જો તમામ ધન x માટે ax + frac{b}{x} ge c હોય,જ્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,જ્યાં $x > 0$ અને $a, b > 0$ છે.ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:$f

Vedclass · Accepted Answer

$ab \ge \frac{c^2}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,જ્યાં $x > 0$ અને $a, b > 0$ છે.ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:$f'(x) = a - \frac{b}{x^2} = \frac{ax^2 - b}{x^2}$.$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $ax^2 = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (કારણ કે $x > 0$).વિધેય $f(x)$ આ બિંદુએ તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા:$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{b/a}} - c = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} - c = 2\sqrt{ab} - c$.પ્રશ્ન મુજબ,તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \ge 0$ છે,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ge 0$ હોવું જોઈએ.તેથી,$2\sqrt{ab} - c \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $2\sqrt{ab} \ge c$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $4ab \ge c^2$ મળે છે,અથવા $ab \ge \frac{c^2}{4}$.

જો તમામ ધન $x$ માટે $ax + \frac{b}{x} \ge c$ હોય,જ્યાં $a, b > 0$,તો:

Similar Questions

અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $f(x) = x + \sin(2x)$ ની એક મહત્તમ કિંમત શું છે?

જો $x$ અને $y$ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી $xy = 4$ થાય,તો $\left(\sqrt{x} + \frac{y^2}{2}\right)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$12$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ (ઘન એકમમાં) કેટલું થાય?

વિધેય $y = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module