વક્ર $y = x(x - 2)(x - 4)$ ના જે બિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે બિંદુઓના $x$-યામ (abscissae) નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:

જેના માટે વિધેય $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$,જ્યાં $x \neq 2 n \pi, n \in N$,ને ક્રાંતિક બિંદુઓ હોય તેવા $a \in R$ નો વિસ્તાર શોધો.

નીચે આપેલી આકૃતિ કોઈ વિધેય $y=f(x)$ ના વિકલિતનો આલેખ છે. તો,

એક $A.P.$ નું છઠ્ઠું પદ $2$ છે. $A.P.$ ના સામાન્ય તફાવત $x$ ની કઈ કિંમત માટે ગુણાકાર $a_1 a_4 a_5$ ન્યૂનતમ થાય છે?

વિધેય $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$ માટે,જ્યાં $x > 0$,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વિધાન-$I$: ધારો કે વિધેય $f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{2} & x < 0 \\ 7x + 8 & x \geq 0 \end{cases}$ છે. તો $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ છે.
વિધાન-$II$: જો પૂરતા નાના $h > 0$ માટે $f(a) < f(a - h)$ અને $f(a) < f(a + h)$ હોય,તો $f(x)$ ને $x = a$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ છે.