પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. નિર્ણાયક બિંદુ $x = 0$ છે.
$x < 0$ માટે,$f(x) = 3 - x$,તેથી $f'(x) = -1 < 0$.
$x > 0$ માટે,$f(x) = 3 + x$,તેથી $f'(x) = 1 > 0$.
જેમ કે વિકલિત $x = 0$ આગળ ઋણમાંથી ધનમાં બદલાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 3 + |0| = 3$ છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવતા $f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x$.
વિકલનના અવયવ પાડતા,$f'(x) = 12x(x^2 + x - 2) = 12x(x - 1)(x + 2)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, x = 1, x = -2$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 36x^2 + 24x - 24$ મેળવો.
ક્રાંતિક બિંદુઓ પર દ્વિતીય વિકલનનું મૂલ્ય ચકાસતા:
$f''(0) = -24 < 0$,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(0) = 12$ છે.
$f''(1) = 36(1)^2 + 24(1) - 24 = 36 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 + 12 = 7$ છે.
$f''(-2) = 36(-2)^2 + 24(-2) - 24 = 72 > 0$,તેથી $x = -2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 12 = -20$ છે.

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ છે.
પ્રથમ,આપણે પ્રથમ વિકલિત શોધીએ: $f'(x) = 6x^2 - 12x + 6 = 6(x^2 - 2x + 1) = 6(x - 1)^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $6(x - 1)^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,આપણે $x = 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$x < 1$ માટે,$(x - 1)^2 > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
$x > 1$ માટે,$(x - 1)^2 > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
જેમ કે $x = 1$ માંથી પસાર થતી વખતે $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી (તે બંને બાજુએ ધન રહે છે),તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ નથી. તે નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflexion) છે.

(A) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 15$,તેથી $y = 15 - x$.
ધારો કે $S$ એ સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો છે,તેથી $S = x^2 + y^2$.
$y = 15 - x$ મૂકતા,આપણને મળે $S(x) = x^2 + (15 - x)^2 = x^2 + 225 - 30x + x^2 = 2x^2 - 30x + 225$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પ્રથમ વિકલન $S'(x) = 4x - 30$ મેળવીએ.
$S'(x) = 0$ લેતા,$4x = 30$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = \frac{30}{4} = 7.5$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $S''(x) = 4$ મેળવીએ.
કારણ કે $S''(7.5) = 4 > 0$,તેથી વિધેય $S(x)$ ને $x = 7.5$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
આમ,બે સંખ્યાઓ $x = 7.5$ અને $y = 15 - 7.5 = 7.5$ છે.